吉林省实验中学2010高三数学第八次高考模拟考试 理 新人教版

吉林省实验中学2010年高三年级第九次模拟考试数学试题（理
科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知全集U Z =，2
{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为
（ ）
A ．{1,2}-
B ．{1,0}-
C ．{0,1}
D ．{1,2}
2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z
=
（ ）
A ．2i -
B ．2i +
C ．2i --
D ．2i -+ 3．直线1y x =+与圆2
2
1x y +=的位置关系为
（ ）
A ．相切
B ．相交但直线不过圆心
C ．直线过圆心
D ．相离
4．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是
（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．②③ 5．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则
（ ）
A ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥
B ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥
C ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >
D ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完
全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为 （ ）
A ．
8
91
B ．
2591
C ．
4891
D ．
6091
7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为
20x y -=，则它的离心率为
（ ）
A B ．
2
C D ．2
8．若对于任意实数x ，有323
0123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）
S =0，T =0，n =0
T ＞S ？
S = S +4
输出T
结 束
n = n +2
T =T + n
是
否
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
9．执行如图所示的程序框图，输出的T 等于 （ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．30
10．右图是一个几何的三视图，根据图中的数据， 计算该几何体的表面积为 （ ） A ．15π B ．18π C ．22π D ．33π
11．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为 （ ）
A ．3
B ．
52
C ．2
D ．
32
12．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区
域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为
（ ）
A ．2
B ．1
C ．
1
2
D ．
14
二、填空题（每小题解5分，共20分）
13．已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=
且0λ>，则λ= ．
14．某校准备召开高中毕业生代表会，把6个代表名额分配给高三年级的3个班，每班至少
一个名额，不同的分配方案共有 种． 15．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 边长为1，高AA 1＝2，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是 ． 16．定义一种运算“*”，它对正整数n 满足以下运算： （1）2*1001=1；
侧视图 4 3
5
俯视图
·
（2）]1001)2[(31001)22(*⋅=*+n n ，则2008*1001的值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知向量m ),cos ,(sin A A = n )sin ,(cos B B =, m ．
n C B A C ，，，且2sin =分别为△
ABC 的三边a ，b ，c 所对的角． （Ⅰ）求角C 的大小;
（Ⅱ）若sin A , sin C , sin B 成等比数列, 且18)(=-⋅AC AB CA , 求c 的值． 18．（本小题满分12分）
“ 五·一”黄金周某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一
条旅游线路．
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； （Ⅱ）求恰有2条线路被选择的概率； （Ⅲ）求选择甲线路的旅游团个数的期望． 19．（本小题满分12分）
如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC
平面⊥PA ABCD ,32,2,3===AB AD PA ,6=BC
（Ⅰ）求证:;PAC BD 平面⊥
（Ⅱ）求二面角A BD P --的大小．
N
20．（本小题满分12分）
已知向量OA → ＝（2 2 ，0），O 是坐标原点，动点 M 满足：| OM → ＋ OA → |＋| OM →
－OA →
| ＝ 6。

（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）是否存在直线 l 过 D （0，2）与轨迹 C 交于 P 、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过
原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题12分）已知函数3
2
()(,,0)f x mx nx m n R m =+∈≠，函数()y f x =的图象在点
(2,(2))f 处切线与x 轴平行，
（1）用关于m 的代数式表示n ； （2）求函数()f x 的单调递增区间；
（3）若12x >，记函数()y f x =的图象在点11(,())M x f x 处的切线l 与x 轴的交点为
2(,0)x ，证明：23x ≥．
请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（本小题满分10分） 22．选修4—1：几何证明选讲
⊙O 如图：ABC ∆是内接于⊙O ，AB =AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，弦BD //MN ，AC 与BD 相交
于点E 。

