高考数学复习知识点讲解教案第14讲 函数模型及其应用
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D
A.当， 时，二氧化碳处于液态B.当， 时，二氧化碳处于气态C.当， 时，二氧化碳处于超临界状态D.当， 时，二氧化碳处于超临界状态
[解析] 结合图象逐一验证：当， 时，由图象可知二氧化碳处于固态，故A错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于液态，故B错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于固态，故C错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选D.
[解析] 由题意知，上午8时即 ，因此所求温度 .
7.已知，两地相距，某人开汽车以的速度从地到达地，在 地停留后再以的速度返回地，则汽车与地的距离 关于时间 的函数表达式是_ ___________________________________.
[解析] 当时，；当时，；当 时，.故关于 的函数表达式为
变式题（1） 朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中为吸光度，为透光度，为摩尔吸光系数， 为溶液的浓度（单位：），为液层厚度（单位：）．现保持， 不变，当溶液的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的 变为( )
（1） 若 ，则此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由．
解：不满足条件.理由如下.当时，，因为函数在 上单调递增，函数在上单调递增，所以在 上单调递增，满足条件①．由，即 ，整理可得，因为 恒成立，所以不等式 无解，故不满足条件②．故 不满足条件．
（2） 若，要使奖金发放方案满足条件，求实数 的取值范围．
A
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，，则 ，即，即 ，所以，解得 .故选D.
［思路点拨］（2）由题意知 ,代入关系式,根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得.
[总结反思]除了常见的增长率问题外，其他与指数函数、对数函数有关的实际问题，其模型都比较难以构建，所以对这类问题的考查一般都会给出相应的函数模型（一般含有参数），可以根据条件确定参数的值，从而明确函数模型，再进行相应问题的解答.
［思路点拨］（1）根据与 的关系图可得正确的选项.
（2） 水池有两个相同的进水口和一个出水口,其进水量和出水量随时间的变化如图a, 所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图c所示,给出以下3个说法:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则说法一定正确的是( )
解：当时，函数，因为，所以由（1）知 在 上单调递增，奖金发放方案满足条件①．由条件②可知，即在 上恒成立，所以在上恒成立．因为函数 在上单调递增，所以当时，该函数取得最小值，所以 .所以要使奖金发放方案满足条件，则的取值范围为 ．
探究点三 构建函数模型解决实际问题
角度1 构建二次函数模型
例3 某化工厂引进一条先进的生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 （单位：万元）与年产量 （单位：吨）之间的函数关系式可以近似地表示为 ，已知此生产线年产量最大为210吨.
第14讲 函数模型及其应用
课前基础巩固
课堂考点探究
作业手册
教师备用习题
高考数学复习知识点讲解教案
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.
[解析] 设矩形花园的另一边长为 ，由相似三角形的性质可得 ，
， 矩形花园的面积 矩形花园的面积不小于，，即，解得 ，故的取值范围是 .
3.［教材改编］ 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和与 的函数关系式是_ ________________________.
[解析] 将2022年记为第1年，设第年该公司全年投入的研发资金为 万元，则，由题意可得，，即 ，故，则 ，故该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029年．故选C．
［思路点拨］（1） 根据已知条件，可推得 ，再结合对数函数的公式，即可求解.
（2） [2023·广东潮阳三校联考] 核酸检测分析是用荧光定量 法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标 实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数 满足，其中为的初始数量， 为扩增效率.已知某被测标本扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率 约为（参考数据：, ）( )
[解析] ，故 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义等;分段函数模型的分界把握不到位.5.一枚炮弹被发射后，其升空高度与时间的函数关系式为 ，则该函数的定义域是_________.
[解析] 令，解得，故所求定义域为 .
6.某物体一天中的温度（单位：）是关于时间（单位： ）的函数，且，其中表示中午12时，其后 的值为正，则上午8时该物体的温度是______.
探究点一 用函数图象刻画变化过程
例1（1） [2022·北京卷] 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.示温度，单位是；表示压强，单位是 .下列结论中正确的是( )
变式题 在股票交易过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线.如 表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元； 表示2小时内的平均价格为3元，以下四个图中，实线表示的图象，虚线表示 的图象，其中正确的是 ( )
C
［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.
[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
[解析] 由题意知，每件产品的生产准备费用是 元，仓储费用是 元，所以平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和 .
4.［教材改编］ 大气压强，它的单位是“” ，大气压强随海拔高度的变化规律是， 是海平面大气压强.已知在某高山，两处测得的大气压强分别为， ，且，那么， 两处的海拔高度的差约为__________.（参考数据： ）
解：设该生产线一年获得的总利润为 万元，则 .因为在上单调递增，所以当时， 有最大值，最大值为 .故当年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.
［思路点拨］（2）利用求得的总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量.
[总结反思]在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.
