第4章方差分析
方差分析原理
方差分析原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它能够帮助我们确定多个样本的均值是否存在显著差异，并进一步了解差异来自于哪些因素。
本文将介绍方差分析的原理和应用。
一、方差分析的背景在实际问题中，我们常常需要比较不同样本的均值，以了解它们之间是否存在差异。
例如，我们想要知道不同药物对治疗某种疾病的疗效是否有差别，或者不同教学方法对学生成绩是否有影响等。
这时候，我们需要用到方差分析这个统计工具。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异（Within-group variation）与组间变异（Between-group variation）的大小来判断多个样本的均值是否存在显著差异。
组内变异指的是同一组内个体（观察值）之间的差异，也可以看作是测量误差或个体内部差异。
组间变异指的是不同组之间的差异，也可以理解为组与组之间的差别。
我们的目标是判断组间变异是否显著大于组内变异。
统计学家通过构建方差分析的假设检验来实现这一目标。
假设检验的零假设（null hypothesis）是所有样本的均值相等，备择假设（alternative hypothesis）则是至少存在一个样本的均值与其他样本不同。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，一般需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：定义零假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：通常为0.05，表示我们要找到的结论是在5%的显著水平下成立。
3. 收集数据：需要收集多个组别的数据，并记录下来。
4. 计算方差：通过计算组内变异和组间变异。
5. 计算F统计量：F统计量用于判断组间变异是否显著大于组内变异，可以通过计算组间均方与组内均方之比得到。
6. 判断：根据F统计量与给定显著性水平的临界值进行比较，如果F统计量大于临界值，则拒绝零假设，表示至少存在一个样本均值与其他不同。
7. 进行事后分析（post hoc analysis）：如果方差分析的结果是显著的，我们可以进行事后分析，以确定具体哪些组别之间存在差异。
第4章 方差分析(anova)实验设计和分析
第4章方差分析（ANOV A）实验设计和分析Catherine Potvin4.1生态学问题弄懂生态学问题需要将各种环境因子的影响分开，生态工作者用实验来解决这个问题。
不论在野外还是在控制环境条件下，可控实验都可以让生态工作者们只变化一个因子来检验其影响。
例如，生长箱能使生物体生长在完全相同的温度而不同的光周期的条件下，或相同的光强而不同温度条件下的实验成为可能。
在控制实验中，通常最希望的情况是环境‘背景’，即所有的影响因子, 不是自由地变化，而是精确地得到控制，这样就能够保证在改变目标变量时，观测的反应不会受到其它因素的影响。
因而控制环境条件, 例如使用生长箱和温室，成为植物生态学的一个常用的方法，如同动物生态学中使用的生长柜和水族槽一样。
本章第一部分，我要讲一下作为实验生态学基本工具的方差分析（ANOV A）。
本章重点放在实验设计上。
虽然人们一般认为生长箱会提供同一环境条件，但不论在一个生长箱内还是生长箱间都存在环境异质性（Lee和Rawlings 1982；Potvin等1990a），因而能够充分处理环境异质性的实验设计将在本章中述及。
尽管我的论述主要是以生长箱实验为基础，其原理在其它类型的控制或野外环境的实验研究中同样适用（第5，15和16章）。
我还要讨论错误实验设计的代价。
本章应视为实验设计的起步点，这个起步点就是要考虑各种影响因素。
实验者通常进行的实验比这里展开的要复杂。
但是一旦懂得了基本原理，讨论各种实验设计就相对简单一些。
更详细的论述请见Cochran & Cox（1957）和Winter（1991）。
4.2 统计问题：环境变化与统计分析正如Underwood(1997)建议的一样，生态实验设计的第一步是建立一个线性模型使研究者能够将感兴趣的变量（因素）独立出来。
由于实验设计支配误差项，建立线性模型取决于所研究的因子以及具体的实验设计。
在任何一个实验开始时，最基本的是要检验空间与时间变化的格局。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析（ANOVA）简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在差异。
ANOVA广泛应用于实验设计、医学研究、社会科学等领域，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，组间变异是指不同组之间的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，就可以认为样本均值之间存在显著差异。
二、方差分析的假设方差分析的假设包括以下几个方面：1. 观测值是独立的。
2. 观测值是正态分布的。
3. 各组的方差是相等的。
三、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括以下几个方面：1. 确定研究问题和目标。
2. 收集数据并进行数据清洗。
3. 计算组内平方和、组间平方和和总平方和。
4. 计算均方和。
5. 计算F值。
6. 进行显著性检验。
四、方差分析的类型根据研究设计的不同，方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
1. 单因素方差分析：适用于只有一个自变量的情况，用于比较不同水平下的均值差异。
2. 多因素方差分析：适用于有两个或两个以上自变量的情况，用于比较不同因素和不同水平下的均值差异。
五、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，包括实验设计、医学研究、社会科学等。
它可以用于比较不同治疗方法的疗效、不同教学方法的效果、不同产品的质量等。
六、方差分析的优缺点方差分析的优点包括：1. 可以同时比较多个样本均值之间的差异。
2. 可以通过显著性检验来判断差异是否显著。
3. 可以通过计算效应量来评估差异的大小。
方差分析的缺点包括：1. 对数据的正态性和方差齐性有一定要求。
2. 只能用于比较均值差异，不能用于比较其他统计指标的差异。
七、总结方差分析是一种重要的统计方法，通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。
正交检验的极差分析和方差分析
其中 SA/(k1) 和 SE/k(m1)称为均方(Mean Square).
