如何用一次函数图象求不等式的解集
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。
本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。
一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。
其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。
二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。
其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。
三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。
2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。
3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。
四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。
2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。
3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。
五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。
例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。
2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。
例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。
3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。
一次函数和不等式的解题技巧
一次函数和不等式的解题技巧一次函数和不等式是数学中基础的概念，也是学习数学的重要门槛。
在学习这两个知识点时，我们需要掌握一些解题技巧，以便更好地理解和应用这些知识点。
一、一次函数的解题技巧一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数。
在解题时，我们需要掌握以下技巧：1. 确定函数的斜率和截距斜率k决定了函数的变化趋势，截距b决定了函数的位置。
因此，我们需要先确定函数的斜率和截距，才能更好地理解函数的性质。
2. 理解函数的图像一次函数的图像是一条直线，我们需要理解直线的性质，比如斜率越大，函数的变化越快；截距越大，函数的位置越高。
3. 利用函数的性质解题一次函数具有一些特殊的性质，比如斜率为正时，函数单调增加；斜率为负时，函数单调减少。
我们可以利用这些性质来解题，比如求函数的最值、最小值等。
二、不等式的解题技巧不等式是指形如a<b或a≤b的数学式子，其中a和b可以是数字、变量或表达式。
在解题时，我们需要掌握以下技巧：1. 理解不等式的含义不等式的含义是比较大小关系，我们需要理解不等式的含义，才能更好地应用不等式解题。
2. 利用不等式的性质解题不等式具有一些特殊的性质，比如加减不等式、乘除不等式、绝对值不等式等，我们可以利用这些性质来解题，比如求不等式的解集、证明不等式等。
3. 注意不等式的变形在解题时，我们需要注意不等式的变形，比如加减、乘除、开方等操作会改变不等式的性质，需要根据具体情况来进行变形。
三、一次函数和不等式的综合应用一次函数和不等式常常在实际生活中综合应用，比如求解线性规划问题、解决经济问题、分析统计数据等。
在综合应用时，我们需要掌握以下技巧：1. 理解实际问题的背景和条件在应用一次函数和不等式解决实际问题时，我们需要先理解问题的背景和条件，才能更好地应用数学知识解决问题。
2. 建立数学模型在理解问题的背景和条件后，我们需要建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，以便更好地进行求解。
第1讲-用一次函数看方程、不等式
y2 1 1 O -2 -1x第1讲-用一次函数看方程、不等式序号知识点典型练习1从函数的角度看解一元一次方程：以x 为未知数的一元一次方程可以变形为ax ＋b ＝0（a ≠0）的形式，解一元一次方程相当于在一次函数y ＝ax ＋b 的函数值为0时，求自变量x 的值．1．若关于x 的方程kx ＋b ＝0的解是x ＝2，则一次函数y ＝kx ＋b 与x 轴的交点坐标是 ．2从函数的角度看解一元一次不等式：以x 为未知数的一元一次不等式可以变形为ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0（a ≠0）的形式，解一元一次不等式相当于在一次函数y ＝ax＋b 的值大于0或小于0时，求自变量x 的取值范围．一般地，已知函数值范围求自变量x 的范围或者已知自变量范围求函数值范围时，可以通过观察图象得到（数形结合）． 2．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交于点A （－1，0）则关于x 的不等式kx ＋b ＞0的解集是 ．3从函数的角度看解二元一次方程组： 由含有未知数x 和y 的两个二元一次方程组成的二元一次方程组对应两个一次函数，也对应两条直线．从“数”的角度看，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，相当于确定两条相应的直线的交点坐标． 