高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练(供参考)

2015 高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
圆锥曲线的综合问题2、 4、6、 11
直线与圆锥曲线的综合问题3、 8、9、 14
圆与圆锥曲线的综合问题7、 10、 12、 13
圆锥曲线与其余内容的综合1、 5
一、选择题
1.椭圆错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1(a>b>0) 的左极点为 A, 左、右焦点分别为F1,F 2,D 是它短轴上的一个端点 , 若 3 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

+2 错误! 未找到引用源。

, 则该椭圆的离心率为 ( D )
(A) 错误 ! 未找到引用源。

(B) 错误 ! 未找到引用源。

(C) 错误 ! 未找到引用源。

(D) 错误 !未找到引用源。

分析 : 设 D(0,b),则错误!未找到引用源。

=(-c,-b),
错误 ! 未找到引用源。

=(-a,-b),错误!未找到引用源。

=(c,-b),
由 3 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

+2 错误 ! 未找到引用源。

得-3c=-a+2c,
即 a=5c,
∴e=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.
应选 D.
2.(2012年高考福建卷)已知双曲线错误!未找到引用源。

-错误 ! 未找到引用源。

=1 的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合 , 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )
(A) 错误 ! 未找到引用源。

(B)4 错误 ! 未找到引用源。

(C)3(D)5
2
分析 : 抛物线 y =12x 的焦点是 (3,0),
222
∴双曲线的渐近线方程为y=±错误 ! 未找到引用源。

x,
焦点 (3,0) 到 y=±错误 ! 未找到引用源。

x 的距离 d=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.
应选 A.
3. 椭圆 ax2+by2 =1 与直线 y=1-x 交于 A、 B 两点 , 过原点与线段AB中点直线的斜率为错误!未找到引用源。

, 则错误 ! 未找到引用源。

的值为( A )
(A) 错误 ! 未找到引用源。

(B) 错误 ! 未找到引用源。

(C) 错误 ! 未找到引用源。

(D) 错误 !未找到引用源。

分析 : 设交点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 中点为 M(x0,y 0),
将 y=1-x 代入 ax 2+by2=1
得(a+b)x 2-2bx+b-1=0,
故 x1+x2=错误 ! 未找到引用源。

,x 0=错误 ! 未找到引用源。

,
∴y1+y2=2- 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

,y 0=错误 ! 未找到引用源。

,
∴k= 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.
应选 A.
4.(2013山东淄博一中高三上期末考试) 过椭圆错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1(a>b>0) 的焦点垂直于x 轴的弦长为错误 ! 未找到引用源。

, 则双曲线错误 ! 未找到引用源。

-错误 ! 未找到引用源。

=1 的离心率 e 的值是 ( B )
(A) 错误 ! 未找到引用源。

(B) 错误 ! 未找到引用源。

(C) 错误 ! 未找到引用源。

(D) 错误 !未找到引用源。

分析 : 设椭圆的半焦距为c1,
在椭圆中当x=c 1时 , 错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1,
22
y =b 1- 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

,
∴错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

,
即 a2=4b2,
设双曲线的半焦距为c2,
∴在双曲线中错误 ! 未找到引用源。

=a2+b2=5b2,
∴e=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.
应选 B.
5.(2013 河北省衡水中学高三模拟) 点P在双曲线错误! 未找到引用源。

- 错误! 未找到引用源。

=1(a>0,b>0) 上 ,F 1、F2是双曲线的两个焦点 , ∠ F1PF2=90° , 且△ F1PF2的三条边长成等差数列 ,
则此双曲线的离心率是 ( D )
(A) 错误 ! 未找到引用源。

(B) 错误 ! 未找到引用源。

(C)2(D)5
分析 : 不如设点 P 在双曲线的右支上,F 1为左焦点 ,
设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,
1
-r212
则 r=2a,2r=r +2c,
解得 r 1=2c-2a,r2=2c-4a,
代入错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

= 4c2可得 c2+5a2-6ac=0,
两边同除以 a2得 e2-6e+5=0,
解得 e=1 或 e=5.
又 e>1, 因此 e=5. 应选 D.
6.(2013福建泉州质检)如下图,在等腰梯形ABCD中 ,AB∥ CD,且 ,AB=2AD.设∠ DAB=θ , θ∈
0, 错误 ! 未找到引用源。

