高考调研北师大版数学选修2-3-作业12高考调研精讲精练

课时作业(十二)
1．在(1＋x)2n (n ∈N *)的展开式中，系数最大项是( ) A ．第n
2＋1项
B ．第n 项
C ．第n ＋1项
D ．第n 项与第n ＋1项
答案 C
2．若(x ＋1
x )n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．120
答案 B
3．(2015·厦门高二检测)若(x ＋3y)n 展开式的系数和等于(7a ＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n 的值为( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．15
答案 A
解析 (7a ＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x ＝1，y ＝1，则由题意知，4n ＝210，解得n ＝5.
4．(2013·课标全国Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m
＋1
展开式的二项式系数的最大值为b.若13a ＝7b ，则m ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
答案 B 解析
由题意得：a ＝C 2m m ，b ＝C 2m ＋1m ，所以13C 2m m ＝7C 2m ＋1m ，∴
13·（2m ）！m ！·m ！
＝
7·（2m ＋1）！
m ！·（m ＋1）！，∴7（2m ＋1）
m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，选B.
5．关于(a －b)10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为1 024 B ．展开式中第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小
解析 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n ，故A 正确；当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
6．在(x ＋y)n 展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A ．第6项 B ．第5项 C ．第5、6项 D ．第6、7项
答案 A
解析 C n 3＝C n 7，所以n ＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．
7．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n 展开式的各项系数和为( ) A ．2n ＋
1 B ．2n ＋
1＋1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋
1－2
答案 C
解析 令x ＝1得各项系数和为
1＋2＋22＋23＋…＋2n ＝
2n ＋1－12－1
＝2n ＋1－1.
8．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．80
答案 C
解析 (1＋2)5＝C 50＋C 51·2＋C 52(2)2＋C 53(2)3＋C 54(2)4＋C 55(2)5＝41＋292＝a ＋b 2，
∴a ＋b ＝41＋29＝70.故选C.
9．(a ＋a)n 的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T 8＝________． 答案 120a 132
解析
C n 0＋C n 2＋C n 4＋…＝2n －1，∴2n －1＝512＝29，n ＝10，∴T 8＝C 107a 3(
a)7＝120a 13
2.
10．(2x －1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________． 答案 1 64
解析 令展开式左、右两边x ＝1，得各项系数和为1.各二项式系数之和为：C 60＋C 61＋C 62＋…＋C 66＝26＝64.
11．已知(1－x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于
答案 －256
解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝0；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 5＝25，∴a 0＋a 2＋a 4＝24，a 1＋a 3＋a 5＝－24，∴(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)＝－28＝－256.
12．(x 2＋x －1)9(2x ＋1)4的展开式中所有x 的奇次项的系数之和等于________，所有x 的偶次项的系数之和等于________． 答案 41 40
解析 设(x 2＋x －1)9(2x ＋1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 22x 22.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 22＝81；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 21＋a 22＝－1，∴所有x 的奇次项的系数之和等于
12[81－(－1)]＝41，所有x 的偶次项的系数之和等于1
2
[81＋(－1)]＝40.
13．已知(1
4＋2x)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大
的项的系数．
解析 由C n 0＋C n 1＋C n 2＝37，得1＋n ＋12n(n －1)＝37，得n ＝8.(1
4＋2x)8的展开式共有9项，
其中T 5＝C 84(14)4(2x)4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为35
8
.
14．(2015·三明高二期末质检)已知f n (x)＝(1＋ax)n ，且f 5(x)的展开式的各项系数的和是243，a ∈R . (1)求a 的值；
(2)若g(x)＝f 4(x)＋2f 5(x)，求g(x)中含x 4的系数． 解析 (1)由已知f 5(x)＝(1＋ax)5，
令x ＝1，得f 5(x)的展开式的各项系数的和为(1＋a)5， 即(1＋a)5＝243，解得a ＝2.
(2)由题意可知，g(x)＝(1＋2x)4＋2(1＋2x)5. 二项式(1＋2x)4展开式的通项T k ＋1＝C 4k (2x)k ， 二项式(1＋2x)5展开式的通项T k ＋1＝C 5k (2x)k ， 则g(x)中含x 4的系数是C 44×24＋2C 54×24＝176. 15．设(2－3x)100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100， 求下列各式的值．
(1)a 0；
(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100；
(3)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. 解析 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得
a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.
