高考数学一轮复习统考 第7章 不等式 第4讲 基本不等式学案(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学

第4讲 基本不等式
基础知识整合
1．重要不等式
a 2＋
b 2≥012ab (a ，b ∈R )(当且仅当02a ＝b 时等号成立)．
2．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：03a >0，b >0；
(2)等号成立的条件：当且仅当04a ＝b 时等号成立； (3)其中
a ＋b
2
叫做正数a ，b 的05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的06几何平均数．
3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，
那么当07x ＝y 时，x ＋y 有08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，
那么当09x ＝y 时，xy 有10最大值S 2
4
.(简记：“和定积最大”)
1．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；
(3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2
＋b 2
2(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)．
以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论
(1)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y
＝(ax ＋by )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋
ax y
≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2
.
(2)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋b y
＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y
≥a
＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2
.
1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.1
2 D.22
答案 B
解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝1
2时等号成立，即ab
的最大值为1
4
.故选B.
2．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2
＋b 2
B ．2ab
C ．2ab
D ．a ＋b
答案 D
解析 ∵a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，则显然有a ＋b >2ab ，a 2
＋b 2
>2ab .下面比较a 2
＋b 2
与a ＋b 的大小．由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2
<a ，b 2
<b ，∴a 2
＋b 2
<a ＋b .故各式中最大的是a ＋b .
3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4
x
B ．y ＝sin x ＋4
sin x
(0<x <π)
C ．y ＝4e x
＋e －x
D ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)
答案 C
解析 A 中x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若y ＝sin x ＋
4sin x
(0<x <π)取得最小值4，则sin 2
x ＝4，显然不成立；D 中由0<x <1，则log 3x ∈(－∞，0)，y ＝log 3x ＋log x 3＝log 3x ＋1log 3x 没有最小值；C 中y ＝4e x ＋e －x ＝4e x ＋1e x ≥4，当且仅当4e x ＝e －x
，
即x ＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C.
4．(2019·山西晋城模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b
的最小值是( )
A.72 B ．4
C.92 D ．5
答案 C
解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立，
即1a ＋4b 的
最小值是9
2
.故选C.
5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3
B.72 C ．4 D.92
答案 C
解析 原式＝x 2
＋x y ＋14y 2＋y 2
＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝
22时取“＝”号，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋12x 2的最小值是4. 6.
3－a
a ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为________．
答案 9
2
解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－a
a ＋6＝0；当－6<a <3时，3－a a ＋6
≤
3－a ＋a ＋62＝9
2
， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－3
2时取等号．
故3－a
a ＋
b (－6≤a ≤3)的最大值为9
2
.
核心考向突破
精准设计考向，多角度探究突破
考向一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值
例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23
答案 B
解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝3
4，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝1
2
时，x (3－3x )取得最大值．故选B.
(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3
2的最小值为________．
答案 0
解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1
x ＋1
2－2≥2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12·1x ＋
12
－2＝0，当且仅当x ＋12＝
1
x ＋12，即x ＝1
2时等号成立．所以函数的最小值为0.
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
[即时训练] 1.设a ，b 均大于0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2
解析 ∵(a ＋1＋b ＋3)2
＝a ＋1＋b ＋3＋ 2a ＋1b ＋3＝9＋2a ＋1b ＋3，
又2
a ＋1
b ＋3≤a ＋1＋b ＋3＝9
⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时取“＝”， ∴(a ＋1＋b ＋3)2
≤18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.
角度2 利用常数代换法求最值 例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )
A ．[6，＋∞)
B ．[10，＋∞)
C ．[12，＋∞)
D ．[16，＋∞)
答案 D
解析 ∵θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2
θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2
θ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2
θcos 2
θ≥10＋2
cos 2θsin 2θ·9sin 2
θ
cos 2
θ
＝16，当且仅当cos 2
θsin 2θ＝9sin 2
θcos 2
θ，即θ＝π
6
时等号成立．故选D. (2)已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1
b
的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8
答案 D
解析 因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以
2a －1＋1b
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1
b
，即a ＝32，b ＝14时取等号，所以2a －1＋1
b
的最小值是8，故选D.