, 以 A、 B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为e1, 以 C、 D 为焦点
且过点 A 的椭圆的离心率为e2, 则( B )
(A)跟着角度θ的增大 ,e 1增大 ,e 1 e2为定值
(B)跟着角度θ的增大 ,e 1减小 ,e 1 e2为定值
(C)跟着角度θ的增大 ,e 1增大 ,e 1 e2也增大
(D)跟着角度θ的增大 ,e 1减小 ,e 1 e2也减小
分析 : 设 AD=1,则 AB=2,DC=2-2cos θ ,
在△ ABD中, 由余弦定理得BD=错误 ! 未找到引用源。

,
e1=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

, θ∈ 0, 错误 ! 未找到引用源。

,
因此跟着角度θ的增大,e 1减小 ;
又 e2=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

,
∴e1e2=错误 ! 未找到引用源。

=1, 应选 B.
7.过双曲线错误 ! 未找到引用源。

- 错误 ! 未找到引用源。

=1(a>0,b>0) 的左焦点 F 引圆 x2+y2=a2的切线 , 切点为 T, 延伸 FT 交双曲线右支于点P, 若 T 为线段 FP 的中点 , 则该双曲线的渐近线
方程为( B )
(A)x ± y=0(B)2x ± y=0
(C)4x ± y=0 (D)x ±2y=0
分析 : 如下图 , 设双曲线的另一个焦点为F′ , 连接 OT、 PF′ .
∵FT 为圆的切线 ,
∴F T⊥ OT,且 |OT|=a,
又∵ T、 O分别为 FP、 FF′的中点 ,
∴OT∥ PF′且 |OT|= 错误 ! 未找到引用源。

|PF ′|,
∴|PF ′ |=2a,
且 PF′⊥ PF.
又|PF|-|PF′ |=2a,
∴|PF|=4a.
在 Rt △ PFF′中 ,|PF| 2+|PF ′ | 2=|FF ′ | 2,
即 16a2+4a2=4c2, ∴错误 ! 未找到引用源。

=5.
∴错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

-1=4, ∴错误 ! 未找到引用源。

=2, 即
渐近线方程为 y=± 2x,
即 2x± y=0. 应选 B.
二、填空题
8.(2012年高考重庆卷)设P为直线y=错误!未找到引用源。

x与双曲线错误!未找到引用源。

-错误 ! 未找到引用源。

=1(a>0,b>0) 左支的交点 ,F 1是左焦点 ,PF 1垂直于 x 轴 , 则双曲线的离
心率 e=.
分析 : 由错误 ! 未找到引用源。

消去 y 得 x =±错误 ! 未找到引用源。

a.
又 PF1⊥ x 轴 , ∴错误 ! 未找到引用源。

a=c, ∴e=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.答案 : 错误 ! 未找到引用源。

9.(2013 东莞模拟 ) 已知抛物线C的方程为 x2=错误 ! 未找到引用源。

y, 过点 A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点 , 则实数 t 的取值范围是.
分析 : 当 t=0 时 , 直线 AB与抛物线 C 有公共点 ,
当 t ≠ 0, 则过点 A(0,-1)和点B(t,3)的直线方程为
错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

,
即 4x-ty-t=0,
由错误 ! 未找到引用源。

得 2tx 2-4x+t=0,=16-4 × 2t 2<0,
解得 t<- 错误 ! 未找到引用源。

或t>错误!未找到引用源。

.
答案 :(- ∞ ,- 错误 ! 未找到引用源。

) ∪( 错误 ! 未找到引用源。

,+ ∞ )
10.过双曲线 C: 错误 ! 未找到引用源。

- 错误 ! 未找到引用源。

=1(a>0,b>0) 的一个焦点作圆
x2+y2 =a2的两条切线 , 切点分别为A、B. 若∠ AOB=120°(O 是坐标原点 ), 则双曲线C的离心率为.
分析:如图,由题知
OA⊥ AF,OB⊥ BF
且∠ AOB=120° ,
∴∠ AOF=60° .
又 OA=a,OF=c,
∴错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=cos 60 ° =错误 ! 未找到引用源。