⑴求证：ABE ∆≅ACD ∆； ⑵若AB =6，BC =4，求AE 。

23．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ。

以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）。

⑴将曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程。

⑵若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，试求实数m 的值。

24．选修4-5:不等式选讲
已知，且，求证：
参考答案
一、选择：AABCC CABCD CB
二、填空：（13） 3 （14） 10 （15） 1 （16） 31003
三、解答题：
17．解：（1） ∵ m ),cos ,(sin A A = n )sin ,(cos B B =, m ．
n C 2sin =,
∴sin A cos B +cos A sin B =sin2C 1分
即 sin C =sin2C 3分 ∴ cos C =
2
1
4分 又C 为三角形的内角， ∴ 3
π=
C 6分
（Ⅱ） ∵sin A ,sin C ,sin B 成等比数列，
∴ sin 2
C =sin A sin B 7分
∴ c 2
=ab 8分 又18)(=-⋅AC AB CA ,即 18=⋅CB CA ， 9分 ∴ abcosC =18 10分
∴ ab =36 故 c 2
=36
∴ c =6 12分
18．解：（Ⅰ）3个旅游团选择3条不同线路的概率为P 1=83
4
334=A …………3分
（Ⅱ）恰有两条线路被选择的概率为P 2=169
43
2
22324=⋅⋅A C C ……6分 （Ⅲ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P （ξ=0）=6427
4333= P （ξ=1）=64274
332
13=⋅C
P （ξ=2）= 649433
13=⋅C P （ξ=3）= 641
4333=
C ……………………8分 ∴ξ的分布列为： ∴期望E ξ=0×6427+1×6427+2×64
9
+3×641=43……………………………12分
19．解法一：（Ⅰ）
PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ．BD PA ∴⊥．
又tan AD ABD AB =
=tan
BC BAC AB
= C
30ABD ∴=∠，60BAC =∠， 90AEB ∴=∠，即BD AC ⊥．
又PA
AC A =．BD ∴⊥平面PAC ．
…………………．．6分
（Ⅱ）连接PE ．
BD ⊥平面PAC ．BD PE ∴⊥，BD AE ⊥． AEP ∴∠为二面角P BD A --的平面角． 在Rt AEB △
中，sin AE AB ABD ==，
tan AP
AEP AE
∴=
=，60AEP ∴=∠， ∴二面角P BD A --的大小为60． ………………………．．12分
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则(000)A ，，
，0)B ，
，0)C ，，(020)D ，，，(003)P ，，， (003)AP ∴=，，，(230)AC =
，，(0)BD =-，，
0,0=⋅=⋅∴AC BD AP BD ．BD AP ∴⊥，BD AC ⊥，
又PA
AC A =，BD ∴⊥面PAC ．
（Ⅱ）设平面ABD 的法向量为(00
=，m 设平面PBD 的法向量为(1)x y =，，n ， 则n 0=⋅BP , n 0=⋅BD
3020y ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，解得232
x y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=
⎪⎩
， 312⎫
∴=⎪⎪⎝⎭，，n ．
cos ∴<m ，n >n m n m ⋅=
2
1
=．∴二面角P BD A --的大小为60． 20．解：（I ） 设 B （－2 2 ，0）
………… 1分
则|OM → ＋OA → |＋| OM → －OA → |＝|OM → －OB → |＋|OM → －OA →
| …… 2分
C
＝ | MB → | ＋ | MA →
| ＝ 6
∴M 的轨迹为以 A 、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c ＝2 2 ，2a ＝6 ⇒ a ＝3 ⇒ b ＝1 ………… 5分 ∴M 的轨迹 C 的方程为
x 2
9
＋ y 2
＝ 1 ………… 6分
另解：（I ） 设点M （x ，y ），则OM → ＋OA →
＝（x ＋2 2 ，y ）， OM → －OA →
＝（x －2 2 ，y ） …… 2分 ∵| OM → ＋ OA → | ＋ | OM → －OA →
| ＝ 6
∴(x + 22) 2
+ y 2
＋ (x －22) 2
+ y 2
＝ 6 > 4 2 故点 M 的轨迹是以 （±2 2 ，0） 为焦点，长轴长为 6 的椭圆 ∴a ＝ 3，c ＝ 2 2 ， ∴b ＝ 1 ………… 5分 故点M 的轨迹方程为
x 2
9
+ y 2
= 1
… 6分
（II ）设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 2（k ≠0且k 存在）， ………… 7分 由 ⎩⎪⎨⎪⎧ y = kx + 2 x 2
9 + y 2
= 1 得x 2 ＋ 9 （kx ＋ 2） 2
＝ 9， 即 （1 ＋ 9k 2
） x 2
＋ 36kx ＋ 27 ＝ 0
………… 8分
∴△＝ （36k ）2－4×27 （1 ＋ 9k 2
） > 0 即 9k 2
－3 > 0，∴ k < －
33 或k > 3
3
（*）……… 9分 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）
∴x 1 ＋ x 2 ＝ －36k 1 + 9k 2 ，x 1x 2 ＝ 27
1 + 9k
2 ……… 10分
∵以 PQ 为直径的圆过原点，
∴x 1x 2 ＋ y 1y 2 ＝ 0，即x 1x 2 ＋ （kx 1 ＋ 2） （kx 2 ＋ 2） ＝ 0
∴（1 ＋ k 2
） x 1 x 2 ＋ 2k （x 1 ＋ x 2） ＋ 4 ＝ 0 即 27(1 + k 2
)1 + 9k 2 －72k 2
1 + 9k
2 ＋ 4 ＝ 0
解得k ＝ ±
31
3
满足 （*） ∴满足条件的直线 l 存在，
且直线 l 的方程为：31 x －3y ＋ 6 ＝ 0或 31 x ＋ 3y －6 ＝ 0 ………… 12分
21．（1）∵3
2
()f x m x nx =+，∴/
2
()32f x mx nx =+。