3．已知直线y ＝k 1x ＋b 1与y ＝k 2x ＋b 2的交点坐标为（1，4），则方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2的解为 ．4．（1）直线y ＝x ＋3与x 轴的交点坐标 ，所以相应的方程x ＋3＝0的解是 ．（2）如图，直线y ＝kx ＋b ：①关于x 的方程kx ＋b ＝0的解是 ， ②关于x 的不等式kx ＋b ＜0的解集是 ； ③当x ＜0时，函数值y 的取值范围是 ．5．若关于x 的方程kx ＋b ＝0的解是x ＝－4，则一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点坐标为 ．-21O yx-3Oxy -6 y 1=kx yy 2=ax+bx -2O -4 P6．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象，如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ ）．A ．y ＞0B ．y ＜0C ．－2＜y ＜0D ．y ＜－27．如图，已知一次函数图象y ＝－2x －6，利用图象回答： （1）不等式－2x －6＞0解集是 ，不等式－2x －6＜0解集是 ；（2）函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为 ； （3）当y ＝－4时，则x ＝ ，当y ＝2时，则x ＝ ；（4）如果y 的取值范围－4＜y ≤2，则x 的取值范围 ；（5）如果x 的取值范围－3≤x ≤3，则y 的最大值是 ，最小值是 ； （6）若直线y ＝3x ＋4和直线y ＝－2x －6交于点A ，则点A 的坐标 ．8．如图所示，已知直线y 2＝ax ＋b 和直线y 1＝kx 的图象交于点P ，利用图象回答：（1）关于二元一次方程组⎩⎨⎧y ＝ax+b ，y ＝kx的解是 ，则两直线的交点坐标是 ；（2）当y 2＜y 1时，则x 的取值范围是 ； （3）当ax ＋b ≥kx 时，则x 的取值范围是 ； （4）当ax ≤kx －b 时，则x 的取值范围是 ．9．（15海珠期末）直线y ＝x ＋1与直线y ＝－2x ＋a 的交点在第一象限，则a 的取值可以是（ ）． A ．2B ．1C ．0D ．－110．（15一中期末）如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P（－2，－5），则不等式3x＋b＞ax－3的解集为．11．（13太原期末改编）如图，直线l1：y1＝x＋1与直线l2：y2＝mx＋n相交于点P（1，b），直线y2与x轴交于点A（4，0）．（1）求b的值并直接写出关于x，y的方程组1y xy mx n=+⎧⎨=+⎩的解；（2）求直线l2的表达式；（3）判断直线l3：y3＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．（4）若y3＞y2＞0，则x的取值范围是________________．12．已知一次函数y ＝kx＋b的图象，如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）．A．x＞0B．x＜0C．0＜x＜1D．x＜113．（11广州）当实数x的取值使得x－2有意义时，函数y＝4x＋1中y的取值范围是（）．A．y≥－7B．y≥9 C．y＞9D．y≤9 14．（15海珠期末）如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b＞kx－1的解集在数轴上表示正确的是（）．A．B．C．D．15．如图，1l反映了某公司的销售收入与销售量的关系，2l反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司盈利（收入大于成本）时，销售量（）．A．小于3t B．大于3t C．小于4t D．大于4t第14题第15题16．（16天河期末）一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜4时，y1＜y2；④b＜0．其中正确的结论的个是（）．A．4个B．3个C．2个D．1个-2yO1x17．（16南充）小朱和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小朱后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．（1）直接写出小朱所走路程s与时间t的函数关系式；（2）小朱出发多少时间与爸爸第三次相遇？（3）在速度都不变的情况下，小朱希望比爸爸早20min到达公园，则小朱在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？18．（15衢州）高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，小卓卓和小越越相约到杭州市的某游乐园游玩，小卓卓乘私家车从衢州出发1小时后，小越越乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转出租车去游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示．请结合图象解决下面问题：（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？（2）当小越越达到杭州火车东站时，小卓卓距离游乐园还有多少千米？