2020-2021年高中数学 空间向量与立体几何检测(含解析)新人教

第三章检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为侧面BCC 1B 1的中心.若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A +A +A 的值为( ) A .1
B .3
2C .2D .3
4
AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
∴x=1,y=z =1
2,则x+y+z=2,故选C .
2.已知i ,j ,k 为单位正交基底,a =3i +2j -k ,b=i-j+
2k ,则5a 与3b 的数量积等于( ) A .-15
B .-5
C .-3
D .-1
=(3,2,-1),b =(1,-
1,2),
故5a =(15,10,-5),3b =(3,-3,6), ∴5a ·3b =45-30-30=-15. 3.已知向量a =(8,A 2
,A ),b =(x ,1,2),其中x>0,若a ∥b ,则x 的值为( )
A .8
B .4
C .2
D .1
∥b ⇔存在λ∈R 使a =λb
⇔(8,A 2,A )=(AA ,A ,2A )⇔{AA =8,
A
2=A ,A >0,
A =2A
⇔{
A =2,A =4.
4.已知A ,B ,C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,下列条件中能确定点M 与点A ,B ,C 一定共面的是( )
A .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
B .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3
AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D .
AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D 中的三个系数和:1
3+1
3+1
3=1,故M 与点A ,B ,C 一定共面. 5.若a ,b ,c 是空间的非零向量,则下列命题中的真命题是 ( )
A .(a ·b )c=(b ·c )a
B.若a·b=-|a|·|b|,则a∥b
C.若a·c=b·c,则a∥b
D.若a·a=b·b,则a=b
a·b)c是与c共线的向量,(b·c)a是与a共线的向量,a与c不一定共线,故A项为假命题;
若a·b=-|a|·|b|,则a与b方向相反,所以a∥b,故B项为真命题;
若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,不能得出a∥b,故C项为假命题;
若a·a=b·b,则|a|=|b|,a与b方向未必相同,故不能得出a=b,所以D项为假命题.
6.若向量a=(1,x,2),b=(2,-1,2),且a,b夹角的余弦值为8
9
,则A等于()
A.2
B.-2
C.-2或2
55D.2或−2
55
<a,b>=A·A
|A||A|==8
9
,
解得x=-2或x=2
55
.
7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−4),AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,2,−1),则AA与底面AAAA的关系是()
A.相交
B.垂直
C.不垂直
D.成60°角
AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AA⊥平面ABCD.
8.下面命题中,正确的命题有()
①若n1,n2分别是不同平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;
②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;
③若n是平面α的法向量,b,c是α内两个不共线的向量,a=λb+μc(λ,μ∈R),则n·a=0;
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()
A .1
5B .2
5 C .3
5D .45
.
10.已知向量n =(1,0,-1)与平面α垂直,且α经过点A (2,3,1),则点P (4,3,2)到α的距离为( ) A .3
2B .√22
C .√2
D .
3√22
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−1),
又n 与α垂直, 所以P 到α√12+(-1)2
=
√2
=
√2
2
, 故选B .
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .
,以点D 为原点,以DA ,DC ,DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2,则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),所以AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小为90°.
答案:90°
12.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H(x,y,z),满足BH⊥OA,则x=,y=,z=.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A,A−1,A−1),AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0),AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A,A,A),
∵BH⊥OA,
∴(x,y-1,z-1)·(-1,1,0)=0.
又OH∥OA,
∴(x,y,z)=k(-1,1,0),
联立解得x=−1
2,A=1
2
,A=0.
1
2
1
2
13.已知|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,则a·c+b·c+a·b=.
a·c+b·c+a·b=x,
则2x=(a+b)·c+(b+c)·a+(c+a)·b
=-|c|2-|a|2-|b|2=-3,
解得x=−3
2
.
3
2
14.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为.
|a|=|b|,所以平行四边形为菱形.
又a+b=(4,1,3),a-b=(0,-3,1),
|a+b|=√26,|a-b|=√10,
所以S=1
2
|A+A||A−A|=1
2
×√26×√10=√65.
√65
15.给出命题:
①在▱ABCD中,AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
②在△ABC中,若AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0,则△ABC是锐角三角形;
③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,则AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2
(AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
以上命题中,正确命题的序号是.
,故正确;
②AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos A>0⇒∠A<90°,但∠B ,∠C 无法确定,△ABC 是否是锐角三角形无法确定,故错误;③符合梯形中位线的性质,故正确.
三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=1,AD=2,AA 1=3,∠BAD=90°,∠BAA 1=∠DAA 1=60°,求AC 1的长.
AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,平方求模长.
AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
∴|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2
=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+22+32+2|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >+2|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >
+2|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >
=14+2×1×2cos90°+2×1×3cos60°+2×2×3cos60° =23,
∴|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√23,即AC 1=√23. 17.(8分)
在平面四边形ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB ⊥BD ,CD ⊥BD.将△ABD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图.
(1)求证:AB ⊥CD ;
(2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.
ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD=BD ,AB ⊂平面ABD ,AB ⊥BD ,
∴AB ⊥平面BCD.
又CD ⊂平面BCD ,∴AB ⊥CD.
(2)解:过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ,如图.
由(1)知AB ⊥平面BCD ,BE ⊂平面BCD ,BD ⊂平面BCD , ∴AB ⊥BE ,AB ⊥BD.
以B 为坐标原点,分别以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意,得B (0,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),A (0,0,1),A (0,1
2,1
2),
则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1
2
),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1).
设平面MBC 的法向量n =(x 0,y 0,z 0),
则{A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,
A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{A 0+A 0=0,
12
A 0+12
A 0=0,
取z 0=1,得平面MBC 的一个法向量n =(1,-1,1). 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ, 则sin θ=|cos <n ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=
|A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
√6
3, 即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为√63
.
18.(9分)已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,∠DAB=90°,PA ⊥底面ABCD ,且
PA=AD=DC =1
2AA =1,A 是AA 的中点.
(1)证明平面PAD ⊥平面PCD ; (2)求AC 与PB 所成角的余弦值;
(3)求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的余弦值.
PA ⊥AD ,PA ⊥AB ,AD ⊥AB ,所以可以以A 为坐标原点,AD 长为单位长度,建系使用向量求解.
,建立空间直角坐标系,则各点坐标为
A (0,0,0),
B (0,2,0),
C (1,1,0),
D (1,0,0),P (0,0,1),M (0,1,1
2).
∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),故AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴AP ⊥DC.
又由题设知:AD ⊥DC ,且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 内,故面PAD ⊥面PCD.
(1)可得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),
∴|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,
∴cos <AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=
AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10
5
.
由此得AC 与PB 所成角的余弦值为
√10
5
.
MC 上取一点N (x ,y ,z ),则存在λ∈R ,使AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,1-y ,-z ),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1
2), ∴x=1-λ,y=1,z=1
2λ.
要使AN ⊥MC ,只需AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x-1
2z=0, 解得λ=4
5.可知当λ=4
5时,N 点坐标为(1
5,1,2
5),
能使AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.
此时,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1
5,1,2
5),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1
5,-1,2
5), 有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.
由AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AN ⊥MC ,BN ⊥MC. ∴∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=
√305,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√30
5,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4
5
,
∴cos <AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-2
3. 故所求的二面角的余弦值为-2
3.。