由已知条件得：
/2/()32,(2)0,30,3f x mx nx f m n n m =+=+=∴=-．…………………4分
（2）
3n m =-，
32()3f x mx mx ∴=-，/2()36f x mx mx =-，令/()0f x >，得2360mx mx ->，当
0m >时，∴02x x <>或，∴函数()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)-∞+∞，当0
m <时，函数()f x 的单调递增区间为（0，2）．…………………8分 （3）由（1）得：3
2
()3f x mx mx =-，/
2
()36f x mx mx =-，
32211111:(3)(36)()l y mx mx mx mx x x --=--，令0y =，由0m ≠，12x >，
则21121233(2)
x x x x -=-
22211111211123212182(3)33,3(2)3(2)3(2)
x x x x x x x x x --+--=-==---∵()03.22
11≥->x x
∴230x -≥，即23x ≥。

…………………12分
22．解⑴在ABC ∆和ACD ∆中，
AB=AC ∠ABE=∠ACD ……2分 又∠BAE=∠EDC BD //MN
∴∠EDC=∠DCN 直线是圆的切线 ∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD
∴ABE ∆≅ACD ∆（SAS ） ……5分 ⑵ ∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB ∴BC=BE=4……8分
设AE=x 。

易证ABE ∆∽DEC ∆
∴
x DE AB DC x DE 32
64=⇒== 又AE ·EC=BE ·ED EC=6—x
∴4·)6(3
2x x x -= x =310
…………10分
23．解⑴曲线C 的直角坐标方程是ρ=4cos θ，化为直角坐标方程为：
0422=-+x y x …………2分
直线l 的直角坐标方程为：m x y -= …………2分
⑵（法一）由⑴知：圆心的为（2，0），圆的半径2=R ， 圆心到直线l 的距离2
2
)214(
222=
-=
d ，…………6分 ∴
1|2|2
2
2
|
02|=-⇒=
--m m …………8分 ∴31==m m 或…………10分
（法二）
把⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）代入方程0422=-+x y x 得04)2(222=-+-+
m m t m t …………6分
∴m m t t m t t 4),2(222121-=--=+
∴|AB|=14)4(4)]2(2[4)(||222122121=----=-+=-m m m t t t t t t …8分 ∴31==m m 或…………10分
证明:：（法一：综合法）∵
，
∴
（法二：综合法）∵，
∴
设，
∴
∴原不等式成立。

（法三：比较法）先证
∵
∴
=
∴ 再证 222212112222bd ac d c b a bd ac bd ac --+++=--+=-- ()()0222≥-+-=d b c a
∴ 综上所述知
（法四：分析法）
要证
只要证
只需证
∵
=
∴
∴原不等式成立。