（3）若小卓卓要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？y (千米)游乐园t(小时)19．（14海珠期末）今年龙舟赛甲乙两队同时出发，其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．甲队在出发2.5小时到达终点．（假设乙队速度不变）（1）写出比赛全程多少千米？谁先到达终点？乙队花多少时间到达终点？ （2）求乙队何时追上甲队？（3）求在比赛过程中，甲乙两队何时相距最远？20．（1）（12恩施州）如图，直线y ＝kx ＋b 经过A （3，1）和B （6，0）两点，则不等式组0＜kx ＋b＜13x 的解集为 ．（1） （2）（2）如图，直线y ＝kx ＋b 经过A （2，1），B （－1，－2）两点，则不等式组12x ＞kx ＋b ＞－2的解集为 ．21．（15广雅期末）若直线y ＝－2x ＋m 与直线y ＝2x －1的交点在第四象限，则m 的取值范围是（ ）． A ．m ＞－1 B ．m ＜1C ．－1＜m ＜1D ．－1≤m ≤1yA 2 1 xB 0 －1 －2 －3 －2－1 1 2 322．依照题意，解答下列问题：（1）如图①，已知直线y ＝2x ＋4与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，请在图①中画出直线y ＝－12x ＋4，并探究两函数的图象与x 轴围成的三角形的特点；（2）如图②，已知点M 和点N 的坐标分别为（3，4）和（－2，－1），问在y 轴上是否存在一点P ，使△MNP 是以点M 或点N 为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．y xB AO（图①））yx MN O（图②））第一讲-参考答案1．（2，0） 2．x ＞－13．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝44．（1）（－3，0），x ＝－3； （2）①x ＝－2；②x ＜－2；③y ＜1． 5．（－4，0）6．D 7．（1）x ＜－3，x ＞－3； （2）9；（3）－1，－4； （4）－4≤x ＜－1；（5）0，－12；（6）（－2，－2）．8．（1）⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，（－4，－2）；（2）x ＞－4；（3）x ≤－4；（4）x ≥－4．9．A10．x ＞－211．（1）b ＝2，12x y =⎧⎨=⎩； （2）2833y x =-+；（3）由（2）可知m ＝23-，n ＝83，∴ y ＝83x －23，当x ＝1时，y ＝2．∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P ． （4）1＜x ＜4．12．D 13．B 14．A 15．D 16．D17．解：（1）s ＝50(020)1000(2030)50500(3060)t t t t t ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤＜≤＜≤；（2）设小朱的爸爸所走的路程s 与步行时间t 的函数关系式为：s ＝kt ＋b ，则251000250k b b +=⎧⎨=⎩，解得30250k b =⎧⎨=⎩，则小朱的爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s ＝30t ＋250， 当50t －500＝30t ＋250，即t ＝37.5min 时，小朱与爸爸第三次相遇； （3）30t ＋250＝2500，解得，t ＝75，则小朱的爸爸到达公园需要75min ， ∵小朱到达公园需要的时间是60min ，∴小朱希望比爸爸早20min 到达公园，则小朱在步行过程中停留的时间需减少5min ．18．解：（1）v ＝2402－1＝240（km/h ）．答：高铁的平均速度是每小时240千米； （2）设乘坐高铁时路程与时间的关系式为y ＝kt ＋b ，当t ＝1时，y ＝0，当t ＝2时，y ＝240，得：⎩⎨⎧0＝k ＋b 240＝2k ＋b ，解得：⎩⎨⎧k ＝240b ＝－240，故把t ＝1.5代入y ＝240t －240，得y ＝120， 设乘坐私家车时路程与时间的关系式为y ＝at ， 当t ＝1.5，y ＝120，得a ＝80，∴y ＝80t ， 当t ＝2，y ＝160，216－160＝56（千米）， ∴小卓卓距离游乐园还有56千米； （3）把y ＝216代入y ＝80t ，得t ＝2.7，2.7－1860＝2.4（小时），216 2.4＝90（千米/时）．∴小卓卓要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时．19．解：（1）35千米；乙；3516小时； （2）对于乙队，x ＝1时，y ＝16，所以y ＝16x ，对于甲队，出发1小时后，设y 与x 关系为y ＝kx ＋b ，把x ＝1，y ＝20和x ＝2.5，y ＝35代入，得⎩⎨⎧20＝k ＋b35＝2.5k ＋b，则y ＝10x ＋10．联立方程组，⎩⎨⎧y ＝16x y ＝10x ＋10，得x ＝53，即：出发1小时40分钟后，乙队追上甲队； （3）1小时之内，两队相距最远距离是4千米，即当x ＝3516时，y 甲＝10×3516＋10＝31.875，y 乙＝35，y 甲－y 乙＝35－31.875＝3.125； 当x ＝1时，y 甲－y 乙＝20－16＝4；∵3.125＜4，所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时相距最远．20．（1）3＜x ＜6；（2）－1＜x ＜2． 21．C22．（1）图略；用勾股定理的逆定理可以证明两函数与x 轴围成的三角形是一个直角三角形； （2）设P （0，y ），①当PM为斜边时，PN2＋MN2＝PM2，即（－2）2＋（－1－y）2＋25＋25＝32＋（4－y）2，解得：y＝－3，即P为（0，－3）；②当PN为斜边时，PM2＋MN2＝PN2，即32＋（4－y）2＋25＋25＝（－2）2＋（－1－y）2，解得：y＝7，即P为（0，7）；综上所述，在y轴上存在一点P，使△MNP是直角三角形，P为（0，－3）或（0，7）．。