,
∴错误 ! 未找到引用源。

=2.
答案 :2
11.(2013 安徽蚌埠二模 ) 点 A 是抛物线12与双曲线2
C:y =2px(p>0) C : 错误 ! 未找到引用源。

-错误 ! 未找到引用源。

=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点, 若点 A 到抛物线 C1的准线的距离为p, 则双曲线 C2的离心率等于.
分析 : 设 A(x0,y 0),
∵A 在抛物线上 ,
∴x0+错误 ! 未找到引用源。

=p,
∴x0=错误 ! 未找到引用源。

,
由错误 ! 未找到引用源。

=2px0得 y0=p 或 y0=-p.
∴双曲线渐近线的斜率错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=2.
∴e=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.
答案 : 错误 ! 未找到引用源。

三、解答题
12.已知椭圆的中心在原点 , 焦点在 x 轴上 , 离心率为错误 ! 未找到引用源。

, 且椭圆经过圆
C:x 2+y2 -4x+2 错误 ! 未找到引用源。

y=0 的圆心 C.
(1)求椭圆的方程 ;
(2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切 , 求直线 l 的方程 .
解 :(1) 圆 C 方程可化为 (x-2) 2+(y+ 错误 ! 未找到引用源。

) 2=6,
圆心 C(2,- 错误 ! 未找到引用源。

), 半径 r= 错误 ! 未找到引用源。

设椭圆的方程为错误!未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1(a>b>0),
则错误 ! 未找到引用源。

∴错误 ! 未找到引用源。

∴所求椭圆的方程是错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1.
(2) 由 (1) 得椭圆的左右焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),
|F 2 C|=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

<r= 错误 ! 未找到引用源。

, F2
在圆 C内, 则过 F2没有圆 C的切线 ,
故直线 l 过 F1(-2,0),
设 l 的方程为 y=k(x+2),
即 kx-y+2k=0,
圆心 C(2,- 错误 ! 未找到引用源。

) 到直线 l 的距离为 d=错误 ! 未找到引用源。

, 由 d=
错误 ! 未找到引用源。

, 得错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

, 化简得
5k2+4 错误 ! 未找到引用源。

k-2=0,
解得 k=错误 ! 未找到引用源。

或k=-错误!未找到引用源。

,
故直线 l 的方程为错误 ! 未找到引用源。

x-5y+2 错误 ! 未找到引用源。

=0 或错误 ! 未找到引用源。

x+y+2 错误 ! 未找到引用源。

=0.
13.(2013 河南郑州 ) 已知椭圆 C:错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1(a> 错误 ! 未找到引用源。

) 的右焦点 F 在圆 D:(x-2) 2+y2=1 上 , 直线 l:x=my+3(m ≠ 0) 交椭圆于 M、N两点 .
(1)求椭圆 C 的方程 ;
(2)若错误 ! 未找到引用源。

⊥错误 ! 未找到引用源。

(O 为坐标原点 ), 求 m的值 ;
(3)若点 P的坐标是 (4,0), 试问△ PMN的面积能否存在最大值 ?若存在 , 求出这个最大值 ; 若不存在 , 请说明原因 .
解:(1)由题意知,圆D:(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0),半径是1,
故圆 D 与 x 轴交于两点 (3,0),(1,0),
因此在椭圆中c=3 或 c=1,
又 b2=3,
因此 a2=12 或 a2=4( 不知足 a>错误 ! 未找到引用源。

, 舍去 ),
于是 , 椭圆 C 的方程为错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1.
(2) 设 M(x1,y 1),N(x 2,y 2),
直线 l 与椭圆 C 方程联立错误 ! 未找到引用源。

化简并整理得 (m2+4)y 2+6my-3=0,
∴y1+y2=错误 ! 未找到引用源。

,y 1y2=错误 ! 未找到引用源。

,
∴x1+x2=m(y1+y 2)+6= 错误 ! 未找到引用源。

,
2
x1x2=my1y2+3m(y1+y 2)+9
=错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

