概率论与数理统计.
概率论与数理统计(完整版)
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可
（6）事件 的关系与
表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，（ i 1，2 ，…，n ），通常叫先验概率。P(Bi / A) ，（ i 1，2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
（17）伯努 利概型
“由果朔因”的推断。
我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
1
概率论与数理统计 公式（全）
均匀分布
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
概率论与数理统计完整ppt课件
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
概率论与数理统计最简单讲解
概率论与数理统计最简单讲解1 简介概率论是研究随机现象和概率规律的数学分支，一般分为经典概率、几何概率和统计概率。
数理统计是一个应用概率论于实际问题的统计学分支，主要研究样本及其分布、估计和假设检验等内容。
2 概率论的基本概念概率是指某件事情发生的可能性大小，用数字表示。
0表示不可能发生，1表示肯定发生，0~1之间的数字表示可能性大小。
概率分为主观概率和客观概率。
主观概率是指根据经验、知识、直觉等主观因素来判断某件事情发生的可能性大小。
而客观概率则是通过实验、统计等客观方法来计算某件事情发生的可能性大小。
3 经典概率和几何概率经典概率适用于“随机事件有限且等可能”的情形，如掷骰子，扑克牌等。
设事件A发生的可能性为P(A)，则概率公式为：P(A)=有利样本数/总样本数。
几何概率适用于具有可度量性的随机现象，如从一个圆环上随机抽取有色球的概率，可以通过求圆环表面积和有色球的面积比来计算概率。
4 统计概率和条件概率统计概率是指基于概率分布函数，用频率的稳定性代替概率来计算随机事件发生的可能性大小。
条件概率指已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率大小。
条件概率公式为：P(A|B)=P(AB)/P(B)。
5 数理统计的基本概念数据分为总体和样本两类。
总体是指研究对象的全体。
样本是指从总体中选出的一部分观测值。
统计量是从样本数据得到的量，通常用统计量来描述总体的某些特征。
6 样本分布样本的分布会受到样本容量、总体分布和抽样方式等因素的影响。
常见的样本分布有正态分布、t分布、F分布等。
其中正态分布是最重要的一种样本分布，因为它在自然界和社会方面都普遍存在。
7 参数估计参数估计是指通过样本数据来推断总体参数的值。
根据点估计和区间估计两种方式，可以计算出总体平均数、标准差、比例等各类参数的值。
8 假设检验假设检验是指将总体分布的某个特性提出一个假设，并利用样本数据来检验该假设的正确性。
假设检验包括两类错误：一类是将假设的否定但事实上是正确的，称为第一类错误；另一类是将假设的接受但事实上是错误的，称为第二类错误。
概率论与数理统计知识
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 抽验产品：“是正品”，“是次品”
这样的试验E称为伯努利试验 .
概率论
将伯努利试验E独立地重复地进行n次 , 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 .
“重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.
“独立”是指各 次试验的结果互不影响 .
解: 设该商品每月的销售数为X,
已知X服从参数λ=5的泊松分布.
设商店在月底应进某种商品m件,
求满足 P{ X ≤ m }>0.95 的最小的m .
销售数
进货数
概率论
求满足 P {X ≤ m }>0.95 的最小的m.
也即 P{X>m}≤ 0.05
或
e55k 0.05
km1 k!
查泊松分布表得
PX k pk 1 p 1k , k 0,1 0 p 1
或
X
~
0 1
p
1 p
2.伯努利试验和二项分布 看一个试验 将一枚均匀骰子抛掷3次.
概率论
令X 表示3次中出现“4”点的次数
X的分布律是：
P{ X
xk }
3
k
1 6
k
5 6
3k
,k
0,1, 2, 3.
概率论
一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
概率论
三、随机变量的分类
我们将研究两类随机变量： 离散型随机变量
随 机 如“取到次品的个数”， 变 “收到的呼叫数”等. 量
连续型随机变量
例如，“电视机的寿命”，实际中 常遇到的“测量误差”等.
概率论
概率论与数理统计
E: 球编号, 一次取出 m个球, 记下颜色.
