第三章 压力容器常规设计力学基础

b点处轴向应变和周向应变
d (u(b)) du d w d w = − z 2 = εx − z 2 ε x (b) = dx dx dx dx wz w ε θ (b) = − , R >> z, ε θ (b) = = ε θ R−z R
2
2
③虎克定律
1 [σ θ (b ) − µσ x (b ) ] E 1 ε x (b ) = [σ x (b ) − µσ θ (b ) ] E E E Ez (b ) [ε x (b ) + υε θ (b ) ] = σx = (ε x + υε θ ) − 2 2 1−υ 1−υ 1−υ 2 E [ε θ (b ) + υε x (b ) ] = E 2 (ε θ + υε x ) − Ez υ2 σ θ (b ) = 1−υ 2 1−υ 1−υ 将 ε x 和 ε θ 用位移表示
Nϕ R1
+
Nθ = pz R2
一个方程两个未知数解不出，补充一个方程，利用截面 法，截出一个分离体列出分离体轴向内外力的平衡方程
外力 pz 和Q在轴向方向合力
F = πr
2
p
z
− ∑ Q cos α
内力为轴向合力
F ' = 2 π rt σ ϕ sin ϕ F +F' =0 2 π rt σ ϕ sin ϕ = π r 2 p z − ∑ Q cos α pzr ∑ Q cos α = − 2 t sin ϕ 2 π rt sin ϕ
第三章 压力容器常规设计力学基础
3.1前言 我国压力容器常规设计标准为GB 150-98,该标准中的容器 与部件设计公式涉及到的力学理论。主要有： ●无力矩薄膜理论——推导出圆柱体及各种轴对称壳体壁厚计 算公式 ●有力矩理论——主要用于推导各不连续区域应力。例如封头 与筒体连接区，鞍座区域，法兰设计及开孔区域等应力分析均 为有力矩理论。 ●平板理论——用于推导平板封头，矩形容器设计公式等 ●外压容器弹性小挠度理论——用于推导外压容器设计公式 上述力学分析基本方法均为弹性力学取微元法，并结合材料 力学的截面法。
⑶变形几何方程 对于圆柱体，受压后膨胀
2π（r + u ) − 2πr u εθ = = 2πr r u = ε θ • r → 内径增加量
⑷物理方程
1 （ ε θ = E σ θ − υσ ϕ ） ε = 1（ σ − υσ ） ϕ θ ϕ E
圆柱体轴向伸长量:
对受内压圆柱体，径向应力 σ ϕ
当壁厚较薄时，认为 N θ , N ϕ 沿壁厚均匀分布，壁厚很薄，弯 曲应力很小，当忽略弯曲应力 M θ , M ϕ 时， Qθ = 0 壳体内只 有 N θ , N ϕ ，此时壳体处于无力矩状态，分析此时壳体中应力 称为无力矩理论。 2.曲率半径
轴对称回转壳体，存在两个基本曲率半径：第一，二曲率半径。 ●第一曲率半径——回转壳体经线上任一点的曲率半径。 ●第二曲率半径——过球面上一点与经线垂直平面在壳体中面上 切割出一条曲线，该曲线在该点曲率半径称为第二曲率半径。
④圆柱位移微分方程
d 2 M x Nθ + + pz = 0 将上述方程代入： 2 R dx p z υN x d 4w 得到微分方程 4 + 4β w = + 微分方程可解 4
dx D RD
本方程中的外力有：
内压 p , M θ , M x , Q x ，当不考虑内压时 边缘处内力有 则方程简化为 d 4w + 4β 4w = 0 dx 4 p z = 0, Nx = 0
3.2无力矩理论在轴对称承压设备中应用
1.无力矩理论
薄壁 k = D O ≤ 1 .2 压力容器壳体分为 Di 厚壁 k > 1 . 2
薄壁壳体在外力作用下，壳体内产生内力有：
薄膜内力
N
θ
,N
ϕ
, 弯曲内力
M
θ
,M
ϕ
， Qθ
壳体微元
Nθ → 周向薄膜力， ϕ → 径向薄膜力， θ → 周向弯矩， N M M ϕ → 径向弯矩， θ → 横剪力 Q
Eh du w Nx = ( −υ ) 2 R 1 − υ dx Eh w du Nθ = (− + υ ) 2 R dx 1 −υ Eh3 d 2w d 2w Mx = − ⋅ 2 = −D 2 2 12(1 − υ ) dx dx Eh3υ d 2w d 2w Mθ = − ⋅ 2 = −υD 2 = υM x 2 12(1 − υ ) dx dx Eh 3 h → 壁厚，υ → 泊松比，E → 弹性模量， = D 12 1 − υ 2） （