(3)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99] ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝[(2－3)(2＋3)]100 ＝1100＝1.
16．已知(x ＋12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数列．
(1)求n 的值；
(2)展开式中二项式系数最大的项； (3)展开式中系数最大的项．
解析 (1)由题设，(x ＋12x )n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C n k x n －k (12x )k ＝(12)k C n k xn －3
2k ，
故C n 0＋14C n 2＝2×1
2C n 1，即n 2－9n ＋8＝0.
解得n ＝8或n ＝1(舍去)． 所以n ＝8.
(2)展开式中二项式系数最大的为第5项，则T 5＝(12)4C 84x8－32×4＝35
8x 2.
(3)设第r ＋1项的系数最大，则⎩
⎪⎨⎪⎧12r C 8
r ≥1
2
r ＋1C 8r ＋1，12r C 8r ≥12r －1C 8r －1，即⎩
⎪⎨⎪
⎧18－r ≥1
2（r ＋1）
，12r ≥19－r
.
解得r ＝2或r ＝3.
所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 7
2
.
1．若n为正奇数，则7n＋C n1·7n－1＋C n2·7n－2＋…＋C n n－1·7被9除所得的余数是() A．0 B．2
C．7 D．8
答案 C
2．试判断7777－1能否被19整除？
答案能
1．(2012·新课标全国Ⅰ)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()
A．12种B．10种
C．9种D．8种
答案 A
解析 将4名学生均分为2个小组共有C 42C 22
A 22＝3种方法，
将2个小组的同学分给两名教师带有A 22＝2种分法，
最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22＝2种方法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．
2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472 D ．484
答案 C
解析 完成这件事可分为两类：第一类3张卡片颜色各不相同共有C 43C 41C 41C 41＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C 31C 31C 42C 41＝216种，由分类加法计数原理共有472种，故选C 项．
3．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
( )
A ．3×3!
B ．3×(3！)3
C ．(3！)4
D ．9! 答案 C
解析 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A 33种排法；第二步排列每个家庭的三个成员，共有A 33A 33A 33种排法，由乘法原理可得不同的坐法种数有A 33A 33A 33A 33，故选C 项．
4．(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种 答案 C
解析 甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C 32＝3种情况；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C 42＝6种情况，所以甲赢共有10种情况，
同理乙赢也有10种情形，故选C 项．
5．(2012·大纲全国)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( ) A ．240种 B ．360种 C ．480种 D ．720种
答案 C
解析 由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为A 41，剩余5人进行全排列：A 55，故总的情况有：A 41·A 55＝480种．故选C 项．
6．(2013·大纲全国)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 答案 B
解析 先从4人中选2人选修甲课程，有C 42种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，则共有C 42×22＝24种方法．
7．(2014·四川)在x(1＋x)6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 答案 C
解析 根据二项式定理先写出其展开式的通项公式，然后求出相应的系数．
因为(1＋x)6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C 6r x r ，x(1＋1)6的展开式中含x 3的项为C 62x 3＝15x 3，所以系数为15.
8．(2013·辽宁)使(3x －1x x )n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 答案 B
解析 T r ＋1＝C n r (3x)n －r (－x)－32r ＝C n r ·3n －r ·xn －r －32r ＝C n r ·3n －r ·(－1)－32r ·xn －5r
2(r ＝0，1，
2，…，n)，若T r ＋1是常数项，则有n －5
2
r ＝0，即2n ＝5r(r ＝0，1，…，n)，当r ＝0，1时，
n ＝0，5
2，不满足条件；当r ＝2时，n ＝5，故选B.
9．(2012·安徽)(x 2＋2)(1
x 2－1)5的展开式的常数项是( )
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3
答案 D
解析 (1x 2－1)5的通项为T r ＋1＝C 5r (1x 2)5－r (－1)r ＝(－1)r C 5r 1x 10－2r .要使(x 2＋2)(1
x 2－1)5的展开式
为常数，须令10－2r ＝2或0，此时r ＝4或5.故(x 2＋2)(1
x 2－1)5的展开式的常数项是(－1)4
×C 54＋2×(－1)5×C 55＝3.
