【冲刺卷】高三数学下期中第一次模拟试卷(含答案)

【冲刺卷】高三数学下期中第一次模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．已知x 、y 满足约束条件50
{03
x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）
A ．6-
B ．5
C ．10
D ．10-
2．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩
＞，则y x 的取值范围是（ ） A ．()
[),22,-∞-+∞ B ．(]2,2- C ．(][),22,-∞-+∞ D ．[]22-,
3．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．24 4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 31
B ． 31
C ．3＋2
D ．32
5．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ）
A ．24
B ．48
C ．60
D ．84
6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4 B ．10 C ．16 D ．32
7．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ）
A ．2018
B ．2018-
C ．4036-
D ．4036
8．在ABC 中，4ABC π∠=
，2AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ） A ．1010 B ．105 C 310 D 5 9．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16 B ．26 C ．8 D ．13
10．等比数列{}n a 中，11,28a q =
=，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14
± D ．14
11．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y ++的最小值为（ ）
A ．2
B ．92
C ．143
D ．5
12．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)
x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=
A ．
B ．
C ．1
D ．2
二、填空题
13．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
()3cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．
14．设，，若，则的最小值为_____________.
15．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，4523
4a a a a +=+，则144
S S a +=______． 16．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____．
17．设0,0,25x y x y >>+=，则xy
的最小值为______. 18．设数列{a n }的首项a 1＝
32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 19．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．
为________．
20．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，
7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=
（1）求CAD ∠的正弦值； （2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.
22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-．
（1）求证：A B =；
（2）若3c =，3cos 4
C =，求ABC ∆的周长． 23．在等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}
3n n a a +的前n 项和n S .
24．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13,n n n n b T a a +=
是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m . 25．设数列
的前项和为，且. （1）求数列
的通项公式； （2）设，求数列的前项和.
26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002
y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
作出不等式50
{03
x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，
作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍，
联立3
{0x x y =+=，解得3
{3x y ==-，结合图象知，
当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小，
此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A.
考点：线性规划
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意，作出可行域，分析y x 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解.
【详解】 作出约束条件表示的可行域，如图所示，
y x 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102
x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-，
所以y x 的取值范围是()[),22,-∞-+∞.
故选：A
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【详解】
由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=，
∴由等差数列的求和公式可得1888()831222a a S +⨯=
== ，故选C 。