径向应力
GB 150-98标准容器设计采用弹性失效准则，运用第一强度理 论。 强度校核条件： σ I ≤ [σ ]
第一强度理论适用脆性材料，而压力容器均为塑性材料，为什 么用第一强度理论? 其原因：第一强度理论出现早，容器最开始设计就要用第一强 度理论，经过长久使用，积累了 丰富经验只要安全系数取得合 适，用第一强度理论设计产品仍有足够安全
a a
a
dx段轴向应变
εx =
dx − µ + u +
du ⋅ dx − dx du dx = dx dx
原半径R，变形后a点半径为R-W
εθ =
2π ( R − W ) − 2π R W = − 2π R R
距中性面为z的b点的径向位移 u (b)
dw u ( b ) = u − z sin θ ≈ u − z θ , tg θ = ≈θ dx dw u (b ) = u − z dx
M x , m θ , Q x , N θ , 轴向没有力，
该方程通解为：
w = e − β x ( c1 cos β x + c 2 sin β x ) + e β x ( c 3 cos β x + c 4 sin β x ) c1 , c 2 , c 3 , c 4 为积分常数
分析可知：离边界距离增加，w减小，当
∆l = ε ϕ ⋅ l
pr pr σϕ = ,σ θ = 2t t 1 pr pr pr υ ( −υ ⋅ )= (1 − ) εθ = E t 2t Et 2 pr 2 υ 半径增量 u = ε θ ⋅ r = (1 − ) Et 2 轴向伸长 ∆ l 1 pr pr prl 1 ∆l = εϕ ⋅l = ( −υ )l = ( −υ) E 2t t Et 2
σθ
解:
R1
+
σϕ
R2
p = t
对球壳
σθ = σϕ , R1 = R2 = R
σθ = σϕ
pR = 2t
第一强度理论强度条件;
pR t t ≤ [σ ] φ , R i = R − 2t 2
t≥
4[σ ] φ − p
t
pDi
(球壳壁厚设计公式）
3.3轴对称旋转薄壳的有力矩理论
无力矩理论指忽略了壳体中弯矩 M θ , M ϕ . 有力矩理论考虑了壳体中的弯矩，壳体中内力 N θ , N ϕ , M θ , M ϕ ,.Q 有 分析方法——弹性力学取微元法。 ●实际上只要有厚度有一定强度的壳体都存在弯曲应力和剪 应力，只是当壳体较薄时弯曲应力较小，在工程设计时可以 忽略。 ●另外在壳体的不连续区域，其弯矩是比较大的，必须采用 有力矩理论求解壳体中的应力。 ●薄膜力 N θ , N ϕ 产生的是薄膜应力，弯矩产生的应力为弯 曲应力，对有力矩壳体中应力为薄膜应力和弯曲应力之和。
得消去xxxzxxqqdxdmprndxdqdxdn???????????????000?022???zxprndxmd?变形几何方程中性面上一点a变形方程aaadx段轴向应变dxdudxdxdxdxduudxx?????????原半径r变形后a点半径为rwrwrrwr??????????222距中性面为z的b点的径向位移budxdwzubudxdwtgzuzubu????????sin????b点处轴向应变和周向应变????????????????????rwbzrzrwbdxwdzdxwdzdxdudxbudbzxx2222虎克定律????????222222222222222222111111111111dxwdezdxdurwedxwdezrwdxduedxwdezebbedxwdezebbebbebbbebbbxxxxbxxbxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????用位移表示和将有力矩理论是分析设计的力学基础
σϕ
无力矩理论旋转壳体基本方程
Nϕ Nθ + = pz R2 R1 pzr ∑ Q cos α σ = − ϕ 2 t sin ϕ 2 π rt sin ϕ
N θ , N ϕ 为单位长度截面上内力
合力
Nθ = 1 ⋅ tσ θ Nϕ = 1 ⋅ tσ
σ ϕ σ θ pz + = R2 t R1 → 拉普拉斯薄膜应力方程 σ = p z r − ∑ Q cos α ϕ 2 t sin ϕ 2π rt sin ϕ r − 平行圆半径