+9
=错误 ! 未找到引用源。

.
∵错误 ! 未找到引用源。

⊥ 错误!未找到引用源。

,
∴错误 ! 未找到引用源。

· 错误!未找到引用源。

=0,
即 x1x2+y 1y2=0 得错误 ! 未找到引用源。

=0,
2
因此 m=错误 ! 未找到引用源。

,m=±错误 ! 未找到引用源。

.
(3)S △PMN=错误 ! 未找到引用源。

|FP| · |y 1-y 2|
=错误 ! 未找到引用源。

· 1· 错误!未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=2 错误 ! 未找到引用源。

=2 错误 ! 未找到引用源。

≤ 2错误!未找到引用源。

=1.
当且仅当m2+1=3,
即 m=±错误 ! 未找到引用源。

时等号建立.
故△ PMN的面积蓄在最大值 1.
14.(2013 黄冈一模 ) 已知中心在原点 , 焦点在座标轴上的椭圆Ω的方程为错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1(a>b>0), 它的离心率为错误 ! 未找到引用源。

, 一个焦点是 (-1,0), 过
直线 x=4 上一点引椭圆Ω的两条切线 , 切点分别是 A、 B.
(1)求椭圆Ω的方程 ;
(2)若椭圆Ω : 错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1(a>b>0) 在点 (x 0,y 0) 处的切线方程是 : 错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1. 求证 : 直线 AB恒过定点 C, 并求出定
点 C的坐标 ;
(3)求证 : 错误 ! 未找到引用源。

+ 错误 ! 未找到引用源。

为定值 ( 点 C 为直线 AB 恒过的定点 ).
(1)解 : 椭圆Ω的焦点是 (-1,0),
故 c=1, 又错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

, 因此
a=2,b= 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

, 因此所
求的椭圆Ω方程为
错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1.
(2) 解 : 设切点坐标为 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 直线 l 上一点 M的坐标 (4,t), 则切
线 AM、 BM的方程分别为
错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1, 错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1.
又两切线均过点M,
因此 x1+错误 ! 未找到引用源。

y1=1,x 2+错误 ! 未找到引用源。

y2=1, 即
点 A,B 的坐标都合适方程 x+错误 ! 未找到引用源。

y=1, 故直线 AB的
方程是 x+错误 ! 未找到引用源。

y=1,
明显直线x+错误 ! 未找到引用源。

y=1 恒过点 (1,0),
故直线 AB恒过定点C(1,0).
(3)证明 : 将直线 AB的方程 x=- 错误 ! 未找到引用源。

y+1, 代入椭圆方程 , 得
3 - 错误 ! 未找到引用源。

y+1 2+4y2-12=0,
即错误 ! 未找到引用源。

+4 y2-2ty-9=0,
∴y1+y2=错误 ! 未找到引用源。

,
y1y2=错误 ! 未找到引用源。

,
不如设 y1>0,y 2 <0,
|AC|= 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

y1,
同理 |BC|=- 错误 ! 未找到引用源。

y2,
∴错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

· 错误!未找到引用
源。

- 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=- 错误 ! 未找到引用源。

· 错误!未找到引用源。

=- 错误 ! 未找到引用源。

· 错误!未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

,
即错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

为定值错误!未找到引用源。

.
大题冲关集训( 五 )
1.
(2013 福师大附中模拟) 如图 , 已知抛物线C1:x 2=2py 的焦点在抛物线C2:y= 错误 ! 未找到引用2
源。

x +1 上 .
(1)求抛物线 C1的方程及其准线方程 ;
(2)过抛物线 C1上的动点 P 作抛物线 C2的两条切线 PM,PN,切点为 M,N. 若 PM,PN的斜率乘积为m,且 m∈[2,4], 求|OP| 的取值范围 .
解:(1)C 1的焦点为 F 0, 错误 ! 未找到引用源。

,
因此错误 ! 未找到引用源。

=0+1,p=2.
故 C1的方程为 x2=4y, 其准线方程为 y=-1.
(2)任取点 P(2t,t 2), 设过点 P 的 C2的切线方程为
y-t2=k(x -2t).
22
由错误 ! 未找到引用源。

得 x -2kx+4tk-2t+2=0.
由=(-2k) 2-4(4tk-2t2 +2)=0,
化简得 k2-4tk+2t2-2=0,
设 PM,PN斜率分别为 k1,k 2,
则 m=k1k2=2t 2-2,
由于 m∈ [2,4],因此t2∈ [2,3],
因此 |OP| 2=4t 2+t 4=(t 2+2) 2-4 ∈ [12,21],
因此 |OP| ∈[2 错误 ! 未找到引用源。

