线性规划的发展：从傅里叶到卡玛卡 (2)
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题目
线性规划的发展：从傅立叶到卡玛卡ka卡
学院名称
专业名称
学生姓名
指导教师
起止时间：年月日至年月日
摘
线性规划是运筹学的一个重要分支，简称（LP）。它辅助人们进行科学管理，是国际应用数学、经济、计算机科学界所关注的重要研究领域。
本文以时间为线，事件为体，从几个方面分析了线性规划问题及解法的发展过程，具体如下：
修改用于检测隐式平等的方法在以下说明：扩展中使用的所有约束条件 推断是隐式平等的集合。很简单，每个不等式C和关联的集合S中计算过程中产生的傅里叶算法是一个正的线性组合的不等式。这句话和命题3，修改后的算法是合理的。我们现在解决这个问题的完整性。
让P是一组的不等式，让x是一个变量。这是方便安排一个稍微不同的形式的不等式。通过简单的代数运算的不等式可以转化为等价的不等式：
在1947年以前，研究线性不等式问题仅仅由几个孤立的研究者来努力钻研。一个典型的方法就是减少方程组中变量的数量。在傅里叶[]，戴勒斯（Dines）[]，和摩兹清（Motzkin）[]工作中可以找到其描述的方法。
不幸的是它不同于模拟方程组的方程中的每个步骤消元可以大大增加在剩下的变量中不等式的数量。多年以来此方法被称为Motzkin消元法。然而，由于提出或研究此方法的文献不断被发现，此方法现被称为Fourier-Motzkin消元法，也许最终会被称为Fourier-Dines-Motzkin消元方法。
我们下面说明傅里叶算法。我们做一个小小的修改，让每个不等式从它的原始不平等所派生出来。让P为一组不等式，让x是一个变量。
让 作为P中的一个负系数的不等式在x中记为 ， 为P中一个正系数的不等式在x中记为 。然后 是一个不包含x的不等式。（在我们修改后我们可以联想到这个不等式集合， ，其中集和 相关于 ）。对于所有这些不平等，以及P中不包含x的不等式，就是傅里叶讲x从P中迭代消元的结果。如果x在P中没有任何负的系数或者没有任何正的系数，然后傅里叶是将x从P的所有不等式中迭代消元消除其中也包含x。我们称这种方法为傅里叶迭代消元法。
Key Words：Linear programming; History; Simplex method; Ellipsoid method; Interior-point method
前
1
线性规划主要研究有限资源最佳分配问题，即如何对有限的资源进行最佳地调配和最有利地使用，以便最充分发挥资源的效能来获取最佳的经济效益。
下面我们说明傅里叶算法有一个隐藏的属性：从应用不等式我们可以立即确定方程为隐式等式，定义解决方案的仿射包集。该信息基于几何的角度。例如它允许我们确定解集的维数。正则线性算术是隐式等式计算角度的一个重要组成部分，表示数量限制和用于解决约束条件和约束增长[][][]。
我们简要提及其中的一些属性和引用论文使用它们的地方。只有通过小的改变对傅里叶算法的隐藏属性显式是必要的。这个修改后的傅里叶算法的正确性是建立在独立的一个定理的结果负约束[]。
没有人意识到在这之前Fourier-Motzkin消元法是和兰福德（Langford）[]的决策过程的形式逻辑理论密度线性顺序一样的。一个相当类似但更复杂的决策理论是由Presburger[]的片段算术理论决定的，但是其中不包括乘法。通过Lee[]的工作Presburger的过程已经被应用到IP问题。
其中，每个 不包含于， 原始的设置是不等式，并推导了相应的不等式。第一个不等式与不等式x有负的系数，第二个q的不等式对应x有一个正的不等式系数，和其余的S不等式对应的现象是x不会产生的现象。
傅里叶迭代消元x是不等式的转化方法：
不等式 将 联系起来和每个 将 联系起来。一个傅里叶迭代一小步是如果p = 0或q =0。傅里叶消元算法重复下列程序，直到所有变量或找到矛盾的不等式：选择一个变量消除;适当形式的不等式;应用傅里叶迭代消除所选择的变量。
