一元二次不等式的解法含参不等式恒成立问题及根的分布

范围是
.
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条
件的m值的集合：
(1)两根都大于0;
x=m/2
(2)一个根大于0,另一个根小于0;
(3)两根都小于1.
x1
x2
解：令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交
则△＝m2-4(-m+3)＝(m+6)(m-2)≥0
.
3.已知关于 x 的方程 x2 (m 2)x 1 0 无正根,
求 m 的取值范围.
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题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为 ( 1 , 1), 求a-b 的值.
23
[思路分析] 由不等式 ax2 bx 2 0 对应的方程 ax2 bx 2 0 的两根为 1 , 1 , 可利用二次方程
两个根都在（k1 , k2 )内
x1<k1 < k2 <x2
y
y
k1 o k2 x
ok1 k2
x
0
k1
b 2a
k2
f
(k1 )
0
f (k2 ) 0
f f
(k1 ) (k2 )
0 0
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题 1.已知方程 x2 2mx m 12 0 .
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
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课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b= -14 (a=-12,b=. -2)
（2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是
23
求出 a,b.
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题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
( 1 , 1), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
ax2
bx
2
0的解集为
(
1 2
,
1 3
),
∴方程 ax2 bx 2 0 的两根为 1 , 1 ,
23
1
4
a
9
a1 2
1b 3
b 2
2 0, 0.
得 ba
12, 2.
a
b
10.
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题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
( 1 , 1), 求a-b 的值.
23
解法Hale Waihona Puke ：∵不等式ax2bx
2
0的解集为
(
1 2
,
1 3
),
∴方程 ax2 bx 2 0 的两根为 1 , 1 ,
变式训练3
(1)若方程有两个不等实根,求 m 的取值范围; (2)若方程中一个根比 1 大,另一个根比 1 小,求 m 的取值范围; (3)若方程中的两根均大于 1,求实数 m 的取值范围.
2.若 x2 (k 1)x 2k 1 0 的两根 x1, x2 ,且 0 x1 1 x2 2，
则 k 的取值范围是
得m≤-6或m≥2.
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m≤-6或m≥2}.
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条
件的m值的集合：(1)两根都大于0;
解： (1) ∵两根都大于0
x=m/2
0
m 6或m 2
m 2
0
f (0) 0
0
m 2
1
f (1) 0
m 6或m 2 即m 2
2m 4 0
x=m/2
x1
x2
∴ m≤ -6.
1
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m≤-6}.
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题 归纳小结
借助图像“四看”： “一看”： 开口方向 “二看”： 判别式的正负 “三看”： 对称轴的位置 “四看”： 区间端点值的正负
题型与解法
（一）含参数的二次不等式
练1.解关于x不等式：a2x2 – ax – 2 >0. 练2.解关于x不等式： x2 +ax +4 >0. 练3.解关于x不等式：
ax2 – (a+1)x +1 >0.
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题型与解法
（一）含参数的二次不等式
归纳小结
解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R), 把讨论对象逐级讨论，逐步解决。
),
(ax2 bx 2) a(x 1)(x 1) ax2 a x a ,
由待定系数法得
a
a 6
2, b,
2
a b
3
12, 2.
66
a b 10.
6
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题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
f
0 (0)
0
即
m
6或m m 3 0
2
∴ m>3.
x=m/2
x1 o
x2
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m>3}.
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： (3)两根都小于1;
解： (3) ∵两根都小于1,
23
由韦达定理得
1 2
1 3
b a
,
(
1) 2
(1) 3
2 a
,
得
a b
12, 2.
a b 10.
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题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
( 1 , 1), 求a-b 的值.
23
解法三：∵不等式
ax2
bx
2
0的解集为
(
1 2
,
1 3
0 0
ax2
bx
c
0恒成立
a c
b 0
0或
a
0 0
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题型与解法
变式训练 (1)已知1 不等式
(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0 恒成立，求实数m的取值范围.
[1,19)
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题型与解法
变式训练2
函数
f (x) kx2 6kx k 8
的定义域为R，则实数k的取值
第一级讨论：
二次项系数a，一般分为a>0,a=0,a<0进行讨论； 第二级讨论：
方程根的判别式△，一般分为△>0,△=0, △<0进行讨论； 第三级讨论：
对应方程根的大小，若x1,x2分别是方程ax2+bx+c=0的 两根，一般分为x1>x2, x1=x2 , x1<x2 进行讨论.
若某级已确定，可直接进入下一级讨论.
{x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式 ax2-bx+c＜0的解集为 {x|-1/2<x<2} .
⑶ 对于任意实数x，ax2+4x-1≥-2x2-a，对
于任意实数恒成立，则实数a的取值范围
4.当为ma为≤-何3或值a≥时2 ，.方程x2-2mx+2m+3=0
（1）有两个负实数根？
（2）有一个正根，一个负根. -3/2<m≤-1
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一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分
两布个正根
两个负根 一正根 一 正 一 负 ， 且
一负根 负的绝对值大
0
x1
x
2
b a
0
x1x
2
c a
0
0
x1
x2
b a
0
x1x 2
c a
0
0
x1x 2
c a
0
0
x1
x2
b a
0
x1x 2
c a
0
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课后作业 1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题； 2.课时作业.
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本节课到此结束，请同学们 课后再做好复习。谢谢！
再见！
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谢谢您的观看！
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②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
③当a<2时，则a的值不存在；
综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.
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题型与解法
（二）不等式的恒成立
ax2
bx
c
0恒成立
a c
b 0
0或
a
0 0
ax2
bx
c
0恒成立
a c
b 0
0或
a
0 0
ax2
bx
c
0恒成立
a c
b 0
0或
a
（3）两根大于2.
m<-3/2
3≤m< 7/2
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课堂小结
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下，但必须注意前后的等价； 2.一元二次方程根的分布问题； 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a
x1
x2
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即m 0 m 3 0
o x1
x2
∴ 2≤ m<3.
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|2≤ m<3}.
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合：(2)一个根大于0,另一个根小于0;
解： (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
3 cx2 bx a 0的解集.
{x | 3 x 1} 2
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课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
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题型与解法
（二）二次不等式的恒成立
例1 已知关于x下列不等式：
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥恒00为的对恒非解任成负集意立为x∈，RR都成立
试求a的取值范围. 解：令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1,
①当a=2时，y=1符合题意；
△＝(a-2)2-4(a-2) =(a-2)(a-6)
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分
布
两个根都小于k 两个根都大于k 一个根小于k,一个根
大于k
y
y
y
o k x ko
k
x
o
x
0
b 2a
k
f (k ) 0
0
b 2a
k
f (k ) 0
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f(k)<0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分 布