概率论与数理统计习题二答案

概
1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。

解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
36
1
6161)1,1()2(1=⨯===P X P
36
2
61616161)"1,2""2,1(")3(1=⨯+⨯=⋃==P X P
36
3
616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=⨯+⨯+⨯=⋃⋃==P X P ……
2P （X 2=1）=P （"1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃）=36
11
2求X 的分布律。

解：X 可取0、1、2
{}310380C C X P ==15
7
=
{}157
13
102812===C C C X P {}15
1
23
101822===C C C X P 3、进行重复独立试验。

设每次试验成功的概率为)10(<<p p
（1） 将试验进行到出现一次成功实验为止，以X 表示所需试验的次数，此时
称X 服从参数为p 的几何分布。

求X 的分布律。

（2） 将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需试验的次数，此时称Y 服
从参数为r 、p 的巴斯卡分布。

求Y 的分布律。

解：（1）{},......2,1,)1(1=-==-k p p k X P k （k-1次未成功，最后一次成功）
（2）{},......1,,)1(11
+=-==---r r k p p C k X P r
k r r k
解：（1）是 （2）不是，因概率之和不为1
5、（1）设随机变量X 的分布律为{}N k N
a
k X P .....,2,1,===
试确定常数a
（2）设随机变量X 的分布律为{}.....2,1,32=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅==k b k X P k
试确定常数b
（3）设随机变量X 的分布律为{}0......2,1,0,!
>=⋅==λλk k c k X P k
为常数，
试确定常数c 解：（1）{}111====∑
∑==a N
a
k X P N
k N
k ， 1=∴a （2）{}123
132321
1==-=⎪⎭⎫
⎝⎛⋅==∑∑∞
=∞=b b b k X P k k
k ， 21=∴b
（3）{}1!
==⋅
==∑∑∞
=∞=λλe c k c k X P k k
k ， λ-=∴e c
6、设随机变量X 的分布律为{}5,4,3,2,1,15
===k k
k X P 其分布函数为)(x F ，试求：
（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521X P ， （2）{
}21≤≤X P ， （3）⎪⎭⎫
⎝⎛51F 解：（1）{}{}212521
=+==⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<X P X P X P 51152151=+=
（2）{
}21≤≤X P {}{}21=+==X P X P 5
1
152151=+= （3）⎪⎭
⎫
⎝⎛51F
051=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=X P
7、一大楼装有5个同类型的供水设备。

调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为1.0，求在同一时刻
（1） 恰有两个设备被使用的概率； （2） 至少有1个设备被使用的概率； （3） 至多有3个设备被使用的概率。

解：设X 表示设备被使用的个数
则)1.0,5(~b X
（1）{}()()0729.09.01.023
2
25===C X P
（2）{}{}409509010115..X P X p =-==-=≥
（3）{}{}{}==-=-=≤5413X P X P X p ()()()99954.01.09.01.015
5
5
1
4
45=--C C 8、甲、乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。

从中挑4杯便能将甲种酒全部挑出，
算是试验成功.(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率是多少？ (2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次，问此人是否 确有品尝区分的能力？(设各次实验相互独立) 解:(1)所求概率为:
70
114
8=C (2)令试验10次中成功次数为X ，则)70
1
,
10(~b X ，47
33
101016.3)70
69()701(
}3{-⨯≈⨯⨯==C X P 显然{}3=X 是一小概率事 根据小概率事件实际不可能发生原理,可以认为此人有一定品尝区分能力. 9、某商场每月销售某商品的数量服从参数为3的泊松分布。

问在月初进货时要
进多少此种商品，才能保证此商品当月不脱销的概率为0.999? 解：设X 表示当月销售量，则要使
999.0!30
3=∑=-x
k k
k e 查表得001.0999.01000292.0!311
3=-<=∑+∞
=-k k
k e 所以在月初进货时要进此种商品10件，才能保证此商品当月不脱销的概率
为0.999。

10、每年袭击某地的台风次数近似服从参数为4的泊松分布。

求一年中该地区受
台风袭击次数为3~5的概率。

解：设X 表示每年袭击某地的台风次数 {}{}{}2553≤-≤=≤≤X P X P X P ={}{}()3161≥--≥-X P X P
={}(){}63≥-≥X P X P
=-
∑+∞
=-3
4!4k k
k e ∑+∞
=-6
4!4k k
k e =0.76189-0.21487=0.547027 所以一年中该地区受台风袭击次数为3~5的概率为0.547027
11、有10台机床，每台发生故障的概率为0.08, 而10台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。

