圆中折叠问题

圆中折叠问题
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圆中折叠问题
1如图,已知半圆O的直径AB=4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB=3:1,则折痕EF的长．
2如图，AB是半圆O的直径,且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积是．(结果保留π）
3如图，点C在以AB为直径的半圆弧上，∠ABC=30°,沿直线CB将半圆折叠，直径AB和弧BC交于点D,已知AB=6,则图中阴影部分的面积和周长分别等于．
4有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2cm，AD=4cm,上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（）
5如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=4,DB=8，则BC的长是．
B
A
C
M
D D O
P C
B
A
圆的最值问题
例一、斜率运用
1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1)，以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P(m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1．如图，在Rt△A BC 中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点,在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 。

2．如图，⊙O 的直径为4
，C 为⊙O 上一个定点,∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧向B 点运动(点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止,在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．
（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ； (2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 。

例三、正弦定理
1．如图,△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E,F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．
2。

如图,定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值
A B 2
O
D
C E
A B
O
A E B
A
C
O
D
是 ．
例四、配方法
1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线,垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB,设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD •CD 的值最大，且最大值是为 。

2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O △CDE,则⊙O ( ）. A.4
B 。

C. D. 2
3．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 。

例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
1．如图,在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E,则线段CE 长度的最小值是 。

2．如图，Rt△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°,AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .
23
3
32
2
x y
3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．2
例五、其他知识的综合运用
1.(2015•济南)抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1)，B（5，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；
（3）如图2,⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值．
2。

（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D 两点，E为线段CD的中点．
（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)求线段CD长的最小值；
（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．
一．选择题
1．（2014春•兴化市月考)在平面直角坐标系中,点A的坐标为（3，0），点B为y 轴正半轴上的一点,点C为第一象限内一点，且AC=2,设tan∠BOC=m，则m的取值范围是（）
A．m≥0B．C．D．
2．（2013•武汉模拟）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为(）
A．3 B．6 C．D．
3．（2014•武汉模拟）如图,P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（）
A．2B．3 C．D．3
4．（2015•黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD 上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P
在弧AD上运动时，r的值满足（)
A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3D．r=3
5．(2010•苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、
(0,2），⊙C的圆心坐标为(﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上
的一个动点,线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是
（）
A．2 B．1 C．D．
6．（2013•市中区模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为(8，
0）、（0，﹣6），⊙C的圆心坐标为（0，7）,半径为5．若P
是⊙C上的一个动点,线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的
最大值是（）
A．63 B．31C．32 D．30
7．(2013•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P
是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（)
A．90°B．60°C．45°D．30°
二．填空题
8．(2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．
9．(2015•黄陂区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°,AC=4,BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是．
10．（2012•宁波）如图，△ABC中,∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F,连接EF，则线段EF长度的最小值为．
11．(2015•峨眉山市一模）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=10，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则半径r的取值范围
是:．
12．（2013•长春模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则PQ长的最
小值为．
13．(2013•陕西)如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为．
14．(2013•咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值
为．
15．（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的
圆过点A（13，0)，直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦
BC的长的最小值为．
16．(2011•苏州校级一模)如图，在平面直角坐标系中，以坐标原
点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内,
过P作⊙O切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B．则线段AB
的最小值是．
17．（2015秋•江阴市校级期中）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28,且DE=4，则
sin∠ODE=．
18．（2014春•兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比
例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是．
19．(2015•泰兴市二模)如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，
则l的最大值是．
三．解答题20．（2013•武汉模拟）如图,在边长为1的等边
△OAB中,以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，
C为半圆AB上不与A、B重合的一动点,射线AC交⊙O于点E，
BC=a，AC=b．
(1）求证：AE=b+a；
（2）求a+b的最大值；
（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m
的取值范围．
21．（2014春•泰兴市校级期中）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G,连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：
（1）求证：BE⊥AG；
（2)求线段DH的长度的最小值．
22．已知：如图，AB是⊙O的直径,在AB的两侧有定点C
和动点P,AB=5，AC=3．点P在上运动（点P不与A,B重合），CP交AB于点D，
过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1)求∠P的正切值；
(2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．
23．（2013•日照）问题背景：
O A D
B
C
E F
O
D
C E
A B
如图(a)，点A 、B 在直线l 的同侧，要在直线l 上找一点C,使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l 的对称点B′，连接AB′与直线l 交于点C ，则点C 即为所求．
(1）实践运用：
如图（b ），已知，⊙O 的直径CD 为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点,则BP+AP 的最小值为 ． （2）知识拓展：
如图（c ），在Rt△ABC 中,AB=10，∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点,求BE+EF 的最小值,并写出解答过程．
24．（2012•苏州)如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB,设PC 的长为x （2＜x ＜4)．
（1）当x=时，求弦PA 、PB 的长度；
(2）当x 为何值时，PD •CD 的值最大？最大值是多少？
25、如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，
在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．
26、如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为（ ）。

A 。

4
B 。

C 。

D 。

2
27、 如图，已知直角△AOB 中，直角顶点O 在半径为1的圆心上，斜边与圆相切，延长AO ，BO 分别与圆交于C ，D ．试求四边形ABCD
23
3
32
2
圆中折叠问题面积的最小值．。