近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.5指数与指数函数学案文(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.5 指数与指数函数学案文
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2．5 指数与指数函数
［知识梳理]
1．根式
2．分数指数幂
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα（a〉0,α是无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．指数函数的概念、图象与性质
特别提示：1.错误!与(错误!)n的区别
（1）n，a n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
（2)(错误!）n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．
2．a对y＝a x(a〉0且a≠1）的影响
（1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降"：当a>1时,指数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，指数函数的图象“下降”．
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a〉1，还是0<a〈1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．
［诊断自测］1．概念思辨
(1）n
a n与（错误!)n都等于a(n∈N＊)．( )
（2)函数y＝a x与y＝－a x(a〉0且a≠1)的图象关于x轴对称．（) (3)若a m<a n(a〉0且a≠1)，则m<n。

( ）
(4）函数y＝a x 2
＋1（a〉1)的值域是(0，＋∞)．( )
答案（1)×（2）√（3)×(4)×
2．教材衍化
(1)（必修A1P59T7)错误!错误!，错误!错误!，错误!错误!的大小关系是( ) A。

错误!错误!〉错误!错误!>错误!错误!
B.错误!错误!>错误!错误!〉错误!错误!
C。

错误!错误!〉错误!错误!〉错误!错误!
D.错误!错误!〉错误!错误!〉错误!错误!
答案A
解析∵y＝错误!x在R上为减函数，错误!>错误!，
∴错误!错误!<错误!错误!.
∵y＝x错误!在（0，＋∞）上为增函数,错误!〉错误!>0,
∴错误!错误!>错误!错误!，∴错误!错误!>错误!错误!>错误!错误!.
故选A.
(2）（必修A1P60T4）若2x2＋1≤错误!x－2，则函数y＝2x的值域是（）A。

错误!B．错误!
C。

错误!D．[2，＋∞)
答案B
解析∵2x 2
＋1≤错误!x－2，∴2x2＋1≤2－2x＋4，
∴x2＋1≤－2x＋4，解得－3≤x≤1，
∴函数y＝2x的值域为［2－3,2］，即错误!。

故选B。

3．小题热身
（1)函数f(x）＝a x－2＋1（a>0且a≠1）的图象必经过点（) A．（0，1) B．（1，1)
C．（2，0）D．（2,2）
答案D
解析∵a0＝1，故x－2＝0时f（x)＝2，即x＝2时f(x)＝2.故选D。

(2）函数y＝a x－a－1（a>0且a≠1)的图象可能是（)
答案D
解析函数y＝a x－错误!是由函数y＝a x的图象向下平移错误!个单位长度
得到的，A项显然错误;当a>1时，0〈1
a
<1，平移距离小于1，所以B项错误;
当0〈a〈1时,错误!>1,平移距离大于1，所以C项错误．故选D。

题型1 指数幂的化简与求值
错误!化简：(1) (a>0，b〉0);
(2)错误!错误!＋（0.002）错误!－10(错误!－2）－1＋(错误!－错误!）0.
根据指数幂运算法则计算．
解(1）原式＝
＝ab－1。

（2）原式＝错误!错误!＋错误!错误!－错误!＋1
＝错误!错误!＋500错误!－10（错误!＋2)＋1
＝错误!＋10错误!－10错误!－20＋1＝－错误!。

方法技巧
指数幂的运算规律
1．有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
2．先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数．
3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的,先化成假分数．
4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．注意平方法和开方法，见冲关针对训练1，2。

提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
冲关针对训练
1．（2018·资阳模拟)若0〈a<1,b>0，且a b＋a－b＝22，则a b－a－b等于（）
A。