第四章 方差分析
4.2.4 显著性检验
利用(8-17)式来检验原假设H0是否成立.对于给
定的显著水平 ,可以从F分布表查出临界值F(k1,k(m1)),
再根据样本观测值算出FA的值.
当 F AF (k1 ,k(m 1 ))时,拒绝H0, 当 F AF (k1 ,,k(m 1 ))时,接受H0。
4.1 方差分析的基本概念和原理
研究的指标:维修时间记作Y, Y~N (,2)
控制因素是生产线的型号,分为6个水平即A,
B,C,D,E,F，每个水平对应一个总体Yi(i=1,2,…,
6)。
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
现在的试验就是进行调查,每种型号调查4台,相当于
每个总体中抽取一个容量为4的样本,得到的数据记作yij
ˆ Y, ˆi Yi Y, ˆi Yi (4-9)
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二
乘法,
, i
, i
称为最小二乘估计量.
我们还可以证明 ,i , i分别是参数 ,i,i 的无
偏估计量。
将和 i 分别用它们的估计量代替,可以得到试 验误差 ij 的估计量 e ij ,
为两部分
Yi i i
（4-1）
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
其中：
i 纯属Ai作用的结果,称为在Ai条件下Yi的真值(也称为
在Ai条件下Yi的理论平均). i 是实验误差(也称为随机误差)。
i ~N(0,2) （4-2）
Yi ~N(i,2)
方差分析SPSS
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
随机区组设计的两因素方差分析
配伍设计有两个研究因素，区组因素和处理因素。 事先将全部受试对象按某种或某些特征分为若干个 区组，使每个区组内研究对象的特征尽可能相近。 每个区组内的观察对象与研究因素的水平数k相等， 分别使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素 某一水平的处理。
k ni
SS总＝
( Xij X )2 ,总 N 1
i1 j 1
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等。大小可用各组
均数 X i 与总均数 X 的离均差平方和表示。
k
SS组间＝ ni ( X i X )2 , 组间 k 1, MS组间＝SS组间 组间 i 1
组内变异：各处理组内部观察值也大小不等，可用各处理组
内部每个观察值 X ij与组均数 X i 的离均差平方和表示。
k ni
SS组内＝
( Xij Xi )2,组内 N k，MS组内＝SS组内 组内
i1 j1
三种变异的关系
SS总 SS组间 SS组内
并且该等式和上面的等式存在如下的对应关系 总变异＝随机变异+处理因素导致的变异
总变异＝组内变异 + 组间变异
＝0.05
2、选定检验方法，计算检验统计量
F MS处理 MS误差；F MS区组 MS误差 3、确定P值，作出推断结论
F F ，P (处理，误差 ) F F ，P (处理，误差 )
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
多重比较
LSD-t 检验：适用于检验k组中某一对或某几对在 专业上有特殊意义的均数是否相等。
anova方差分析
anova方差分析ANOVA（方差分析）概述：方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间的均值差异是否具有统计显著性。
ANOVA 是一种多元统计分析方法，可以帮助我们理解因素对于观测变量的影响程度。
原理：在进行方差分析时，我们将总体均值之间的差异分为两部分，一部分是不同组内个体之间的差异（称为组内方差），另一部分是不同组之间的差异（称为组间方差）。
通过计算组内和组间方差的比值，我们可以得到方差比（F-ratio），从而判断不同组的均值之间是否存在显著差异。
步骤：1. 建立假设：* 零假设（H0）：不同组的均值没有显著差异。
* 备择假设（H1）：不同组的均值存在显著差异。
2. 计算方差：* 组间方差（SSB）：用于衡量不同组之间的差异。
* 组内方差（SSW）：用于衡量同一组内个体之间的差异。
3. 计算F值：* F值 = 组间方差 / 组内方差。
4. 判断显著性：* 根据F分布表，在给定显著性水平（一般取0.05）下，查找对应的临界值。
* 如果计算得到的F值大于临界值，则可以拒绝零假设，认为不同组的均值存在显著差异。
注意事项：1. 样本独立性：ANOVA要求不同组之间的样本必须相互独立，即每个个体只属于一个组，各组之间没有重叠。
2. 方差齐性：ANOVA要求不同组之间的方差相等，即组间方差与组内方差应该接近相等。
3. 正态分布：ANOVA要求不同组之间的观测值满足正态分布，以保证计算的结果准确性。
应用领域：ANOVA常用于实验研究、质量控制以及一些行业调查中，例如以下场景：- 新药疗效比较：比较不同药物在治疗同一疾病上的效果。
- 客户满意度调查：比较不同年龄、不同性别、不同教育程度等因素对客户满意度的影响。