常数代换法求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．
[即时训练] 2.(2020·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．
答案 5
解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得
15y ＋3
5x
＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12
时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.
角度3 利用消元法求最值
例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac
b
2的最大值为( )
A ．8
B ．2 C.18 D.1
6
答案 C
解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝
ac 2a ＋c
2
＝
ac 4a 2
＋4ac ＋c 2＝
1
4a c ＋c
a
＋4≤1
24a c ·c
a
＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立，即ac
b 2的最大值为1
8
.故选C.
(2)已知x >54，则函数y ＝16x 2
－28x ＋11
4x －5的最小值为________．
答案 5
解析 令4x －5＝t ，则x ＝t ＋5
4(t >0)，∴y ＝t 2＋3t ＋1t ＝t ＋1t ＋3(t >0)，又t ＋1
t
≥2(当
且仅当t ＝1时，取“＝”)，∴y 的最小值为5.
通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
[即时训练] 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y
b
＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3b
a
的最小值为________． 答案 6
解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝a
a －1
>0，所以a >1，
所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b ＋3b
a 的
最小值是6.
考向二 求参数值或取值范围
例4 (1)(2019·山西长治模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成
立，则正实数a 的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
答案 B
解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2
，当且仅当a ·x y ＝y x
，即
ax 2＝y 2时“＝”成立．
∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，
∴(a ＋1)2
≥9.
∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.
(2)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2
－2k 恒成立，则实数k 的取值范围是( )
A ．[－2,0)∪(0,4]
B ．[－4,0)∪(0,2]
C ．[－4,2]
D ．[－2,4]
答案 D
解析 因为0<m <12，所以m (1－2m )＝12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋1－2m 22＝1
8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m 1－2m ≥8.又1m ＋21－2m ≥k 2
－2k 恒成立，所以k 2
－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.
(1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活地进行转化． (2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围．
[即时训练] 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋k
a ＋
b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于
( )
A ．0
B ．4
C ．－4
D ．－2
答案 C
解析 由1a ＋1b ＋k
a ＋b
≥0得k ≥－
a ＋
b 2
ab
，又
a ＋
b 2
ab
＝a b ＋b a
＋2≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以－
a ＋b
2
ab
≤－4，因此要使k ≥－
a ＋b
2
ab
恒成立，应有k ≥－4，即实数
k 的最小值等于－4.故选C.
5．(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
答案 C
解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当
x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.故x ＋3y 的最小值为6.
解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2
＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)(xy －3)≤0，
∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.故选C. 考向三 基本不等式的实际应用
例5 (2019·辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2
＋10x ；当年产量不小于80
千件时，C (x )＝51x ＋10000
x
－1450.每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的
商品能全部售完．
(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品的销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，
当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250；
当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝
⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x
－1450－250＝1200－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋10000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－13
x 2
＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.
(2)当0<x <80时，L (x )＝－13
(x －60)2
＋950.
则当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元；
当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝
⎛⎭
⎪
⎫x ＋10000x ≤1200－2
x ·
10000
x
＝1200－200＝
1000⎝
⎛⎭
⎪⎫当且仅当x ＝10000x
，即x ＝100时取等号，则当x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．
由于950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
[即时训练] 6.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－
k
m ＋1
(k 为常数)，如果不搞促销
活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－
2
m ＋1
， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x
x
(元)，
∴2020年的利润y ＝1.5x ×
8＋16x
x
－8－16x －m
＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，
16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，
当且仅当16m ＋1
＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab
的最小值为________． 答案 4
解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2
时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab
， 由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab
＝4 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab
的最小值为4. 答题启示
利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．
对点训练
已知a >b >0，求a 2＋16b a －b
的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.
∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2
＋16b
a －
b ≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2
＋16b a －b 的最小值为16.。