高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及答案

【高中数学】单元《三角函数与解三角形》知识点归纳
一、选择题
1．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8
x π=对称，则ω的最小
值为（ ） A ．
13
B ．
23
C ．
43
D ．83
【答案】C 【解析】 【分析】
利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，根据题意得出()8
3
2
k k Z π
π
π
ωπ+
=
+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.
【详解】
()
sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭Q ，
由于该函数的图象关于直线8
x π=对称，则
()8
3
2
k k Z π
π
π
ωπ+
=
+∈，
得()4
83
k k Z ω=
+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值4
3
.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.
2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则
a
b
=( )
A ．
B ．2
C
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又
A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解
【详解】
由正弦定理：
2sin sin b c
R B C
==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=
在ABC ∆中，A B C π++=
故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =
故
sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
3．若函数()sin 2f x x =向右平移6
π
个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
中心对称 B ．图象关于6
x π
=-轴对称
C ．在区间5,126ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】
利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】
函数()sin 2f x x =向右平移6π
个单位，得()sin 2()sin(2)63
g x x x ππ=-=-． 由23
x π
-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23
x π-
＝2
k π
π+
， 得212k x π5π
=
+
()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得1212
k x k π5π
π-
≤≤π+
()k ∈Z ， 所以在区间5,12
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ．
【点睛】
解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||
T π
ω=
周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫
⎪⎝⎭
，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．
4．已知函数(
)()03f x x πωω⎛
⎫=
-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，若
()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．π
D ．
4
π
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122
x x k k π
π-=-+，12,k k Z ∈；从
而可知120k k -=时取最小值. 【详解】
由()f x 最小正周期为π可得：
2π
πω
= 2ω∴= (
)23f x x π⎛
⎫∴=
- ⎪⎝
⎭
(
)max f x ∴，(
)min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点
设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点
()111222
2232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧
-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩
()12122x x k k ππ∴-=-+，
当120k k -=时，12min
2
x x π
-=
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；
关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.
5．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2
k a k Z π
≠
∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调且存在020,3x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,
3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,
2⎛
⎤ ⎥⎝⎦
C ．24,
33⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．33,42⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203
x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
上单调且存在()()0020203
x f x f x x π⎛⎫
∈+-= ⎪⎝⎭
，
，，即可得出结论． 【详解】
∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52
k π
≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝
2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 7
3
2a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，
∴d 8
π
=
．
∴f （x ）8
π
=
cosωx ，
∵在203
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，上单调 ∴
23
ππω≥， ∴ω32
≤
； 又存在()()0020203
x f x f x x π⎛⎫
∈+-= ⎪⎝⎭
，
，，
所以f （x ）在（0，23
π
）上存在零点， 即
223ππω＜，得到ω34
＞． 故答案为 33,42⎛⎤
⎥⎝⎦
故选D 【点睛】
本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．
6．已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭，若()π02f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫
⎪⎝
⎭上有且仅有三个零点，则ω= ( ) A ．
2
3
B ．2
C ．
143
D ．
263
【答案】C 【解析】
∵函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭
，()02f f π⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
∴1
sin()sin()6262
π
ππω-=--=- ∴
22
6
6
k π
π
π
ωπ-
=+
或
52,2
6
6
k k Z π
π
π
ωπ-
=+
∈ ∴2
43k ω=+
或42,k k ω=+∈Z ∵函数()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上有且仅有三个零点 ∴(,
)6
626
x π
πωπ
π
ω-∈-- ∴232
6
ωπ
π
ππ<-
≤
∴
1319
33
ω<≤ ∴14
3
ω=
或6ω= 故选C.
7．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}
0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,
22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．35,22⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．725,
26⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣
3
π
）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：
令2sin （ωx ﹣
3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=
76
π
+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω
，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =
322ππωω+，x B =46ππ
ωω
+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，
即
322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ． 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．
8．△ABC 中，已知tanA =13
，tanB =1
2，则∠C 等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，
11
tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132
A B C A B A B A B π+
+=--=-=-
=---⋅， 所以135C ?o .
故选：D. 【点睛】
本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
9．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2
π
ϕ<图象的一个对称中心为(
3
π
，0)，
其相邻一条对称轴方程为712
x π
=
，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】
根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+
(其中0A >，)2π
ϕ<
的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，
可得1A =，
1274123
πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23
π
ϕπ⋅+=，
可得：3
π
ϕ=
，
可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
故把()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos23
6y x x π
π⎛
⎫
=++
= ⎪⎝
⎭
的图象， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
10．已知sin α，sin()10
αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．
512
π
B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22
π
π
αβ-
<-<
，利用三角函数的基本关系式，分别求得
cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2
π.
又sin(α－β)＝－
10，∴cos(α－β)＝
10
.
又sin αcos α ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
－×⎛ ⎝⎭＝2
.∴β＝4π. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．已知π1
cos 25
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )
A ．
725
B ．725
-
C ．
2325
D ．2325
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】
由π1cos α25
⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin α5=，又由2
123cos2α12sin α122525=-=-⨯
=． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
12．将函数cos y x =的图象先左移4
π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的1
2，所得图象
的解析式为（ ） A ．sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．1
3sin 2
4y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
C ．1
sin 2
4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．3sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】
cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
纵坐标不变，横坐标缩为原来的12
，变为3sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】
本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.
13．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．5
3-
B ．35
-
C ．
35
D ．
53
【答案】B 【解析】 【分析】
根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 147
2πππαα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得
答案. 【详解】
由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++=-+
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫
-+=-+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪
⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪
⎝⎭
. 故选：B . 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上有零点，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．25,36ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ C ．2,23ππ⎛⎤
⎥⎝
⎦ D ．,
32ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】C 【解析】
分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ
∈-，2[,]33
x ππ
ϕϕϕ+∈-++，
又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，233ππϕ≤≤， 由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+
∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642π
π
ϕ
-<-<，解得526
π
πϕ<<， 综上223
π
πϕ<≤. 故选C.
点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2
x k ππ=+
，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈. 15．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D
，BD =，1cos 4BAC ∠=
，则AD =（ ） A ．2
B
C
D
．2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出sin 4
BAD ∠=
，再利用正弦定理求AD. 【详解】 ∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=
，
∴sin BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，
∴sin 2sin B AD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最
高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A ．12
B ．47
C 255
D 76565
【答案】B
【解析】
【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32
CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2
ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，
由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +
-，3(,1)2A a +， 所以32
CD =，11,2AD DE ==， 3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2
ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD BAC CAD EAD CAD EAD ∠-∠∠=∠-∠=
+∠⋅∠ 31422317122
-==+⨯. 故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
17．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =c =( )
A ．3
B ．2
C 2
D ．1
【答案】B
【解析】 1333,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===3cos 2
A =, 所以22231323c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C
B ===不满足内角和定理，排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想. 当求出3cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.
18．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）
A 15
B ．315
C ．1
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．
【详解】
如图：
()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，
在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB
=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC
=∠∠， 因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244
AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 14B ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
1sin 152
ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.
19．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为
A ．5
B ．8
C ．5或－8
D ．－5或8
【答案】B
【解析】
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．
20．设
2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案.
【详解】 ∵2
α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，
∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角. 故选：B .
【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.。