- 厂商竞争力分析：比较不同厂商在市场份额、销售额等指标上的差异。
总结：ANOVA作为一种常用的统计方法，可以帮助我们确定不同组之间的均值差异是否具有统计意义。
方差分析
方差分析方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。
下面通过一个例子说明方差分析的内容。
例某化妆品生产公司研制出一种新型爽肤水。
爽肤水的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
随机从五家专卖市场上收集了前一期该种爽肤水的销售量，如表9－1所示。
问爽肤水的颜色是否对销售量产生影响。
这是一个方差分析问题，即对四种不同颜色的爽肤水的销售量均值是否相等进行检验。
我们把四种不同颜色的爽肤水的销售量均值分别记为1234,,,μμμμ，由题意知，要检验假设0123:H μμμμ=== ； 11234:,,,H μμμμ不全相等如果检验结果为1234,,,μμμμ不全相等，则表明爽肤水颜色对销售量产生影响。
反之，如果检验结果为123,,μμμ不存在显著影响，则可以认为爽肤水颜色对销售量没有影响，他们来自于相同的总体。
1.1.2方差分析的基本概念在方差分析中，常常用到一些术语。
我们把要考察的对象的某种特征称为指标。
试验条件分为可控制的和不可控制的两类，称可控制的试验条件为因素；因素所处的状态称为该因素的水平。
如果在一项试验中只有一个因素在变化，称他为单因素试验。
若试验中变化因素多于一个，称他为双因素以及多因素试验。
在上例中，爽肤水的销售量为指标，爽肤水的颜色为因素，爽肤水的四种颜色为该因素的四个水平，该例是一个单因素四水平试验。
上一章所讲的对两个总体均值的比较，实际上就是单因素两水平试验。
下面，我们简单阐述单因素方差分析的基本原理。
1.2单因素方差分析1.2.1 单因素方差分析的基本原理单因素方差分析是研究一个因素的变化对试验指标的影响是否显著的统计分析方法，是方差分析中最简单的情形。
设因素A 有r 个水平12,,,,r A A A 在水平i A (1,2,,)i r = 下进行(2)i n i ≥次独立试验，试验记录如表9－2其中ij X 表示第i 水平i A 进行第j 次试验的可能结果。
假设2~(,)ij i X N μσ，(1,2,,)i r = 。
生物统计学 第15讲 多重比较+相关
j i 1 q0.05 ( j i 1,16) Q0.05 q0.05 3.29 Q0.01 q0.01 3.29
2
3.00
9.87
13.59
3
3.65
12.01
15.76
4
4.05
13.32
17.08
3种方法的比较
20
婴儿出生体重一直被怀疑与母亲在妊娠期间的吸烟 状态有关. 调查了1个月内在某家医院产前门诊登记 的所有母亲的吸烟状态和及其婴儿出生体重，检验这 个假设. 母亲被分为4组： •NON - 不吸烟者 •EX - 孕前某段时间吸烟，但怀孕期间未吸烟 •CUR<1 - 每日吸烟少于1包 •CUR≥1 - 每日吸烟大于等于1包
MSe ( 1 1 ) 2 ni nj
xi. x j. R H A : i j
二、Duncan法
16
j i 1 r0.05 ( j i 1,16) R0.05 r0.05 3.29 R0.01 r0.01 3.29
2
3.00
9.87
13.59
13.59
3
3.65
12.01
15.76
4
4.05
13.32
17.08
x3. x1. 12.4 12.01
x4. x1. 27.2 13.32
A1(52.4) A2 (61.8) A3 (64.8)
A2 (61.8) A3 (64.8) A4 (79.6)
9.4
12.4 * 27.2 * **
3.0
17.8 * **
14.8 * **
x4. x2. 17.8 12.01 x4. x3. 14.8 9.87
SPSS方差分析
2019/12/18
• 例. 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏ATP 的影响，现将30只雄性大鼠随机分成3组，每组 10只：A组为烫伤对照组，B组为烫伤后24小时 切痂组，C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠 在烫伤168小时候处死并测量器肝脏ATP含量，结 果如下。问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数是否相 同。
2019/12/18
2019/12/18
• 选中Custom，在 Build Term [s]下拉菜单中选中 Main effects(只分析主效应)，再分别选中“品 系”、“剂量”将其置入Model框内，
• 单击Continue按钮，返回上一个对话框。 • Special Model 用于对所有方差分析模型进行精
确设定。Full factorial即分析所有分类变量的主效 应和交互作用。只分析主效应需自定义，并在 Build Term[s]下选Main effects。平方和一般选 Type3默认即可。
2019/12/18