1824年傅里叶第一个提出算法求解线性算法约束[]。除了历史兴趣，这个算法具有重要的理论价值。例如，Dantzig和Eaves对此曾有评价[]：“从傅里叶的线性算法约束中我们可以轻松获得（通过简单的代数操作）基本线性规划对偶Theorem of Farkas引理，各种可以选择的的定理，和著名的Motzkin运输定理。”
方程组（3）就是将方程组（2）“消元” 的结果。如果p + q 4，减少的方程组包含一个变量，没有更多的不等式。如果p > 2，q > 2，r =0，然而，消元的过程将大大增加不等式的数量。这是为什么它不能作为一个实用的解决方案的方法给出的主要原因。然而，值得注意的是，（3）有特殊的结构，这可以用它的优势发展成一个实际的计算方法。
傅立叶是法国的数学家、物理学家，1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
主要贡献是在研究《热的传播》和《热的分析理论》时创立了一套数学理论，对19世纪的数学和物理学的发展都产生了深远影响。
我们参考此书[]中的概念和定义。
令 作为中的一组约束不等式。像往常一样，我们一起使用一组符号来表示。假设每个不等式 取自
其中 和 为实数。 表示方程获得 用取代了 。 表示每个 乘以标量 ，也就是
特别地，当 为时，可得到
因此 和 必须遵循 。 的和和不等式 与 化为不等式：
。
由一个非负的线性组合不等式 ，我们指的是一个不等式也就是 ，其中 ，k=1，2，…，m。当每个 严格为正的时候，是一个独立的正的线性组合。
给出一个方程组的线性不等式：找到 ，例如：
， （1）
根据 的系数是否是正的，负的，或零可以划分成三组不等式，这里将公式（1）重新定义：
（2）
其中 是 的线性函数。首先减少方程组或许可以解决：找到 使其满足
（3）
然后找到一个 ，使其满足
（4）
其中 一直满足 （3）。
证明？？：给出任何（ ， ）满足（2），很明显，（3）和（4）必须满足。相反，给出任何 满足（3），然后在 中我总能找到一个 满意（4）;因此（ ， ）满足（1）。
简单的说，线性规划是研究线性最优化的问题。一般地，线性规划的数学模型如下：
其中、是维向量，是维向量，是 矩阵。上式表明，线性规划就是在满足线性不等式范围内，求线性函数的极值。换言之，线性规划的目的是求得一组变量特定值，使之满足各个约束条件的同时得到目标函数的最大值或者最小值。实际上这里的维向量也无需限制非负值，而 的约束条件。
线性规划运用数学语言描述某些经济活动的过程，形成数学模型，以一定的算法对模型进行计算，为制定最优计划方案提供依据。其解决问题的关键是建立符合实际情况的数学模型，即线性规划模型。在各种经济活动中，常采用线性规划模型进行科学、定量分析，安排生产组织与计划，实现人力物力资源的最优配置，获得最佳的经济效益。目前，线性规划模型被广泛应用与经济管理、交通运输、工农业生产等领域。
现在普遍认为，线性规划问题是由美国斯坦福大学任教的乔治·丹齐格（G。B。Dantzig）教授在1947年前后明确提出的。当时他担任美国空军的数学顾问，负责研发一套机械式的方法来做兵力调遣，人员训练以及后勤补给这些计划方案。由于这类问题涉及很广也很复杂，所以丹齐格博士先考虑最简单的线性结构，将有关的函数一律简化成线性形式来处理。其结果便在1948年以《线性结构的规划》（Programming in Linear Structure）的标题发表。至于《线性规划》这个名称，则是另一位名家科普曼斯（T.C.Coopmans）和丹齐克两人于1948年夏天在美国加州圣塔莫尼卡海滩散步时拟定的。在1947到1949两年间，线性规划里的一些重要观念，包括最有名的《单纯形法》（Simplex method），都陆续见诸于世。而且从1947年开始，科普曼斯便指出线性规划可以做为传统经济分析的利器。
定理1：（独立负约束）
解决了每一个未确定的i， 同样也决定了。
在本文中，我们使用一个双重的版本定理1。
推论2： 对于一些i。
下面的命题显示了如何获取隐含的等式约束的线性组合：
命题3：如果 （k=1，2，…，m）和 然后 是一个隐式平等式其中j=1，2，…，m。
证明：
因此：
