全等三角形知识点讲解经典例题含答案
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Байду номын сангаас
思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ΔABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠B， 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF， 所以∠ACB=∠DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°. 求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC. 【答案】 (1）因为ΔACD≌ΔECD， 所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）. 因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ ADC=∠EDC=90°. 所以CD⊥AB. (2）因为ΔCEF≌ΔBEF, 所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）. 因为∠CFE+∠BFE=180°， 所以∠CFE=∠BFE=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE. 所以EF∥AC. 类型二：全等三角形的证明 3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE． 思路点拨:欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得 解析：∵AC＝BD(已知) ∴AB-BD＝AB-AC(等式性质) 即AD＝BC 在△ADF与△BCE中 ∴△ADF≌△BCE(SAS) 总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS) ∴AD=AE(全等三角形对应边相等) 在Rt△ADF与Rt△AEF中 ∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL) ∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等) ∴AF平分∠BAC(角平分线的定义) 总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。 举一反三： 【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．
举一反三： 【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E， 求证：BD=2CE. 【答案】分别延长CE、BA交于F. 因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°. 在ΔBEF和ΔBEC中， 所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA). 所以CE=FE=CF. 又因为∠BAC=90°,BE⊥CF. 所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠ BFC=90°. 所以∠BDA=∠BFC. 在ΔABD和ΔACF中， 所以ΔABD≌ΔACF(AAS) 所以BD=CF.所以BD=2CE. 5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D， 求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF 思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3) 由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等． 解析： (1)在△ABE与△CDF中 ∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴AE＝CF(全等三角形对应边相等) (2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等) ∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行) (3)在△AEF与△CFE中 ∴△AEF≌△CFE(SAS) ∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等) 总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件． 举一反三： 【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证AF＝ AG．
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形， (2)证明这两个三角形全等； (3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等． 举一反三： 【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC 【答案】∵AB∥CD ∴∠3＝∠4 在△ABD和△CDB中 ∴△ABD≌△CDB(SAS) ∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等) ∴AD∥BC(内错角相等两直线平行) 【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD． 求证AF＝DE． 【答案】∵EB⊥AD(已知) ∴∠EBD＝90°(垂直定义) 同理可证∠FCA＝90° ∴∠EBD＝∠FCA ∵AB＝CD，BC＝BC ∴AC＝AB+BC ＝BC+CD ＝BD 在△ACF和△DBE中 ∴△ACF≌△DBE(S．A．S) ∴AF＝DE(全等三角形对应边相等) 类型三：综合应用 4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：AB+AC>2AD. 思路点拨:要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD想 到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。 解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE 因为AD为ΔABC的中线， 所以BD=CD. 在ΔACD和ΔEBD中， 所以ΔACD≌ΔEBD(SAS). 所以BE=CA. 在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD. 总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
【答案】∵∠C=∠D=90° ∴△ABD、△ACB为直角三角形 在Rt△ABD和Rt△ABC中 ∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL) ∴AD=BC 在△AOD和△BOC中 ∴△AOD≌△BOC(AAS) ∴OD=OC． 7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G.. 试判断：猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。 思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG 方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟） 作DM⊥CG于M ∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG ∴四边形EDMG是矩形 DE=GM DM//AB ∴∠MDC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠FCD ∴∠MDC=∠FCD 而DM⊥CG，DF⊥AC ∴∠DMC=∠CFD 在⊿MDC和⊿FCD中 ∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS） MC=DF ∴DE+DF=GM+MC=CG 总结升华： 方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略） 总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化 引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的 关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明 举一反三： 【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。 【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法
1直接通过abecdf而得2先证明aebcfd3由12可证明aefcfe而得总之欲证两边角相等找这两边角所在的两个三角形然后证明它们全等
全等三角形知识点讲解经典例题含答案
全等三角形 一、目标认知 学习目标： 1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。 重点： 1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式； 2 .三角形全等的性质和条件。 难点： 1.掌握用综合法证明的格式； 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′ 求证：△ABC≌△A′B′C′ 证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中 ∴Rt△ABD ≌Rt△A′B′ D′(HL) ∴∠B=∠B′(全等三角形对 应角相等) 在△ABC与△A′B′C′中 ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS) 【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求证：OC=OD
思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是 对应边可求解. 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A 是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角. 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应 边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角. 举一反三： 【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？ 【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 【变式2】如右图，，。 求证：AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。
【答案】在△AGE与△BCE中
∴△AGE≌△BCE(SAS) ∴AG＝BC(全等三角形对应边相等) 在△AFD与△CBD中 ∴△AFD≌△CBD(SAS) ∴AF＝CB(全等三角形对应边相等) ∴AF＝AG(等量代换) 6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F． 求证：AF平分∠BAC． 思路点拨:若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑 Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中