B
A. B. C. D.
[解析] 依题意得，令 ，则，所以,即 ,则 ，所以 .故选B.
［思路点拨］（1）根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
（2） （多选题）[2023·浙江诸暨模拟] 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数， 为初期人口数，为预测期内人口年增长率， 为预测期间隔年数，则( )
对数函数模型
，，为常数，且，
幂函数模型
，， 为常数，，
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数，，，则随着 的增大，增长速度的大小关系是_______________.（填关于，， 的关系式）
[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .
2.［教材改编］ 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的矩形花园（阴影部分），则其中 的取值范围是_________.
（1） 求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本.
解：因为 ，所以当年产量为120吨时，其生产的总成本最低，最低成本为5120万元.
［思路点拨］（1）根据总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量；
（2） 若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
AC
A.当 时，这期间人口数呈下降趋势B.当 时，这期间人口数呈摆动变化C.当,时， 的最小值为3D.当,时， 的最小值为3
［思路点拨］（2）由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A，B；分别代入和 ，解指数不等式可判断C，D.
[解析] 易知,当时， ，由指数函数的性质可知随 的增大而减小，即这期间人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确.当时,，所以，所以 ，因为，所以的最小值为3，故C正确；当时, ，所以，所以，因为，所以 的最小值为2，故D不正确.故选 .
角度2 构建指对数函数模型
例4（1） [2023·北京密云区三模] 某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上年增加 ，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（参考数据： ，，， ）( )
C
A.2026 B.2028 C.2029 D.2032
A
B
C
D
[解析] 刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，故A，D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故B错误.故选C.
探究点二 已知函数模型解决实际问题
例2（1） 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位： ）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位： ）的函数关系为.若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为 ，则火箭需要加注的燃料质量为（参考数值：, ，结果精确到, ）( )
◆ 知识聚焦 ◆
1.三种函数模型的性质的比较
函数性质
在 上的增减性
单调_______
单调_______
单调_______
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
递增
递增
递增
2.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
，为常数，
二次函数模型
，，为常数，
反比例函数模型
，为常数且
指数函数模型
，，为常数，且，
[总结反思]用已知函数解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意义,然后建立数学模型,合理地运用函数的基本性质解决问题.
变式题 某企业为了增强销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金（奖金和销售额单位都为十万元），奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金随销售额 的增加而增加；②奖金不低于销售额的(即奖金大于或等于 )．经测算该企业决定采用函数模型 作为奖金发放方案．
A.当， 时，二氧化碳处于液态B.当， 时，二氧化碳处于气态C.当， 时，二氧化碳处于超临界状态D.当， 时，二氧化碳处于超临界状态
[解析] 结合图象逐一验证：当， 时，由图象可知二氧化碳处于固态，故A错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于液态，故B错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于固态，故C错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选D.
[解析] 由题意知，上午8时即 ，因此所求温度 .
7.已知，两地相距，某人开汽车以的速度从地到达地，在 地停留后再以的速度返回地，则汽车与地的距离 关于时间 的函数表达式是_ ___________________________________.
[解析] 当时，；当时，；当 时，.故关于 的函数表达式为
变式题（1） 朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中为吸光度，为透光度，为摩尔吸光系数， 为溶液的浓度（单位：），为液层厚度（单位：）．现保持， 不变，当溶液的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的 变为( )
（1） 若 ，则此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由．
解：不满足条件.理由如下.当时，，因为函数在 上单调递增，函数在上单调递增，所以在 上单调递增，满足条件①．由，即 ，整理可得，因为 恒成立，所以不等式 无解，故不满足条件②．故 不满足条件．
（2） 若，要使奖金发放方案满足条件，求实数 的取值范围．
A
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，，则 ，即，即 ，所以，解得 .故选D.
［思路点拨］（2）由题意知 ,代入关系式,根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得.
[总结反思]除了常见的增长率问题外，其他与指数函数、对数函数有关的实际问题，其模型都比较难以构建，所以对这类问题的考查一般都会给出相应的函数模型（一般含有参数），可以根据条件确定参数的值，从而明确函数模型，再进行相应问题的解答.
［思路点拨］（1）根据与 的关系图可得正确的选项.
（2） 水池有两个相同的进水口和一个出水口,其进水量和出水量随时间的变化如图a, 所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图c所示,给出以下3个说法:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则说法一定正确的是( )
解：当时，函数，因为，所以由（1）知 在 上单调递增，奖金发放方案满足条件①．由条件②可知，即在 上恒成立，所以在上恒成立．因为函数 在上单调递增，所以当时，该函数取得最小值，所以 .所以要使奖金发放方案满足条件，则的取值范围为 ．
探究点三 构建函数模型解决实际问题
角度1 构建二次函数模型
例3 某化工厂引进一条先进的生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 （单位：万元）与年产量 （单位：吨）之间的函数关系式可以近似地表示为 ，已知此生产线年产量最大为210吨.