然后P在非负线性组合下封闭， 。显然 和 （j=1，2，…，m）。
1
2
3
关键词：线性规划；历史；单纯形法；椭球法；内点法
Linear programming of development：
from Fourier to Karmarkar
ABSTRACT
Linear programming is an important branch of operational research，referred to as "Байду номын сангаасLP）。It assist people to scientific management，is the international applied mathematics，economics，computer science concerns one of the important research fields。
F为解决一个实数分配变量满足的一个公式，这个F的结果P（记为 ）。如果每个P是一个解决方案的解决方案。很明显，后面的一系列不平等的非负线性组合下封闭。如果P是一个隐式方程平等 C是P中的不等式 。我们有时候称C为一个平等隐式。
让P是一组的不平等， 的方程结合，其中i = 1;2，：;n对于每一个i，让 为不等式 中的 取代=， 取代 。在书[]中有以下结果。
2
对线性规划发展史的研究，国内文献。。。。
国外研究。。。。。。。。
3
本文主要由以下几部分组成：
一，。。。。
二，。。。。
第
1
法国数学家傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768-1830）和瓦莱－普森（C。？？？）分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。由于瓦莱-普森所做贡献已很难在现有文献中找到，下面着重介绍傅里叶对线性规划所做的贡献。
如果 是P经过傅里叶迭代消元的结果，我们记为 。傅里叶算法反复运用傅里叶迭代消元法直到得到一组矛盾的不等式 ，c是负的，或者全部的变量被消掉然后就没有矛盾的不等式。在第一种情况下我们可以推断出原式没有满足的不等式的解，在第二种情况下我们可以推断出其可满足性。
在我们修改中我们初始化设置 与每个原不等式 中的 关联然后应用傅里叶算法，修改的方法如上所述。为简便起见，我们也将修改后的算法称为傅里叶算法。如果 包含在S与一个不等式相关的集合S，然后我们说由C得到了 。
1
以上我们描述了Fourier-Motzkin如何消元的方法，它可用于解决线性规划问题，也可以扩展到处理整数规划问题。扩展源自一个已知的决策过程的一个片段的形式理论算术不包括乘法。
下面的目的是展示Fourier-Motzkin消元法如何求解联立线性不等式，特别是线性规划问题，可以自然地扩展处理整数规划（IP）的问题。Fourier- Motzkin消元的描述是由Dantzig（3）[]。
此节的目的是给出Presburger分析Fourier-Motzkin消元的过程作为一个推广，以期统一理解线性规划和整数规划之间的关系，以及提高数学的意识方法逻辑上的一些结果。
还有两个小故事应该提一下，一个是线性规划这一名称的由来，因为军队调动或安排日程称为规划，丹齐克最初叫做“线性结构的规划”。1948年夏天，科普曼斯在海滩散步时对丹齐克说：“为什么不叫线性规划呢？”丹齐克说：“你说的对！”于是在当天的学术报告中，他就第一次使用了这个名词。
第二个故事是，丹齐克把线性规划中对偶理论的成果归结于冯·洛伊曼（Von Neumann），但是洛伊曼在这方面并没有什么文章。1947年10月初，丹齐克到普林斯顿拜访了世界上著名的大数学家，美籍匈牙利人洛伊曼，想听听他的意见，刚说了几句，洛伊曼显得亟不可待，不耐烦的说：“讲关键的地方”。丹齐克就想：“你要快，那就看你怎样听吧！”于是用了几分钟一口气把问题的几何背景和代数形式都写到黑板上，洛伊曼站起来，竟然用了一个半小时作了一个关于线性规划理论的演讲。在那里丹齐克目瞪口呆，他第一次听到了对偶理论和Farkas引理。洛伊曼后来也给出了一个迭代的算法，但不如单形法有效[]。
