等腰三角形的判定与性质-初中数学习题集含答案

等腰三角形的判定与性质（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共6小题）
1．（2019秋•丰台区期末）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且ABC
∆是等腰三角形，那么点C的个数为()
A．1B．2C．3D．4
2．（2019秋•海淀区校级月考）在ABC
DE BC交BA于点D，
∠的平分线交于点I，过点I作//
∠与ACB
∆中，ABC
交AC于点E，且5
∠=︒，则下列说法错误的是()
A
AC=，50
AB=，3
A．DBI
∆和EIC
DI IE
=
∆是等腰三角形B． 1.5
C．ADE
∆的周长是8D．115?
∠=
BIC
3．（2018秋•海淀区校级期中）如图，已知ABC
MN BA，分
+=，AO，BO分别是角平分线，且//
∆中，24
AC BC
别交AC于N，BC于M，则CMN
∆的周长为()
A．12B．24C．36D．不确定
4．（2017秋•北京期中）如图，ABC
DE=，5
CE=，
∠的平分线，//
DE AB交AC于点E，若6
∆中，AD是BAC
则AC的长为()
A．11B．12C．13D．14
5．（2013秋•石景山区期末）如图，在ABC ∆中，BE 、CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过点E 作
//DF BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若4AB =，3AC =，则ADF ∆周长为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
6．（2013秋•西城区期末）如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，//DE AB 交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则(AC = )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
二．填空题（共7小题）
7．（2018秋•东城区期末）已知在ABC ∆中，AB AC =．
（1）若36A ∠=︒，在ABC ∆中画一条线段，能得到2个等腰三角形( 不包括)ABC ∆，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是 ；
（2）若36A ∠≠︒，当A ∠= 时，在等腰ABC ∆中画一条线段，能得到2个等腰三角形( 不包括)ABC ∆．（写出两个答案即可）
8．（2018秋•顺义区期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ．
9．（2019秋•海淀区校级期中）ABC ∆中，AB AC =．设ABC ∆的面积为S ， ①图1中，D 为BC 中点，E ，F ，M ，N 是AD 上的四点；
②图2中，60BAC ∠=︒，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，AD ，BE ，CF 交于点O ； ③图3中，90BAC ∠=︒，D 为BC 中点，90MDN ∠=︒．
其中，阴影部分面积为1
2
S 的是 （填序号）．
10．（2017秋•房山区期末）用一条长为16cm 的细绳围成一个等腰三角形，已知其中有一边的长为4cm ，那么该等腰三角形的腰长为 cm ．
11．（2018秋•西城区校级期中）如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，//DE AB 交AC 于点E ，若7DE =，6CE =，则AC 的长为 ．
12．（2017秋•海淀区期末）如图，在ABC ∆中，4AB =，6AC =，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN ∆的周长为 ．
13．（2015秋•北京校级期中）如图，ABC ∆中，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，//OM AB ，//ON AC ，10BC cm =，则OMN ∆的周长= ．
三．解答题（共2小题）
14．（2019秋•大兴区期末）如图，在ABC ∆中，点D ，E 在边BC 上，BD CE =，且AD AE =．求证：AB AC =．
15．（2019秋•朝阳区校级期中）已知，如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，请你通过观察和测量，猜想线段AB 、AC 之和与线段AM 有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想B ∠，ACM ∠，BCM ∠有怎样的数量关系，并证明你的结论．
等腰三角形的判定与性质（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2019秋•丰台区期末）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且ABC ∆是等腰三角形，那么点C 的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【分析】分AB 为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C 的个数． 【解答】解：当AB 为腰时，点C 的个数有2个； 当AB 为底时，点C 的个数有1个， 故选：C ．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
2．（2019秋•海淀区校级月考）在ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点I ，过点I 作//DE BC 交BA 于点D ，交AC 于点E ，且5AB =，3AC =，50A ∠=︒，则下列说法错误的是( )