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
不等式在实际问题中的应用
方案优选问题 在多种方案中选择最优方案，可以通过建立和解决不等式来比较各种方案的优劣。 最大值最小值问题 在生产、生活中，经常需要求某个量的最大值或最小值，可以通过建立不等式来解决。 经济问题 在经济学中，价格、成本、利润等变量之间存在不等关系，可以通过建立和解决不等式来分析经济问题。
建立实际问题与数学模型的联系
实际问题的数学建模与解决
通过分析实际问题，将问题转化为数学模型，如线性方程、不等式或函数表达式。
利用数学知识和方法求解数学模型，得出实际问题的解决方案。
实际问题的数学解决方案
将数学解决方案应用到实际问题中，验证其可行性和有效性。
实际问题的应用与验证
综合应用题的解题思路与技巧
方程组在实际问题中的应用
在经济学中，方程组被用来描述和解决各种问题，如供需关系、成本和收益等。
经济问题
在解决物理问题时，经常需要建立和解决方程组，例如在力学、电磁学和热力学等领域。
物理问题
在航天工程中，需要建立复杂的方程组来描述和解决飞行器的轨道、速度和加速度等问题。
航天工程
PART THREE
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
答辩学生：XXX 指导老师：XXX
Contents
目 录
目录
绪论
研究 方法
PART ONE
一次函数的应用
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
一次函数的定义与性质
一次函数是形如$y=kx+b$的函数，其中$k$和$b$是常数，且$k neq 0$。 一次函数的图像是一条直线，其斜率为$k$，截距为$b$。 一次函数的性质包括单调性、奇偶性等，这些性质在解决实际问题中具有重要意义。
一次函数与方程不等式的关系
一次函数与方程不等式的关系一、什么是一次函数一次函数是指一个未知数的最高次数为1的多项式函数，也就是一次函数的表达式为 y= kx+b ，其中 k 和 b 分别是斜率和截距。
二、一次函数的图像特征对于一次函数，它的图像是一条直线，有以下的图像特征:1. 斜率 k 决定了图像在坐标系中的倾斜程度。
2. 截距 b 决定了图像与 y 轴的交点位置。
三、一次函数的解析式一次函数的解析式为 y= kx+b ，其中 k 和 b 是常数。
通过给定的 k 和 b 的值，可以构建出这个一次函数的解析式。
四、一次不等式的解法对于一次不等式 ax+b >0 （其中 a 和 b 都是实数，在本节中我们以一次不等式大于0为例），解法如下：1. 如果 a > 0 ，则不等式的解集为 x>-b/a 。
2. 如果 a < 0 ，则不等式的解集为 x<-b/a 。
注：不等式的解集指的是所有满足不等式的实数 x 的集合。
五、一次函数与一次不等式的关系一次函数与一次不等式之间有着紧密的联系。
如果一个一次函数的表达式为y= kx+b ，则对于x 的取值范围可以转化为一次不等式的形式：1. 当 k>0 ，b>=0 时，函数图像位于 y 轴上方，此时函数图像上的点对应的 x 值范围应为 x>-b/k 。
因此，该一次函数对应的一次不等式为kx+b >0，此时其解集为 x>-b/k 。
2. 当 k>0 ，b<0 时，函数图像位于 y 轴下方，此时函数图像上的点对应的 x 值范围应为 x>-b/k 。
因此，该一次函数对应的一次不等式为kx+b >0，此时其解集为 x>-b/k 。
3. 当 k<0 ，b>=0 时，函数图像位于 y 轴上方，此时函数图像上的点对应的 x 值范围应为 x<-b/k 。
因此，该一次函数对应的一次不等式为kx+b <0，此时其解集为 x<-b/k 。
19、2、3一次函数与一元一次不等式
0 2
x
y=3x+2 y=6x-4
8. 从A地向B地打长途电话，通话3分钟以内收费 2.4元，3分钟后每增加通话时间1分钟加收一元。 通话半小时需要多少费用？
解：设通话时间为x分钟，通话收费为y元． 当0≤x≤3时，y =2.4. 当x＞3时，y ＝2.4+(xБайду номын сангаас3) ＝x-0.6. 当x＝30时， y ＝x-0.6 ＝30-0.6＝29.4.
1. 当自变量x的取值满足什么条件时， 函数y=3x+8的值满足下列条件？ y （3）y > 0 （4）y＜2
解： （4）画直线 y=3x+8
8
由图象可知
y＜2 时对应的 x＜-2
∴ 当x＜-2时， y＜2
y=3x+8
2
8 -2 3
0
x
随堂练习 1
[P126]
1. 当自变量x的取值满足什么条件时， y 函数y=3x+8的值满足下列条件？ （3）y > 0 （4）y＜2
回顾思考：
1.以下两个问题是不是同一个问题？ ①解不等式：2x－4＞0 ②当x为何值时， 函数y=2x －4的值大于0？ 2.你如何利用图象来说明②？ 3. “解不等式2x－4＜0”可以与怎样的 一次函数问题是同一的？怎样在图象上加 以说明？
（－3，0） 1、直线y=x+3与x轴的交点坐标为 ， 所以相应的方程x+3=0的解是 x=－3 . 2、设m，n为常数且m≠0， 直线y=mx+n（如图所示）， 则方程mx+n=0的解是 x=－2
.