线性规划的发展：从傅立叶到卡玛卡ka卡
学院名称
专业名称
学生姓名
指导教师
起止时间：年月日至年月日
摘
线性规划是运筹学的一个重要分支，简称（LP）。它辅助人们进行科学管理，是国际应用数学、经济、计算机科学界所关注的重要研究领域。
本文以时间为线，事件为体，从几个方面分析了线性规划问题及解法的发展过程，具体如下：
修改用于检测隐式平等的方法在以下说明：扩展中使用的所有约束条件 推断是隐式平等的集合。很简单，每个不等式C和关联的集合S中计算过程中产生的傅里叶算法是一个正的线性组合的不等式。这句话和命题3，修改后的算法是合理的。我们现在解决这个问题的完整性。
让P是一组的不等式，让x是一个变量。这是方便安排一个稍微不同的形式的不等式。通过简单的代数运算的不等式可以转化为等价的不等式：
在1947年以前，研究线性不等式问题仅仅由几个孤立的研究者来努力钻研。一个典型的方法就是减少方程组中变量的数量。在傅里叶[]，戴勒斯（Dines）[]，和摩兹清（Motzkin）[]工作中可以找到其描述的方法。
不幸的是它不同于模拟方程组的方程中的每个步骤消元可以大大增加在剩下的变量中不等式的数量。多年以来此方法被称为Motzkin消元法。然而，由于提出或研究此方法的文献不断被发现，此方法现被称为Fourier-Motzkin消元法，也许最终会被称为Fourier-Dines-Motzkin消元方法。
我们下面说明傅里叶算法。我们做一个小小的修改，让每个不等式从它的原始不平等所派生出来。让P为一组不等式，让x是一个变量。
让 作为P中的一个负系数的不等式在x中记为 ， 为P中一个正系数的不等式在x中记为 。然后 是一个不包含x的不等式。（在我们修改后我们可以联想到这个不等式集合， ，其中集和 相关于 ）。对于所有这些不平等，以及P中不包含x的不等式，就是傅里叶讲x从P中迭代消元的结果。如果x在P中没有任何负的系数或者没有任何正的系数，然后傅里叶是将x从P的所有不等式中迭代消元消除其中也包含x。我们称这种方法为傅里叶迭代消元法。
Key Words：Linear programming; History; Simplex method; Ellipsoid method; Interior-point method
前
1
线性规划主要研究有限资源最佳分配问题，即如何对有限的资源进行最佳地调配和最有利地使用，以便最充分发挥资源的效能来获取最佳的经济效益。
下面我们说明傅里叶算法有一个隐藏的属性：从应用不等式我们可以立即确定方程为隐式等式，定义解决方案的仿射包集。该信息基于几何的角度。例如它允许我们确定解集的维数。正则线性算术是隐式等式计算角度的一个重要组成部分，表示数量限制和用于解决约束条件和约束增长[][][]。
我们简要提及其中的一些属性和引用论文使用它们的地方。只有通过小的改变对傅里叶算法的隐藏属性显式是必要的。这个修改后的傅里叶算法的正确性是建立在独立的一个定理的结果负约束[]。
没有人意识到在这之前Fourier-Motzkin消元法是和兰福德（Langford）[]的决策过程的形式逻辑理论密度线性顺序一样的。一个相当类似但更复杂的决策理论是由Presburger[]的片段算术理论决定的，但是其中不包括乘法。通过Lee[]的工作Presburger的过程已经被应用到IP问题。
其中，每个 不包含于， 原始的设置是不等式，并推导了相应的不等式。第一个不等式与不等式x有负的系数，第二个q的不等式对应x有一个正的不等式系数，和其余的S不等式对应的现象是x不会产生的现象。
傅里叶迭代消元x是不等式的转化方法：
不等式 将 联系起来和每个 将 联系起来。一个傅里叶迭代一小步是如果p = 0或q =0。傅里叶消元算法重复下列程序，直到所有变量或找到矛盾的不等式：选择一个变量消除;适当形式的不等式;应用傅里叶迭代消除所选择的变量。
1824年傅里叶第一个提出算法求解线性算法约束[]。除了历史兴趣，这个算法具有重要的理论价值。例如，Dantzig和Eaves对此曾有评价[]：“从傅里叶的线性算法约束中我们可以轻松获得（通过简单的代数操作）基本线性规划对偶Theorem of Farkas引理，各种可以选择的的定理，和著名的Motzkin运输定理。”