问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。

解：随机变量X 示发生故障的机床的台数则 )08.0,10(~B X 设配备n 个维修工人()100<≤n 则“有故障而不能及时排除”事件为
{}n X >∑+=-=
>10
1
1010
)
92.0()08.0(}{n k k
k k C
n X P )8.0(!
1
=≈
∑
+∞
+=-λλλ
n k k k e 查表
2,31==+n n 时 {}05.00474.02<=>X P 1=n 时
{}05.0551.01>=>X P
所以至少要配备2个维修工人
12、有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。

设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。

在某天的该时间内有3000辆汽车，问出事故的次数不小于2的概率为多少？
解：设出事故的次数为X ，所求为{}3≥X P 3.00001.03000=⨯==np λ
{}3≥X P =0036.0!3.03
3
.0=∑+∞
=-k k k e 所以出事故的次数不小于2的概率为0.0036
(1)设X 服从二项分布，其分布律为{}()k
n k
k n
p p C k X P --==1
K=0，1，2，……n ，问K 取何值时{}k X P =最大？ （2）设X 服从泊松分布，其分布率为{}!
k e k X p k λ
λ-==，k=0，1，2……
问K 取何值时{}k X P =最大？
（1） 解：{}{}=-===1k X P k X P M ()()
1
1111+------k n k k n k
n k k
n P P C p P C
()=
+-=
kq P k n 1()kq
kq
P k n kq -+-+1
()()kq k q p P n +-++
=11
1,
)1(>+<∴M p n k 时
1,)1(=+=M p n k 时，此时{}{}1-===k X P k X P 1,
)1(<+>M p n k 时
所以当()⎩
⎨⎧++++-+=为非整数），若（）（为整数
若p n p n p n p n p n k 11)1(,)1(,11
（2）对于泊松分布)(λP ，由
k
k P k P λ
λλ=-);1();(…,...3,2=k
可知 当λ<k 时，);();1(λλk P k P <- 当λ>k 时，),();1(λλk P k P >- 当λ=k 时，P P =),(λλ);1(λλ-
故可得：泊松分布的通项);(λk P 当k 由0变到[]λ时，单调上升，并且在
[]λ=k 时，达到最大值[]);(λλP ；当k 超过λ继续变动时，);(λk P 单调下降，即
[]⎩
⎨⎧-=为非整数若为整数若λλλλλ,,1,k 15、写出泊松分布和二项分布的分布函数16、设
连续型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1
11000
)(2
x x Ax x x F 求
(1)常数A (2)概率密度函数 (3){}2/1<X P ；{}2/3>X P ；
{}20≤≤X P 。

解法一：由于连续型随机变量X 的分布函数是连续的
A
Ax x F F x x ====∴−→−−→−21
1
lim )(lim 11）（⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<==1
010200
x x x
x )x ('F )x (f 4/12)(}2/1{2
/102
/1⎰⎰===
<∞-xdx dx x f X P 或{}()4/12/12/1==<F X P
{}00)(2/32
/32
/3===
>⎰⎰∞
∞
dx dx x f X P 或
{}{}011)2/3(12/312/3=-=-=≤-=>F X P X P {}⎰⎰⎰=+==≤≤1
2
1
2
102)(20dx xdx dx x f X P 或
{}101)0()2(20=-=-=≤≤F F X P 解法二：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<==1
010200x x Ax
x )x ('F )x (f
12)(11
=∴===⎰⎰+∞
∞
-A A Axdx dx x f 由其它同解法一
17、已知随机变量X 的概率密度为: ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-≤<=其它
021210)(x x
x x x f
求 (1)分布函数)(X F
(2) {}{}{}2.12.0,3.1,5.0<<><X P X P X P 解: (1) ⎰∞-=≤=x
dx x f x X P x F )(}{)(
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
>=+-+≤<--=-+≤<=≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2
10)1(2112/2)2(10001021212
1
022
x dx dx x xdx x x x dx x xdx x xdx x x x x x
(2)解法一{}8/1)5.0(5.0==<F X P
{}⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⨯-=-=>123.13.121)3.1(13.12
F X P =0。