错误!B．2或－2
C．－2 D．2
答案C
解析∵a b＋a－b＝2错误!，
∴a2b＋a－2b＝8－2＝6。

∴(a b－a－b）2＝a2b＋a－2b－2＝4。

∵0〈a〈1,b〉0，
∴a b〈a－b，
则a b－a－b＝－2。

故选C。

2．若a错误!＋a错误!＝x错误! (a〉0)，则错误!的值是________．
答案错误!
解析由x错误!＝a错误!＋a错误!,得x＝a＋错误!＋2。

∴x2－4x＝x（x－4)＝错误!错误!＝错误!2－4＝a2＋错误!2－2＝错误!2.
∴原式＝错误!＝错误!
＝错误!
题型2 指数函数的图象及应用
错误!若曲线|y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
用数形结合法．
答案[－1，1］
解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[－1，1］．[条件探究1] 若将本典例中“｜y|＝2x＋1”改为“y＝｜2x－1｜”,且与直线y＝b有两个公共点,求b的取值范围．
解曲线y＝｜2x－1｜与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得,如果曲线y＝|2x－1｜与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0，1)．[条件探究2］若将本典例改为：函数y＝｜2x－1｜在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？
解因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0］，所以k≤0,即k 的取值范围为(－∞，0］．
［条件探究3] 若将本典例改为：直线y＝2a与函数y＝|a x－1|(a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？
解y＝|a x－1｜的图象是由y＝a x先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．
当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；
当0＜a＜1时,要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜1 2 ,
如图(2）．
综上，a的取值范围是错误!.
方法技巧
指数函数图象的画法及应用
1．画指数函数y＝a x（a〉0,且a≠1）的图象，应抓住三个关键点:(1，a)，(0,1)，错误!。

2．指数函数图象的应用
(1）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
（3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．见典例．
冲关针对训练
（2017·湖南月考)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，AC⊥CO,AC与BO交于点E,某指数函数y＝a x(a>0且a≠1）的图象经过点E，B，
则a＝（)
A. 2 B．3
C．2 D．3
答案A
解析设E（t,a t），易知点B的坐标为（2t,2a t）．
∵B点在函数y＝a x的图象上，
∴2a t＝a2t，∴a t＝2（a t＝0舍去）．
∴平行四边形OABC的面积＝OC·AC＝a t·2t＝4t.
又平行四边形OABC的面积为8，
∴t＝2，∴a＝错误!。

故选A。

题型3 指数函数的性质及应用
角度1 比较指数幂的大小
错误!(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x）＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b,c 的大小关系为（)
A．a〈b〈c B．a<c<b
C．c〈a〈b D．c〈b〈a
用转化法．
答案C
解析∵f（x)＝2|x－m|－1为偶函数，∴m＝0,
a＝f(log错误!3）＝f（－log
3)＝f(log23)．
2
又∵b＝f（log25),c＝f(0)，
log25>log23>0，函数f（x)＝2|x|－1在(0,＋∞)上为增函数，∴f （log25)>f(log23)〉f(0)，即b>a〉c.故选C。

角度2 求指数型函数中参数的取值
错误!（2015·山东高考）已知函数f（x）＝a x＋b(a>0,a≠1）的定义域和值域都是［－1,0],则a＋b＝________.
用方程法．
答案－错误!
解析①当a>1时，f(x)在[－1,0］上单调递增，则｛a－1＋b＝－1，
无解．
a0＋b＝0
②当0<a 〈1时，f （x ）在[－1,0]上单调递减，则错误!解得错误!∴a ＋b ＝－错误!.
角度3 指数函数性质的综合应用
错误! 已知函数f （x )＝错误!
ax 2
－4x ＋3。

(1）若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2）若f (x )有最大值3，求a 的值;
（3)若f （x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解 （1)当a ＝－1时，f （x ）＝错误!－x 2
－4x ＋3
，
令t ＝－x 2
－4x ＋3，
由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在（－2,＋∞)上单调递减，而y ＝错误!
t
在R 上单调递减，
所以f （x )在（－∞，－2）上单调递减,在（－2，＋∞）上单调递增，
即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞),单调递减区间是(－∞，－2)．
（2)令g （x )＝ax 2
－4x ＋3，f （x ）＝错误!g （x ）
，
由于f （x )有最大值3,所以g （x ）应有最小值－1，
因此必有错误!
解得a ＝1，即当f （x ）有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y ＝错误!g （x ）
的值域为(0,＋∞)．应使g (x ）
＝ax 2
－4x ＋3的值域为R ，
因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R ）．故
a 的值为0。