•S-N-K法：本例按0.5水平，将无显著差异的均数归为一类。 •第一组和第三组为一类，无显著差异，它们与第二组之间均数 差异显著。 •LSD和S-N-K法，不同的两两比较法会有不同。
2019/12/18
两（多）因素方差分析
总体思路： 1、观察数据类型选择方法 ——一般线性模型——多因素方差分析 2、选择要分析的结果变量，固定因素或随 机因素变量的选择。 3、方差分析模型的选择：全因素or自定义 4、选择描述性统计分析。 5、两两比较（多重比较）方法的选择。
方差分析
方差分析一．方差分析的概念及意义方差分析，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究种施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的意义，工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。
如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。
每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。
方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。
二．方差分析的基本思想根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异,分解为两个或多个部分。
除随机误差作用外,其余每个部分的变异均可由某个因素的作用加以解释。
通过比较不同变异来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响三．方差分析的假定条件及假设检验3.1方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。
（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。
（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。
（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。
3.2方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。
如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。
否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。
四．方差分析中的常用术语4.1 因素（Factor）因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。
如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本均值是否存在显著差异。
通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值之间是否存在显著性差异。
方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本概念方差分析是一种用于比较多个总体均值是否相等的统计方法。
在进行方差分析时，我们通常将数据分为不同的组别，然后比较这些组别之间的均值差异是否显著。
方差分析的基本思想是通过比较组间变异与组内变异的大小，来判断总体均值是否存在显著差异。
在方差分析中，有三种不同的方差：1. 总体方差（Total Variance）：所有数据点与总体均值之间的离差平方和。
2. 组间方差（Between-group Variance）：各组均值与总体均值之间的离差平方和，反映了不同组别之间的差异。
3. 组内方差（Within-group Variance）：各组内部数据点与各自组均值之间的离差平方和，反映了组内数据的离散程度。
二、方差分析的应用领域1. 实验设计：方差分析广泛应用于实验设计中，用于比较不同处理组之间的均值差异，判断实验处理是否显著。
2. 医学研究：在医学研究中，方差分析常用于比较不同药物治疗组的疗效差异，评估治疗效果的显著性。
3. 市场调研：在市场调研中，方差分析可用于比较不同产品或广告策略对消费者行为的影响，帮助企业制定营销策略。
4. 教育评估：在教育领域，方差分析可用于比较不同教学方法或教育政策对学生成绩的影响，评估教育改革效果。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：明确研究问题，提出原假设（各组均值相等）和备择假设（至少有一组均值不相等）。
2. 收集数据：根据研究设计，收集各组数据。
3. 方差分析：计算总体方差、组间方差和组内方差，进行方差分析。
4. 判断显著性：通过计算F值，比较P值与显著性水平，判断各组均值是否存在显著差异。
方差分析定义和应用-方差分析
第 1 页
第1章绪论4章 方差分析
《医学统计学》目录 第2 页
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
第1章绪论4章 方差分析
第14 页
5.