245
{}66.0)2.0()2.1(2.12.0=-=<<F F X P
:分别求积分
⎰⎰
⎰=<<=<=>+∞
∞
-2
.12
.03
.15.0,)(1.2}X P{0.2,)(0.5}P{X ,)()3.1(dx x f dx x f dx x f X P
18、设随机变量X 服从参数为的θ指数分布,确定常数c,使P{X>C}=
2
1 解：指数分布的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-0
,00
,)(x x e x f x θθ
{}{}c X P c X P ≤-=>1⎰∞
--=c
dx x f )(1
⎰⎰--=∞-c
dx x f dx x f 0
0)()(1
⎰⎰-∞
---=c
x dx e dx 0
01θθ2
1=
=-θc e θ
2
ln =
∴c
19、某种电子元件的寿命X (以小时计)具有以下概率密度
⎪⎩⎪⎨⎧>=其他,
01000
,1000)(2
x x x f 现有一大批此种电子元件(是否损坏相互独立),从中任取5只,求至少取得2只其
寿命大于1500小时的概率..
解；此相当于5重贝努利试验，用X 表示寿命大于1500小时的只数 {}{}⎰∞
--=≤-=>1500
1150011500dx )x (f X P X P
⎰
⎰--=∞-1500
1000
1000)()(1dx x f dx x f
⎰
⎰--=∞
-1500
10002
1000
1000
01dx x dx
3
2=
则{}{}{}1012=-=-=≥X P X P X P
4
1
155
05
313231321⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C =
243
232 20、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布, 其概率
密度为
⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它
05
1)(5/x e
x f x
某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开,现知他一个月要到银行5次,求他
受到服务的次数不少于1的概率.
分析: 顾客一个月到银行5次，每去一次只有两种结果：受到服务和没受到服
务，所以相当于5重贝努利试验
等待10分钟受到服务的事件记为{}10≤=X A
⎰
⎰
-===≤=-∞
-10
5
/1015
1)(}10{)(dx e dx x f X P A P x 2-e 设顾客一个月内受到服务的次数为Y 要求的是{}1≥Y P
)1,5(~2--e b Y 998.0)(1}0{1}1{5)2(≈-==-=≥∴-e Y P Y P
21、设)2,3(~2N X ，求
(1).P{2<X ≤5};P{-4<X ≤10};P{X >2},P{X>3} (2)确定c 使P{X>c}=P{X ≤c}.
解：（1）{}=≤<52X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ232235()⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-Φ=211
5328.06915.018413.0=+-=
{}=≤<-104X P ⎪⎭
⎫
⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ2342310
()()5.35.3-Φ-Φ=()9996.015.32=-Φ=
{}{}{}222>⋃-<=>X X P X P {}{}22>+-<=X P X P
⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=2321232
()()5.015.2-Φ-+-Φ==0.6977
{}=>3X P {}31≤-X P 5.05.012331=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-=
（2） {}{}c X P c X P ≤=> {}{}c X P c X P ≤=≤-∴1
{}c X P ≤=∴21 {}c X P ≤=∴
2
1
即2
1
23=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φc 3023=⇒=-∴
c c
22、由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数=μ10.05,σ=0.06的正态分布。

规定长度在10.05±0.12内为合格品。

任取一螺栓，求其不合格的概率.
解：设螺栓的长度为X
所求概率为{}12.005.1012.005.101+≤<--X P
⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Φ-=06.005.1012.005.1006.005.1012.005.101
⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=06.012.006.012.01=0.0456
所以不合格率的概率为0.0456.
23、某厂生产的某种建筑材料的强度X 服从参数为180=μ,10=σ的正态分布.一购货方在一大批材料中任取了10件,,声称有多于2件的材料强度低于160便
拒绝接收.问这批材料被接收的概率是多少? 解：用x 表示材料的件数
{}()0228.02110180160160=Φ-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ=≥X P
则x 服从参数为2.00228.010≈⨯=np 的泊松分布
所求为}X {P 31≥-，查表得}X {P 31≥-9989.00011.01=-= 24、求标准正态分布上α分位点。

（1）z 0.01 ,（2） z 0.003
解
75
.2.
33.299.0)(99.001.01}{,01.0}{003.001.001.001.001.0===Φ=-=≤=>z z z z X P z X P 同理得查表得即
25、28、31、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4只球,以X
表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.
(1)求X 、Y 的联合分布律 (2)求(X 、Y )的边缘分布律 (3)X 、Y 是否相互独立 解：（1）
(3){}{}35/182,35/122,1=====X P Y X P ，{}7/41==Y P
{}2=X P {}1=Y P =245
84
351224572=
≠ 所以X 与Y 不相互独立.
26、设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
=),(y x f ⎩⎨
⎧>>--其他
,
00,043y x ke y
x
求（1）常数k ；（2）P{0<X<1,0<Y<2};(3)分布函数。