10．(2012·湖北)设a ∈Z ，且0≤a<13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12
答案 D
解析 ∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其通项为T r ＋1＝C 2 012r 522 012－r ·(－1)r .故(52－1)2 012被13除余数为C 2 0122 012·(－1)2 012＝1，则当a ＝12时，512 012＋12被13整除． 11．(2013·重庆)(x ＋1
2x
)8的展开式中常数项为( )
A.3516
B.358
C.354 D ．105
答案 B
解析 二项式(x ＋
1
2x )8的通项为T r ＋1＝C 8r (x)8－r ·(2x)－r ＝2－r C 8r
x 8－2r 2，令8－2r ＝0，得
r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝2－4C 84＝35
8，故选B 项．
12．(2012·福建)(1＋2x)5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10
答案 B
解析 由二项式定理可知(1＋2x)5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C 5r 15－r (2x)r ＝C 5r ·2r ·x r ，令r
＝2，得T 3＝C 52·22·x 2＝40x 2.∴x 2的系数等于40.
13．(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n 项的系数为f(m ，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120 D ．210
答案 C
解析 利用二项式定理得到x m y n 的系数，运用组合数公式计算．
因为f(m ，n)＝C 6m C 4n ，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C 63C 40＋C 62C 41＋C 61C 42＋C 60C 43＝120.
14．(2015·新课标全国Ⅰ)(x 2＋x ＋y)5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C
解析 易知T r ＋1＝C 5r (x 2＋x)5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 52(x 2＋x)3y 2，对于二项式(x 2＋x)3，由T r ＋1＝C 3t (x 2)3－t ·x t ＝C 3t x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 52C 31＝30.
15．(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.10
21 C.1121 D ．1 答案 B
解析 由题意得基本事件的总数为C 152，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C 101C 51，所以所求概率P ＝C 101C 51C 152＝1021
.
16．(2015·湖北)已知(1＋x)n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．212 B ．211 C ．210 D ．29 答案 D
解析 因为(1＋x)n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C n 3＝C n 7，解得n
＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为1
2×210＝29.
17．(2013·广东)(x 2＋1
x )6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)
答案 20
解析 T r ＋1＝C 6r ·(x 2)6－r ·(1
x )r ＝C 6r ·x 12－3r ，∴要求展开式中x 3的系数，即12－3r ＝3，∴r ＝3，
即T 4＝C 63·x 3＝20x 3.∴x 3的系数为20.
18．(2013·大纲全国)若(x ＋1
x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式
中1
x 2的系数为______． 答案 56
解析 ∵C n 2＝C n 6，∴n ＝8.T r ＋1＝C 8r x 8－r (1x )r ＝C 8r x 8－2r .令8－2r ＝－2，解得r ＝5.∴1
x 2的系数
为C 85＝56.
19．(2014·山东)若(ax 2＋b
x )6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．
答案 2
解析 本题利用二项式定理求出x 3项的系数，从而求得ab 的值，再应用基本不等式解决． (ax 2＋b x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C 6r (ax 2)6－r ·(b
x )r ＝C 6r a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3.
由C 63a 6－3b 3＝20，得ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2.
20．(2015·新课标全国Ⅱ)(a ＋x)(1＋x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________． 答案 3
解析 方法一 直接将(a ＋x)(1＋x)4展开得x 5＋(a ＋4)x 4＋(6＋4a)x 3＋(4＋6a)x 2＋(1＋4a)x ＋a ，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a ＝3.
方法二 (1＋x)4展开式的通项为T r ＋1＝C 4r x r ，由题意可知，a(C 41＋C 43)＋C 40＋C 42＋C 44＝32，解得a ＝3.
21．(2015·北京)在(2＋x)5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答) 答案 40
解析 在(2＋x)5的展开式中，含x 3的项为C 5322x 3＝40x 3，所以x 3系数为40.
22．(2015·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
答案 1 560
解析 由题意得A 402＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．
23．(2015·安徽)(x 3＋1x
)7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案) 答案 35
解析 由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C 7r (x 3)7－r (1x
)r ＝C 7r x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 74x 5＝35x 5，故x 5的系数为35.
24．(2015·天津)在(x －14x
)6的展开式中，x 2的系数为________． 答案 1516
解析 二项式(x －14x )6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C 6r x 6－r ·(－14)r x －r ＝C 6r (－14
)r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系数为C 62(－14)2＝1516
. 25．(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
答案 56
解析 从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，
故所求概率为56.。