一元一次不等式的解集
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的一般形式是 ax + b > c、ax + b < c 或 ax + b ≥ c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
一元一次不等式的标准形式
总结词
一元一次不等式的标准形式是指将不 等式中的常数项移到右边，使左边只 包含未知数和其系数。
详细描述
一元一次不等式的标准形式是 ax > d、 ax < d 或 ax ≥ d，其中 a、d 是常数， a ≠ 0。
配问题等。
与一次函数的联系
01
02
03
定义
一次函数是形如y=kx+b 的函数，其中k、b为常数 且k≠0，x为自变量。
解法
在求解一次函数的值时， 常常需要利用一元一次不 等式的性质来求解，如求 解函数的定义域等。
应用
在实际问题中，一次函数 和一元一次不等式都可用 于解决实际问题，如最优 化问题、决策问题等。
02 将数轴上方的部分作为解集。
同样地，对于一元一次不等式 x 4 < 0，其解集可以通过区间表示 法表示为 (-∞, 4)，也可以通过数 轴表示法在数轴上标出临界点4， 并将数轴下方的部分作为解集。
04 一元一次不等式在实际问 题中的应用
最大值最小值问题
总结词
一元一次不等式在解决最大值和最小值问题中具有广泛应用。
05 一元一次不等式与其他数 学知识的联系
与一元一次方程的联系
定义
一元一次不等式和一元一次方程 都是只含有一个未知数，并且未
知数的次数为1的代数式。
解法
一元一次不等式和一元一次方程的 解法有许多相似之处，如去分母、 去括号、移项、合并同类项等。
应用
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：，。
要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点二：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：知识点三：一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
解一元一次不等式组的一般步骤为：(1)分别解不等式组中的每一个不等式；(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).要点诠释：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；（5）解：解出所列的不等式或不等式组的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案。
要点诠释：在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍，这是初学者易错的地方。
初中数学 如何判断一元一次不等式的解集是否为空集
初中数学如何判断一元一次不等式的解集是否为空集要判断一元一次不等式的解集是否为空集，我们需要考虑不等式的形式以及未知数的取值范围。
一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数，并且包含不等式符号（如大于、小于、大于等于、小于等于等）。
下面，我将详细介绍如何判断一元一次不等式的解集是否为空集。
首先，让我们回顾一下一元一次不等式的一般形式：ax + b < c 或ax + b > c，其中a、b、c 为实数，且a ≠ 0。
我们可以将一元一次不等式的解集分为以下三种情况来讨论：情况1：无解的情况（解集为空）如果一元一次不等式的解集为空，那么不等式表示的条件在实数范围内无解。
这种情况可能出现在不等式的两侧无交集的情况下，例如：1. 当不等式为ax + b < c，其中a > 0时，如果不等式的右侧c小于不等式左侧的最小值（即x的取值范围的下界），则不等式无解。
2. 当不等式为ax + b > c，其中a < 0时，如果不等式的右侧c大于不等式左侧的最大值（即x的取值范围的上界），则不等式无解。
情况2：有解的情况（解集非空）如果一元一次不等式的解集非空，那么不等式表示的条件在实数范围内至少有一个解。
这种情况可能出现在不等式的两侧有交集的情况下，例如：1. 当不等式为ax + b < c，其中a > 0时，如果不等式的右侧c大于等于不等式左侧的最小值（即x的取值范围的下界），则不等式有解。
2. 当不等式为ax + b > c，其中a < 0时，如果不等式的右侧c小于等于不等式左侧的最大值（即x的取值范围的上界），则不等式有解。
综上所述，要判断一元一次不等式的解集是否为空集，我们需要考虑不等式的形式以及未知数的取值范围。
如果不等式的解集为空，那么不等式在实数范围内无解；如果不等式的解集非空，那么不等式在实数范围内至少有一个解。
希望这个解答能够帮助你理解如何判断一元一次不等式的解集是否为空集。
一元一次不等式变号法则
一元一次不等式变号法则不等式的解就是能够使不等式成立的实数x的取值范围。
在解一元一次不等式时，可以使用变号法则来确定不等式的解集。
变号法则是指在一元一次不等式的左边加上或减去同一个正数（或负数）时，不等式的符号会发生变化。
具体来说，有以下三个规则：规则1：不等式两边同加（或减）一个正数时，不等式的符号不变。
例如，若 ax + b > 0，则 ax + b + c > 0。
规则2：不等式两边同加（或减）一个负数时，不等式的符号发生变化。
例如，若 ax + b > 0，则 ax + b - c < 0。
规则3：不等式两边同乘以一个正数时，不等式的符号不变。
