高中数学必修四课时作业13：§1.6 三角函数模型的简单应用

§1.6 三角函数模型的简单应用
1．函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的[解析]式可以是( )
A ．f (x )＝x ＋sin x
B ．f (x )＝cos x
x
C ．f (x )＝x cos x
D ．f (x )＝x ·⎝⎛⎭⎫x －π2·⎝⎛⎭
⎫x －3π2 [解析] 由题图象可知f (x )是奇函数，可排除选项D ，又f (π
2)＝0，可排除A ，f (0)＝0，
可排除B ，故选C ．
[答案] C
2．如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sin θ≈θ，试估算气球的高BC 的值约为( )
A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m
[解析]AC＝CD
sin β＝3
sin
π
180
≈
3
π×180≈172(m)，又∠BAC＝30°，∴BC＝
1
2AC＝86 m．
[答案] B
3．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()
[解析] 设AP 所对的圆心角为α，则α＝l ， 弦AP 的长d ＝2·|OA |·sin α
2，
即有d ＝f (l )＝2sin l
2．
[答案] C
4．已知某种交流电流I (A)随时间t (s)的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π
2，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动________次．
[解析] 据I ＝52sin(100πt －π
2)知ω＝100π rad/s ，
该电流的周期为T ＝2πω＝2π
100π＝0.02 s ，
则这种交流电电流在0.5 s 内往复运行次数为 n ＝2·t T ＝2×0.50.02 s ＝50(次)．
[答案] 50
5．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]．
[解析] 将[解析]式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，
可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt 60
．
[答案] 10sin
πt 60
6．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2
)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数[解析]式． 解 (1)最大用电量为50万kW·h ， 最小用电量为30万kW·h ．
(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝1
2×(50＋30)＝40．
∵12×2π
ω
＝14－8， ∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40． 将x ＝8，y ＝30代入上式， 又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π
6
．
∴所求[解析]式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫
π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．
7．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ．
(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6
，
由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5． 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0． ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π
6t ＋1．
(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π
6
t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π
2，k ∈Z ，
即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①
∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24．
∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00．
能力提升
8．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，3
2，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：
秒)的函数的单调递增区间是( )
A ．[0,1]
B ．[1,7]
C ．[7,12]
D ．[0,1]和[7,12]
[解析] 设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则t ＝0时，α＝π3，每秒钟旋转π
6，在t ∈[0,1]
上，α∈[π3，π2]，在[7,12]上α∈[3π2，7π
3
]，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的，故选D ．
[答案] D
9．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t
2
(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A ．[0,5]
B ．[5,10]
C ．[10,15]
D ．[15,20]
[解析] 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π
2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k
∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C ．
[答案] C
10．一种波的波形为函数y ＝－sin π
2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象
的最高点)，则正整数t 的最小值是________．
[解析] 由T ＝2π
ω＝4可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x ≤1时函数单调递减，
1<x <3时函数单调递增，x ＝3时，y ＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x 值为3，第二个波峰对应的x 值为7，所以要区间[0，t ]上至少两个波峰，则t 至少为7．
[答案] 7
11．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f (1
6
)的值为________．
[解析] 取K ，L 中点N ，则MN ＝1
2，
因此A ＝1
2
.由T ＝2得ω＝π．
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π
2，
∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝3
4．
[答案]
3
4
12．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解 (1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500．
根据上述分析可得，2π
ω
＝12，
故ω＝π
6
，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧
A ＝200，
B ＝300.
根据分析可知，当x ＝2时，f (x )最小， 当x ＝8时，f (x )最大，
故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝⎛⎭⎫8×π
6＋φ＝1． 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6
．
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫
π6x －5π6＋300．
(2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简得
sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π
6，k ∈Z ， 解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z ．
因为x ∈N *，且1≤x ≤12，所以x ＝6,7,8,9,10． 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物． 13．(选做题)下表是某地某年月平均气温(华氏)：
以月份为x 轴(x ＝月份－1)，以平均气温为y 轴． (1)用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T 和振幅A ；
(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①y A ＝cos πx 6；②y －46A ＝cos πx 6；③y －46－A ＝cos πx 6． 解 (1)如图．
(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故T
2
＝7－1＝6，所以T ＝12． 因为2A 的值等于最高气温与最低气温的差，
即2A ＝73.0－21.4＝51.6，所以A ＝25.8． (3)因为x ＝月份－1，
所以不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0．
代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，故①不适合；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π
6，故
②不适合．所以应选③．。