ε θ (b ) =
d 2w ⋅ dx 2 d 2w ⋅ dx 2
σx
(b )
σ θ (b )
E = 1−υ 2 E = 1−υ 2
du w Ez d 2w ( +υ ) − ⋅ 2 dx R dx 2 1−υ w du Ez υ d 2 w (− + υ )− ⋅ 2 R dx 1−υ dx 2
有力矩理论是分析设计的力学基础。通过有力矩理论 即可求出不连续应力分布。 通过静力等效方法得:
微元体受力
取出微元体，微元体上受力各截面内力合力
Nθ ,Nϕ
dk 2 = ak 2 = R2 bk1 = ak1 = R1
1 dθ = R2 dϕ = 1 R1
由于忽略内力矩，微元体只有法向内力 p z ，分别列出周向 内力 N θ 和径向内力 Nϕ 在壳体法线方向投影代数和，该内 力与外力在法线方向合力平衡。忽略高阶微量，经整理得到：
x → ∞ , w 实际应趋近 0 , 所以 c 3 = c 4 = 0
w = e − βx (c1 cos βx + c 2 sin βx)
1 ε θ = E (σ θ − µσ ϕ ) ε = 1 (σ − µσ ) θ ϕ E ϕ
知道应变即可求应力
⑵基本方程 ●对壳体分析采用弹性力学分析方法——取微元法 ●对微元受力分析——列出微应力外力平衡方程
取微元; 用两个相邻的经线平面及两个垂直于经线的法向平面截面取 各边长度为1的微元体，微元体中面abcd；微元体上受轴对称均 布外载内压如图
已知内压和圆柱壳体的半径，可计算出半径的增加量。
例1：求A点应力，杯中水重量G
解：A点压力 p =
ρh
σ ϕ σ θ p + = t R1 R2 R = ∞, R = R 2 1
σθ =
ρhR
t
2πRσ ϕ = πR 2 ρh + G 2 = G1 + G2 = G G σϕ = 2πRt
dθ dθ sin ≈ , 略去三阶项 2 2
整理得：
dN x dx = 0 dQ x N θ + + p z = 0消去Q x 得 R dx dM x dx − Q x = 0
dx , d θ
d 2 M x Nθ + + pz = 0 2 R dx
②变形几何方程 中性面上一点a变形方程
3.无力矩理论方程 无力矩理论求解应力的基本方法——微元法 ●列微应力平衡方程 ●变形几何方程 ●物理方程 ⑴无力矩理论基本假设 ●前提条件:薄壁壳体（壁厚远小于直径），壳体为完全弹性体， 壳体是理想材料（连续性，各向同性，均匀性）。 ●基本假设：①小位移假设（小变形），变形量远小于壁厚。 ②直法线假设——变形前垂直于壳体中性面。 ③不挤压假设——假设壳体由很多纤维层构成，受力变形后各 层互不挤压。 由于厚度不变，变形也为平面应变，列出两向应力虎克定律
分析基本方法取微元法微元上受力情况如图
圆柱壳中微元体的受力
壳体厚度为h微元体在这些力和力矩作用下处于平衡 ①列出平衡状态方程
∑ Fx = 0 ∑ F y = 0 ∑ M O = 0
dNx (N x + ) Rdθ − N x Rdθ = 0 dx dQx dθ Qx Rdθ − p z Rdθ ⋅ dx − (Qx + dx) Rdθ − 2 Nθ dx ⋅ sin =0 dx 2 dM x dQx dx − p z dx ⋅ Rdθ ⋅ 2 + (M x + dx ⋅ dx) Rdθ − M X Rdθ − (Qx + dx ⋅ dx) Rdθ ⋅ dx = 0
要求中径应力小于许用应力，同时考虑焊缝系数
t p ( Ri + ) 2 ≤ [σ ]t φ σθ = t t [σ ] → 设计温度下材料许用应 力φ Nhomakorabea 焊缝系数
pD i ≥ t 2[σ ] φ − p
t
(
t
)
t≥
2[σ ] φ − p
pD i
圆柱壳体壁厚计算公式
例3：推导球形容器壁厚设计公式
可以看出，对支座以下的壁面上任一点轴向应力，均为定值。
例2：受内压作用圆柱形容器壁厚设计公式推导。
由无力矩理论得到内压薄壁壳体，壳体应力计算公式
σ ϕ σθ p + = R1 R t σ = pR , R = ∞ 1 ϕ 2t
σ θ , σ ϕ 为中性面上周向应力与 σ θ = 2σ ϕ ， R 为中性面半径