2019_2020学年高中物理第5章万有引力定律及其应用习题课万有引力定律及其应用学案鲁科版必修2

习题课 万有引力定律及其应用
[学生用书P80]
一、公式推论 1．万有引力公式：
F ＝
G Mm
r
2[G ＝6.67×10－11 m 3/(kg·s 2)]．
2．“黄金代换”公式：GM ＝gR 2
. 3．万有引力充当向心力公式：
GMm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2
T
2·r ＝ma . 4．天体质量的估算
(1)已知环绕天体的周期T 、轨道半径r 可得中心天体质量.GMm r 2＝m 4π2T 2r ⇒M ＝4π2r
3
GT 2
.
(2)已知中心天体半径R 及表面重力加速度g 可得中心天体质量．
GMm R 2＝mg ⇒M ＝gR 2
G
. 5．天体密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度
由mg ＝G Mm R 2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3g 4πGR
，其中g 为天体表面的重力加速度，R 为天
体半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的自身密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程G Mm r 2＝mr 4π
2
T
2，
M ＝ρ·4
3
πR 3，
得ρ＝M
43πR 3＝
4π2r
3
GT 2
43
πR 3＝3πr
3
GT 2R
3.
(3)当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT
2.
二、天体运动的分析技巧
1．建立模型：不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型．
2．列方程求解：根据中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解．
F 向＝F 万＝ma ＝
G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2
＝m 4π2
T
2r .
[学生用书P80]
卫星的运动规律及其应用
如图所示，a 、b 、c 是大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a 、b 质量相同且小于c 的质量，下列说法中正确的是( )
A ．b 、c 的线速度大小相等且大于a 的线速度
B ．b 、c 的向心加速度不相等且均小于a 的向心加速度
C ．b 、c 的周期相等且大于a 的周期
D ．b 、c 的向心力相等且大于a 的向心力
[解析] a 、b 、c 三颗人造地球卫星做圆周运动所需的向心力都是由地球对它们的万有
引力提供．由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m v 2r ＝mr 4π
2
T
2＝ma (M 为地球的质量，m 为卫星的质量)，
所以v ＝ GM
r
∝1
r
，与卫星质量无关，由题图知r b ＝r c >r a ，则v b ＝v c <v a ，A 错误；a ＝
GM r 2
∝1
r 2，与卫星质量无关，由r b ＝r c >r a ，得a b ＝a c <a a ，B 错误；T ＝
4π2r
3
GM
∝r 3
，与卫星
质量无关，由r b ＝r c >r a 得T b ＝T c >T a ，C 正确；F 向＝G Mm r 2∝m r
2，与质量m 和半径r 有关，由m a ＝m b <m c ，r b ＝r c >r a 知m a r 2a >m b r 2b ，即F 向a >F 向b ，m b r 2b <m c r 2c ，即F 向b <F 向c ，m a r 2a 与m c r 2c
无法比较，D 错误．
[答案] C
1.若两颗人造地球卫星的周期之比为T 1∶T 2＝2∶1，则它们的轨道半
径之比R 1∶R 2＝______，向心加速度之比a 1∶a 2＝________．
解析：由
GMm
R2
＝m·
4π2
T2
·R得
R1
R2
＝
3
T21
3
T22
＝
3
4
由
GMm
R2
＝ma得
a1
a2
＝
R22
R21
＝
3
T42
3
T41
＝
3
4
4
.
答案：
3
4∶1
3
4∶4
“赤道物体”与“同步卫星”“近地卫星”的比较
有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运动，卫星c是地球同步卫星，卫星d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有( )
A．卫星a的向心加速度等于重力加速度g
B．卫星c在4 h内转过的圆心角是
π
6
C．在相同时间内卫星b转过的弧长最长
D．卫星d的运动周期有可能是23 h
[解析] 地球赤道上静止的物体随地球自转的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；同步卫星c在4 h内转过的圆心角φ＝
2π
24
×4＝
π
3
，选项B错误；相同时间内转过的弧长s由线速度v决定，卫星b的线速度最大，因此相同时间内卫星b转过的弧长最长，选项C正确；卫星d的轨道比同步卫星c的高，周期比同步卫星c的大，则其周期一定大于24 h，选项D错误．
[答案] C
(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期，如同一圆盘上不同半径的两个点，由v＝ωr和a＝ω2r可分别判断线速度，向心加速度的关系．
(2)不同轨道上的卫星向心力来源相同，即万有引力提供向心力，由
GMm
r2
＝ma＝m
v2
r
＝mω2r ＝mr
4π2
T2
可分别得到a＝
GM
r2
、v＝
GM
r
、ω＝
GM
r3
及T＝2π
r3
GM
，故可以看出，轨道半径越大，a、v、ω越小，T越大．
2.
