第3章线性分组码

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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
码的生成矩阵（ k 维线性子空间）
由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间。因此必 可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间。设 C1 , C 2 , C k 是k个线性无关的矢量，则对任意 C ，可有：
C m1C1 m2 C 2 mk C k C1 C2 m1 , m2 , mk C k G称为该分组码的生成矩阵 mG
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第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
线性空间的性质
零元素是唯一的 负元素是唯一的， V 关于0元素有 0 0, k 0 0, ( 1) ,
- 唯一
k ( ) k k
如果
如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
例：一个[7, 3 ]码，m2 m1 m0 → c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 ，如 果码字的生成规则为：
若用矩阵形式表示这些线性方程 组， 则：
C m2 m1
1 0 0 1 1 1 0 m0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
0 ;（β 称为 的负元素）
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第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1 ⑥ k ( l ) ( kl ) 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ (k l ) k l ⑧ k ( ) k k
［ n –i, k -i］缩短码的纠错能力至少与原［n, k ］码 相同。 ［n –i, k -i］缩短码是［n , k ］码缩短i位得到的， 因而码率R 比原码要小， 但纠错能力不一定比原码 强。
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
伴随式(校正子) 设发送的码字C=(cn -1，cn -2， …， c1， c0)， 通 过有扰信道传输， 信道产生的错误图样 E=(en -1， en -2， …， e1， e0)。 接收端译码器 收到的n 重为R=(rn -1， rn -2， …， r1， r0)， R=C+E， ri=ci+ei， ci， ri， ei∈GF(q)或GF(2)中。 R· HT=(C+E)· HT=C· HT+E· HT=E· HT S=R· HT=E· HT 称为接收向量R的伴随式(校正子)
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第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念 线性分组码定义
[n, k]线性分组码是GF(q)上的n维线性空间中的一个k 维子空间。 线性分组码的基本特性：
线性结构。即如果 c1、c2 分别是信息序列 m1、m2的码字， 则 c1+c2 必定是信息序列 m1+m2 的码字。 两码字C1和C2之间的距离d(C1, C2)必等于第三个码字C1+C2 的汉明重量。 [n,k,d]线性分组码的最小距离等于非零码字的最小重量
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
hnk 1,n1 cn1 hnk 1,n2 cn2 hnk 1,nk cnk cn k 1 0 h nk 2,n1 cn1 hnk 2,n2 cn2 hnk 2,nk cn k cn k 2 0 h0,n1 cn1 h0,n2 cn2 h0,nk cnk c0 0
c6 +c4+c3 c6+c5+c4 +c2 c6+c5 +c1 c5+c4 +c0 =0 =0 =0 =0
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3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
1 1 H 1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
c6 m2 c m1 5 c4 m0 m0 c3 m2 c m m m 2 1 0 2 c1 m2 m1 c m1 m0 0
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3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
则矩阵
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
=0 =0 =0 =0
c6 +c4+c3 c6+c5+c4 +c2 c6+c5 +c1 c5+c4 +c0
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
系统码、对偶码和缩短码
系统码 若信息组以不变的形式在码组的任意k 位(通常在最 前面： cn -1， cn -2， …， cn -k )中出现的码称为系统 码，生成矩阵和校验矩阵应该具有性质
校验矩阵H与任意一个码字之积为零，因此有 T T
校验矩阵 ( n k行，n列)
H G 0
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第3章 线性分组码

3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵 例 1 c3 1 c6 0 c5 1 c4 1 c 1 c 1 c 1 c 2 6 5 4 1 c1 1 c6 1 c5 0 c4 1 c0 0 c6 1 c5 1 c4
0 0 c n 1 0 hn k 1,n 1 hn k 1,n k 1 1 0 c n 2 0 hn k 2,n 1 hn k 2,n k 0 h c 0 h 0 0 1 0 , n 1 01 , n k 0
k 位信息位
n -k 位校验位
G I k P
H P T I nk
T
P G H I k P 0 I n k
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
［7， 3， 4］码
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 I 3 P 0 0 1 1 1 0 1
式中， x· y为x与y的内积。
由G生成的［n, k, d］码C与由H生成的［n, n-k, d］码 C⊥互为对偶码。
H G 0
T
T
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
缩短码 缩短码是k 维子空间Vn,k 中取前i位均为0的码字 组成的一个子集,该子集组成了一个［n –i, k -i］ 分组码。
k个信息位 nk个校验位
n-k个校验位可用k个已知的信息位表示出来
c nk 1 hnk 1,n1 c n1 hnk 1,n2 c n2 hnk 1,nk c nk c nk 2 hnk 2,n1 c n1 hnk 2,n2 c n2 hnk 2,nk c nk c0 h0,n1 c n1 h0,n2 c n2 h0,nk c nk
T ei1hiT e h 1 i2 i2
T eit hit
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
［n ， k ， d］码要纠正≤t个错误， 则要求≤t 个 错误的所有可能组合的错误图样， 都应该有不 同的伴随式与之对应，则其充要条件是H矩阵中 任何2t列线性无关。
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第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
加法满足下列四条规则： , , V ①
② ( ) ( ) ③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0 ④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得 （具有这个性质的元素0称为V的零元素）
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
第i1， i2， …， it位有错：
E =(0， …， ei1， 0， …， ei2， 0， …， eit， 0， …， 0)
H hn1 hn2
h1 h0
S E H T 0
ei1
ei 2
eit
hT n 1 T h n2 0 hT 1 T h 0
第3章 线性分组码
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念 3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵 3.3 伴随式与标准阵列及其它译码 3.4 线性码的覆盖半径 3.5 由一个已知码构造新码的简单方法 3.6 用多个已知码构造新码的方法 3.7 线性码的重量分布与译码错误概率 3.8 线性码的纠错能力
就是该[7, 3 ]码的生成矩阵。 注： 1) 生成矩阵G中的每一行都是一个码字 2) 任意k个线性独立的码字都可以作为生成矩阵 3) 给定一个[n,k,d]线性分组码，其生成矩阵可有多个
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
码的校验矩阵(求r=n -k 个校验元)
cn1 cn2 cnk cnk 1 cnk 2 c0
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
［n ， k ， d］分组码
在n 维线性空间Vn 中， 如何找出满足一定要求的， 有
2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn , k 。 在满足给定条件(码的最小距离d或码率R)下， 如何从 已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
dm minw(Ci )
Ci [ n , k ]源自6第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
GF(2)上［n ， k ， d］线性分组码中， 任何两个码字 C1， C2之间有如下关系： w(C1+C2)=w(C1)+w(C2)-2w(C1· C2) 或 d(C1， C2)≤w(C1)+w(C2) 式中， C1· C2是两个码字的内积。 GF(2)上线性分组码任3个码字C1， C2， C3之间的汉明 距离， 满足以下三角不等式 d(C1， C2)+d(C2， C3)≥d(C1， C3) 任何［n ， k ， d］线性分组码， 码字的重量或全部为 偶数， 或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字数。
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第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
线性空间
设V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合V 中定 义了一种代数运算，叫做加法: 即对在V 中都存在唯 一的一个元素λ，称λ为α与β的和，记为： ；在P与V的元素之间还定义了一种运算， 叫做数量乘法：即 V , k P , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 k与 的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘法 还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间：
1 1 H 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 PT I 4 0 1


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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
对偶码 设C是［n , k , d］码， 则它的对偶码C⊥是
C⊥＝{x∈V n , (n -k )； 对所有y∈C使x· y=0}