(或 Ab )1) #S P (a ,b)( a
k # A Cm Pak Pbmk ,
m ab
m ab
#b S n C , (a 1)
m ab
k mk # A Ca Cb ,
—— 超几何分布—— 注: 不放回地逐次取 m 个球与一次取 m 个球所得结果相同.
解: A = “取到的数被 6 整除”， B = “取到的数被 8 整除”.
则
P ( A) 333 , 2000 P ( B) 250 , 2000 P( AB) 83 , 2000
所求为：P( A
B ) P ( A B) 1 P ( A B )
1 [ P( A) P( B) P( AB )] 1 ( 333 250 83 ) 3 . 4 2000 2000 2000
1
例1. 一个盒中装有10个大小形状完全相同的球. 依次将球
编号为1-10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球 . 1. 样本空间 S = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 }?
2. 记 A = “摸到 2 号球”，则 P(A) = ?
A = { 2 },
P( A) # A 1 ; # S 10
5 1 9 4 6 7 2 3 10 8
3. 记 B = “摸到红色球”，则 P(B) = ? B = { 1 2 3 4 5 6 }, P( B) # B 6 . # S 10
第一章 概率论的基本概念
2
例2 (p.13 例6). 在 1~2000 的整数中随机地取一个数，求
该数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率.
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论1.随机试验和样本空间：随机试验是具有不确定性的试验，其结果有多个可能的取值。
样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
2.事件及其运算：事件是样本空间中满足一定条件的结果的集合。
事件之间可以进行并、交、补等运算。
3.概率的定义和性质：概率是描述随机事件发生可能性的数值。
概率具有非负性、规范性和可列可加性等性质。
4.条件概率和独立性：条件概率是在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
事件独立表示两个事件之间的发生没有相互关系。
5.全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式是一种计算事件概率的方法，将事件分解成互斥的多个事件的概率之和。
贝叶斯公式是一种用于更新事件概率的方法。
6.随机变量和分布函数：随机变量是样本空间到实数集的映射，用来描述试验结果的数值特征。
分布函数是随机变量取值在一点及其左侧的概率。
7.常用概率分布：常见的概率分布包括离散型分布（如二项分布、泊松分布）和连续型分布（如正态分布、指数分布）。
8.数学期望和方差：数学期望是随机变量的平均值，用于描述随机变量的中心位置。
方差是随机变量离均值的平均距离，用于描述随机变量的分散程度。
二、数理统计1.统计量和抽样分布：统计量是对样本数据进行总结和分析的函数。
抽样分布是统计量的概率分布，用于推断总体参数。
2.估计和点估计：估计是利用样本数据对总体参数进行推断。
点估计是利用样本数据得到总体参数的一个具体数值。
3.估计量的性质和评估方法：估计量的性质包括无偏性、有效性和一致性等。
评估方法包括最大似然估计、矩估计等。
4.区间估计：区间估计是对总体参数进行估计的区间范围。
置信区间是对总体参数真值的一个区间估计。
5.假设检验和检验方法：假设检验是在已知总体参数的条件下，对总体分布做出的统计推断。
检验方法包括参数检验和非参数检验。
6.正态总体的推断：当总体近似服从正态分布时，可以利用正态分布的性质进行推断。
7.方差分析和回归分析：方差分析用于比较两个或多个总体均值是否相等。
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律的数学学科，它在自然科学、工程技术、社会科学、经济金融等众多领域都有着广泛的应用。
以下是对概率论与数理统计主要知识点的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
我们通常用大写字母A、B、C 等来表示。
随机事件的关系包括包含、相等、互斥（互不相容）和对立等。
2、概率的定义概率是用来度量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的古典定义是：如果一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。
概率的统计定义是：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定地接近于某个常数 p，就把 p 称为事件 A 的概率。
3、概率的性质概率具有非负性（0 ≤ P(A) ≤ 1）、规范性（P(Ω) ＝ 1，其中Ω 表示样本空间）和可加性（对于互斥事件 A 和 B，有 P(A∪B) ＝ P(A) ＋P(B)）。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式为 P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件A 和B 同时发生的概率。
2、乘法公式乘法公式有两种形式：P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 和 P(AB) ＝P(B|A)P(A) 。
三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式设 B₁，B₂，，Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝1, 2,， n），则对于任意事件 A，有 P(A) ＝Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) 。
2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A) 和 P(Bᵢ)、P(A|Bᵢ)（i ＝ 1, 2,，n），则对于任意事件 Bᵢ（i ＝ 1, 2,， n），有 P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)／Σ P(Bₙ)P(A|Bₙ) 。
概率论与数理统计公式整理(完整版)
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
（14）独立 性
（15）全概 公式
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
5 / 27
概率论与数理统计 公式（全）
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12）条件 概率