3、对于y1=2x－1， y2=4x－2，下列说法：
①两直线平行； ②两直线交于y轴于同一点； ③两直线交于x轴于同一点； ④方程2x－1 =0与 4x－2=0的解相同； ⑤当x=1时，y1=y2=1. 其中正确的是 ③ ④ （填序号）
用图像求不等式解集
巧用函数图像求不等式的解集例：如图，直线1l：1yx=+与直线2l：y mx n=+相交于点P（a，2），则关于x的不等式1x+≥mx n+的解集为分析：本题可以理解为“当自变量x在什么范围内取值时，1l代表的函数值大于等于2l代表的函数值”，即“1l代表的函数图像在2l代表的函数图像的上方”，此时，对应的自变量x 的取值范围就是不等式的解集。
解：因为点P（a，2）在直线1y x=+上，所以2=a所以，关于x的不等式1x+≥mx n+的解集为1≥x方法总结：对于此类题目的解答我们可以通过以下几个步骤去解答。
⑴找“交点”。
求出函数图像的交点坐标⑵定“上下”。
过交点做x轴的垂线，观察该直线两侧部分的函数图像所代表的函数值的大小（大的在上，小的在下）⑶写“范围”。
定好上下便可以准确写出自变量x的取值范围，即为不等式的解集。
请同学们结合上述方法，完成下列问题1.如图，直线y1＝kx＋b分别与直线y2＝mx、y3＝mx-2交于点P（1，m），Q(2, n)则不等式组mx＞kx＋b＞mx－2的解集是．2.如图所示，反比例函数1y与正比例函数2y的图象的一个交点是(21)A，，若21y y>>，则x的取值范围在数轴上表示为（）1 2（A1 2(B)1 20 1 22l33.已知A (-4，2)、B (2，-4)是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数my x =的图象的两个交点.。
则kx +b ﹤xm 的解集为__________4.已知二次函数c bx ax y ++=21（0≠a ）与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2）（如图所示），则能使21y y >成立的x 的取值范围是 ．。
(完整版)一元一次不等式组的三种求解方法
一元一次不等式组的三种求解方法一元一次不等式及不等式组的解法是初中数学中的一个重要内容，具体可利用图象、数轴以及口诀解答有关题目.下面结合实例进行讲解，同学们在解题时可以灵活选择解题方法。
一、利用图象解一元一次不等式（组）1.求解一元一次不等式kx+b>0或kx+b0或y〈0；当一次函数y=kx+b 的图象在x轴上方或下方时，求横坐标x的取值范围。
2。
求解一元一次不等式k1x+b1〉k2x+b2或k1x+b1〈k2x+b2(其中k、b为常数，且k≠0）可以转化为:求当x取何值时，一次函数y1=k1x +b1的值大于或小于一次函数y2=k2x+b2的值;当一次函数y1=k1x+b1的图象在一次函数y2= k2x+b2图象上方或下方时,求横坐标x的取值范围。
例1 用图象的方法解不等式2x+1>3x+4.解析：把原不等式的两边看作两个一次函数,在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y= 3x+4（图1）,从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x3x+4，因此不等式的解集是x〈-3.图1例2 已知函数y=kx+m和y=ax+b的图象如图2交于点p，则根据图象可得不等式组kx+m>0ax+b>kx+m的解集为_____________.图2解析:当kx+m>0时，x〉—2。
ax+b>kx+m时，x〈-1。
∴不等式组的解集为：—2〈x〈—1。
数轴在解一元一次不等式中有着重要作用,不等式的解集在数轴上的表示如下：(1)x〉a:数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示，表示a不在解集内；(2)x （3）x≥a:数轴上表示a的点画成实心圆点,表示a的点及a的点的右边部分来表示，表示a在这个解集内;（4)x≤a:数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及a的点的左边部分来表示，表示a在这个解集内.例3 已知m为任意实数，求不等式组1-x〈3x〈m—2的解集.解析:由不等式1-x2，先在数轴上表示，如图1.接着，在上面的数轴上表示出解集x2，m>4时,该不等式组的解集为2<x〈m—2；当表示数m —2的点在表示2的点的左边或和与2重合即m—2≤2，m≤4时，该不等式组无解。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种数值关系表达式，描述了数值之间的大小关系。
解不等式就是确定使不等式成立的数值范围，也就是找到不等式的解集。
一、线性不等式的解法线性不等式是指变量之间的关系是一次函数的不等式，可以分为一元线性不等式和多元线性不等式。
解线性不等式的方法如下：1. 利用乘法和除法性质：当不等式两侧同乘或同除一个正数时，不等号的方向不变；当不等式两侧同乘或同除一个负数时，不等号的方向反转。
2. 利用加法和减法性质：当不等式两侧同加或同减一个数时，不等号的方向不变。
3. 将不等式转化为方程：将不等式两边相等的地方标记，再在标记的点处进行讨论，确定不等式成立的范围。