正交试验设计的方差分析 如果要分析的因素有三个或三个以上，可进行 正交试验设计（orthogonal experimental design）的方差分析。
当分析因素较多时，试验次数会急剧增加，用此设计进行分析则更能体现出 其优越性。该设计利用正交表来安排各次试验，以最少的试验次数，得到 最佳的分析组合结果。
3. 主要原理：将各组数据的总变异按设计及研究目的分 为若干部分，再计算各部分的均方，两均方之比为F值。 F值与F临界值比较，决定P值大小，并根据P值大小推 断结论。
第1章绪论4章 方差分析
第6 （二）主要用途及应用条件有：
页
1. 进行两个或两个以上样本均数的比较； 2. 可以同时分析一个、两个或多个因素对试验结果的作用和影响； 3. 分析多个因素的独立作用及多个因素之间的交互作用； 4. 进行两个或多个样本的方差齐性检验等。 5. 应用条件：方差分析对分析数据的要求及条件比较严格，即要求各样
第1章绪论4章 方差分析
第3
第4章 方差分析 目录
页
第一节 方差分析的基本思路 第二节 单因素方差分析 第三节 双因素方差分析 第四节 多个样本均数间两两比较 第五节 多个方差齐性检验 第六节 变量变换
正交检验的极差分析和方差分析(教学课堂)
(Yij i )2
(Yij i )2
i1 j1
令下列各偏导数为零
S 0,
S 0
i
(i=1,2,…,k)
特选课堂
2
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
表 4－1 对6种型号生产线维修时数的调查结果
序号 型号
A型 B型 C型 D型 E型 F型
1
9.5 4.3 6.5 6.1 10.0 9.3
2
8.8 7.8 8.3 7.3 4.8 8.7
特选课堂
3
11.4 3.2 8.6 4.2 5.4 7.2
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
其中：
i 纯属Ai作用的结果,称为在Ai条件下Yi的真值(也称为
在Ai条件下Yi的理论平均). i是实验误差(也称为随机误差)。
i ~ N (0, 2 ) （4-2）
Yi ~ N (i , 2 )
其中, 和 都是未知参数(i=1,2,…,k).
i 2
i 1
Mean),它是比
较作用大小的一个基点；
特选课堂
14
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
并且称
i i
为第i个水平Ai的效应.它表示水平的真值比一般
水平差多少。满足约束条件
1 2 k 0
(4-6)
可得
Yij i ij ;
i 0
i=1,2,…,k ;j=1,2,…,m
…
Ykj
…
Ykm
特选课堂
合计
T1 T2
…
Ti
…
Tk
平均
Y1 Y2
…
Yi
第4章 方差分析
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
方差分析基本思想：
方差分析，是按变异的不同来源，将全部观察值总的
离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误 差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释， 通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布做出统 计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
1 k i , i i k i 1
xij i ij
（4-1）
若令
则（4-1）式可以改写为
xij i ij
（4-2）
其中， 为全试验观测值总体平均数； 显然有
i 是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。
i 1
k
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
18/46
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
12/46
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
三、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提 出如下假设： H0 ： 1 2 … k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等
2. 3. 4.