思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ΔABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠B， 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF， 所以∠ACB=∠DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°. 求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC. 【答案】 (1）因为ΔACD≌ΔECD， 所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）. 因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ ADC=∠EDC=90°. 所以CD⊥AB. (2）因为ΔCEF≌ΔBEF, 所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）. 因为∠CFE+∠BFE=180°， 所以∠CFE=∠BFE=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE. 所以EF∥AC. 类型二：全等三角形的证明 3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE． 思路点拨:欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得 解析：∵AC＝BD(已知) ∴AB-BD＝AB-AC(等式性质) 即AD＝BC 在△ADF与△BCE中 ∴△ADF≌△BCE(SAS) 总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS) ∴AD=AE(全等三角形对应边相等) 在Rt△ADF与Rt△AEF中 ∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL) ∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等) ∴AF平分∠BAC(角平分线的定义) 总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。 举一反三： 【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．
举一反三： 【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E， 求证：BD=2CE. 【答案】分别延长CE、BA交于F. 因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°. 在ΔBEF和ΔBEC中， 所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA). 所以CE=FE=CF. 又因为∠BAC=90°,BE⊥CF. 所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠ BFC=90°. 所以∠BDA=∠BFC. 在ΔABD和ΔACF中， 所以ΔABD≌ΔACF(AAS) 所以BD=CF.所以BD=2CE. 5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D， 求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF 思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3) 由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等． 解析： (1)在△ABE与△CDF中 ∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴AE＝CF(全等三角形对应边相等) (2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等) ∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行) (3)在△AEF与△CFE中 ∴△AEF≌△CFE(SAS) ∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等) 总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件． 举一反三： 【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证AF＝ AG．
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形， (2)证明这两个三角形全等； (3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等． 举一反三： 【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC 【答案】∵AB∥CD ∴∠3＝∠4 在△ABD和△CDB中 ∴△ABD≌△CDB(SAS) ∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等) ∴AD∥BC(内错角相等两直线平行) 【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD． 求证AF＝DE． 【答案】∵EB⊥AD(已知) ∴∠EBD＝90°(垂直定义) 同理可证∠FCA＝90° ∴∠EBD＝∠FCA ∵AB＝CD，BC＝BC ∴AC＝AB+BC ＝BC+CD ＝BD 在△ACF和△DBE中 ∴△ACF≌△DBE(S．A．S) ∴AF＝DE(全等三角形对应边相等) 类型三：综合应用 4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：AB+AC>2AD. 思路点拨:要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD想 到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。 解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE 因为AD为ΔABC的中线， 所以BD=CD. 在ΔACD和ΔEBD中， 所以ΔACD≌ΔEBD(SAS). 所以BE=CA. 在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD. 总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
【答案】∵∠C=∠D=90° ∴△ABD、△ACB为直角三角形 在Rt△ABD和Rt△ABC中 ∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL) ∴AD=BC 在△AOD和△BOC中 ∴△AOD≌△BOC(AAS) ∴OD=OC． 7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G.. 试判断：猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。 思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG 方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟） 作DM⊥CG于M ∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG ∴四边形EDMG是矩形 DE=GM DM//AB ∴∠MDC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠FCD ∴∠MDC=∠FCD 而DM⊥CG，DF⊥AC ∴∠DMC=∠CFD 在⊿MDC和⊿FCD中 ∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS） MC=DF ∴DE+DF=GM+MC=CG 总结升华： 方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略） 总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化 引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的 关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明 举一反三： 【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。 【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法
1直接通过abecdf而得2先证明aebcfd3由12可证明aefcfe而得总之欲证两边角相等找这两边角所在的两个三角形然后证明它们全等
全等三角形知识点讲解经典例题含答案
全等三角形 一、目标认知 学习目标： 1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。 重点： 1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式； 2 .三角形全等的性质和条件。 难点： 1.掌握用综合法证明的格式； 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′ 求证：△ABC≌△A′B′C′ 证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中 ∴Rt△ABD ≌Rt△A′B′ D′(HL) ∴∠B=∠B′(全等三角形对 应角相等) 在△ABC与△A′B′C′中 ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS) 【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求证：OC=OD
思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是 对应边可求解. 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A 是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角. 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应 边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角. 举一反三： 【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？ 【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 【变式2】如右图，，。 求证：AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。
【答案】在△AGE与△BCE中
∴△AGE≌△BCE(SAS) ∴AG＝BC(全等三角形对应边相等) 在△AFD与△CBD中 ∴△AFD≌△CBD(SAS) ∴AF＝CB(全等三角形对应边相等) ∴AF＝AG(等量代换) 6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F． 求证：AF平分∠BAC． 思路点拨:若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑 Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中