4. 图解法：将不等式对应的线性函数图像进行绘制，通过观察图像的部分确定不等式的解集。
5. 区间表示法：将解集用区间表示，例如[a, b]表示解集的范围在a 到b之间。
二、二次不等式的解法二次不等式是指变量之间的关系是二次函数的不等式，解二次不等式的方法如下：1. 将二次不等式转化为标准形式：将不等式的所有项移项，使得一边为零。
2. 利用乘法性质：当不等式两侧同乘一个正数时，不等式的方向不变；当不等式两侧同乘一个负数时，不等式的方向反转。
3. 利用根的位置和形状：通过求解二次函数的根来确定二次不等式的解集。
4. 图解法：将二次不等式对应的二次函数图像进行绘制，通过观察图像的部分确定不等式的解集。
5. 区间表示法：将解集用区间表示。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指变量的绝对值与一个数之间的大小关系的不等式，解绝对值不等式的方法如下：1. 利用绝对值的定义：讨论变量的取值范围，将绝对值不等式转化为对应的条件不等式。
2. 利用绝对值的性质：当绝对值不等式中的绝对值对应的表达式大于等于0时，可以去掉绝对值符号；当绝对值不等式中的绝对值对应的表达式小于0时，不等式无解。
3. 将绝对值不等式转化为分段函数形式：将绝对值不等式分成多个条件不等式，讨论每个条件不等式的解集。
反比例函数与一次函数不等式解集
反比例函数与一次函数不等式解集一、引言数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科。
在数学中，函数是一种非常重要的概念，它描述了一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。
反比例函数和一次函数是函数中常见的两种类型，它们在数学中有着重要的应用。
本文将探讨反比例函数与一次函数的不等式解集。
二、反比例函数反比例函数是指函数的输出值与输入值的乘积等于一个常数的函数。
其数学表示形式为y=k/x，其中k为常数。
反比例函数的图像是一个经过原点的双曲线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，反比例函数的值接近于零，而当x等于0时，反比例函数的值为无穷大或负无穷大。
对于反比例函数的不等式解集，需要分情况讨论。
当k大于零时，反比例函数的值随着x的增大而减小，即y随着x的增大而减小；当k小于零时，反比例函数的值随着x的增大而增大，即y随着x 的增大而增大。
因此，当k大于零时，反比例函数的解集为x>0；当k小于零时，反比例函数的解集为x<0。
三、一次函数一次函数是指函数的输出值与输入值之间存在线性关系的函数。
其数学表示形式为y=ax+b，其中a和b为常数，且a不等于零。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
对于一次函数的不等式解集，也需要分情况讨论。
当a大于零时，一次函数的值随着x的增大而增大，即y随着x的增大而增大；当a小于零时，一次函数的值随着x的增大而减小，即y随着x的增大而减小。
因此，当a大于零时，一次函数的解集为x>-b/a；当a 小于零时，一次函数的解集为x<-b/a。
四、反比例函数与一次函数不等式解集的比较反比例函数和一次函数都是常见的函数类型，它们在数学中有着广泛的应用。
在不等式解集中，两者的解集都与变量的取值范围有关。
反比例函数的解集与常数k的正负有关，当k大于零时，解集为x>0，当k小于零时，解集为x<0。
而一次函数的解集与斜率a的正负有关，当a大于零时，解集为x>-b/a，当a小于零时，解集为x<-b/a。
一次函数与三角函数的不等式
一次函数与三角函数的不等式一、引言在数学中，不等式是研究数之间大小关系的一种重要工具。
而函数，特别是一次函数和三角函数在不等式中的应用也是十分常见和重要的。
本文将重点探讨一次函数和三角函数在不等式中的性质和应用。
二、一次函数的不等式一次函数是指形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b为实数，且a不为零。
一次函数在不等式中的应用非常广泛，下面将以一元一次不等式为例来介绍一次函数在不等式中的性质和求解方法。
1. 线性不等式的基本性质对于一次不等式ax + b > c，其中a、b和c为实数，我们可以通过一系列方法来判断其解集，如图像法、代入法等。
此外，我们可以根据a的正负性质来判断不等式的解集，例如当a > 0时，不等式解集为[x > (c - b) / a]，当a < 0时，不等式解集为[x < (c - b) / a]。
2. 一次不等式的求解方法（1）当一次不等式中含有绝对值时，我们可以通过绝对值的性质将其转化为两个简单的一次不等式，再求解。
（2）当一次不等式中含有分式时，我们可以通过清除分母的方法将其转化为一个不含分式的一次不等式，再求解。
三、三角函数的不等式三角函数是指以角为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
下面将介绍三角函数在不等式中的应用。
1. 正弦函数和余弦函数的不等式正弦函数和余弦函数的值域均为闭区间[-1, 1]，因此它们在不等式中的应用较为灵活。
常见的正弦函数和余弦函数不等式有形如sinx > a和cosx < b等。
我们可以根据函数图像来判断此类不等式的解集，如sinx > a表示x在区间[arcsin(a) + 2kπ, π - arcsin(a) + 2kπ]时成立。
