基本不等式教学设计

3.4基本不等式
2b
a a
b +
≤
培才高中高一数学组陈亮
一、教材及学情分析：
基本不等式（又称均值不等式）是在比较系统地学习了基本不等关系和“不等式的性质”的基础上对不等式的进一步研究，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

基本不等式的证明过程中蕴含诸多的数学思想，对于进一步探索不等式的证明问题和解决实际问题有重要的启发作用。

学生通过本章前两节的学习对不等式有了初步的了解，学会了运用不等式解决一些基本问题，但是接触的不等式都较为单一，灵活度不够，而基本不等式在求最值及解决相关实际问题方面要求学生更为灵活地运用，有利于学生更好的掌握对不等式的运用，为后续的学习奠定基础。

二、教学目标：
知识与技能：
1．从代数、几何两个角度探索并理解基本不等式的推导、证明过程。

2．会用基本不等式解决一些简单的最大(小)值问题。

3．体会数形结合、化归转化、分析与综合的数学思想方法及数学的应用价值。

过程与方法：
1．从代数、几何两个角度经历基本不等式的探究、证明过程,体会数形结合、化归转化、分析与综合的数学思想方法,进一步巩固不等式证明的基本方法和策略。

2．通过应用基本不等式解决一些简单的最大(小)值问题，使学生理解基本不等式成立的三个限制条件(简称：一正、二定、三相等)，养成严谨、规范的思维、表述习惯，感悟数学的应用价值和培养"用数学"的意识。

情感与态度：
1．在对基本不等式的探究、证明过程中，培养学生善于观察、勇于探索和勤于思考的科学精神。

2．在用基本不等式解决一些简单的实际问题中,体会数学的应用价值，培养数学学习兴趣，形成用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界的良好思维品质。

三、教学重点和难点：
重点：
1．从代数、几何两个角度探索并理解基本不等式的推导、证明过程。

2．会用基本不等式解决一些简单的最大(小)值问题。

难点：
1．基本不等式成立时的三个限制条件（简称：一正、二定、三相等）；
2．利用基本不等式求解简单的实际问题中的最大值和最小值。

四、教学方法：讲解 引导 互动 自主探究
1、问题探究，引入新课：
问题：用细铁丝围成一个面积为2
100cm 的矩形，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的
铁丝最短，最短的铁丝的长度是多少？
分析：设所围成的矩形的长宽分别为x,y(单位cm),依题意问题转化为当x>0,y>0且xy=100时,要求x+y 的最小值。

解： 求关于x 的函数的最小值。

问题 ①：
2,,()0a b R a b ∈-≥对于任意一定成立吗？若成立，你由此能够推出什么不等式成立？当,a b 满足什么条件时，不等式两边取等号？
解：22222,,()0202a b R a b a ab b a b ab ∈-≥⇒-+≥⇒+≥对于任意 当且仅当0a b -= 即b a =时不等式取等号 问题 ②：
当0 ,0a b >>时，如果将不等式22
2a b ab +≥中的 ,a b
结论？
解：ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时不等式取等号）
（设计意图：通过一个关于求函数最小值的实际问题情境设置造成学生认知上的“知识冲突”，激发其学习本节课新知识的欲望。

同时直接利用初中已经学过的完全平方式的非负性及其展开时快速得到基本不等式的来源——2
2
2a b ab +≥，并通过类比的方法得出本节课的主题。

）
100
100,1002()2()(0)
xy y x
c x y x x x
=⇒==+=+>由则矩形周长
2、代数证明：
根据上面的分析结果，我们可以得到以下不等式结论：
若0 ,0a b >>，则
2b
a a
b +≤
问题 ③：你能给出这个不等式严格的证明吗？ 证法1：(作差法
)
2,002
a b a b a b
a b >+-=-=≥+∴+≥⇒≥时，
证法2：(分析法) 要证 ab b
a ≥+2， ③ 只要证 a
b b a 2≥+， ④
要证④，只要证 02≥-+ab b a ， ⑤ 要证⑤，只要证
0)(2
≥-b a ， ⑥ 显然，⑥是成立的，所以ab b
a ≥+2，当且仅当
b a =时取到等号。

于是我们得到本节课的学习内容：
（设计意图：引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，同时培养训练学生的逻辑推理和论证能力，灌输严谨思考的思维方式和树立严密思考数学问题的思维习惯。

）
3、几何探究，深化认识：
如右图所示，AB 为圆O 的一条直径，点C 为直径AB 上异于圆
心O 的一点，过点C 作AB 的垂线交圆O 于D 、E 两点，若设
AC=a ,CB=b,则CD=_________,DE=2CD=___________,所表示的几何意义：弦长不大于直径长
（设计意图：通过几何探究的设置让学生利用初中已经学过的相关几何知识一步一步的发现出基本不等式的几何意义，而且在此探究过程中向学生渗透了数形结合的思想）
4、例题讲解，知识应用： 例1、①已知0x >，求证：1
2x x
+
≥ (设计意图：通过一个较为简单例题的设置让学生掌握证明格式，理解基本不等式成立的“前提条件”、“取等号条件”,也为学案开头所提铁丝最短求函数最小值问题做一个铺垫)
A
B
D
例2、② 学案开头问题（铁丝最短问题）
③ 用20cm 的铁丝折成一个矩形，为使面积最大，应当怎样折？
（设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来解决一些简单实际问题的最值问题。

）
5、变式练习：
① 已知0>x ，则9
34x x
+
的最小值是___________，此时x 的值是_____________； ② 已知直角三角形的面积为50，两直角边各为多少时，两直角边的和最小，最小值是多少？
③ 已知0,0>>y x ，且231x y +=，求xy 的最大值．
（设计意图：通过习题的设置，使其认识到基本不等式成立的前提条件及用基本不等式求最值时所遵循的原则——“一正、二定、三相等”）
6、例题总结：
1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若,a b R +
∈，且a b M +=，M 为定值，
则
2
4M ab ≤
，等号当且仅当a b =时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若,a b R +
∈，且ab P =，P
为定值，则
a b +≥a b =时成立.
7、课堂总结：①通过本节课的学习，你学到了什么知识？
②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？
综合学生的回答，教师再在此基础上总结： （1）基本不等式： 若+
∈R b a ,，则
2b
a a
b +≤
（当且仅当b a =时，等号成立）
（2）运用基本不等式解决简单最大最小值问题，掌握解题的基本方法；在使用“和为常数，
积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，把握“一正、二定、三相等”。

当条件不完全具备时，应创造条件使之具备条件。

（3）数学思想与方法技巧：
数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般）；基本不等式的几何解释；数形结合思
想、“整体与局部”.
方法技巧：（1）换元、比较法、分析法（2）配、凑等技巧。

六、课后思考、巩固提高： （1）1(0)y x x x =+
<的最大值（2）若2>x ，求2
1
-+=x x y 的最小值 （3）设R y x ∈,，且2=+y x ，求y x 33+的最小值．
（4）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3
,深为3m ，如果池底每1m 2
的造
价为150元，池壁每1m 2
的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
七、教学后记、反思：
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