设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
=),(y x f ⎩
⎨
⎧≤≤≤≤+其他,02
0,10,3/2y x xy x ，求p{X+Y ≥1}。

设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
=),(y x f =⎩
⎨
⎧<<-其他,00y
x e y ，求边缘概率密度。

30、33、如右图，设二维随机变量(X 、Y )的概率
密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=其它
,102
3),(x y x x x
y x f (1)
求边缘概率密度
(2) X 、Y 是否相互独立.
⎰
+∞
∞
-=dy y x f x f X ),()( 当10<<x 时232
3
),()(x xdy dy y x f x f x
x x
x
X ===⎰
⎰+-+- ⎩⎨
⎧<<=∴
其它
103)(2
x x x f X
同理 ⎰+∞∞
-=dx y x f y f Y ),()(当 11<<-y 时
)1(4323)(2
1
||y xdx y f y Y -==⎰⎪⎩⎪⎨⎧<<-=∴其它
10)1(4
3)(2x y y f Y
(2)⎪⎩
⎪⎨⎧<<-<<-=∴其它
且01
110)
1(4
9)()(22
y x y x y f x f Y X
显然 ),()()(Y X f Y f X f Y X ≠ X 与Y 不是相互独立的.
32、设（X 、Y ）分布规律为
问α、β取何值时，X ，Y 相互独立？ 解：先求边缘分布律即得：
9
2
=
α，91=β时X 与Y 相互独立
34、设X 、Y 是相互独立的随机变量，且都服从（0,1）上的均匀分布。

试求方
程02=++Y Xx x 有实根的概率. 分析: 02=++Y Xx x 有实根⇔0422≥-Y X
所以,所求为}04{22≥-Y X P 这样,该题可看作二维随机变量 (X 、Y )的概率计算,先求(X 、Y )的联合概率密度. 由已知
⎩⎨
⎧<<=⎩⎨
⎧<<=其它
其它
101
)(0
101
)(x x f y y f X Y X 与Y 相互独立
⎩⎨
⎧<<<<==其它
且0
10101
)()(),(y x y f x f y x f Y X ⎰⎰=≥-G
dxdy y x f Y X P ),(}04{2 ⎰
⎰
⎰⎰=
=
=
1
4
/0
21
12
1x G dy dx dxdy 35、设Y X 、是两个相互 独立的随机变量，
X 在（0，1）上的均匀分布，Y 的概率密度为
)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧<=>-00
2
2/y y y e (1)求Y X 和的联合概率密度；
（2）求关于σ的二次方程σ2+2X σ+Y=0有实根的概率。

解：1）()1,0~U X
⎩⎨⎧<<=∴其它
,01
0,1)(x x f X
Y X 、 相互独立
Y X 、∴的联合概率密度为：
()()y f x f y x f Y X =∴），（⎪⎩⎪⎨⎧><<=-其它
，,00,10212y x e y
（2）当()042≥-=∆Y X 时，方程有实根
(
){}{
}
Y X P Y X P ≥=≥-2204
dY e dX Y
X 2
10
2
21-⎰
⎰==0.1445 38、设Y X 和是相互独立的随机变量，其概率密度为
)(x f X =⎩⎨
⎧<=>-00
0x x x e λλ
)(y f Y =⎩⎨
⎧<=>-0
0y y y e μμ
其中λ>0,μ>0,为常数。

引入随机变量Z=⎩⎨⎧>≤Y
X Y X ,
0,1
（1）条件概率密度
（2）求Z 的分布规律。

解：（1）解法一 Y X 、 相互独立
⎩⎨⎧≤>==∴-0
,00
,)()(x x e x f y x f x X Y X λλ
解法二 ⎩
⎨⎧≤>===∴-0,00,)()()
()( )(),()(x x e x f y f y f x f y f y x f y x f x X Y Y X Y Y X λλ独立 （2）{}{}Y X P Z P >==0， {}{}Y X P Z P ≤==1
()⎩
⎨⎧>>=+-,00
,0,),(y x e y x f y x μλλμ
{}()dy e dx Y X P y x x
μλλμ+-+∞⎰⎰=>∴0
()λ
μμλλμ+=
-=--∞
+⎰
dx e e x x 10
又{}{}λ
μλ+=>-=≤Y X P Y X P 1
分布律为
39、某类电子管的寿命（以小时计）的概率密度为
)(x f =⎪⎩⎪
⎨⎧≤>100
1001002
x x x 求一架无线电在最初使用的150个小时中，所装的3个这样的电子管都不需要替换的概率是
多少 ？3个管子全需替换的概率是多少？（设3个电子管的寿命相互独立）
解：{}3
2
1001501502=
=>⎰
∞
+dx x X P 三个电子管的寿命相互独立，此实验相当于3重贝努利实验， 以Y 表示使用150小时不需要换的电子管的个数
{}278313230
333=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P {}271313203
3
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P
40、设随机变量X 分布规律为
求122
+=X Y 的分布律。