2. 正切函数的不等式正切函数的值域为实数集R，因此在不等式中的应用需要特别注意。
常见的正切函数不等式有形如tanx > a的情况。
一元一次不等式与一次函数
深入了解一元一次不等式与一次函数，从定义和概念到图像表示和应用。
一元一次不等式的定义和概念
一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次项和常数项的不等关系，例如 ax + b > c。
求解一元一次不等式的基本方法
通过移项、消元、分情况讨论等方法，我们可以确定一元一次不等式的解集。
一元一次函数和一元一次不等式在实际问题中具有广泛的应用，如经济、物 理、工程等领域。
一元一次不等式的图像表示
二维平面上的线性不等式图像
我们可以通过绘制线性不等式的图像来更直观地理 解其解集。
数轴上的线性不等式图像
在数轴上，我们可以用区的定义和概念
一元一次函数是指只含有一个未知数的一次项和常数项的函数，例如f(x) = ax + b。
一元一次函数与一元一次不等 式的关系
一元一次不等式可以看作一元一次函数的不等式表示形式，它们之间有着密 切的联系。
一元一次函数的图像表示
平面直角坐标系中的线性函数图像
线性函数的图像是一条直线，通过斜率和截距来确 定其特征。
斜截式表示的线性函数图像
斜截式方程y = mx + b可以直接描述线性函数的特 征。
一元一次函数与一元一次不等 式的应用
反比例函数与一次函数不等式解集
反比例函数与一次函数不等式解集一、什么是反比例函数和一次函数？反比例函数是指函数的自变量x和因变量y之间的关系满足y=k/x 的函数形式，其中k为常数且k≠0。
反比例函数的图像通常是一个双曲线。
一次函数是指函数的自变量x和因变量y之间的关系满足y=ax+b的函数形式，其中a和b为常数且a≠0。
一次函数的图像通常是一条直线。
二、反比例函数的不等式解集对于反比例函数y=k/x，其中k为常数且k≠0，我们可以通过以下步骤求解不等式解集：1. 将不等式转化为等式，得到y=k/x；2. 根据k的正负性和不等式的方向，确定x的取值范围；3. 将确定的x值代入y=k/x，求解y的取值范围；4. 将x和y的取值范围组合起来，得到最终的不等式解集。
举个例子来说明，考虑不等式y>2/x，我们可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到y=2/x；2. 由于k=2>0，且不等式方向为“大于”，所以x的取值范围为x<0或x>0；3. 将确定的x值代入y=2/x，求解y的取值范围。
当x<0时，y<0；当x>0时，y>0；4. 将x和y的取值范围组合起来，得到不等式解集为{x<0}∪{x>0, y>0}。
三、一次函数的不等式解集对于一次函数y=ax+b，其中a和b为常数且a≠0，我们可以通过以下步骤求解不等式解集：1. 将不等式转化为等式，得到y=ax+b；2. 根据a的正负性和不等式的方向，确定x的取值范围；3. 将确定的x值代入y=ax+b，求解y的取值范围；4. 将x和y的取值范围组合起来，得到最终的不等式解集。
举个例子来说明，考虑不等式y≥3x-1，我们可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到y=3x-1；2. 由于a=3>0，且不等式方向为“大于等于”，所以x的取值范围为整个实数集R；3. 将确定的x值代入y=3x-1，求解y的取值范围。
不等式的图像表示与应用
不等式的图像表示与应用在数学中，不等式是一种重要的数学概念，它描述了两个数或两个表达式之间的大小关系。
不等式的图像表示是一种直观的方法，可以帮助我们更好地理解和应用不等式。
一、不等式的图像表示1. 直线表示不等式当不等式为一次函数时，我们可以通过绘制直线来表示不等式。
例如，对于不等式y > 2x + 1，我们可以绘制直线y = 2x + 1，并在直线上方的区域表示满足不等式的点。
2. 区域表示不等式当不等式为二次函数或其他非线性函数时，我们可以通过绘制区域来表示不等式。
例如，对于不等式y < x^2，我们可以绘制曲线y = x^2，并在曲线下方的区域表示满足不等式的点。
3. 不等式的解集表示不等式的解集是满足不等式的所有实数的集合。
我们可以使用集合符号来表示不等式的解集。
例如，不等式x > 0的解集可以表示为{x | x > 0}。
二、不等式的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有广泛的应用。
例如，成本函数和收益函数可以用不等式来表示。
通过分析不等式，我们可以确定最大化利润的最优决策。
2. 几何学中的应用不等式在几何学中也有重要的应用。
例如，通过不等式可以确定两个图形的位置关系，如判断两个三角形是否相似、判断两个线段是否相交等。
3. 不等式的优化问题不等式在优化问题中有广泛的应用。
例如，我们可以使用不等式来确定最大值或最小值。
通过分析不等式，我们可以找到使函数取得最大或最小值的变量的取值范围。
4. 不等式的证明不等式的证明是数学中的常见问题。
通过使用数学推理和逻辑推断，我们可以证明不等式的正确性。
不等式的证明对于培养逻辑思维和分析能力非常有帮助。
三、不等式的思考不等式的图像表示和应用帮助我们更好地理解和应用数学中的不等式概念。
