【中小学资料】备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题43 暂时抛弃解析式、利用函数性质与图像解不等

专题43 暂时抛弃解析式、利用函数性质与图像解不等式
考纲要求:
高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。

相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。

基础知识回顾: （一）构造函数解不等式
1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则
[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系
的桥梁）
2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，
()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）
3、导数运算法则： （1）()()()
()()()()'
'
'f x g x f
x g x f x g x =+
（2）()()()()()()()'
''2
f x f x
g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（二）利用函数性质与图像解不等式：
1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。

通常可作草图帮助观察。

例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增。

则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小。

从而得到函数值与自变量的等价关系
2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如
()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图像均可作出。

再由()()f x g x <可知()f x 的图像在()g x 图像的
下方。

按图像找到符合条件的范围即可。

应用举例:
类型一、构造函数解不等式
【例1】【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第三次模拟考试】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()331f x f x '+>， ()116f =
，则()11
620x f x e
--+≤的解集为（ ） A . [)1+∞， B . ()1+∞， C . (]1-∞， D . ()1-∞，
【答案】C
【例2】【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】定义在上的可导函数满足
，且函数为奇函数，那么不等式的解集为（ ）
A .
B .
C .
D .
【答案】B
【解析】令g (x )=，则g ′(x )==，
∵f (x )>f ′(x )，∴g ′(x )<0， 即g (x )为减函数，
∵y =f (x )−1为奇函数，∴f (0)−1=0，即f (0)=1,g (0)=1，
则不等式f (x )<等价为<1=g (0)，即g (x )<g (0)，解得x >0，
∴不等式的解集为(0,+∞)， 故选：B .
点睛： 关系式为“减”型
（1） 构造
（2） 构造
（3） 构造
类型二、利用函数的性质和图象解不等式
【例3】【山东省济南外国语学校2018届高三第一学期阶段考试】若奇函数()f x 在(),0-∞内是减函数，且()20f -=， 则不等式()0x f x ⋅>的解集为( )
A . ()()2,02,-⋃+∞
B . ()(),20,2-∞-⋃
C . ()(),22,-∞-⋃+∞
D . ()()2,00,2-⋃
【答案】D 【解析】
()0x f x ⋅> ()()
()()
00{
{
02200202x x x x f x f f x f ><⇒⇒<<-<<>=<=-或或，选D .
【例4】【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考】已知定义在R 上的函数()f x 在区间()1,0-上单调递减， ()1f x +的图象关于直线1x =-对称，若是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系式（ ）
A . ()()sin cos f f αβ>
B . ()()sin cos f f αβ<
C . ()()sin cos f f αβ=
D . 以上情况均有可能
【答案】B
点睛：本题考查了函数的单调性和对称性，以及三角函数的知识，是较好的综合题。

这也是抽象函数比较大小的题目，一般都是从函数的单调性入手，直接有单调性比较自变量的范围即可，无需再求具体函数值。

类型二、与函数奇偶性、周期性、分段函数相关不等式解法
【例5】【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第二次月考】设()f x 的定义域是()(),00,-∞⋃+∞,且()f x 对任意不为零的实数x 都满足()f x -=()f x -.已知当x >0时()12
x
x
f x =- (1)求当x <0时, ()f x 的解析式;(2)解不等式()3
x f x <-
. 【答案】(1) ()221
x
x x f x ⋅=-;(2) {|202}x x x <-<<或.
【例6】【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研测试】设函数()241,1
{
3,1
x x f x x x -<=≥，
则满足()()()()
2
3f
f a f a =的a 的取值范围为_____________．
【答案】13a =
或12
a ≥ 【解析】绘制函数图象如图所示，结合函数图象可得，函数在R 上单调递增，
很明显()f x 的值域为R ，设()()t f a t R =∈，则()2
3f t t =，
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
方法、规律归纳: 构造函数解不等式的技巧：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。