例如，若 ax + b > 0，且 c > 0，则 acx + bc > 0。
利用变号法则，可以按照以下步骤求解一元一次不等式：步骤 1：将一元一次不等式化为形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0。
步骤2：对于不等式两边的项，找到其中的一个变号点。
变号点是指使不等式中其中一项为0的取值。
步骤3：根据变号法则确定不等式的解集。
如果不等式中方程等号的一侧恰好有一个变号点，那么这个变号点就是不等式的解。
如果不等式中方程等号两侧分别有两个变号点，那么不等式的解在这两个变号点之间。
如果不等式中方程等号的一侧没有变号点，那么解集为空集。
变号法则的原理是基于实数轴上数的大小关系，在不等式两边加减同一个数或乘同一个正数时，不等式的大小关系不变，只是相对零点向右或左移动。
举一个例子来说明：要求解不等式2x-3>0。
首先将不等式化为标准形式，得到2x>3接下来需要找到变号点。
由于2x是一次项，所以变号点就是使得2x=0的点，即x=0。
然后根据变号法则确定不等式的解集。
当x<0时，2x<0，不满足2x>3，所以x<0不是原不等式的解。
当x>0时，2x>0，满足2x>3，所以x>0是原不等式的解。
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的解集一元一次不等式在数学中是一类基础且常见的问题类型，其解集表示了不等式的解的范围。
本文将详细讨论一元一次不等式的解集，并通过示例来说明解集的求解方法。
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c （或 < 或≥ 或≤），其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
我们的目标是找到x的取值范围，使得不等式成立。
解一元一次不等式的基本步骤如下：步骤一：将不等式转化为等价的形式。
对于>和≥的不等式，可以直接保持原有形式。
对于<和≤的不等式，需要将不等号翻转，将其转化为>或≥的形式。
步骤二：将不等式化简为标准形式 ax + b > 0（或 < 或≥ 或≤）。
将不等式中的常数项移到右侧，使得等式左侧只有一个未知数，右侧为0。
步骤三：确定不等式的解集。
考虑a的正负情况，进行讨论。
接下来，我们将通过几个具体的示例来说明一元一次不等式的解集求解方法。
示例一：解不等式 2x - 1 > 5步骤一：保持原有形式。
2x - 1 > 5步骤二：化简为标准形式。
2x - 1 - 5 > 02x - 6 > 0步骤三：确定解集。
当a = 2 > 0时，不等式解集为x > 3。
示例二：解不等式 -3x + 4 ≤ 10步骤一：将不等式翻转。
-3x + 4 ≤ 10 变为 3x - 4 ≥ -10步骤二：化简为标准形式。
3x - 4 + 10 ≥ 03x + 6 ≥ 0步骤三：确定解集。
当a = 3 > 0时，不等式解集为x ≥ -2。
通过以上两个示例，我们可以看到一元一次不等式的解集求解过程。
根据具体的不等式形式，我们可以灵活运用求解方法来得出正确的解集。
在实际问题中，一元一次不等式的解集常常用来表示一些约束条件或范围，例如线性规划、经济学模型等。
通过解集的求解，我们可以得出对应问题的有价值的数值范围。
总结起来，一元一次不等式的解集求解是数学中的基础技能之一。
一元一次不等式组的解法步骤例题
一元一次不等式组的解法步骤一元一次不等式组是数学中常见的一类问题，它可以通过一定的方法和步骤得到解决。
在本文中，我们将针对一元一次不等式组的解法步骤进行全面评估，并提供例题来帮助读者更深入理解。
解法步骤：1. 确定不等式组的条件：我们需要明确所给出不等式组的条件。
不等式组通常包括多个不等式，我们需要确保每个不等式都满足一元一次不等式的标准形式，即ax+b>c或ax+b<c。
2. 求出每个不等式的解集：针对每个不等式，我们需要求出其解集。
这一步骤需要运用代数式的加减乘除法，并结合不等式的性质来确定不等式的解集。
3. 得出整体的解集：在求出每个不等式的解集之后，我们需要将这些解集合并起来，求得整体的解集。
在合并解集的过程中，需要注意考虑每个不等式的关系，以确保得出正确的整体解集。
下面我们通过一个具体的例题来展示以上的解法步骤：例题：求解不等式组 {2x+1>5, 3x-2<7}解法步骤：1. 确定不等式组的条件：给出的不等式组已经满足一元一次不等式的标准形式，因此不需要进行进一步的调整。
2. 求出每个不等式的解集：分别对每个不等式进行求解，得到2x>4和3x<9。
通过简单的代数运算，我们可以得到x>2和x<3。
3. 得出整体的解集：通过整合每个不等式的解集，我们可以得到最终的解集为2<x<3。
个人观点和理解：从上面的例题中可以看出，解决一元一次不等式组主要是通过逐步求解各个不等式，然后再将它们的解集合并起来，得到最终的整体解集。
在这个过程中，需要注意准确地运用代数运算，同时也要考虑不等式之间的关系，确保最终的解集是正确的。
总结回顾：通过本文的讲解和例题，我们对一元一次不等式组的解法步骤有了更深入的了解。
从确定条件、求解各个不等式到得出整体的解集，这些步骤是解决一元一次不等式组问题的关键。
我们也注意到在解题的过程中，需要不断地练习和总结，才能更熟练地应对各种类型的不等式组问题。
人教版七年级下册数学期末考复习专题05一元一次不等式及不等式组(知识点串讲)(解析版)
专题05 一元一次不等式及不等式组知识框架重难突破一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解及解集（1）使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