解：
所以41、
求Y =2的分布律。

解:Y 的分布律为
42 、 设)10~，（X ，求(1)X e Y = (2)122+=X Y ，
（3）X Y = 的概率密度.
解: (1){}y Y P y F Y ≤=)({}y e P X ≤= 当0≤y 时，0)(=y F Y
当0>y 时 )(y F Y {})(ln ln y F y x P =≤
⎪⎩⎪⎨⎧>≤=∴-021
00)(2
/)(ln 2
y e y y y f y Y π
(2) {}y Y P y F Y ≤=)({}y X P ≤+=122
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
-⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧
-≤≤--
=2121212
1
y F y F y X y P X X =
)x (f Y '
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---'
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212121y y f y y f X X {}y Y P y F Y ≤=)({}y X y P ≤≤-=
()()y F y F X X --=
=
)x (f Y ()()y f y f X X -+⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-
,00,22
2
y y e y π
43、设电流I 是一个随机变量，均匀分布在9A~11A 之间，此电流通过2Ω电阻，在其上消耗的功率22I W =。

求W 的概率密度
解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其
,011
9,21
)(i i f
{
}{}t I P t W P t F W ≤=≤=22)({}
2/2/t I t P ≤≤-= ()02I I F t F -⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=，0>t 由于电流大于0
()=
∴t f W 242162,241
2221
<<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t f t I 其他为0
()=∴t f W ⎪⎩
⎪
⎨⎧<<其他,0242162,241
t t
44、设随机变量X 的概率密度为
f(x )=⎩⎨⎧>-其他
,00,x e x
求Y=X 2的概率密度。

解：当0≥y 时，=)(y F Y {}{}{
}
y X y P y X P y Y P ≤
≤-=≤=≤2
)(y F Y ∴()()
⎩
⎨⎧<≥--=0,00
,y y y F y F X X
()()⎪⎩⎪
⎨⎧<≥+='=∴-0
,0
),(21
y y e
e y
y F y f y
y
Y Y
45、设Y X 、的分布律为
且Y X 、相互独立，求解：设Y X Z +=，Z 的可能取值为0、
1、2、3
{}{}{}{}6
13121000,00=⨯=
=======Y P X P Y X P Z P
46 Y X 、独立同分布，概率密度函数为
其中λ>0, μ>0 为常数，求X+Y 的概率密度。

解: (X,Y)的联合分布为
Z=X+Y 的概率密度为 f(x,z-x)的非零区域为 积分得：
47 Y X 、独立同分布，概率密度函数为
⎩
⎨⎧≤>=-0,,00,)(x x e x f x
求Y X +及Y X -的概率密度。