A ．DBI ∆和EIC ∆是等腰三角形
B ． 1.5DI IE =
C ．ADE ∆的周长是8
D ．115?BIC ∠=
【分析】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定IDB ∆和IEC ∆是等腰三角形，所以BD DI =，CE EI =，ADE ∆的周长被转化为ABC ∆的两边AB 和AC 的和，即求得ADE ∆的周长为8．
【解答】解：BI 平分DBC ∠，
DBI CBI ∴∠=∠， //DE BC ， DIB IBC ∴∠=∠，
DIB DBI ∴∠=∠，
BD DI ∴=．
同理，CE EI =．
DBI ∴∆和EIC ∆是等腰三角形；
ADE ∴∆的周长8AD DI IE EA AB AC =+++=+=；
50A ∠=︒，
130ABC ACB ∴∠+∠=︒， 65IBC ICB ∴∠+∠=︒， 115BIC ∴∠=︒，
故选项A ，C ，D 正确， 故选：B ．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
3．（2018秋•海淀区校级期中）如图，已知ABC ∆中，24AC BC +=，AO ，BO 分别是角平分线，且//MN BA ，分别交AC 于N ，BC 于M ，则CMN ∆的周长为( )
A ．12
B ．24
C ．36
D ．不确定
【分析】由AO ，BO 分别是角平分线求得12∠=∠，34∠=∠，利用平行线性质求得，16∠=∠，35∠=∠，利用等量代换求得26∠=∠，45∠=∠，即可解题．
【解答】解：由AO ，BO 分别是角平分线得12∠=∠，34∠=∠， 又//MN BA ，16∴∠=∠，35∠=∠， 26∴∠=∠，45∠=∠， AN NO ∴=，BM OM =．
24AC BC +=，24AC BC AN NC BM MC ∴+=+++=，
即24MN MC NC ++=，也就是CMN ∆的周长是24． 故选：B ．
【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线行至的理解和掌握，此题主要求得ANO BMO ∆∆是等腰三角形，这是解答此题的关键．
4．（2017秋•北京期中）如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，//DE AB 交AC 于点E ，若6DE =，5CE =，则AC 的长为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
【分析】先根据角平分线的性质得出BAD CAD ∠=∠，再根据平行线的性质得出CAD ADE ∠=∠，故可得出
6AE DE ==，再根据AC AE CE =+即可得出结论．
【解答】解：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线， BAD CAD ∴∠=∠，
//DE AB ，6DE =，5CE =， CAD ADE ∴∠=∠， 6AE DE ∴==，
6511AC AE CE ∴=+=+=．
故选：A ．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
5．（2013秋•石景山区期末）如图，在ABC ∆中，BE 、CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过点E 作
//DF BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若4AB =，3AC =，则ADF ∆周长为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
【分析】根据角平分线的定义可得EBD EBC ∠=∠，ECF ECB ∠=∠，再根据两直线平行，内错角相等可得EBC BED ∠=∠，ECB CEF ∠=∠，然后求出EBD DEB ∠=∠，ECF CEF ∠=∠，再根据等角对等边可得ED BD =，EF CF =，即可得出DF BD CF =+；求出ADF ∆的周长AB AC =+，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】（1）证明：E 是ABC ∠，ACB ∠平分线的交点，
EBD EBC ∴∠=∠，ECF ECB ∠=∠，
//DF BC ，
DEB EBC ∴∠=∠，FEC ECB ∠=∠，
DEB DBE ∴∠=∠，FEC FCE ∠=∠， DE BD ∴=，EF CF =，
DF DE EF BD CF ∴=+=+， 即DE BD CF =+，
ADF ∴∆的周长()()AD DF AF AD BD CF AF AB AC =++=+++=+，
4AB =，3AC =， ADF ∴∆的周长437=+=，
故选：B ．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．
6．（2013秋•西城区期末）如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，//DE AB 交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则(AC = )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
【分析】先根据角平分线的性质得出BAD CAD ∠=∠，再根据平行线的性质得出CAD ADE ∠=∠，故可得出
7AE DE ==，再根据AC AE CE =+即可得出结论．
【解答】解：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线， BAD CAD ∴∠=∠，
//DE AB ，7DE =，5CE =， CAD ADE ∴∠=∠， 7AE DE ∴==，