差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
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第四章方差分析analysis of varianceANOVA温州医学院环境与公共卫生学院叶晓蕾⏹多个样本均数比较的方差分析⏹完全随机设计资料⏹随机区组设计资料⏹拉丁方设计资料⏹交叉设计资料⏹多因素试验的方差分析⏹析因设计⏹正交设计⏹嵌套设计⏹裂区设计⏹重复测量设计的方差分析说明至少有两组间总体多个均数比较方差分析差别无统计学意义结束差别有统计学意义均数不同多个均数比较的基本思路一.方差分析的基本思想例某医师用Ａ、Ｂ和Ｃ三种方案治疗婴幼儿贫血患者，治疗一个月后，血红蛋白的增加克数如下表，问三种治疗方案对婴幼儿贫血的疗效是否相同？A B C2420203618112517614103261903424-12345ΣΣX i 182********(ΣX)n i 76821(N)2618622.8( )ΣX 2505420506082三种方案治疗后血红蛋白增加量（g/L ）i X XEET MS MS F +==组内组间若无处理效应，则F≈1，若存在处理效应，则F ＞＞1。
F 值多大才有意义，要根据组间自由度（ν1）和组内自由度（ν2）查F 界值表作出判断。
全部观察值之间的变异——总变异。
MS 总或MS T各组内部各观察值之间的变异——组内变异。
反映随机误差(E)大小。
MS 组内或MS e各组均数之间的变异——组间变异。
反映处理因素(T)和随机误差(E)大小。
MS 组间或MS TR把全部观察值的变异按设计的要求分成几个部分，每部分与特定的因素相联系，其中某部分由随机误差造成，通过比较可能由某因素所致的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无作用。
在H 0成立的情况下，统计量F 值的分布称为F 分布。
F 值服从自由度ν组间= k-1，ν组内= N-k 的F 分布，()组内组间ννα,F ，则P ＞α，不拒绝H 0；当F≥()组内组间ννα,F P ≤ α，拒绝H 0，接受H 1。
，则F ＜由F 界值表查出在某一α水准下F 分布的单尾界值F α，当即F ～F （ν组间，ν组内）。
求得F 值后，可通过查F 界值表，即可得P 值，作出统计推断结论，故方差分析又称F 检验。
（1）独立性（independence ）（2）正态性（normality ）（3）方差齐性（homogeneity ）用途与应用条件：用途两个或多个均数的比较；分析两个或多个研究因素的交互作用；回归方程的线性假设检验；等。
应用条件二.完全随机设计的方差分析——单因素方差分析（one-way ANOVA)完全随机设计=成组设计=单因素设计是最常见的一种考察单因素两水平或多水平的实验设计方法。
本方案是将受试对象随机分配到实验组和对照组，通过比较分析回答研究假设的问题。
（一）完全随机设计资料方差分析中变异的分解总变异组间变异组内变异（MS 总）（MS 组内）（MS 组间）νSSMS =()∑∑==-=gi n ij ij T iXX SS 12即观察值X ij 与总均数的离均差平方和X ()∑=-=gi i i TR XX n SS 12即各组均数与总均数的离均差平方和i X X ()∑∑==-=gi n ij iij e iX X SS 12即观察值X ij 与组均数的离均差平方和i X 组内组间总SS SS SS +=1-=N 总ν1-=g 组间νgN -=组内ν组内组间总ννν+=（二）完全随机设计资料方差分析的计算NX C g i n j ij i 211⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==1. H0：μ1=μ2=……=μgH 1：μ1、μ2、……μg不等或不全相等α=0.052. 计算F值:(1)求基础数据（2）求离均差平方和SS（3）求自由度（4）列方差分析表3. 确定P，作出统计推断结论（三）完全随机设计资料方差分析的步骤：求离均差平方和SS:∑∑=-=-=g in jiji C X SS 81.227119.544077122总19.54402133822==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑N X C g i n j ij i 81.152319.544084861087182 222121=-++=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==g i i n j ij C n X SS i组间00.74881.152381.2271=-=-=组间总组内SS SS SSν20 =N=--2111=总ν=-=k-1=123组间ν=k-N20=18=2-组内方差分析表 来源 SSν MSFP组间 1523.81 2 761.91 18.33 <0.01 组内 748.00 18 41.56总 2271.8120本例SPSS 演示P.57 例4-2ANOVAx1523.8102761.90518.335.000748.0001841.5562271.81020Between Groups W ithin GroupsTotal Sum of SquaresdfMean SquareF Sig.Tests of Between-Subjects Eff ectsDependent Variable: ldl_c32.156b310.71924.884.00074.651 1.000876.4211876.4212034.638.0002034.6381.00032.156310.71924.884.00074.6511.00049.967116.431958.54412082.123119SourceCorrected Model Intercept group ErrorTotalCorrected TotalType III Sumof Squaresdf Mean SquareFSig.Noncent.Parameter ObservedPower aComputed using alpha = .05a.R Squared = .392 (Adjusted R Squared = .376)b.三.随机区组设计的方差分析——两因素方差分析（two-way ANOVA)随机区组设计=配伍组设计=两因素设计(无重复观察)例：本方案是将受试对象按性质(如动物的性别、体重，病人的病情、性别、年龄等非实验因素)相同或相近配成区组（block)，每个区组中的g个受试对象分别随机分配到g个处理组中去。