第14讲 函数模型及其应用
课前基础巩固
课堂考点探究
作业手册
教师备用习题
高考数学复习知识点讲解教案
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.
[解析] 设矩形花园的另一边长为 ，由相似三角形的性质可得 ，
， 矩形花园的面积 矩形花园的面积不小于，，即，解得 ，故的取值范围是 .
3.［教材改编］ 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和与 的函数关系式是_ ________________________.
[解析] 将2022年记为第1年，设第年该公司全年投入的研发资金为 万元，则，由题意可得，，即 ，故，则 ，故该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029年．故选C．
［思路点拨］（1） 根据已知条件，可推得 ，再结合对数函数的公式，即可求解.
（2） [2023·广东潮阳三校联考] 核酸检测分析是用荧光定量 法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标 实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数 满足，其中为的初始数量， 为扩增效率.已知某被测标本扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率 约为（参考数据：, ）( )
[解析] ，故 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义等;分段函数模型的分界把握不到位.5.一枚炮弹被发射后，其升空高度与时间的函数关系式为 ，则该函数的定义域是_________.
[解析] 令，解得，故所求定义域为 .
6.某物体一天中的温度（单位：）是关于时间（单位： ）的函数，且，其中表示中午12时，其后 的值为正，则上午8时该物体的温度是______.
探究点一 用函数图象刻画变化过程
例1（1） [2022·北京卷] 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.示温度，单位是；表示压强，单位是 .下列结论中正确的是( )
变式题 在股票交易过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线.如 表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元； 表示2小时内的平均价格为3元，以下四个图中，实线表示的图象，虚线表示 的图象，其中正确的是 ( )
C
［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.
[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
[解析] 由题意知，每件产品的生产准备费用是 元，仓储费用是 元，所以平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和 .
4.［教材改编］ 大气压强，它的单位是“” ，大气压强随海拔高度的变化规律是， 是海平面大气压强.已知在某高山，两处测得的大气压强分别为， ，且，那么， 两处的海拔高度的差约为__________.（参考数据： ）
解：设该生产线一年获得的总利润为 万元，则 .因为在上单调递增，所以当时， 有最大值，最大值为 .故当年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.
［思路点拨］（2）利用求得的总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量.
[总结反思]在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.
B
A. B. C. D.
[解析] 依题意得，令 ，则，所以,即 ,则 ，所以 .故选B.
［思路点拨］（1）根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
（2） （多选题）[2023·浙江诸暨模拟] 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数， 为初期人口数，为预测期内人口年增长率， 为预测期间隔年数，则( )
对数函数模型
，，为常数，且，
幂函数模型
，， 为常数，，
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数，，，则随着 的增大，增长速度的大小关系是_______________.（填关于，， 的关系式）
[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .
2.［教材改编］ 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的矩形花园（阴影部分），则其中 的取值范围是_________.
（1） 求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本.
解：因为 ，所以当年产量为120吨时，其生产的总成本最低，最低成本为5120万元.
［思路点拨］（1）根据总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量；
（2） 若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
AC
A.当 时，这期间人口数呈下降趋势B.当 时，这期间人口数呈摆动变化C.当,时， 的最小值为3D.当,时， 的最小值为3
［思路点拨］（2）由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A，B；分别代入和 ，解指数不等式可判断C，D.
[解析] 易知,当时， ，由指数函数的性质可知随 的增大而减小，即这期间人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确.当时,，所以，所以 ，因为，所以的最小值为3，故C正确；当时, ，所以，所以，因为，所以 的最小值为2，故D不正确.故选 .
角度2 构建指对数函数模型
例4（1） [2023·北京密云区三模] 某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上年增加 ，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（参考数据： ，，， ）( )
C
A.2026 B.2028 C.2029 D.2032
A
B
C
D
[解析] 刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，故A，D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故B错误.故选C.
探究点二 已知函数模型解决实际问题
例2（1） 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位： ）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位： ）的函数关系为.若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为 ，则火箭需要加注的燃料质量为（参考数值：, ，结果精确到, ）( )
◆ 知识聚焦 ◆
1.三种函数模型的性质的比较
函数性质
在 上的增减性
单调_______
单调_______
单调_______
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
递增
递增
递增
2.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
，为常数，
二次函数模型
，，为常数，
反比例函数模型
，为常数且
指数函数模型
，，为常数，且，
[总结反思]用已知函数解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意义,然后建立数学模型,合理地运用函数的基本性质解决问题.
变式题 某企业为了增强销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金（奖金和销售额单位都为十万元），奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金随销售额 的增加而增加；②奖金不低于销售额的(即奖金大于或等于 )．经测算该企业决定采用函数模型 作为奖金发放方案．