7512AC AE CE ∴=+=+=．
故选：B ．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 二．填空题（共7小题）
7．（2018秋•东城区期末）已知在ABC ∆中，AB AC =．
（1）若36A ∠=︒，在ABC ∆中画一条线段，能得到2个等腰三角形( 不包括)ABC ∆，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是 108︒，36︒ ；
（2）若36A ∠≠︒，当A ∠= 时，在等腰ABC ∆中画一条线段，能得到2个等腰三角形( 不包括)ABC ∆．（写出两个答案即可）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论； （2）当90A ∠=︒或108︒时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1所示：
AB AC =，36A ∠=︒，
∴当AE BE =，则36A ABE ∠=∠=︒，则108AEB ∠=︒，
则36EBC ∠=︒，
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；
故答案为：108︒，36︒；
（2）当90A ∠=︒或108︒时，在等腰ABC ∆中画一条线段，能得到2个等腰三角形， 故答案为：90︒或108︒．
【点评】此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形是解题关键．
8．（2018秋•顺义区期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 7个 ．
【分析】①以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，BCD ∆就是等腰三角形； ②以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，ACE ∆就是等腰三角形；
③以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点F ，BCF ∆就是等腰三角形； ④以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点K ，BCK ∆就是等腰三角形； ⑤作AB 的垂直平分线交AC 于G ，则AGB ∆是等腰三角形； ⑥作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则BCI ∆和ACI ∆是等腰三角形． 【解答】解：如图：可以画出7个等腰三角形；
故答案为7．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 9．（2019秋•海淀区校级期中）ABC ∆中，AB AC =．设ABC ∆的面积为S ， ①图1中，D 为BC 中点，E ，F ，M ，N 是AD 上的四点；
②图2中，60BAC ∠=︒，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，AD ，BE ，CF 交于点O ； ③图3中，90BAC ∠=︒，D 为BC 中点，90MDN ∠=︒． 其中，阴影部分面积为1
2
S 的是 ①②③ （填序号）．
【分析】由等腰三角形的性质可判断①，由等边三角形的性质可判断②，由ASA 可证ADF DBE ∆≅∆，可得ADF DBE S S ∆∆=，即可判断③．
【解答】解：如图1，AB AC =，点D 是BC 中点，
BD CD ∴=，AD 垂直平分BC ，
BDN DCN S S ∆∆∴=，BMN MNC S S ∆∆=，BFM CFM S S ∆∆=，EFB EFC S S ∆∆=，AEB AEC S S ∆∆=，
∴阴影部分面积为12
S ；
如图2，
AB AC =，60BAC ∠=︒，
ABC ∴∆是等边三角形，且AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，
AD ∴垂直平分BC ，BE 垂直平分AC ，CF 垂直平分AB ，
BDO CDO S S ∆∆∴=，AEO CEO S S ∆∆=，AFO BFO S S ∆∆=，
∴阴影部分面积为1
2
S ； 如图3，连接AD ，
AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 中点，
AD BD ∴=，45B DAC ∠=∠=︒，AD BC ⊥，
90ADM BDM ∴∠+∠=︒，且90MDA ADN ∠+∠=︒，
BDM ADN ∴∠=∠，且AD BD =，45B DAC ∠=∠=︒，
()ADF DBE ASA ∴∆≅∆ ADF DBE S S ∆∆∴=，
∴阴影部分面积为1
2
S ； 故答案为：①②③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用等腰三角形的性质是本题的关键．
10．（2017秋•房山区期末）用一条长为16cm 的细绳围成一个等腰三角形，已知其中有一边的长为4cm ，那么该等腰
三角形的腰长为 6 cm ．
【分析】分已知边4cm 是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解答】解：4cm 是腰长时，底边为16428-⨯=，
448+=，
4cm ∴、4cm 、8cm 不能组成三角形；
4cm 是底边时，腰长为1(164)62
cm -=， 4cm 、6cm 、6cm 能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm ．
故答案为：6；
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