, 错误 ! 未找到引用源。

].
2.(2013河南洛阳一模)已知椭圆C: 错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1(a>b>0)的离心率为错误 ! 未找到引用源。

, 直线 l:y=x+2 与以原点为圆心 , 椭圆的短半轴为半径的圆O相切 .
(1)求椭圆 C 的方程 ;
(2)设椭圆 C 与曲线 |y|=kx(k>0) 的交点为 A、 B, 求△ OAB面积的最大值 .
解:(1) 由题设可知 , 圆 O的方程为 x2+y2=b2,
由于直线l:x-y+2=0与圆O相切,
故有错误 ! 未找到引用源。

=b,
因此 b=错误 ! 未找到引用源。

.
又 e=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

2222 , 因此有 a =3c =3(a -b ),
因此 a2=3,
因此椭圆C的方程为错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=1.
(2) 设点 A(x0,y 0)(x 0>0,y 0>0),
则 y0=kx0,
设 AB交 x 轴于点 D,如图 ,
由对称性知 :
S△OAB=2S△OAD=2×错误 ! 未找到引用源。

x0y0=k 错误 ! 未找到引用源。

.由错误 ! 未找到引用源。

解得错误!未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.
因此 S△OAB=k·错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

≤错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未
找到引用源。

.
当且仅当错误 ! 未找到引用源。

=3k, 即 k=错误 ! 未找到引用源。

时取等号.
因此△ OAB面积的最大值为错误!未找到引用源。

.
3.
(2013 泉州五中模拟 ) 已知抛物线 C:x 2=2py(p>0) 上一点 P(a, 错误 ! 未找到引用源。

) 到焦点距离
为 1.
(1)求抛物线 C 的方程 ;
(2)直线 y=kx+2 交 C于 M,N 两点 ,Q 是线段 MN的中点 , 过 Q作 x 轴的垂线交 C于点 T.
①证明 : 抛物线 C 在点 T 处的切线与 MN平行 ;
②能否存在实数k 使错误 ! 未找到引用源。

·错误 ! 未找到引用源。

=0?若存在 , 求 k 的值 ; 若
不存在 , 请说明原因 .
解:(1)依照抛物线的定义知 ,P 到抛物线焦点 F 的距离为 PF=错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未
找到引用源。

=1, 因此 p=错误 ! 未找到引用源。

,
抛物线的方程为x2=错误 ! 未找到引用源。

y.
(2) ①证明 : 设 M(x1,y 1),N(x 2,y 2),Q(x0,y 0),
联立错误 ! 未找到引用源。

得 2x2-kx-2=0,
因此 x+x =错误 ! 未找到引用源。

,x · x =-1,
1212
因此 x0=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.
由于 y=2x 2, 因此 y′错误 ! 未找到引用源。

=k,
因此抛物线 y=2x 2在 T 点处的切线与MN平行 .
②由①可得 T 错误 ! 未找到引用源。

, 错误 ! 未找到引用源。

,
则错误 ! 未找到引用源。

·错误 ! 未找到引用源。

= x - 错误 ! 未找到引用源。

x-错误 !未找
12
到引用源。

+y - 错误 ! 未找到引用源。

y - 错误 ! 未找到引用源。

12
=(k 2+1)x 1x2+ 错误 ! 未找到引用源。

k- 错误 ! 未找到引用源。

(x 1+x2)+ 错误 ! 未找到引用源。

2
+ 2- 错误 ! 未找到引用源。

=- 错误 ! 未找到引用源。

(k 2-4)(k 2+16)=0,
解得 k=± 2, 因此存在k=± 2 知足错误 ! 未找到引用源。

· 错误!未找到引用源。

=0.
4.(2012年高考江西卷)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上随意一点M(x,y) 知足 |
错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

|= 错误 ! 未找到引用源。

· ( 错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

)+2.
(1)求曲线 C 的方程 ;
(2)点 Q(x 0,y 0)(-2<x 0<2) 是曲线 C 上的动点 , 曲线 C 在点 Q处的切线为 l, 点 P 的坐标是
(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E, 求△ QAB与△ PDE的面积之比 .
解:(1) 由错误 ! 未找到引用源。

