新教材高中数学第3章空间向量与立体几何§33 2空间向量运算的坐标表示及应用学案北师大版选择性必修第

3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
学习任务核心素养
1．理解空间向量坐标的概念．(重点)
2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．(重点)
3．掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．(重点、难点)1．通过学习空间向量坐标的概念，培养数学抽象素养．
2．通过求空间向量的模、夹角，培养数学运算与直观想象素养．
3．通过判断两个向量的共线或垂直，培养逻辑推理素养．
1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？
2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？
1．空间向量的正交分解及其坐标表示
标准正交
基在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基
空间直角坐标系以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz
空间向量的坐标表
示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝x i＋y j＋z k，则把x，y，z称作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)．单位向量i，j，k都叫作坐标向量
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
则(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；
(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R；
(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
3．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(x1，y，z1)，b＝(x2，y2，z2)．
则a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
a ⊥
b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；
|a |＝a·a ＝x 21＋y 21＋z 21；
若点A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 |AB |＝|AB →
|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2． cos 〈a ，b 〉＝
x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2
x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 2
2
(a ≠0，b ≠0)．
空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？
〖提示〗 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，b ＝b 1i ＋b 2j ＋b 3k ， 所以a ＋b ＝()a 1i ＋a 2j ＋a 3k ＋(
)b 1i ＋b 2j ＋b 3k ＝()a 1＋b 1i ＋()a 2＋b 2j ＋()
a 3＋
b 3k ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在不同的坐标系中，同一向量的坐标仍相同．
( ) (2)已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，若a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3
b 3．
( ) (3)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0．
( )
(4)若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2．( ) 〖答案〗 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．已知向量a ＋b ＝(4，1，0)，a －b ＝(0，1，－2)，则cos 〈a ，b 〉＝( ) A ．12 B ．3010 C ．23 D ．32
B 〖由已知得a ＝()2，1，－1，b ＝()
2，0，1，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝330＝3010
．〗
3．已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________． 〖答案〗 1
4．已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，求向量OA →与OB →
的夹角．
〖解〗 因为OA →＝(－1，－2，6)，OB →
＝(1，2，－6)． 所以cos 〈OA →，OB →
〉＝－414141
＝－1，
所以向量OA →与OB →
的夹角为π．
类型1 空间向量的坐标运算
〖例1〗 (1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )；
(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：
①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12
(AB →－AC →)．
〖解〗 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)； a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a·b )＝－2×(－7)＝14；
(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8． (2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →
＝(－4，3，1)．
①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，3
2，－2． ②设P (x ，y ，z )，则AP →
＝(x －2，y ＋1，z －2)． 因为AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，3
2，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
x －2＝3
y ＋1＝32，
z －2＝－2
解得x ＝5，y ＝1
2
，z ＝0，
则点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫5，1
2，0．
对空间向量坐标运算的两点说明
(1)空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广.
(2)空间向量的加法、减法、数乘运算的结果依然是一个向量；空间向量的数量积运算的结果是一个实数.