区组因素可以是第二个处理因素，也可以是一种非处理因素。
实验单位区组1区组2随机分组g个水平随机分组g个水平区组n g个水平随机分组图27-2 随机区组设计示意图eA MS MS F =（一）随机区组设计资料方差分析中变异的分解eB MS MS F =随机区组设计方差分析中由于从总变异中多分离出区组间变异，排除了大鼠间因年龄、体重不同等的影响，使误差更能反应随机误差的大小，因而提高了研究的效率。
随机区组设计资料方差分析的计算NX C g i nj ij 211⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物,以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。
问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？Tests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: weight .456a6.0767.964.0053.0921 3.092323.742.000.2284.057 5.978.016.2282.11411.937.004.0768.0103.62415.53314SourceCorrected Model Intercept block group Error Total Corrected TotalType III Sum ofSquares df Mean SquareF Sig.R Squared = .857 (Adjusted R Squared = .749)a.四.交叉设计的方差分析(cross-over design)是一种特殊的自身对照设计，首先将条件相近的观察对象配对，再用随机分配的方法决定其中之一先采用处理方法A，然后是处理B；另一研究对象秩序则相反。
A、B两种处理先后以同等的机会出现在两个试验阶段中。
特点:有3个因素：1个处理因素——处理方法2个控制因素——个体差异，试验阶段12名病人用A 、B 两法治疗的血压下降（kPa ）病 人 编 号 阶段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 阶段 合计 疗法 合计 Ⅰ BBABAAAABBBA3.07 1.334.40 1.87 3.20 3.73 4.13 1.07 1.07 2.27 3.47 2.40 32.01 33.61(A)Ⅱ AABABBBBAAAB2.80 1.473.73 3.60 2.67 1.60 2.67 1.73 1.47 1.87 3.47 1.7328.81 27.21(B) 合计 5.87 2.80 8.13 5.47 5.87 5.33 6.80 2.80 2.54 4.14 6.94 4.1360.8260.821.SS 总= SS 疗法＋SS 阶段＋SS 个体＋SS 误差2.ν总= ν疗法＋ν阶段＋ν个体＋ν误差C2x 2x 2x 2 x x SS -∑=∑-∑=-∑=）（）（表5.6 12名病人用A 、B 两法治疗的血压下降（kPa ）病人编号阶段123456789101112阶段合计疗法合计ⅠBBABAAAABBBA3.07 1.334.40 1.87 3.20 3.73 4.13 1.07 1.07 2.27 3.47 2.4032.0133.61(A)ⅡAABABBBBAAAB2.80 1.473.73 3.60 2.67 1.60 2.67 1.73 1.47 1.87 3.47 1.7328.8127.21(B)合计5.87 2.808.13 5.47 5.87 5.336.80 2.80 2.54 4.14 6.94 4.1360.8260.82阶 段 I II 3.07 2.80 …… … … 32.0128.81C1281.2801.32SS 22-+=阶段C1221.2761.33SS 22-+=疗法C13.480.287.5SS 222-+++= 个体误差疗法疗法MS MS F =误差个体个体误差阶段阶段MS MS F MS MS F ==表5.7 交叉设计方差分析表来源SS νMS F P个体17.9081 11 1.6280 4.39 <0.05 阶段0.4267 1 0.4267 1.15 >0.05 处理 1.7067 1 1.7067 4.60 >0.05 误差 3.7107 10 0.3711总23.7522 23SPSSTests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: X20.041b 13 1.5424.155.01554.009.901154.1281154.128415.354.000415.354 1.000.4271.427 1.150.309 1.150.1631.7071 1.707 4.599.058 4.599.49117.90811 1.628 4.387.01448.260.9053.71110.371177.8802423.75223Source Corrected Model Intercept JIEDUAN LIAOFA BIANHAO Error Total Corrected TotalType III Sumof Squares df Mean SquareF Sig.Noncent.Parameter ObservedPoweraComputed using alpha = .05a. R Squared = .844 (Adjusted R Squared = .641)b.Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 血浆3H-cGMP551799.950a 1150163.6321015.972.00010717944.050110717944.050217072.285.000490.0501490.0509.925.014198.4501198.450 4.019.080551111.450961234.6061240.195.000395.000849.37511270139.00020552194.95019SourceCorrected ModelIntercept phase treat person Error Total Corrected TotalType III Sum ofSquares df Mean Square F Sig.R Squared = .999 (Adjusted R Squared = .998)a. 例4-6 P.84五.多个样本均数的两两比较（多重比较）多重比较不宜用前述的t 检验。