48、Y X 、相互独立，证明：若)(~),(~21λπλπY X ，则)(~21λλπ++Y X
⇒)(~1λπX P {X =k }=
1
!
1
λλ-e
k k
⇒)(~2λπY P {Y =j }=
2!
2λλ-e j j
P {X +Y =i }= ∑==-===-==i
k i
k k i Y k X P k i Y k X P 0
},{}],{[
而X 与Y 相互独立
所以P {X +Y =i }=
∑=-=⋅=i k k i Y P k X P 0
}{}{21
)!
(!20
1
λλλλ---=-⋅
=∑e k i e
k k
i i
k k
⎨
⎧≤>=-0
00)(x x e x f x X λλ⎩⎨
⎧≤>=-0
0)(y y e y f y
Y μμ
⎩
⎨
⎧≤≤>>=--0
000,0),(y x y x e y x f y
x 或μλλμ⎰+∞
∞
--=
dx
x z x f z f z ),()(⎩⎨
⎧>->00
x z x ⎩⎨
⎧>>x
z x 0或⎰⎰------==z
x
z
z
x z x z dx
e
e
dx e
z f 0
)(0
)
()(μλμμλλμλμ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤=≠--=---+00)()(2z ze e e z f z z
z Y X μ
λλμλμλλμλλμ
!
)!(!!)
(2012
1i e k i k i k i i k k λλλλ+--=⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬
⎫-⋅⋅=∑ !)
(0
2121i e C i k k i k k i λλλλ+-=-⎩⎨⎧⎭⎬⎫⋅⋅=∑
)
(2121!
)(λλλλ+-+=e
i i i =0,1,2,… 故 )(~21λλπ++Y X
50、Y X 、分别表示两个不同的电子元件的寿命（以小时计），并设Y X 和相互独
立，且服从同一分布，其概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧>=其他,
01000
,1000)(2x x x f
求Y
X
Z =
的概率密度解： 解：设X 表示电子管的寿命，Y 表示寿命小于180的电子管数
{}()8413.0120160180180=Φ=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ=<X P
则)08413,4(~B Y
{}()8413.0100
4
-==C Y P 4
=0.00063 所以0.00063
51、设X 、Y 为相互独立的随机变量,它们都服从),0(2σN 分布.证明
22Y X Z +=的概率密度为. ⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它
0)(2
22/2
z e
z z f z Z σσ
解: (X 、Y )的联合概率密度函数
2
222/)(2
21)()(),(σπσ
y x Y X e y f x f y x f +-==}
{)(22z Y X P z F Z ≤+=0)(0=<z F z Z 时
⎰⎰Ω
=≥dxdy y x f z F z Z ),()(0时
rdr e πσθd σr π
z
2
22/20
.02
21-⎰
⎰=
2
2
2
2
2/02/22
1|)(1
σσσσz
z r
e e ---=-⨯=
2
2
2/2
)(σσ
z
Z e z
z f -=
∴
⎪⎩⎪⎨⎧≥=∴-其它
0)(2
22/2
z e
z z f z Z σσ
25、28、31、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4只球,以X
表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.
(1)求X 、Y 的联合分布律 (2)求(X 、Y )的边缘分布律 (3)X 、Y 是否相互独立
（2）(X 、Y )的边缘分布律为：
(3) {}{}35/182,35/122,1=====X P Y X P ，
{}7/41==Y P
{}2=X P {}1=Y P =
245
84
351224572=
≠ 所以X 、Y 不相互独立 45、设Y X 、的分布律为
且Y X 、相互独立，求解：设Y X Z +=，Z 的可能取值为0、1、2、3
{}{}{}{}6
13121000,00=⨯=
=======Y P X P Y X P Z P
47、⎩⎨⎧≤>=-0
,,00,)(x x e x f x
求Y X +及Y X -的概率密度。

解：（1）令Y X Z +=
代公式=)z (f Z ⎰+∞
∞--dx )x z ,x (f （因独立）
⎰+∞
∞
--=dx )x z (f )x (f Y X
当⎩⎨⎧>->00x z x 时，即⎩
⎨⎧>>x z x 0
时)x z (f )x (f Y X -不为0
所以当0<x 时，)z (f Z =0
当0≥x 时，=)z (f Z ()dx e e x z z
x ---⋅⎰0=z ze -
⎩
⎨⎧<≥=∴-000x ,x ,xe )z (f x Z
（2）令Y X Z -=
代公式=)z (f Z ⎰+∞
∞--dx )z x ,x (f （因独立）
⎰+∞
∞
--=dx )z x (f )x (f Y X
当⎩⎨⎧>->00z x x 时，即⎩⎨⎧>>z
x x 0
时)z x (f )x (f Y X -不为0 所以当0>z 时，=)z (f Z z
z x z
x e dx e e -+-∞
+-=
⎰2
1 当0≤z 时，=)z (f Z z z x x e dx e e 2
10
=
+-∞
+-⎰
∴ =)z (f Z z
z
z
e z ,e z ,e --=⎪⎩⎪⎨
⎧>≤2102
1021 49、解：代公式=)z (f Z dy )y ,yz (f y ⎰
+∞
∞
-
非零域为⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>100010000yz y x
当0<z 时，=)z (f Z 0 当10<<z 时
=)z (f Z ⎰+∞z
dy )y (f )yz (yf 100021
1000100010002
22==⎰∞
+z
dy y
z y y
当1>z ，=)z (f Z ⎰
+∞
1000
dy )y (f )yz (yf 2
1000
22221
10001000z dy y z y y
==⎰
∞
+。