=(-2-x,1-y),错误!未找到引用源。

=(2-x,1-y),
得| 错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

|= 错误 ! 未找到引用源。

,
错误 ! 未找到引用源。

·( 错误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

)=(x,y) · (0,2)=2y, 由已
知得错误 ! 未找到引用源。

=2y+2,
化简得曲线 C 的方程是x2=4y.
(2) 直线 PA,PB 的方程分别是y=-x-1,y=x-1,
曲线 C 在点 Q处的切线l 的方程是y=错误 ! 未找到引用源。

x- 错误 ! 未找到引用源。

,
且与 y 轴的交点为 F 0,- 错误 ! 未找到引用源。

,
分别联立方程组错误!未找到引用源。

解得 D,E 的横坐标分别是
x D=错误 ! 未找到引用源。

,x E=错误 ! 未找到引用源。

,
则 x E-x D=2,|FP|=1- 错误 ! 未找到引用源。

,
故 S△PDE=错误 ! 未找到引用源。

|FP| ·|x E-x D|
=错误 ! 未找到引用源。

· 1-错误!未找到引用源。

· 2
=错误 ! 未找到引用源。

,
而 S△QAB=错误 ! 未找到引用源。

× 4× 1- 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

, 则
错误 ! 未找到引用源。

=2.
即△ QAB与△ PDE的面积之比为 2.
2
5.(2013年高考湖南卷)已知F1,F2分别是椭圆E: 错误 ! 未找到引用源。

+y =1 的左、右焦
点,F 1,F 2对于直线 x+y-2=0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点 .
(1) 求圆 C的方程 ;
(2) 设过点 F2的直线 l 被椭圆 E 和圆 C所截得的弦长分别为a,b. 当 ab 最大时 , 求直线 l 的方
程.
解:(1) 由题设知 ,F1,F 2的坐标分别为 (-2,0),(2,0),圆 C 的半径为 2, 圆心为原点 O对于直线
x+y-2=0 的对称点 .
设圆心的坐标为 (x00
,y ),
由错误 ! 未找到引用源。

解得错误 ! 未找到引用源。

因此圆 C 的方程为 (x-2) 2+(y-2) 2=4.
(2)由题意 , 可设直线 l 的方程为 x=my+2,
则圆心到直线l 的距离
d=错误 ! 未找到引用源。

.
因此 b=2 错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.
由错误 ! 未找到引用源。

得(m2+5)y 2+4my-1=0.
设 l 与 E 的两个交点坐标分别为(x 1,y 1),(x2,y 2),
则 y1+y2=- 错误 ! 未找到引用源。

,
y1y2=- 错误 ! 未找到引用源。

.
于是 a=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

.
进而 ab=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

≤错误!未找到引用源。

=2 错误 ! 未找到引用源。

.
当且仅当错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

, 即 m=±错误 ! 未找到引用源。

时等号
建立 .
故当 m=±错误 ! 未找到引用源。

时 ,ab 最大 , 此时 , 直线 l 的方程为 x=错误 ! 未找到引用源。

y+2 或 x=- 错误 ! 未找到引用源。

y+2,
即 x- 错误 ! 未找到引用源。

y-2=0 或 x+错误 ! 未找到引用源。

y-2=0.
6.(2013 兰州一模 ) 已知点 P 为 y 轴上的动点 , 点 M为 x 轴上的动点 , 点 F(1,0) 为定点 , 且知足错
误 ! 未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=0, 错误 ! 未找到引用源。

·错误 ! 未找到引用源。

=0.
(1) 求动点 N 的轨迹 E 的方程 ;
(2) 过点 F 且斜率为k 的直线 l 与曲线 E 交于两点A,B, 试判断在 x 轴上能否存在点C,使得
|CA| 2+|CB| 2=|AB| 2建立 , 请说明原因 .
解:(1)设N(x, y),则由错误!未找到引用源。