（2） 一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
（3）解集在数轴上表示3、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
备注：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x 解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）移 项，得 23663-+≤-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变）a a a a < > ≤ ≥合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 例1．（2019·湖南广益实验中学初一期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）A ．1x ＞3B ．x 2＜1C ．x +2y ＞0D ．x ＜2x +1【答案】D【解析】解：A 、1x 是分式，因此1x＞3不是一元一次不等式，故此选项不合题意； B 、x 2是2次，因此x 2＜1不是一元一次不等式，故此选项不合题意；C 、x +2y ＞0含有2个未知数，因此不是一元一次不等式，故此选项不合题意；D 、x ＜2x +1是一元一次不等式，故此选项符合题意；故选：D ．练习1．（2018·六安市裕安中学初一期中）下列不等式中，一元一次不等式有（ ）①2x 32x +> ②130x -> ③ x 32y -> ④x 15ππ-≥ ⑤ 3y 3>- A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 【答案】B【解析】详解：①不是，因为最高次数是2；②不是，因为是分式；③不是，因为有两个未知数；④是；⑤是.综上，只有2个是一元一次不等式.故选B ．例2．（2019·洋县教育局初二期中）若437m x -+≤是关于x 的一元一次不等式，则m =__________．【答案】3【解析】解：∵437m x -+≤是关于x 的一元一次不等式，∴4-m =1，∴m=3，故答案为：3．练习1.（2019·山东省初二期中）已知12(m+4)x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为()A．4 B．±4 C．3 D．±3【答案】A【解析】根据题意|m|﹣3=1且m+4≠0解得：|m|=4，m≠﹣4所以m=4．故选：A．例3．（2018·浙江省初二期中）一元一次不等式2（x﹣1）≥3x﹣3的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解: 2（x﹣1）≥3x﹣3去括号, 得2x-2≥3x-3，移项, 合并同类项, 得-x≥-1，得：x≤1故在数轴上表示为:故选B.练习1．（2020·万杰朝阳学校初一期中）如图，张小雨把不等式3x＞2x-3的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是____．【答案】-3【解析】由3x＞2x-3，解得：x＞-3，∴阴影部分盖住的数字是：-3．故答案是：-3．例4．（2020·监利县新沟新建中学初一期中）解不等式：14232-+->-x x ． 【答案】x ＜−2【解析】解：去分母：2（x −1）−3（x ＋4）＞−12，去括号：2x −2−3x −12＞−12，合并同类项：−x ＞2，系数化1：x ＜−2． 练习1．（2018·福建省永春第二中学初一期中）解不等式3(21)x +＜13(43)x --，并把解集在数轴上表示出来．【答案】x ＜2，数轴见解析【解析】去括号，得 6x +3＜13-4+3x ，移项，得 6x -3x ＜13-4-3，即3x ＜6，两边同除以3，得x ＜2，在数轴上表示不等式的解集如下：例5．（2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）关于x 的不等式22x a -+≥的解集如图所示，则a 的值是（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．4- 【答案】A【解析】解：解不等式22x a -+≥，得22a x- ，∵由数轴得到解集为x ≤-1， ∴212a -=- ，解得：a =0. 故选：A .练习1．（2019·陕西省初二期中）不等式-4x -k ≤0的负整数解是-1，-2，那么k 的取值范围是（ ） A ．812k ≤<B ．812k <≤C ．23k ≤<D ．23k <≤ 【答案】A【解析】解：∵-4x -k ≤0，∴x ≥-4k ， ∵不等式的负整数解是-1，-2，∴-3＜-4k ≤-2， 解得：8≤k ＜12，故选：A ．二、一元一次不等式组1、一元一次不等式组定义： 含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
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想一想做此类题目的方法！！
下列说法正确的有 （2）（4） （1）5是y－ 1>6的解（2）不等式m－1＞2的解有无数个 （3）x＞4是不等式x＋3＞6的解集；（4）不 等式x＋1＜2有无数个整数解。 满足不等式－4≤x＜2的整数解的个数是
.