所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。

在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。

两者对接通常可以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。

在构造时多进行试验与项的调整
（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。

所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。

那么问题便易于解决了。

实战演练:
1．【重庆市第一中学2018届高三11月月考】已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018x
f x e <的解集为（ ）
A . ()0,+∞
B . 21,e ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C . 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D . (),0-∞ 【答案】A
2．【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评】定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当
()()0,20x xf x f x +'><.则（ ）
A .
()()2
24f e f e
>
B . ()()931f f >
C . ()()2
39
f e f e -<
D .
()()2
24
f e f e -<
【答案】D
【解析】根据题意，设g （x ）=x 2
f （x ），
其导数g ′（x ）=（x 2
）′f （x ）+x 2
•f （x ）=2xf （x ）+x 2
•f （x ）=x [2f （x ）+xf '（x ）]， 又由当x ＞0时，有2f （x ）+xf '（x ）<0成立，则数g ′（x ）=x [2f （x ）+xf '（x ）]<0， 则函数g （x ）在（0，+∞）上为减函数，
若g （x ）=x 2
f （x ），且f （x ）为偶函数，则
g （-x ）=（-x ）2
f （-x ）=x 2
f （x ）=
g （x ）， 即g （x ）为偶函数，所以()()2g e g < 即
()()2
24
f e f e <
因为()f x 为偶函数，所以()()2f 2f -=,
所以
()()2
24
f e f e -<
故选D
点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g （x ）并分析g （x ）的单调性与奇偶性．
3．【重庆市第一中学2018届高三11月月考】已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018x
f x e <的解集为（ ）
A . ()0,+∞
B . 2
1,e ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭ C . 21,e ⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
D . (),0-∞ 【答案】A
4．【黑龙江省佳木斯市第一中学2018届高三上学期第五次调研】已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()'f x xf x >恒成立，则不等式()2
10x f f x x ⎛⎫
->
⎪⎝⎭
的解集为（ ） A . ()1,+∞ B . (),1-∞ C . ()2,+∞ D . (),2-∞
【答案】A 【解析】令()()f x g x x
=，则()()()
2
xf x f x g x x
-=
''
∵()()f x xf x >'
∴()()0xf x f x -<'，即()()()
2
0xf x f x g x x '-='<在()0,+∞上恒成立
∴()g x 在()0,+∞上单调递减 ∵()210x f f x x ⎛⎫
->
⎪⎝⎭
∴()11f f x x x x
⎛⎫ ⎪
⎝⎭>，即()1g g x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ ∴
1
x x
<，即1x > 故选A
点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.
5．【四川省德阳市2018届高三三校联合测试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，其导函数是()f x '，当0x >时， ()()2f x f x '<恒成立，则下列不等关系一定．．
正确的是 A . ()()212e f f >- B . ()()212e f f ->- C . ()()212e f f -<- D . ()()221f e f -<--
【答案】C
6．【山东省曲阜市2018届高三上学期期中考试】定义在R 上的函数()f x 满足：
()()()()1,00,f x f x f f x >='-'是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的
底数）的解集为（ ）
A . ()0,+∞
B . ()(),10,-∞-⋃+∞
C . ()(),01,-∞⋃+∞
D . ()1,-+∞
【答案】A
【解析】由()()1f x f x >-'知()()1f x f x +'>， ()()'
0x
x
x e f x e f
x e +>>,构造函数
()()F x x e f x =，则()()()''
x x e f x e >，易知()F x 在R 上单调递增，且()()F x x e f x =任一点处斜率比
y x e =相应点的斜率大，又()00f =，知()F 0=0，故作出()x y e f x =及1x y e =-的草图，如下：
通过图像分析()1x
x
e f x e >-的解集为()0,+∞，故选A
点睛：构造函数()()F x
x e f x =，通过分析()F x 与()x
y e f x =的图像关系，作出图像，是解决本题的
关键.
7．【河北省定州中学2018届高三上学期期中考试】定义在R 上的函数()f x 与其导函数()'f x 满足
()()1'x f x f x e -+>，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A . ()()011f ef +<
B . ()()011f ef +>
C . ()()01f e f +<
D . ()()01f e f +>
【答案】A
8．【贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学2017届高三下学期高考适应性月考卷】()f x 是定义在R 上的函数，且()()2f x f x -=，当1x ≥时， ()2log f x x =，则有（ ）
A . ()11232f f f ⎛⎫
⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B . ()11223f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C . ()11223f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D . ()11223f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】C
【解析】由()()2f x f x -=，可知()()11f x f x -=+，∴()f x 的图象关于1x =对称．当1x ≥时，
()2log f x x =为增函数，∴1x <时， ()2log f x x =为减函数，∴()11223f f f ⎛⎫⎛⎫
<
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选C ． 9．已知函数()f x 在区间(]
,2-∞上为增函数，且()2f x +是R 上的偶函数，若()()3f a f ≤，则实数a 的取值范围是（ ）
A . (],1-∞
B . [)3,+∞
C . []1,3
D . ][()
,13,-∞⋃+∞
【答案】D
10．【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）】已知定义在R 上的函数
满足
，在区间
上是增函数，且函数为奇函数，则
A .
B .
C .
D .
【答案】A
【解析】根据题意，函数满足，则有f ，则函数
为周期为6的周期函数，
若函数
为奇函数，则的图象关于点 成中心对称，则有
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