+错误 ! 未找到引用源。

=0,
得 P为 MN的中点 .
∴P 0, 错误 ! 未找到引用源。

,M(-x,0).
∴错误 ! 未找到引用源。

= -x,-错误!未找到引用源。

, 错误 ! 未找到引用源。

= 1,- 错误 ! 未
找到引用源。

.
2
∴错误 ! 未找到引用源。

· 错误!未找到引用源。

=-x+ 错误 ! 未找到引用源。

=0, 即 y =4x.
2
∴动点 N 的轨迹 E 的方程为 y =4x.
(2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k ≠ 0), 由错误 ! 未找到引用源。

消去 x 得 y2- 错误 ! 未找到引用源。

y-4=0.
设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则 y1+y2=错误 ! 未找到引用源。

,y 1y2=-4.
假定存在点C(m,0) 知足条件 ,
则错误 ! 未找到引用源。

=(x 1-m,y 1), 错误 ! 未找到引用源。

=(x 2-m,y 2 ),
1212212
∴错误 ! 未找到引用源。

·错误 ! 未找到引用源。

=x x -m(x +x )+m +y y = 错误 ! 未找到引用源。

22222
-m 错误 ! 未找到引用源。

+m-4=- 错误 ! 未找到引用源。

[(y 1+y2) -2y1y2]+m -3=m -m错误!
同是寒窗苦读，怎愿心悦诚服！10
∵Δ = 错误 ! 未找到引用源。

+2 2+12>0,
2
∴对于 m的方程 m-m 错误 ! 未找到引用源。

+2 -3=0 有解 .
222
7.(2013 年高考广东卷 ) 已知抛物线 C 的极点为原点 , 其焦点 F(0,c)(c>0) 到直线 l:x-y-2=0 的距离为错误 ! 未找到引用源。

, 设 P 为直线 l 上的点 , 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB, 此中 A,B 为切点 .
(1)求抛物线 C 的方程 ;
(2)当点 P(x0 ,y 0) 为直线 l 上的定点时 , 求直线 AB 的方程 ;
(3)当点 P在直线 l 上挪动时 , 求 |AF| ·|BF| 的最小值 .
解:(1) ∵抛物线 C 的焦点 F(0,c)(c>0) 到直线 l:x-y-2=0 的距离为错误 ! 未找到引用源。

,
∴错误 ! 未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

, 得 c=1,
∴F(0,1), 即抛物线 C 的方程为 x2=4y.
(2) 设切点 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
2
由 x =4y 得 y′ =错误 ! 未找到引用源。

x,
有 y=错误 ! 未找到引用源。

x1x- 错误 ! 未找到引用源。

+y1, 而错误 ! 未找到引用源。

=4y1, 即切
线 PA:y= 错误 ! 未找到引用源。

x1x-y 1,
同理可得切线PB:y= 错误 ! 未找到引用源。

x2x-y 2.
∵两切线均过定点P(x0,y 0),
∴y0=错误 ! 未找到引用源。

x1x0 -y 1,y 0=错误 ! 未找到引用源。

x2x0-y 2, 由
此两式知点 A,B 均在直线 y0=错误 ! 未找到引用源。

xx 0-y 上 , ∴直线 AB
的方程为 y0=错误 ! 未找到引用源。

xx0-y,
即 y=错误 ! 未找到引用源。

x0x-y 0.
(3) 设点 P的坐标为 (x ′ ,y ′),
由 x′ -y ′-2=0,
得 x′ =y ′+2,
则|AF| · |BF|= 错误 ! 未找到引用源。

· 错误!未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=错误 ! 未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=(y 1+1) · (y 2+1)
=y1 y2 +(y 1+y2)+1.
由错误 ! 未找到引用源。

得 y2+(2y ′ -x ′2)y+y ′ =0, 有
y1+y2=x′2-2y ′ ,y 1y2=y′2,2
∴|AF| · |BF|=y ′2+x′2-2y ′ +1
=y′2+(y ′ +2) 2-2y ′ +1
=2 y′ +错误 ! 未找到引用源。

2+错误!未找到引用源。

,
当 y′ =- 错误 ! 未找到引用源。

,x ′=错误 ! 未找到引用源。

时,
即 P 错误 ! 未找到引用源。

,- 错误 ! 未找到引用源。

时,|AF| · |BF| 获得最小值错误 ! 未找到引用源。

.。