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事 P( A)
件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
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一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
概率论与数理统计知识点总结
在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
；
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
（7）独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断，充要条件：
若 ，则 的分布函数为
。。
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
如果 ~ ，则 ~ 。
。
（6）分位数
下分位表： ；
上分位表： 。
（7）函数分布
离散型
已知 的分布列为
，
的分布列（ 互不相等）如下：
若事件 、 相互独立，且 ，则有
若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
概率论与数理统计思想总结
概率论与数理统计思想总结概率论与数理统计是数学中重要的两个分支，是研究随机现象的规律性和统计现象的规律性的数学工具。
概率论研究的是随机现象和随机事件的发生规律性，数理统计研究的是根据样本对总体参数进行估计和对总体进行推断的方法。
这两个学科的思想对统计分析、决策分析、实证研究等领域都有重要的应用，下面我将对概率论与数理统计的思想进行总结。
首先是概率论的思想。
概率论是研究事件发生的可能性的学科，概率的思想在许多领域都有应用。
概率论的思想具有客观性和主观性两个方面。
客观性反映了事物的客观规律，它用概率的大小来表示实验中某一事件发生的可能性大小。
主观性反映了人的主观认识和主观判断，它通过主观判断来估计事件发生的可能性大小。
概率论的思想还有一个重要的概念是条件概率，它是指在一个事件已经发生的条件下另外一个事件发生的概率。
通过条件概率的计算，可以进行事件的分析和预测。
其次是数理统计的思想。
数理统计是通过样本对总体进行推断和估计的一种方法。
数理统计的思想主要有两个方面，一个是抽样思想，另一个是推断思想。
抽样思想是指从总体中抽取样本进行观察和研究，通过观察样本的特征来推断总体的特征。
推断思想是指通过样本的特征来推断总体的参数，例如通过样本的均值来推断总体的均值。
数理统计的思想还包括了概率论的思想，通过概率的方法对总体进行估计和推断。
概率论与数理统计的思想在统计分析中有重要的应用。
在统计分析中，我们经常需要通过样本来推断总体的特征，例如通过样本的均值和方差来推断总体的均值和方差。
通过概率论的思想，可以建立统计模型来对总体进行描述，并通过样本来估计总体的参数。
通过数理统计的思想，可以对参数的估计进行推断，并进行假设检验，判断总体的差异是否显著。
概率论与数理统计的思想在决策分析中也有重要的应用。
决策分析是指对不确定性条件下的决策问题的分析和决策。
通过概率论的思想，可以对不同决策结果的可能性进行评估，并选择最优的决策方案。
概率论与数理统计(完整版)
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§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的 样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表 示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E21,.E无2等穷.样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
可列个事件A1 , A2 ,的和事件记为 Ak .
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与
B的积，即事件A与A B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
k 1
(2)A B
A B
(3)A B
实用文档S
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4.差事件:
交换律: A B B A；A B B A.
结合律: A (B C) (A B) C ; A (B C) (A B) C.
分配律: A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C).
对偶律: A B A B;
概率论与数理统计
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第一章 概率论的基本概
念
前言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
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§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)
p
k
；
对于分布 二项分布
f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q
P( A)
（10）加法 公式 （11）减法 公式 （12）条件 概率
L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 L ()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
P(a X b) F (b) F (a)
可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。分布
函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°
0 F ( x) 1,
x ；
F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F ( x1) F ( x2) ；
积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。
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（4）分布 函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F ( x) P( X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
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