方法技巧
综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略
冲关针对训练
1．(2018·珠海模拟)若x log52≥－1，则函数y＝4x－2x＋1－3的最小值为( )
A．－4 B．－3
C．－1 D．0
答案A
解析x log52≥－1⇒log52x≥log5错误!⇒2x≥错误!，令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝（t－1)2－4错误!，当t＝1，即x＝0时，取得最小值－4。

故选A.
2．若不等式（m2－m）2x－错误!x<1对一切x∈（－∞，－1］恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案－2<m<3
解析(m2－m）2x－错误!x<1可变形为m2－m〈错误!x＋错误!2,设t＝错误!x,则原条件等价于不等式m2－m〈t＋t2在t≥2时恒成立,显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m<6,解得－2〈m<3.
1．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( ）
A．2x<3y<5z B．5z〈2x<3y
C．3y〈5z〈2x D．3y〈2x〈5z
答案D
解析令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t＞1.
则x＝log2t＝错误!，同理,y＝错误!，z＝错误!.
∴2x－3y＝错误!－错误!＝错误!
＝lg t lg 9－lg 8
lg 2×lg 3
＞0，
∴2x＞3y。

又∵2x－5z＝错误!－错误!＝错误!
＝错误!＜0，
∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z.故选D.
2．(2016·全国卷Ⅲ）已知a＝2错误!，b＝4错误!，c＝25错误!，则( ) A．b〈a〈c B．a<b<c
C．b<c〈a D．c<a〈b
答案A
解析因为a＝2错误!＝4错误!，c＝25错误!＝5错误!，函数y＝x错误!在（0，＋∞)上单调递增,所以4错误!<5错误!，即a〈c，又因为函数y＝4x在R上单调递增，所以4错误!〈4错误!,即b<a，所以b<a〈c。

故选A。

3．(2017·福建五校联考）定义运算a⊕b＝错误!则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( ）
答案A
解析因为当x≤0时，2x≤1;当x〉0时,2x>1。

则f（x）＝1⊕2x＝错误!图象A满足．故选A。

4．(2018·河南百校联考)已知f（x）＝2x－2－x,a＝错误!错误!,b＝错误!错误!，c＝log2错误!，则f(a)，f(b），f（c）的大小关系为（）A．f(b)<f(a）<f（c) B．f（c)〈f（b）<f（a）
C．f(c）〈f(a）〈f(b）D．f（b)〈f(c)〈f(a)
答案B
解析易知f（x)＝2x－2－x在R上为递增函数，又a＝错误!错误!＝错误!错误!〉错误!错误!＝b>0，c＝log2错误!<0,则a>b>c，所以f(c)<f(b)<f(a)．故选B。

［基础送分提速狂刷练］
一、选择题
1．给出下列结论：
①当a<0时,（a2)错误!＝a3;
②错误!＝|a｜(n>1，n∈N＊，n为偶数）;
③函数f（x)＝(x－2）错误!－（3x－7）0的定义域是错误!x≥2且x≠错误!｝；
④若5a＝0。