如图所示，赤道上随地球自转的物体A 、赤道上空的近地卫星B 、地球的同步卫星C ，它们的运动都可视为匀速圆周运动，比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是( )
A ．三者的周期关系为T A >T
B >T C
B ．三者向心加速度的大小关系为a A >a B >a
C C ．三者角速度的大小关系为ωA >ωC >ωB
D ．三者线速度的大小关系为v A <v C <v B
解析：选D.卫星C 为同步卫星，周期与A 物体周期相等，故A 错误；A 、C 比较，角速度相等，由a ＝ω2
r 可知，a A <a C ，故B 错误；卫星C 与A 物体周期相等，角速度也相等，因而C 错误；A 、C 比较，角速度相等，由v ＝ωr ，可知v A <v C ，B 、C 比较，同为卫星，由人造卫星的速度公式v ＝
GM
r
，可知v C <v B ，因而v A <v C <v B ，故D 正确． 卫星变轨问题
(多选) 2013年12月2日1时30分，西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载
火箭成功将“嫦娥三号”探测器发射升空．卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P 点时变轨进入距离月球表面100千米的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过Q 点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ与月球相切于M 点，“玉兔号”月球车将在M 点着陆月球表面，如图所示．下列的说法正确的是( )
A ．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B ．“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P 点的速度比在轨道Ⅰ上经过P 点时大
C ．“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上运动周期比在轨道Ⅰ上短
D ．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上经过Q 点时的加速度小于在轨道Ⅱ上经过Q 点时的加速度 [解析] 月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，“嫦娥三
号”在轨道Ⅰ上的半径大于月球半径，根据G mM r 2＝m v 2
r ，得线速度v ＝
GM
r
，可知“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故A 正确；“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上
经过P点若要进入轨道Ⅰ需减速，故B正确；根据开普勒第三定律得卫星在轨道Ⅱ上运动轨道的半长轴比在轨道Ⅰ上的轨道半径小，所以卫星在轨道Ⅱ上的运动周期比在轨道Ⅰ上短，故C正确；“嫦娥三号”无论在哪个轨道上经过Q点时的加速度都为该点的万有引力加速度，故万有引力在此点产生的加速度相等，故D错误．
[答案] ABC
卫星变轨问题的几点注意
(1)当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行．
①当卫星的速度突然增加时，G Mm
r2
<m
v2
r
，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心
运动．
②当卫星的速度突然减小时，G Mm
r2
>m
v2
r
，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近
心运动，卫星的回收就是利用这一原理．
(2)卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同．
(3)飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接．
3.如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度小于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
解析：选D.11.2 km/s是第二宇宙速度，若大于此值就会飞出地球引力范围了，故选项A错；7.9 km/s是最大环绕速度，在轨道Ⅱ上运动时的速度一定小于7.9 km/s，所以选项B 错；从P到Q的运动中引力做负功，动能减小，所以选项C错；从椭圆轨道Ⅰ到同步轨道Ⅱ，卫星在Q点是做逐渐远离圆心的运动，要实现这个运动卫星所需向心力大于万有引力，所以应给卫星加速，增加所需的向心力，所以卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故选项D正确．
[学生用书P81]
1．(多选)如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
A ．动能大
B ．向心加速度大
C ．运行周期长
D ．角速度小
解析：选CD.飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F 引＝F 向，所
以GMm r 2＝ma 向＝mv 2r ＝4π2mr T 2＝mrω2
，即a 向＝GM r 2，E k ＝12mv 2＝GMm 2r
，T ＝ 4π2r
3
GM
，ω＝
GM