若关于x的不等式x－a＜0的正整数 解只有1， 借助数轴求a的取值范围 。 .
例2 你能看出下图在数轴上所表示 的不等式的解集是什么吗?
x≥1
x≤-1
练习 将下列不等式的解集表示在数轴上: (1)x＞4； (2) x≤6．(3) -2<x≤3
判断：大于-2的每一个数都是一个不
等式的解，则这个不等式的解集是
x≥ -2
例3: (1)若不等式x<a的最大整数解 5 为4，则整数a的取值为 . (2)若不等式x<a只有4个正整数 5 解，则整数a的取值为 . (3)若不等式x ≤ a只有4个正整 数解，则a的取值为 4 ≤ a < 5 .
可类比什么 叫解方程 ？
求不等式的解集的过程， 叫做解不等式。
我们知道有理数可以用数轴上的点 来表示，那么不等式的解集是否也可以 借助数轴直观地表示出来呢？
x>3、x≤-2该分别怎样在数轴 上表示出来?
例1、将下列不等式的解集在数轴上表示出来
1 1 x 2 2
1.画数轴.
0 1 2 3 4 5
判断下列各数，哪些是不等式 x+2＞5的解 ⑴ -3； ⑵ -2； ⑶ -1；
⑷ 0；
⑺ 3.5； √
⑸ 1.5；
⑻ 5；√
⑹ 3；
⑼ 7；
√
不等式x+2>5的解有多少?
一个不等式的所有解，组成这个 不等式的解的集合，简称为这个 不等式的解集
不等式x＋2>5的解集， 可以表示成 x>3
什么叫解不等式?
8.2.1 不等式的解集
回顾：不等式定义：
像上面出现的120<135，x<30,5x>120那样用不等号
“<”或“>”表示不等关系的式子叫做 不等式
“≤”、“≥”也表示不等，前者表示“不 大于”(小于或等于)，后者表示“不小 于”(大于或等于)， “≠”表示左右两边不 相等
•不等式5x>120中含有未知数x，能使不 等式成立的未知数的值，叫做不等式的 解。 •如上例中，x＝25，26，27，…等都是 5x>120的解，而x＝24，23，22，21则都 不是不等式的解。
课堂小结
基础知识： 1、不等式的解集 2、解不等式 3、不等式解集的表示 方法与思想： 在做与不等式的解集有关的题目（特别是整数解问 题）的时候，要借助于数轴，运用数形结合的思想 来简化题目的难度
2 x 2
-5 -4 -3 -2
-5
-4
-3
-2
-1
2定边界点
含等号用实心圈,不含等 号用空心圈
-1 0 1 2 3 4 5
1 3 1 x 3 2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
3.定方向.
大于向右画,小于向左画
比较上面的数轴， 他们有什么区别？
2
3
4
5
1.如x>a,可以用数轴上表示a的点的 右 边部分， 在数轴上表示a的点的位置上画 空心 圆圈， 表示不包括这一点。 2.如x<a,可以用数轴上表示a的点的 左 边部分， 在数轴上表示a的点的位置上画 空心 圆圈， 表示不包括这一点。 3.如x≥a,可以用数轴上表示a的点和它的 右 边 部分,在数轴上表示a的点的位置上画 实心 圆 点，表示包括这一点。 4.如x≤a,可以用数轴上表示a的点和它的 左 边 部分,在数轴上表示a的点的位置上画 实心 圆 点，表示包括这一点。