3，0.7b＝0。

8，则ab〉0。

其中正确的是( ）
A．①②B．②③
C．③④D．②④
答案B
解析（a2) 错误!>0，a3<0，故①错误．∵a〈0,b>0,
∴ab<0，④错误．故选B.
2．设函数y＝x3与y＝错误!x－2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区
间是（）
A．(0，1) B．(1,2)
C．（2,3) D．(3，4）
答案B
解析如图所示，设f(x）＝x3,g(x)＝错误!x－2，
f（0)〈g(0），f(1)<g（1)，f(2)〉g(2)，f(3)>g(3）,….
∴x0∈（1，2）．故选B.
3．（2017·北京模拟）已知函数f（x)＝a x,其中a〉0且a≠1，如果以P(x
，f(x1））,Q(x2,f(x2）)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1）·f(x2) 1
等于( ）
A．1 B．a
C．2 D．a2
答案A
解析∵以P(x1,f(x1）)，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，
∴x1＋x2＝0.
又∵f(x)＝a x，∴f（x1)·f（x2）＝a x1·a x2＝a x1＋x2＝a0＝1，故选A.
4.(2018·沈阳模拟）若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围为（）
A．（－∞，－8）∪[0,＋∞）B．(－8，－4）
C．[－8，－4] D．(－∞，－8］
答案D
解析∵a＋4＝－错误!，
令3x＝t（t>0),则－错误!＝－错误!
因为错误!≥4，所以－错误!≤－4，
∴a＋4≤－4，
所以a的范围为(－∞,－8]．故选D.
5．(2018·南昌质检)定义在R上的偶函数f（x－2），当x>－2时，f(x）＝e x＋1－2(e为自然对数的底数），若存在k∈Z，使方程f（x）＝0的实数根x
∈（k－1,k），则k的取值集合是( )
A．｛0｝B．｛－3}
C．｛－4,0} D．{－3,0｝
答案D
解析∵偶函数f（x－2）的图象关于y轴对称，
∴函数y＝f(x）的图象关于x＝－2对称．
∵当x>－2时，f（x）＝e x＋1－2，
∵f（x）＝e x＋1－2在（－2,＋∞)上单调递增，且f(－1)<0，f（0)＝e －2〉0.
由零点存在定理可知，函数f(x)＝e x＋1－2在（－1,0）上存在零点．
由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈（－4，－3)．由题意,方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k－1＝－1，k＝－3或k＝0。

故选D。

6．函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（1＋x）＝f（1－x)且f(0)＝3,则f （b x)和f（c x）的大小关系是( ）
A．f(b x）≤f（c x)
B．f（b x)≥f(c x）
C．f（b x）>f(c x)
D．大小关系随x的不同而不同
答案A
解析∵f(1＋x）＝f（1－x）,
∴f（x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.
又f(0）＝3，∴c＝3.
∴f(x）在(－∞，1）上递减，在（1，＋∞)上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，
∴f(3x）≥f(2x)．
若x〈0，则3x〈2x〈1，
∴f(3x）〉f(2x)．
∴f(3x)≥f（2x)．故选A.
7．（2018·长春模拟）若存在正数x使2x（x－a）<1成立，则a的取值范围是（)
A．（－∞，＋∞)B．（－2，＋∞）
C．(0，＋∞)D．（－1，＋∞）
答案D
解析不等式2x（x－a）<1可变形为x－a〈错误!x.在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝错误!x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1.故选D。

8．（2017·江西南昌二模）已知函数y＝f（x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f（x)＝2｜x|－1，则函数F(x)＝f（x）－｜lg x|的零点个数是（）
A．9 B．10
C．11 D．18
答案B
解析依题意，在坐标平面内画出函数y＝f（x）与y＝｜lg x｜的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点,因此函数F（x)＝f(x)－|lg x｜的零点个数是10，故选B.
9．（2018·宜宾模拟）已知函数f（x)＝x－4＋错误!，x∈（0,4），当x ＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g（x)＝a｜x＋b｜的图象为( )
答案A
解析∵x∈（0，4)，∴x＋1>1
∴f(x）＝x－4＋错误!＝x＋1＋错误!－5
≥2错误!－5＝1，
当且仅当x＝2时取等号,此时函数有最小值1.
∴a＝2,b＝1，
此时g(x）＝2|x＋1|＝错误!
此函数可以看成函数y＝错误!的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.
10．(2018·蒙城模拟）设x1，x2∈R，函数f（x）满足e x＝错误!，若f （x1)＋f(x2)＝1，则f(x1＋x2)最小值是( ）
A．4 B．2 C.4
5
D。

错误!
答案C
解析由e x＝错误!,可得f(x）＝错误!＝1－错误!，由f(x1)＋f(x2）＝1，可得错误!＋错误!＝错误!，即为e x1＋x2＝e x1＋e x2＋3，
由e x1＋e x2≥2错误!，
即有e x1＋x2≥2错误!＋3，
解得 e
x 1
＋x
2
≥3,
即e
x 1
＋x
2
≥9，当且仅当x 1＝x 2，取得等号，
则f （x 1＋x 2)＝1－错误!≥1－错误!＝错误!. 即有最小值为错误!。

故选C 。

二、填空题
11．（2018·浦东检测)关于x 的方程πx
＝错误!只有正实数解，则a 的取值范围是________．
答案 错误!
解析 ∵方程πx
＝错误!只有正实数解， ∴
a ＋1
2－a
〉1，即错误!－1>0，整理得错误!〉0。