通过观察不等式的图像，我们可以直观地了解不等式的性质和解集。
不等式的应用范围广泛，涉及到经济学、几何学、优化问题等多个领域。
不等式的证明是培养逻辑思维和分析能力的重要方法。
一次函数与对数函数的不等式
一次函数与对数函数的不等式一次函数和对数函数是高中数学中的重要知课程内容，不仅在教学中有着广泛的应用，同时也在实际问题的解决中起到了关键的作用。
本文将探讨一次函数和对数函数的不等式，并进行相应的讨论与解答。
一、一次函数的不等式一次函数是指函数表达式为y = ax + b的函数，其中a和b为常数且a ≠ 0。
对于一次函数的不等式，我们可以通过解析图像的方法来解决，也可以通过分析函数表达式来进行推理。
1. 解析图像法为了解一次函数的不等式，我们可以将其对应的函数图像进行表示。
假设我们有一个一次函数y = 2x + 1，我们可以绘制其图像，如下所示：（图像示例）通过观察图像，我们可以得出以下结论：a) 当a > 0时，函数图像为上升趋势，表示y随x的增大而增大；b) 当a < 0时，函数图像为下降趋势，表示y随x的增大而减小；c) 当b > 0时，函数图像在y轴正半轴的上方；d) 当b < 0时，函数图像在y轴负半轴的下方。
根据这些结论，我们可以直观地解决一次函数的不等式。
例如，对于不等式2x + 1 ≥ 0，我们可以通过查看图像得知其解为x ≥ -1/2。
2. 函数表达式推理除了解析图像法外，我们还可以通过分析一次函数的函数表达式来推理其不等式解。
例如，对于一次不等式3x - 2 > 4，我们可以按照以下步骤进行求解：首先，将不等式转化为等式：3x - 2 = 4；然后，解得x = 2；最后，根据不等式的要求，可得解为x > 2。
二、对数函数的不等式对数函数是指函数表达式为y = loga (x)，其中a为底数，x为自变量。
对于对数函数的不等式，我们可以通过改写对数函数的形式，并使用对数性质来求解。
1. 改写对数函数为了解对数函数的不等式，我们可以采用改写对数函数的形式。
例如，将对数函数y = log2 (x) 转化为指数形式，可得2^y = x。
2. 使用对数性质对数函数的不等式可以通过对数性质来解决。
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如何用一次函数图象求不等式的解集
一元一次不等式（组）与一次函数之间存在着密切联系，根据一次函数图象可确定不等式的解集，本文就谈谈如何人运用一次函数的图象求一元一次不等式的解集，下面就精选几例供大家参考。
例1、如图1，直线y kx b =+交坐标轴于A ，B 两点，则不
等式0kx b +>的解集是（ ）
A ．2x >-
B ．3x >
C ．2x <-
D ．3x < 解析：我们注意到一次函数表达式与所要求的不等式左边的表达式是一样的，我们结合一次函数与一元一次不等式之间的关系可以发现，要求0>+b kx 的解集，实际上是要求当x 为何值时，y ＞0，而当一次函数y = kx +b 的图象在x 轴的上方时，y ＞0，观察图象可知，2x >-时，一次函数y = kx +b 的图象在x 轴的上方，所以不等式0>+b kx 的解集是2x >-，故选A ．
评注：一次函数b kx y +=的图象在x 轴的上方（或下方）所对应的x 取值就是一元一次不等式0>+b kx （或kx +b ＜0）的解集，因此要求不等式0>+b kx （或kx +b ＜0）的解集，只要作出一次函数b kx y +=的图象即可。
例2、直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角
坐标系中的图象如图2所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解
为（ ）
A ．1x >-
B ．1x <-
C ．2x <-
D ．无法确定
解析 由一次函数与一元一次不等式的关系，要求12k x b k x +>的解集，实际上是要求当x 为何值时，一次函数1y k x b =+的图象在2y k x =的上方。
观察图象两图象交于点（-1，-2），在x ＞-1时，一次函数1y k x b =+的图象在2y k x =的下方，在x ＜-1时，一次函数1y k x b =+的图象在2y k x =的上方，所以不等式
图
2 图1
12k x b k x +>的解集为1x <-，故选择B ．
评注：一次函数y = kx +b 的图象在一次函数y = k 1x +b 1的图象的上方（或下方）所对应的x 的取值范围就是一元一次不等式 kx +b ＞k 1x +b 1（或kx +b ＜k 1x +b 1）的解集，因此要求一元一次不等式 kx +b ＞k 1x +b 1（或kx +b ＜k 1x +b 1）的解集，只要在同一坐标系中作出一次函数y = kx +b 和y = k 1x +b 1的图象即可。
练习：
1、如图3，点D 的纵坐标等于______；点A 的横坐标是方程______的解；大于点B 的横坐标是不等式______的解集；小于点C 的横坐标是不等式______的解集。
2、（08绍兴）如图4，已知函数y =x +b 和y =ax +3的图象交点为P ，则不等式x +b ＞ax +3的解集为______．
参考答案：
1、b ；k 1x +b 1=0；kx +b ＜0；kx +b ＞k 1x +b 1
2、x ＞1。
图 4 y =ax
b 1。