伏安法测电源电动势和内阻的误差分析三法详解

伏安法测电源电动势和内阻的
误差分析三法详解
王守平
(中央民族大学附属中学海南陵水分校ꎬ海南陵水５７２４００)
摘㊀要:误差分析是实验的重要环节ꎬ目前高中学生对实验误差分析的认识相对比较模糊ꎬ甚至有错误.本文分别从定性分析㊁定量分析两个维度对伏安法测量电源电动势和内阻的误差进行分析ꎬ使学生明晰如何选择测量电路.
关键词:误差分析ꎻ伏安法ꎻ图像法
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－０１２２－０３
收稿日期:２０２３－０３－０５
作者简介:王守平(１９７４.９－)ꎬ男ꎬ山东省安丘人ꎬ硕士ꎬ高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.０引言
伏安法测电源电动势和内阻的误差分析是教师教学和学生学习的难点.两种不同接法的电路造成的系统误差不同ꎬ结论比较容易记忆ꎬ但推导过程相对比较复杂.学生往往只记住结果ꎬ记不住甚至看不懂推导过程ꎬ但如果只记住结果的话ꎬ时间长了容易记混ꎬ而且如果不懂得其中的原理的话ꎬ对于两种实验电路的选择也会出现困难ꎬ因此笔者总结了三种不同的推导方法ꎬ给出超详细的推导过程ꎬ争取让基础一般的同学也能看得懂ꎬ也可供教师做教学参考.
１推导方法
首先ꎬ我们要清楚本实验可供选择的两种电路ꎬ如图１所示ꎬ我们称之为电流表外接电路(相对电源)ꎬ后文中简称为外接法.如图２所示ꎬ我们称之为电流表内接电路(相对电源)ꎬ后文中简称为内接法
.
图
１
图２
１.１方法一:替代法１.１.１外接法
由Ｅ测＝Ｕ＋Ｉｒ测
得Ｕ＝－ｒ测Ｉ＋Ｅ测①
由Ｅ真＝Ｕ＋(Ｉ＋
ＵＲＶ)ｒ真
２２１
得Ｅ真＝Ｕ＋Ｉｒ真＋ＵＲＶｒ真
Ｅ真＝Ｕ(１＋ｒ真
ＲＶ
)＋Ｉｒ真即Ｅ真＝Ｕ(ＲＶ＋ｒ真
ＲＶ
)＋Ｉｒ真
则Ｕ＝－
ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真Ｉ＋ＲＶ
ＲＶ＋ｒ真Ｅ
真
②
在①②两式中ꎬＵ㊁Ｉ的含义是相同的ꎬ故两式中对应的斜率和截距相同ꎬ可相互替代ꎬ即ｒ测＝ＲＶｒ真
ＲＶ＋ｒ真
ꎬ可见ꎬ内阻的测量值其实是其真实值和电
压表内阻的并联值ꎬ故有ｒ测<ｒ真ꎬ且当ｒ真≪ＲＶ时误差很小.同时Ｅ测＝
ＲＶＥ真
ＲＶ＋ｒ真
ꎬ故有Ｅ测<Ｅ真ꎬ且当ｒ真
≪ＲＶ时误差很小ꎬ由于一般的干电池的内阻很小ꎬ因此ꎬ测一般干电池的电动势和内阻时采用外接法.１.１.２内接法
由Ｅ测＝Ｕ＋Ｉｒ测
得Ｕ＝－ｒ测Ｉ＋Ｅ测①由Ｅ真＝Ｕ＋Ｉ(ｒ真＋ＲＡ)得Ｕ＝－(ｒ真＋ＲＡ)Ｉ＋Ｅ真
②
同理ꎬ在①②两式中ꎬＵ㊁Ｉ的含义是相同的ꎬ故两式中对应的斜率和截距相同ꎬ可相互替代ꎬ即ｒ测＝ｒ真＋ＲＡꎬ可见ꎬ内阻的测量值其实是其真实值和
电流表内阻的串联值ꎬ故有ｒ测>ｒ真ꎬ且当ｒ真≫ＲＡ时误差很小.同时Ｅ测＝Ｅ真ꎬ即电动势的测量值没有系统误差ꎬ由于一般的干电池的内阻很小ꎬ不能用这种
内接法ꎬ但当电池的内阻很大时ꎬ如水果电池ꎬ可以用这种方法.１.２方法二:解析法１.２.１外接法
Ｅ测＝Ｕ１＋Ｉ１ｒ测①Ｅ测＝Ｕ２＋Ｉ２ｒ测②得ｒ测＝
Ｕ１－Ｕ２Ｉ２－Ｉ１
③
Ｅ测＝
Ｕ１Ｉ２－Ｕ２Ｉ１
Ｉ２－Ｉ１
④Ｅ真＝Ｕ１＋(Ｉ１＋Ｕ１
ＲＶ)ｒ真⑤Ｅ真＝Ｕ２＋(Ｉ２＋
Ｕ２
ＲＶ)ｒ真
⑥
解得内阻测量值和真实值的关系:ｒ测＝
ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真ꎬＥ测＝ＲＶ
ＲＶ＋ｒ真Ｅ
真
１.２.２内接法
Ｅ真＝Ｕ１＋Ｉ１(ｒ真＋ＲＡ)⑦Ｅ真＝Ｕ２＋Ｉ２(ｒ真＋ＲＡ)⑧
ｒ测＝ｒ真＋ＲＡꎬＥ测＝Ｅ真