解得错误!<a 〈2。

∴a 的取值范围为错误!。

12．(2018·东湖调研)已知函数f (x ）＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，且a 〉b 〉c >0,则错误!，错误!，
错误!的大小关系为________．
答案 错误!〈错误!〈错误!
解析 由题意错误!可以转化为f （x ）上的点与原点连线的斜率,
根据函数f （x ）＝错误!x
,
设A (a ，f (a )）,B (b ，f （b ）)，C （c ,f (c )）， 观察图象知
k OA <k OB <k OC ，
∴错误!<错误!<错误!。

13．(2018·深圳一模）下列四个函数中：①y＝－x；②y＝log2（x＋1）;
③y＝－错误!；④y＝错误!x－1，在（0,＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)
答案①④
解析当x∈（0，＋∞)时：
①x增大时，错误!增大，－错误!减小,即y减小,
∴函数y＝－错误!在（0，＋∞)上为减函数；
②x增大时，x＋1增大，log2(x＋1）增大，即y增大，
∴函数y＝log2(x＋1）在（0，＋∞)上为增函数；
③x增大时，x＋1增大,错误!减小，－错误!增大，即y增大,
∴函数y＝－错误!在（0，＋∞)上为增函数；
④x增大时,x－1增大,错误!x－1减小，即y减小，
∴函数y＝错误!x－1在(0，＋∞)上为减函数．
∴在（0，＋∞）上为减函数的是①④.
14．(2018·济南模拟)已知g(x)＝ax＋1，f（x）＝
错误!对任意x1∈[－2，2］存在x2∈［－2,2]使g(x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是________．
答案［－1,1]
解析由题意可得g（x），x∈[－2，2］的值域⊆f（x)，x∈[－2，2]的值域．由函数图象可得f(x），x∈［－2，2]的值域是[－4,3]，当a＝0时，g（x）＝1，符合题意；当a>0时,g（x),x∈［－2,2]的值域是[－2a＋1,2a ＋1]，所以［－2a＋1，2a＋1]⊆[－4,3］，所以错误!
则0〈a≤1；当a〈0时，g（x)，x∈[－2，2]的值域是[2a＋1，－2a＋1]，所以［2a＋1,－2a＋1]⊆[－4,3］，所以错误!则－1≤a〈0，综上可得－1≤a≤1.
三、解答题
15．(2018·济南质检)已知函数f（x)＝错误!是奇函数．
（1）求实数m的值；
(2）设g(x)＝2x＋1－a,若函数f（x）与g(x)的图象至少有一个公共点，求实数a的取值范围．
解(1)由函数f（x）是奇函数可知f（0)＝1＋m＝0，解得m＝－1。

（2）函数f(x）与g(x）的图象至少有一个公共点,即方程错误!＝2x＋1－a 至少有一个实根，
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数学案文
即方程4x－a·2x＋1＝0至少有一个实根．
令t＝2x>0,则方程t2－at＋1＝0至少有一个正根．
解法一：由于a＝t＋错误!≥2，∴a的取值范围为［2，＋∞)．
解法二：令h(t)＝t2－at＋1，由于h（0)＝1>0，
∴只需错误!解得a≥2.
∴a的取值范围为[2,＋∞)．
16．(2017·青岛模拟）已知定义在R上的函数f（x）＝2x－错误!。

（1)若f（x）＝错误!，求x的值；
（2）若2t f（2t)＋mf（t）≥0对于t∈［1,2]恒成立,求实数m的取值范围．
解（1)当x＜0时，f(x)＝0，此时f（x）＝错误!无解；
当x≥0时,f（x）＝2x－错误!，
由2x－错误!＝错误!，得2·22x－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程,
解得2x＝2或2x＝－错误!，∵2x＞0，∴x＝1。

(2)当t∈［1,2]时,2t错误!＋m错误!≥0，
即m(22t－1）≥－(24t－1），∵22t－1＞0，
∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈［1,2］，∴－（22t＋1)∈[－17,－5］ ,
故m的取值范围是［－5,＋∞）．
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