方程组（3）就是将方程组（2）“消元” 的结果。如果p + q 4，减少的方程组包含一个变量，没有更多的不等式。如果p > 2，q > 2，r =0，然而，消元的过程将大大增加不等式的数量。这是为什么它不能作为一个实用的解决方案的方法给出的主要原因。然而，值得注意的是，（3）有特殊的结构，这可以用它的优势发展成一个实际的计算方法。
傅立叶是法国的数学家、物理学家，1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
主要贡献是在研究《热的传播》和《热的分析理论》时创立了一套数学理论，对19世纪的数学和物理学的发展都产生了深远影响。
我们参考此书[]中的概念和定义。
令 作为中的一组约束不等式。像往常一样，我们一起使用一组符号来表示。假设每个不等式 取自
其中 和 为实数。 表示方程获得 用取代了 。 表示每个 乘以标量 ，也就是
特别地，当 为时，可得到
因此 和 必须遵循 。 的和和不等式 与 化为不等式：
。
由一个非负的线性组合不等式 ，我们指的是一个不等式也就是 ，其中 ，k=1，2，…，m。当每个 严格为正的时候，是一个独立的正的线性组合。
给出一个方程组的线性不等式：找到 ，例如：
， （1）
根据 的系数是否是正的，负的，或零可以划分成三组不等式，这里将公式（1）重新定义：
（2）
其中 是 的线性函数。首先减少方程组或许可以解决：找到 使其满足
（3）
然后找到一个 ，使其满足
（4）
其中 一直满足 （3）。
证明？？：给出任何（ ， ）满足（2），很明显，（3）和（4）必须满足。相反，给出任何 满足（3），然后在 中我总能找到一个 满意（4）;因此（ ， ）满足（1）。
简单的说，线性规划是研究线性最优化的问题。一般地，线性规划的数学模型如下：
其中、是维向量，是维向量，是 矩阵。上式表明，线性规划就是在满足线性不等式范围内，求线性函数的极值。换言之，线性规划的目的是求得一组变量特定值，使之满足各个约束条件的同时得到目标函数的最大值或者最小值。实际上这里的维向量也无需限制非负值，而 的约束条件。
线性规划运用数学语言描述某些经济活动的过程，形成数学模型，以一定的算法对模型进行计算，为制定最优计划方案提供依据。其解决问题的关键是建立符合实际情况的数学模型，即线性规划模型。在各种经济活动中，常采用线性规划模型进行科学、定量分析，安排生产组织与计划，实现人力物力资源的最优配置，获得最佳的经济效益。目前，线性规划模型被广泛应用与经济管理、交通运输、工农业生产等领域。
现在普遍认为，线性规划问题是由美国斯坦福大学任教的乔治·丹齐格（G。B。Dantzig）教授在1947年前后明确提出的。当时他担任美国空军的数学顾问，负责研发一套机械式的方法来做兵力调遣，人员训练以及后勤补给这些计划方案。由于这类问题涉及很广也很复杂，所以丹齐格博士先考虑最简单的线性结构，将有关的函数一律简化成线性形式来处理。其结果便在1948年以《线性结构的规划》（Programming in Linear Structure）的标题发表。至于《线性规划》这个名称，则是另一位名家科普曼斯（T.C.Coopmans）和丹齐克两人于1948年夏天在美国加州圣塔莫尼卡海滩散步时拟定的。在1947到1949两年间，线性规划里的一些重要观念，包括最有名的《单纯形法》（Simplex method），都陆续见诸于世。而且从1947年开始，科普曼斯便指出线性规划可以做为传统经济分析的利器。
定理1：（独立负约束）
解决了每一个未确定的i， 同样也决定了。
在本文中，我们使用一个双重的版本定理1。
推论2： 对于一些i。
下面的命题显示了如何获取隐含的等式约束的线性组合：
命题3：如果 （k=1，2，…，m）和 然后 是一个隐式平等式其中j=1，2，…，m。
证明：
因此：
然后P在非负线性组合下封闭， 。显然 和 （j=1，2，…，m）。
1
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3