r 3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫或用公式T ＝2πω求解.因为r 1<r 2，所以E k1>E k2，a 向1>a 向2，T 1<T 2，ω1>ω2
，选项C 、D 正确．
2．“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍．下列说法正确的是( )
A ．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B ．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C ．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1
7
D ．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1
7
解析：选A.根据G Mm r 2＝m 4π2
T
2r ，可得T ＝2π
r 3GM ，代入数据，A 正确；根据G Mm r 2＝m v 2
r
，可得v ＝
GM r ，代入数据，B 错误；根据G Mm r
2＝mω2
r ，可得ω＝GM
r 3
，代入数据，C 错误；根据G Mm r
2＝ma ，可得a ＝GM
r
2，代入数据，D 错误．
3．(多选)“北斗”导航系统中两颗工作卫星均绕地球做匀速圆周运动，轨道半径均为
r .如图所示，某时刻两颗工作卫星分别位于同一轨道上的A 、B 位置．若卫星均顺时针运行，
地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，则下列说法中正确的是( )
A ．这两颗卫星的加速度大小均为R 2g
r
2
B ．卫星甲向后喷气就一定能追上卫星乙
C ．卫星甲由位置A 运动到位置B 所需的时间为
π
3R r 3
g
D ．该时刻，这两颗卫星的线速度相同
解析：选AC.设地球的质量为M ，地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，得G Mm r 2＝ma ，在地球表面，物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力，则G Mm R
2＝mg ，
由以上两式解得两卫星的加速度a ＝R 2g
r
2，选项A 正确；卫星甲向后喷气后，其速度变大，地
球对卫星甲的万有引力不足以提供其做圆周运动的向心力，卫星甲将做离心运动，不可能追上卫星乙，选项B 错误；由a ＝ω2
r ＝4π2
r T 2，解得T ＝
2πR
r 3
g
，卫星甲由位置A 运动到位置B 所需时间t ＝60°360°T ＝
π
3R
r 3
g
，选项C 正确；因两颗卫星在同一轨道上运行，线速度大小相等，但方向不同，选项D 错误．
4．两颗人造地球卫星都绕地球做匀速圆周运动，已知它们的轨道半径之比r 1∶r 2＝4∶1，求这两颗卫星的
(1)线速度大小之比； (2)角速度之比； (3)向心加速度大小之比．
解析：(1)地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球的质量为M ，两卫星的质量分别为m 1、m 2，线速度大小分别为v 1、v 2，由牛顿第二定律得
⎭
⎪⎬⎪⎫G Mm 1r 21＝m 1v 21r 1
G Mm 2r 22
＝m 2
v 2
2r 2
可得v 1v 2
＝
r 2
r 1＝ 14＝12
. (2)由角速度与线速度的关系ω＝v r
，得两卫星的角速度分别为
⎭
⎪⎬⎪⎫ω1＝
v 1r 1
ω2
＝v 2r 2
可得ω1ω2
＝v 1r 2v 2r 1
＝12×14＝18. (3)由向心加速度的公式a ＝rω2
，得两卫星的向心加速度大小分别为
⎭
⎪⎬⎪
⎫a 1＝r 1ω2
1a 2＝r 2ω22可得a 1a 2＝r 1ω21r 2ω2
2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫182×4＝116. 答案：(1)1∶2 (2)1∶8 (3)1∶16 5．某载人航天飞船在探月过程中，
(1)若已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T ，求月球绕地球运动的轨道半径r ；
(2)若航天员在登月飞船到达月球后，在月球表面某处以速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点，已知月球半径为R 月，引力常量为G ，请求出月球的质量M 月；
(3)若飞船开始在离月球表面高h 处绕月球做匀速圆周运动，试求该飞船绕月球运行的周期T .
解析：(1)根据万有引力定律和牛顿第二定律得： G MM 月r 2＝M 月⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2r
质量为m 的物体在地球表面时有mg ＝G Mm
R
2 联立得r ＝ 3gR 2T 24π
2.
(2)设月球表面处的重力加速度为g 月，根据竖直上抛运动的规律有：v 0＝g 月t
2
.
根据万有引力等于重力得GM 月＝g 月R 2
月， 联立得M 月＝2v 0R 2
月
Gt
.
(3)飞船绕月球运行的轨道半径为r 1＝R 月＋h ，由万有引力提供向心力得G M 月m r 21＝m ⎝ ⎛⎭⎪
⎫2πT ′2
r 1
所以该飞船绕月球运行的周期T ′＝2π（R 月＋h ）3
t
2v 0R 2
月
. 答案：(1) 3gR 2T 2
4π
2
2v0R2月Gt (3)2π
（R月＋h）3t
2v0R2月
(2)。