１.３方法三:图像法１.３.１外接法
实验得到的电压表的读数Ｕ和电流表的读数Ｉ
之间的关系图像ꎬ即Ｕ－Ｉ图像ꎬ如图３中实线所示ꎬ由于电压表的读数Ｕ就是该电路的路端电压ꎬ无误
差ꎬ但由于电压表的分流作用ꎬ使得电流表的读数Ｉ不是流过电源的干路电流Ｉ真ꎬ它们的关系是Ｉ真＝Ｉ＋ＩＶꎬ因此图３中的图线偏离真实ꎬ导致电动势和内
阻的测量存在误差ꎬ可对图线进行修正ꎬ在图线上任取一点Ｂꎬ它的坐标为(ＩＢꎬＵＢ)ꎬ其中ＵＢ是准确值ꎬ这时流过电压表的电流ＩＶ＝
ＵＢ
ＲＶ
ꎬ可求出Ｉｖꎬ过ＩＢ＋Ｉｖ作竖直线ꎬ与ＵＢＢ的延长线交于Ｂᶄ点ꎬＢᶄ点即Ｂ点的真实位置.由于Ｕ＝０时ꎬＩｖ＝０ꎬ此时Ｉ真＝Ｉꎬ可知:图线的横截距Ｉｍ也是真实图线上的横截距ꎬ连接Ｉｍ和Ｂᶄ并延长与纵轴交于一点ꎬ此纵截距就是电动势
的真实值Ｅ真ꎬ两图线比较可得ꎬＥ测<Ｅ真ꎬｒ测<ｒ真.图３
３２１
误差有多大呢?下面推导误差的具体大小:过Ｅ测点的水平线与Ｅ真㊁Ｉｍ的连线交于Ｃ点ꎬ
线段Ｅ真Ｃ的大小表示当Ｉ测＝０时通过电压表中的电流ＩＶ０ꎬ因此ＩＶ０＝
Ｕ测
ＲＶ
ꎬ由于三角形Ｅ真Ｅ测Ｃ与三角形Ｅ真ＯＩｍ为相似三角形ꎬ故有:
Ｅ真－Ｅ测Ｅ真＝ＩＶ０
Ｉｍ
ꎬ又由于Ｉｍ＝Ｅ测ｒ测ꎬ故有:Ｅ真－Ｅ测Ｅ真＝Ｕ测
ＲＶＥ测ｒ测
＝
ｒ测
ＲＶ
可得:Ｅ真ＲＶ－Ｅ测ＲＶ＝Ｅ真ｒ测移项得:Ｅ真(ＲＶ－ｒ测)＝Ｅ测ＲＶꎬ求得:
Ｅ测＝
ＲＶ－ｒ测
ＲＶ
Ｅ真
①
又由于ｒ测＝
Ｅ测
Ｉｍ
ꎬ将①式代入得:ｒ测＝
ＲＶ－ｒ测
ＲＶ
Ｅ真
Ｉｍ再将ｒ真＝
Ｅ真Ｉｍ代入得:ｒ测＝ＲＶ－ｒ测
ＲＶ
ｒ真移项得:ｒ测ＲＶ＝ＲＶｒ真－ｒ测ｒ真求得:ｒ测＝
ＲＶｒ真
ＲＶ＋ｒ真再将ｒ测＝
ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真
代入①式得:Ｅ测＝
ＲＶ－
ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真ＲＶＥ真＝(１－ｒ真ＲＶ＋ｒ真)Ｅ真＝ＲＶ
ＲＶ＋ｒ真Ｅ真
即Ｅ测＝ＲＶ
ＲＶ＋ｒ真Ｅ
真
１.３.２内接法
由于电流表的读数就是干路电流ꎬ无误差ꎬ但由
于电流表的分压作用ꎬ使电压表的示数不是电路的路端电压Ｕ真ꎬ它们的关系是Ｕ真＝Ｕ＋ＵＡꎬ故图４中的实线所示图线偏离真实ꎬ导致电动势和内阻的测量存在误差ꎬ可对图线进行修正ꎬ在图线上任取一点Ｄꎬ它的坐标为(ＩＤꎬＵＤ)ꎬ其中ＩＤ是准确值ꎬ这时电流表两端的电压ＵＡ＝ＩＤＲＡꎬ可求出ＵＡꎬ过纵轴上ＵＤ＋ＵＡ的点ꎬ作一条与横轴平行的直线ꎬ与ＩＤＤ所在的竖直线交于Ｄᶄ点ꎬＤᶄ点即为Ｄ点的真实位置.当Ｉ
＝０时ꎬＵＡ＝０ꎬ此时电压表的测量值和真实值相等ꎬ
因此图线上的纵截距也是真实图线上的纵截距ꎬ统一用Ｅ来表示ꎬ连接ＥＤ两点并处处延长交横轴于一点Ｉｍ真ꎬ图线ＥＩｍ真就是真实图线ꎬ可知电动势Ｅ测＝Ｅ真ꎬ无误差.内阻ｒ
测
>ｒ真.
图４
综上所述ꎬ通常情况下ꎬ利用电流表外接实验电路ꎬ电动势和内阻的测量值均小于真实值ꎬ但误差小ꎻ而电流表内接实验电路ꎬ电动势的测量值不存在系统误差ꎬ而且内阻的测量值大于真实值会产生很大的误差.故伏安法测电源电动势和内阻的实验电路常采用电流表外接电路.
参考文献:
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振华ꎬ沈珊雄ꎬ徐在新ꎬ译.杭州:浙江教育出版社ꎬ２００８.
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[责任编辑:李㊀璟]
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