2013下高二理科答案

2013年下学期期终考试试卷
高二数学参考答案(理科)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
ＤＣＡＤ ＣＡＡＤ
二、填空题: 本大题共7小题，每小题5分，共35分．
9. 50 10. 2,220x R x x ∀∈+-p 11．-1 12. 3 13. [2,1]- 14. 1 15．252，2 三、16. (本题满分12分)
解:⑴由3()2f x x x =+-，得2()31f x x '=+ (2分) 设000(,)P x y
由20314x += 得01x =- (01x =舍去) ，从而04y =- ∴切点P 0的坐标为(1,4)--(4分) ⑵Q 2
()()1g x f x x ax -=-+ (6分) ∴对任意的x R ∈，()g x ＞()f x 恒成立21x ax ⇔-+＞０恒成立240a ⇔∆=-p (11分) 实数a 的取值范围是(2,2)-(12分)
17. (本题满分12分)
设底面长为x ｍ,宽为y ｍ,水池的总造价为z 元．(1分)依题意可得
240000720()z x y =++(6分)
由容积为3
4800m ，可得 34800xy = 即1600xy =
∴240000720()z x y =+
+240000720≥+⨯ 即297600z ≥(10分)
当且仅当40x y ==时，等号成立．(11分)
所以，将水池的地面设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．(12分)
18. (本题满分12分) 解：(１)由231545,18a a a a ⋅=+= 得111
()(2)452418a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩ (4分) 解得114a d =⎧⎨=⎩(5分) ∴43n a n =-(6分)
(2)由(１)可得22n S n n =- （7分）
12()2n n n n S b n c n c
-==++ 因{}n b 为等差数列⇔存在常数,A B 使得n b An B =+
易得存在如下两个常数c ，使得数列{}n b 也为等差数列：
12c =-，2n b n =，数列{}n b 是公差为２，首项为２的等差数列；(10分) 0c =时，21n b n =-，数列{}n b 是公差为２，首项为１的等差数列.(12分)
或求出123,,b b b 分别为
1615,,123c c c
+++ 由123,,b b b 成等差数列得66152123c c c ⨯=++++ 解得0c =和12
c =- 再验证当0c =和12c =-时，{}n b 为等差数列． 19. (本题满分13分)
解：如图建立空间直角坐标系，点Ｄ为坐标原点．（１分）
(１) 证明：连接ＡＣ，ＡＣ与ＢＤ于点Ｇ，连ＥＧ．
依题意得Ａ(２，０，０)，Ｐ(０，０，２)，Ｅ(０，１，１)
因底面是正方形，所以点Ｇ的坐标为(１，１，０)，且
(2,0,2),(1,0,1)PA EG =-=-u u u r u u u r
所以2PA EG =u u u r u u u r ，即//PA EG
而EG ⊂平面EBD ，且PA ⊄平面EBD
因此，//PA 平面EBD ．(4分) (２)依题意得 Ｂ(２，２，０)，(2,2,2)PB =-u u u r ， 又
(0,1,1)DE =u u u r 故 0220PB DE •=+-=u u u r u u u r 所以PB DE ⊥
由已知EF PB ⊥，且EF DE E =I
所以PB ⊥平面EFD (7分)
(２) 已知EF PB ⊥，由(２)可知PB DF ⊥，故EFD ∠是二面角C PB D --的平面角．（9分）
设点Ｆ的坐标为(,,)x y z ，则(,,2)PF x y z =-u u u r
因为PF k PB =u u u r u u u r 所以(,,2)(2,2,2)x y z k k k -=-，即2,2,22x k y k z k ===-
因为0PB DF •=u u u r u u u r 所以(2,2,2)(2,2,22)44440k k k k k k -•-=+-+=
所以13k =
，点Ｆ的坐标为224(,,)333 又点Ｅ的坐标为(０，１，１) 所以211(,,)333FE =--u u u r G
因为211224(,,)(,,)1cos 2||||FE FD EFD FE FD --•---•∠===u u u r u u u r u u u r u u u r （12分） 所以60,EFD ∠=︒即二面角C PB D --的大小60︒．(13分)
20. (本题满分13分)
(１)
由已知得4== (2分)解得5,3a b == (3分) 所以椭圆1C 的方程为22
1:1259
x y C +=，双曲线2C 的渐近线方程为350x y -=和350x y +=．(5分) (２)设点Ｐ的坐标为00(,)x y ，因点Ｍ是线段AP 的中点，所以点005(,)22
x y M - （6分） 由点Ｐ、点Ｍ分别在双线线2C 、椭圆1C 上得
220022001259(5)1425
49x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⨯⨯⎩ （８分）
解得0010x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ (注意到000,0x y f f )(9分)
所以点Ｐ的坐标为，点Ｍ
的坐标为5(2，由椭圆的对称性得点Ｎ
的坐标为5(,22
-(10分) 因为点Ｂ的坐标为(5,0)，所以直线ＰＢ
的分斜率5
PB k =，直线ＢＮ
的斜率5BN k = 所以PB BN k k =（12分）
所以P 、B 、N 三点共线(13分)
21. (本题满分13分)
解：(１) 当2a =时，2()(2)x f x x x e =-+，2()(2)x
f x x e '∴=-+ (１分) 由()f x '
＞０，解得x p p ．∴函数()f x
的单调递增区间是(．(３分.)
(2)若函数()f x 在Ｒ上单调递增，则2()[(2)]0x f x x a x a e '∴=-+-+≥对x R ∈都成立，因0x e f
2(2)0x a x a ∴---≤对x R ∈都成立．
而2
40a ∆=+f ，故函数函数()f x 在Ｒ上不可能单调递增．(５分)
若函数()f x 在Ｒ上单调递减，则2()[(2)]0x f x x a x a e '∴=-+-+≤对x R ∈都成立，因0x e f 2(2)0x a x a ∴---≥对x R ∈都成立．240a ∴∆=+≤，这是不可能．即函数()f x 在Ｒ上不可能单调递减．(７分)
综上所述，函数()f x 在Ｒ上不可能是单调函数．(８分)
(3) Q 函数()f x 在(1,1)-上单调递增， 2()[(2)]0x f x x a x a e '∴=-+-+≥对(1,1)x ∀-恒成立．(９分) ∴2
(2)0x a x a -+-+≥对(1,1)x ∀-恒成立 即221111
x x a x x x +≥=+-++对(1,1)x ∀-恒成立．(１０分) 令11,1y x x =+-+，则2110(1)y x '=++f ，∴11,1y x x =+-+在(1,1)-上单调递增． ∴13(11)112y +-
=+p 32
a ∴≥ (１３分)。