空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。

设向量为a=(a1,a2,a3)则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为a1、a2、a3即a=(a1,a2,a3)2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即a|=√(a1²+a2²+a3²)3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。

设向量a的模长为a|则其单位向量为a/|a|4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。

设向量a=(a1,a2,a3)则其方向角为α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。

设向量a=(a1,a2,a3)则其方向余弦为cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|一、知识要点1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。

向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

向量具有平移不变性。

2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。

运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。

3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。

共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。

4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。

若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。

6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。

向量的模长是指其长度，向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。

向量的方向角是指其在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角，向量的方向余弦是指其在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值。

二、改写后的文章空间向量与立体几何是高中数学中的重要内容。

本文将对空间向量的基本概念、运算法则、共线向量、共面向量、基本定理和直角坐标系进行总结和归纳。

1.空间向量的概念在空间中，向量是具有大小和方向的量。

同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

向量具有平移不变性，即向量的大小和方向不随平移而改变。

2.空间向量的运算空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。

运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。

其中，加法满足交换律、结合律和分配律。

3.共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。

共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。

4.共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

空间任意的两向量都是共面的。

5.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。

若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。

基本定理的推论是，设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使OP=xOA+yOB+zOC。

6.空间向量的直角坐标系在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。

向量的模长是指其长度，即向量的大小。

向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。

向量的方向角是指其在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角，向量的方向余弦是指其在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值。

中，每个点A都可以用一个有序实数组(x,y,z)来表示，其中OA的长度为xi+yj+zk。

这个有序实数组(x,y,z)中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x、y、z分别为横、纵、竖坐标。

在空间中，若一个基底的三个基向量互相垂直且长度为1，则称这个基底为单位正交基底，用{i,j,k}表示。

任意向量a可以表示为a=xi+yj+zk=(x,y,z)。

空间向量的直角坐标运算律如下：①对于向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，有a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)、a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)、λa=(λa1,λa2,λa3)（其中λ∈R）、a·b=a1b1+a2b2+a3b3、a//b当且仅当a1=λb1、a2=λb2、a3=λb3（其中λ∈R）、a⊥XXX且仅当a1b1+a2b2+a3b3=0.②对于A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，有AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

③定比分点公式：若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、P(x,y,z)，且AP=λPB，则点P的坐标为(x1+λx2,y1+λy2,z1+λz2)。

推导过程为：设P（x,y,z）则(x-x1,y-y1,z-z1)=λ(x2-x,y2-y,z2-z)，即(x,y,z)=(x1+λx2,y1+λy2,z1+λz2)/(1+λ)。

④在三角形ABC中，A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)，则三角形的重心P的坐标为(x1+x2+x3,y1+y2+y3,z1+z2+z3)/3.1.ΔABC的基本概念：ΔABC是一个三角形，有三个顶点A、B、C，三条边AB、BC、CA，三个内角A、B、C，三个外角A‘、B‘、C‘，三条中线AD、BE、CF，三条角平分线AP、BQ、CR，三条高AD、BE、CF，一个内切圆、一个外接圆，五心P、O、H、G、I，一个垂心N，一个重心M，一个外心O。

2.ΔXX X的五心：内心P为内切圆的圆心，是角平分线的交点，外心O为外接圆的圆心，是中垂线的交点，垂心H为三条高的交点，重心G为中线的交点和三等分点，中心I为正三角形的所有心的合一。

3.向量的模长和夹角公式：若a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则|a|=a∙a=a1+a2+a3，|b|=b∙b=b1+b2+b3.若a与b的夹角为θ，则cosa∙b=(a1b1+a2b2+a3b3)/(|a|∙|b|)，且a∙b=|a|∙|b|∙cosθ。

4.两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|=AB=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)^(1/2)，或dA,B=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)^(1/2)。

5.空间向量的数量积：已知向量a,b，则|a|∙|b|∙cosθ叫做a,b的数量积，记作a∙b，其中θ为a与b的夹角。

空间向量数量积有交换律、分配律和数乘结合律，且a∙e=|a|cosθ，a⊥XXX且仅当a∙b=0.不满足乘法结合律的例子是(a·b)c≠a(b·c)。

二、空间向量与立体几何1.线线平行的充要条件是两线的方向向量平行。

1-1.线面平行的充要条件是线的方向向量与面的法向量垂直。

1-2.面面平行的充要条件是两面的法向量平行。

2.线线垂直（共面与异面）的充要条件是两线的方向向量垂直。

2-1.线面垂直的充要条件是线与面的法向量平行。

2-2.面面垂直的充要条件是两面的法向量垂直。

3.线线夹角θ（共面与异面）在[0,90°]范围内，当且仅当两线的方向向量n1，n2的夹角或夹角的补角cosθ=cos时成立。

3-1.线面夹角θ在[0,90°]范围内，求线面夹角的步骤是先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，如果是锐角角度即可，如果是钝角，则取其补角；然后求其余角，即是线面的夹角。

sinθ=cos。

3-2.面面夹角（二面角）θ在[0,180°]范围内，如果两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1，n2的夹角；如果法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角。

cosθ=±cos。

4.点面距离h：求点P(x,y)到平面α的距离：在平面α上取一点Q(x,y)，得向量PQ；计算平面α的法向量n。

h = PQ·n / |n|4-1.线面距离（线面平行）可以转化为点面距离。

4-2.面面距离（面面平行）可以转化为点面距离。

典型例题】1.基本运算与基本知识例1.已知平行六面体ABCD－A' B' C' D'，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。

⑴ AB+BC；⑵ AB+AD+AA'；⑶ AB+AD+CC'；⑷ (AB+AD+AA')。

例2.对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式：OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）的四点P,A,B,C是否共面？例3.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)。

⑴求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|=3，求向量a 的坐标。

2.基底法（如何找，转化为基底运算）3.坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4.几何法例4.如图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC的夹角的余弦值。

剔除格式错误，删除明显有问题的段落，改写每段话如下：题目：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，E为AC与BD的交点，F为BC与B1C1的交点，且AF垂直于BE。

求长方体的高BB1.解法：如图所示，设长方体棱长为1.则B(1,1,0)，E(3/4,1,1)，D(0,0,0)，F(0,1/4,1)。

因此，BE1=(0,-3/4,1)，DF1=(0,1/4,1)，BE1·DF1=11/15.所以，长方体的高BB1=√2/3.题目：已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G 分别是BC、CD的中点。

化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB+BC+CD；（2）AB+(BD+BC)/2；（3）AG-(AB+AC)/2.解法：如图所示，设AB=a，BC=b，CD=c，AC=d，BD=e。

则M=(0,b/2,c/2)，G=(0,d/2,c/2)。

因此，化简结果向量为：(1)AB+BC+CD=AD；(2)AB+(BD+BC)/2=AG；(3)AG-(AB+AC)/2=GM。