【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

4．D
解析：D
【解析】 由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，
得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－3
∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2.
故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 5．C
解析：C
【解析】
试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，
＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=-
-=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.
6．C
解析：C
【解析】
由64S S -=6546a a a +=得，()22460,60q q a q q +-=+-=，解得2q ，从而
3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.
7．D
解析：D
【解析】
分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.
详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：
120171009201710092201720172017201722
a a a S a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：
()12018201710091010201810091009440362
a a S a a +=
⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．C
解析：C
【解析】
试题分析：由余弦定理得22923cos 5,4b b π
=+-⋅==.由正弦定理得
3
sin sin 4
BAC =∠sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.
9．D
解析：D
【解析】
【详解】
试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=， ∴1134101313()13()1322
a a a a S ++=
==，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式. 10．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝ ，即可得出． 【详解】
设4a 与8a 的等比中项是x ．
由等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝，6x a ∴=± ． ∴4a 与8a 的等比中项5
61248x a =±=±⨯=±．
故选A ．
【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 11．B
解析：B
【解析】
【分析】
由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与
141x y
++相乘，利用基本不等式可求出 141x y
++的最小值． 【详解】
1
x y
+=，所以，(1)2
x y
++=，
则
14144141 2()[(1)]()52
59
1111
x y x y
x y
x y x y y x y x
++
+=+++=+++=
++++
，
所以，
149
12
x y
+
+
，
当且仅当
41
1
1
x y
y x
x y
+
⎧
=
⎪
+
⎨
⎪+=
⎩
，即当
2
3
1
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
时，等号成立，
因此，
14
1
x y
+
+
的最小值为
9
2
，
故选B．
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
画出不等式组表示的平面区域如图所示：
当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，z取得最小值，而点A的坐标为（1，
2a
-），所以
221
a
-=，解得
1
2
a=，故选B.
【考点定位】
本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
二、填空题
13．【解析】由根据正弦定理得即又因为所以故答案为
解析：75︒
【解析】 由()3acosC ccosA b -=，根据正弦定理得()3sinAcosC sinCcosA sinB -=，即()33sin A C -=， ()1sin ,?3026
A C A C π-=-==︒， 又因为180
B 120A
C +=︒-=︒，
所以2150,A 75A =︒=︒，
故答案为75︒．
14．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-
1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a-
解析：
【解析】
【分析】
由已知可得
，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，因为
满足， 所以
，且， 则
，
当且仅当
且，即时取得最小值. 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 15．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题
解析：2
【解析】
【分析】
利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论．
【详解】
设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)
a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q ， ∴44121512
S -==-，111S a ==，3428a ==，14411528S S a ++==． 故答案为：2．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．
16．【解析】【分析】由为定值运用均值不等式求的最大值即可【详解】当且仅当时等号成立即而当且仅当时等号成立故的最大值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值对数的运算属于中档题
解析：2
【解析】
【分析】
由0,0a b >>，20a b +=为定值，运用均值不等式求ab 的最大值即可.
【详解】
0,0a b ∴>>,20a b +=,
20a b ∴=+≥当且仅当10a b ==时，等号成立，
即100ab ≤，
而lg lg lg lg1002a b ab +=≤=，当且仅当10a b ==时，等号成立，
故lg lg a b +的最大值为2，
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.
17．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立
解析：【解析】
【分析】
把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．
【详解】
xy = 0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴
≥=
当且仅当3
xy=，即3,1
x y
==时成立，
故所求的最小值为
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
18．7【解析】由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)两式相减得2an＋1－2an＋an＝0化简得2an＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7
【解析】
由2a n＋1＋S n＝3得2a n＋S n－1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n＋1－2a n＋a n＝0，化简得2a n＋1＝
a n(n≥2)，即1n
n
a
a
+＝
1
2
(n≥2)，由已知求出a2＝
3
4
，易得2
1
a
a＝
1
2
，所以数列{a n}是首项为a1＝
3
2
，公比为q＝
1
2
的等比数列，所以S n＝
31
1
22
1
1
2
n
⎡⎤
⎛⎫
-
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
-
=3[1－(
1
2
)n]，S2n＝3[1－(
1
2
)2n]代入
18
17
<2n
n
S
S<
8
7
，可得
1
17
<(
1
2
)n<
1
7
，解得n＝3或4，所以所有n的和为7.
19．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为
解析：
2
3
π
【解析】
由正弦定理得::3:5:7
a b c=,由余弦定理得
222
3571
cos
2352
C
+-
==-
⨯⨯
,故
2π
3
C=,也就是最大内角为
2π
3
.
20．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际
解析：
14
【解析】
【分析】
在ABC
∆中，由余弦定理，求得BC，再由正弦定理，求得sin,sin
ACB BAC
∠∠，最后
利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值．
【详解】
在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=，
由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=，
所以BC =,
由正弦定理可得sin sin 7
AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=， 因为120BAC ∠=，可知ACB ∠
为锐角，所以cos 7
ACB ∠= 所以21cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠
=
． 【点睛】
本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．
三、解答题
21．（1 （2
【解析】
【分析】
（1）ACD ∆中，设(0)AD x x =>，利用余弦定理得到1x =，再利用正弦定理得到答案.
（2）利用面积关系得到sin 4sin .AB BAC AD CAD
⋅∠=⋅∠化简得到 cos 2.AB CAD AD ⋅∠=根据（1）中sin CAD ∠=
解得答案. 【详解】
（1）在ACD ∆中，设(0)AD x x =>，
由余弦定理得2227=422cos
3
x x x x +-⨯⋅π 整理得277x =，解得1x =.
所以1, 2.
AD CD == 由正弦定理得2sin sin 3
DC AC DAC =∠π，解得sin 7DAC ∠=
（2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=， 所以11sin 4sin 22
AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠
所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠
于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=
因为sin CAD ∠=
，且CAD ∠为锐角，所以cos CAD ∠==.
代入计算217
AB ⨯=⨯
因此AB =
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.
22．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得
()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．
（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求a b ==
ABC ∆的周长． 【详解】
（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-， ∴sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A C b B a A C C
-=-， sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-，
cos()cos()a A C b B C ∴+=+，
又
A B C π++=，
cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-，
sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈， 又A ，(0,)B π∈，A B ∴=．
（2）
由（1）可知A B =，可得a b =， 又3c =，3cos 4
C =，
∴2232342a a
-==，
226a b ∴==，可得a b ==
ABC ∆∴的周长a b c ++=
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围．
23．（1）14
n n a -=；（2）n S 4121n n =-+-. 【解析】
【分析】
（1）由数列{}n a 是等比数列，及125a a +=，且2320a a +=，两式相除得到公比q ，再代入125a a +=可求1a ，则通项公式可求.
（2）利用分组求和求出数列{3n a 的前n 项和n S .
【详解】
解：（1）因为等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=. 所以公比2312
4a a q a a +==+， 所以12155a a a +==，
即11a =，
故14n n a -=.
（2）因为14n n a -=
所以113342n n n a --=⋅+， 所以141231412
n n
n S --=⨯+-- 4121n n =-+-
422n n =+-.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前n 项和公式的应用，属于基础题.
24．(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30.
【解析】
试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出
()()3
311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果．
试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+．又因为124,,S S S 成等比数列，所以
()()2
111462a a d a d ⋅+=+．所以212a d d =． 因为公差d 不等于0，所以12d a =．又因为24S =，所以1a 1,d 2，所以21n a n =-．
（2）因为()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以311111123352121n T n n ⎛⎫=
-+-++- ⎪-+⎝⎭31312212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 要使20n m T <对所有n N *∈都成立，则有3202
m ≥，即30m ≥．因为m N *∈，所以m 的最小值为30．
考点：等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题．
25．(1)
;(2). 【解析】
试题分析： (1)由题意结合通项公式与前n 项和的关系可得;
(2)结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列
的前项和.
(3)
试题解析：
(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ①
2S n －1＝3a n －1－1 ②
②-①得2a n ＝3a n －3a n －1，∴＝3，() 又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意）
∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n ＝
∴T n ＝＋＋
＋…＋，…………………③ T n ＝＋＋…＋＋，………④
③－④得：T n ＝＋＋
＋…＋－ ＝－＝－
∴T n ＝－.
26．（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．
【解析】
【分析】
（1）根据已知得平均处理成本为y x
，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利
()213003500002
10x S x y =-=---，根据二次函数图象可求得[]80000,40000S ∈--，可知不获利，同时求得国家至少补贴40000元.
【详解】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：
18000018000020020020022y x x x x x
=+-≥⋅= 当且仅当1800002x x
=，即400x =时取等号 ∴月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨 （2）不获利
设该单位每月获利为S 元
()222110010020080000113008000030035000222S x y x x x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪=-+-=---⎝⎭
[]400,600x ∈ []80000,40000S ∴∈--
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损
【点睛】
本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题.。