11．（2018秋•西城区校级期中）如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，//DE AB 交AC 于点E ，若7DE =，6CE =，
则AC 的长为 13 ．
【分析】先根据角平分线的性质得出BAD CAD ∠=∠，再根据平行线的性质得出CAD ADE ∠=∠，故可得出
6AE DE ==，再根据AC AE CE =+即可得出结论．
【解答】解：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，
BAD CAD ∴∠=∠，
//DE AB ，7DE =，6CE =，
CAD ADE ∴∠=∠，
7AE DE ∴==，
7613AC AE CE ∴=+=+=．
故答案为：13．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
12．（2017秋•海淀区期末）如图，在ABC ∆中，4AB =，6AC =，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于O 点，过点O 作BC
的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN ∆的周长为 10 ．
【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB MO =，NC NO =，将三角形AMN 周长转化，
求出即可．
【解答】解：BO 为ABC ∠的平分线，CO 为ACB ∠的平分线，
ABO CBO ∴∠=∠，ACO BCO ∠=∠，
//MN BC ，
MOB OBC ∴∠=∠，NOC BCO ∠=∠，
ABO MOB ∴∠=∠，NOC ACO ∠=∠，
MB MO ∴=，NC NO =，
MN MO NO MB NC ∴=+=+，
4AB =，6AC =，
AMN ∴∆周长为10AM MN AN AM MB AN NC AB AC ++=+++=+=，
故答案为：10
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
13．（2015秋•北京校级期中）如图，ABC ∆中，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，//OM AB ，//ON AC ，10BC cm =，
则OMN ∆的周长= 10cm ．
【分析】由BO 为ABC ∠的平分线，得到一对角相等，再由OM 与AB 平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角
相等，等量代换得到MBO MOB ∠=∠，再由等角对等边得到OM BM =，同理ON CN =，然后利用三边之和表示出三角形OMN 的周长，等量代换得到其周长等于BC 的长，由BC 的长即可求出三角形OMN 的周长．
【解答】解：BO 平分ABC ∠，
ABO DBO ∴∠=∠，
又//OM AB ，
ABO MOB ∴∠=∠，
MBO MOB ∴∠=∠，
OM BM ∴=，
同理ON CM =，
10BC cm =，
则OMN ∆的周长10c OM MN ON BM MN NC BC cm =++=++==．
故答案为10cm ．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本
题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2019秋•大兴区期末）如图，在ABC ∆中，点D ，E 在边BC 上，BD CE =，且AD AE =．求证：AB AC =．
【分析】作AF BC ⊥于点F ，由AD AE =，可得DF EF =，证出BF CF =，则结论得证．
【解答】证明：作AF BC ⊥于点F ，
AD AE =，
DF EF ∴=，
BD CE =，
BD DF CE EF ∴+=+，
即BF CF =，
AF BC ⊥，
AB AC ∴=．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和中垂线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．
15．（2019秋•朝阳区校级期中）已知，如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，请你通过观察和测量，猜想线段AB 、AC 之和与线段AM 有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想B ∠，ACM ∠，BCM ∠有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【分析】根据题目提供的条件和图形中线段的关系，做出猜想2AB AC AM +=，过点C 作//CE AB ，CE 与AM 的延长线交于点E ，进一步证明AB AC AB CE AD ED AE +=+=+=，从而得到2AB AC AM +=，由B ADB EDC ECD ∠=∠=∠=∠，ACM MCE ∠=∠，可得B ACM BCM ∠-∠=∠．
【解答】猜想：2AB AC AM +=，
证明：过点C 作//CE AB ，CE 与AM 的延长线交于点E ，
则ECD B ∠=∠，E BAD ∠=∠， AD 平分BAC ∠，
∴∠=∠，
BAD CAD
∴∠=∠，
E CAD
∴=，
AC EC
又CM AD
⊥于M，
AM ME
∴=，
即2
=，
AE AM
=，
AD AB
∴∠=∠，
B ADB
又EDC ADB
∠=∠，
∴∠=∠，
ECD EDC
∴=，
ED EC
∴+=+=+=，
AB AC AB CE AD ED AE
∴+=．
AB AC AM
2
∠=∠，
B ADB ED
C ECD
∠=∠=∠=∠，ACM MCE
∴∠-∠=∠．
B ACM BCM
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确地做出猜想，然后向着这个目标努力即可．。