新人教A版新教材学高中数学必修第一册指数函数与对数函数对数函数对数函数及其性质的应用讲义

学习

目标核心素养

１．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．（重点）

２．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．（重点）１．通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．

２．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养.

比较对数值的大小

【例１】比较下列各组值的大小：

（１）log５错误!与log５错误!；

（２）log错误!２与log错误!２；

（３）log２３与log５４．

[解] （１）法一（单调性法）：对数函数y＝log５x在（0，＋∞）上是增函数，而错误!<错误!，所以log５错误!<log５错误!.

法二（中间值法）：因为log５错误!<0，log５错误!>0，

所以log５错误!<log５错误!.

（２）法一（单调性法）：由于log错误!２＝错误!，log错误!２＝错误!，

又因对数函数y＝log２x在（0，＋∞）上是增函数，

且错误!>错误!，所以0>log２错误!>log２错误!，

所以错误!<错误!，所以log错误!２<log错误!２．

法二（图象法）：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log错误!x及y＝log错误!

x的图象，由图易知：log错误!２<log错误!２．

（３）取中间值１，

因为log２３>log２２＝１＝log５５>log５４，

所以log２３>log５４．

比较对数值大小的常用方法

１同底数的利用对数函数的单调性.

２同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

３底数和真数都不同，找中间量.

提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或１的大小.

１．比较下列各组值的大小：

（１）log错误!0．５，log错误!0．6；

（２）log１．５１．6，log１．５１．４；

（３）log0．５7，log0．67；

（４）log３π，log２0．8．

[解] （１）因为函数y＝log错误!x是减函数，且0．５<0．6，所以log错误!0．５>log错误!0．6．（２）因为函数y＝log１．５x是增函数，且１．6>１．４，所以log１．５１．6>log１．５１．４．（３）因为0>log70．6>log70．５，

所以错误!<错误!，即log0．67<log0．５7．

（４）因为log３π>log３１＝0，log２0．8<log２１＝0，所以log３π>log２0．8．

解对数不等式

【例２】已知函数f（x）＝log a（x—１），g（x）＝log a（6—２x）（a＞0，且a≠１）．

（１）求函数φ（x）＝f（x）＋g（x）的定义域；

（２）试确定不等式f（x）≤g（x）中x的取值范围．

[思路点拨] （１）直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．

（２）分a＞１和0＜a＜１求解不等式得答案．

[解] （１）由错误!解得１＜x＜３，∴函数φ（x）的定义域为{x|１＜x＜３}．

（２）不等式f（x）≤g（x），即为log a（x—１）≤log a（6—２x），

１当a＞１时，不等式等价于错误!

解得１<x≤错误!；

２当0＜a＜１时，不等式等价于错误!

解得错误!≤x<３．

综上可得，当a＞１时，不等式的解集为错误!；

当0＜a＜１时，不等式的解集为错误!.

常见的对数不等式的三种类型

１形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞１与0＜a＜１两种情况讨论；

２形如log a x＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝log a x的单调性求解；

３形如log a x＞log b x的不等式，可利用图象求解.

２．（１）已知log a错误!>１，求a的取值范围；

（２）已知log0．7（２x）<log0．7（x—１），求x的取值范围．

[解] （１）由log a错误!>１得log a错误!>log a a.

１当a>１时，有a<错误!，此时无解．

２当0<a<１时，有错误!<a，从而错误!<a<１．

所以a的取值范围是错误!.

（２）因为函数y＝log0．7x在（0，＋∞）上为减函数，

所以由log0．7（２x）<log0．7（x—１）得错误!解得x>１．

即x的取值范围是（１，＋∞）．

对数函数性质的综合应用

[探究问题]

１．类比y＝a f（x）单调性的判断法，你能分析一下y＝log错误!（２x—１）的单调性吗？

提示：形如y＝a f（x）的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝log错误!（２x—１）由函数y＝log 错误!t及t＝２x—１复合而成，且定义域为２x—１>0，即x>错误!，结合“同增异减”可知，y＝log错误!（２x—１）的减区间为错误!.

２．如何求形如y＝log a f（x）的值域？

提示：先求y＝f（x）的值域，注意f（x）>0，在此基础上，分a>１和0<a<１两种情况，借助y ＝log a x的单调性求函数y＝log a f（x）的值域．

【例３】（１）已知y＝log a（２—ax）是[0,１]上的减函数，则a的取值范围为（）

Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）

Ｃ．（0,２）Ｄ．[２，＋∞）

（２）函数f（x）＝log错误!（x２＋２x＋３）的值域是________．

[思路点拨] （１）结合对数函数及y＝２—ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．（２）先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．

（１）B（２）（—∞，—１] [（１）∵f（x）＝log a（２—ax）在[0,１]上是减函数，且y＝２—ax 在[0,１]上是减函数，

∴错误!

即错误!∴错误!∴１＜a＜２．

（２）f（x）＝log错误!（x２＋２x＋３）＝log错误![（x＋１）２＋２]，

因为（x＋１）２＋２≥２，

所以log错误![（x＋１）２＋２]≤log错误!２＝—１，所以函数f（x）的值域是（—∞，—１]．]

１．求本例（２）的函数f（x）在[—３,１]上的值域．

[解] ∵x∈[—３,１]，

∴２≤x２＋２x＋３≤6，

∴log错误!6≤log错误!（x２＋２x＋３）≤log错误!２，