关键词：线性规划；历史；单纯形法；椭球法；内点法
Linear programming of development：
from Fourier to Karmarkar
ABSTRACT
Linear programming is an important branch of operational research，referred to as "Байду номын сангаасLP）。It assist people to scientific management，is the international applied mathematics，economics，computer science concerns one of the important research fields。
F为解决一个实数分配变量满足的一个公式，这个F的结果P（记为 ）。如果每个P是一个解决方案的解决方案。很明显，后面的一系列不平等的非负线性组合下封闭。如果P是一个隐式方程平等 C是P中的不等式 。我们有时候称C为一个平等隐式。
让P是一组的不平等， 的方程结合，其中i = 1;2，：;n对于每一个i，让 为不等式 中的 取代=， 取代 。在书[]中有以下结果。
2
对线性规划发展史的研究，国内文献。。。。
国外研究。。。。。。。。
3
本文主要由以下几部分组成：
一，。。。。
二，。。。。
第
1
法国数学家傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768-1830）和瓦莱－普森（C。？？？）分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。由于瓦莱-普森所做贡献已很难在现有文献中找到，下面着重介绍傅里叶对线性规划所做的贡献。
如果 是P经过傅里叶迭代消元的结果，我们记为 。傅里叶算法反复运用傅里叶迭代消元法直到得到一组矛盾的不等式 ，c是负的，或者全部的变量被消掉然后就没有矛盾的不等式。在第一种情况下我们可以推断出原式没有满足的不等式的解，在第二种情况下我们可以推断出其可满足性。
在我们修改中我们初始化设置 与每个原不等式 中的 关联然后应用傅里叶算法，修改的方法如上所述。为简便起见，我们也将修改后的算法称为傅里叶算法。如果 包含在S与一个不等式相关的集合S，然后我们说由C得到了 。
1
以上我们描述了Fourier-Motzkin如何消元的方法，它可用于解决线性规划问题，也可以扩展到处理整数规划问题。扩展源自一个已知的决策过程的一个片段的形式理论算术不包括乘法。
下面的目的是展示Fourier-Motzkin消元法如何求解联立线性不等式，特别是线性规划问题，可以自然地扩展处理整数规划（IP）的问题。Fourier- Motzkin消元的描述是由Dantzig（3）[]。
此节的目的是给出Presburger分析Fourier-Motzkin消元的过程作为一个推广，以期统一理解线性规划和整数规划之间的关系，以及提高数学的意识方法逻辑上的一些结果。
还有两个小故事应该提一下，一个是线性规划这一名称的由来，因为军队调动或安排日程称为规划，丹齐克最初叫做“线性结构的规划”。1948年夏天，科普曼斯在海滩散步时对丹齐克说：“为什么不叫线性规划呢？”丹齐克说：“你说的对！”于是在当天的学术报告中，他就第一次使用了这个名词。
第二个故事是，丹齐克把线性规划中对偶理论的成果归结于冯·洛伊曼（Von Neumann），但是洛伊曼在这方面并没有什么文章。1947年10月初，丹齐克到普林斯顿拜访了世界上著名的大数学家，美籍匈牙利人洛伊曼，想听听他的意见，刚说了几句，洛伊曼显得亟不可待，不耐烦的说：“讲关键的地方”。丹齐克就想：“你要快，那就看你怎样听吧！”于是用了几分钟一口气把问题的几何背景和代数形式都写到黑板上，洛伊曼站起来，竟然用了一个半小时作了一个关于线性规划理论的演讲。在那里丹齐克目瞪口呆，他第一次听到了对偶理论和Farkas引理。洛伊曼后来也给出了一个迭代的算法，但不如单形法有效[]。