〖跟进训练〗
1．已知a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p·q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．－2
A 〖因为p ＝a －b ＝(1，0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0，3，1)，所以p·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1．〗
2．已知△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →
＝(3，－2，5)，求顶点B 、C 的坐标及CA →
．
〖解〗 设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)，
所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)，BC →
＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )． 因为AB →
＝(4，1，2)， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2＝4y ＋5＝1
z －3＝2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6
y ＝－4
z ＝5
，
所以B 的坐标为(6，－4，5)． 因为BC →
＝(3，－2，5)， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1－6＝3y 1＋4＝－2，
z 1
－5＝5
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝9
y 1＝－6
z 1
＝10
，
所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →
＝(－7，1，－7)． 类型2 坐标形式下的平行与垂直
〖例2〗 已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →
． (1)设|c |＝3，c ∥BC →
，求c ；
(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k ． 〖解〗 (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →
， 所以设c ＝λBC →
＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )， 所以|c |＝
(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3．
解得λ＝±1．
所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →
＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，
所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0． 解得k ＝2或k ＝－52
．
1．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则 a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＝λx 2，y 1
＝λy 2
，
z 1
＝λz 2
，
当b 与三坐标轴都不平行时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2＝z 1
z 2
．
a ⊥
b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．
2．利用平行与垂直的充要条件可以解决两类问题 ①平行与垂直的判定，②平行与垂直的应用．
〖跟进训练〗
3．已知a ＝(1，2，－y )，b ＝(x ，1，2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝1
3，y ＝1
B ．x ＝1
2，y ＝－4
C ．x ＝2，y ＝－1
4
D ．x ＝1，y ＝－1
B 〖由题意知，a ＋2b ＝(2x ＋1，4，4－y )，2a －b ＝(2－x ，3，－2y －2)．
因为(a ＋2b )∥(2a －b )，所以存在实数λ，使a ＋2b ＝λ(2a －b )， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋1＝λ(2－x )，4＝3λ，
4－y ＝λ(－2y －2)，
解得⎩⎨⎧
λ＝43
，x ＝12，
y ＝－4.
〗
4．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________．
⎝⎛⎭
⎫－12，12，0 〖设H (x ，y ，z )，则OH →＝(x ，y ，z )，BH →＝(x ，y －1，z －1)，OA →＝(－1，1，0)．因为BH ⊥OA ，所以BH →·OA →
＝0，即－x ＋y －1＝0 ①，又点H 在直线OA 上，
所以OA →＝λOH →
，即⎩⎪⎨⎪⎧
－1＝λx ，
1＝λy ，
0＝λz
②，联立①②解得⎩⎨⎧
x ＝－12
，
y ＝12，
z ＝0.
所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，1
2，0．〗 类型3 向量夹角与长度的计算 〖探究问题〗
已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． 1．如何求AB →、AC →的模与〈AB →，AC →
〉的大小？
〖提示〗 因为AB →＝(－2，1，6)－(0，2，3)＝(－2，－1，3)，AC →
＝(1，－3，2)． 所以||
AB
→＝(－2)2＋(－1)2＋32＝14，||
AC
→＝12＋(－3)2＋22＝14，
由夹角公式得cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →
|AB →||AC →|＝714·14＝1
2，
又〈AB →，AC →
〉∈〖0，π〗， 所以〈AB →，AC →
〉＝60°．
2．在空间中，如何利用向量求△ABC 的面积？
〖提示〗 S ＝12|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝73
2
．
〖例3〗 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，其中CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．
(1)求BN →
的模；
(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→
〉的值．
〖解〗 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→
为正交基底建立空间直角坐标系C -xyz ．
(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)． 所以|BN →|＝
(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3．
(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)． 所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→
＝(0，1，2)， 所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5． 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→
|BA 1→||CB 1→
|
＝30
10．
1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．
2．平行四边面积的计算公式： S ▱ABCD ＝
||AB
→2
||
AC
→2－(AB →·AC →)2．
〖跟进训练〗
5．已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)． 求：(1)向量AB →，AC →
的模； (2)向量AB →，AC →
夹角的余弦值．
〖解〗 (1)因为AB →＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，AC →
＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，
所以|AB →|＝
12＋(－3)2＋22＝14，|AC →
|＝
22＋02＋(－8)2＝217．
(2)因为AB →·AC →
＝(1，－3，2)·(2，0，－8)＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →
|AB →||AC →|＝－1414×217
＝－238
34．
因此，向量AB →，AC →夹角的余弦值为－238
34
．
1．向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能反映向量的方向与大小．
2．对于空间向量的坐标运算．牢记运算法则是正确计算的关键．
3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求空间角和两点间距离的问题，在求空间角时，应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的范围限制．
1．已知a ＝(1，－5，6)，b ＝(0，6，5)，则a 与b ( ) A ．平行且同向 B ．平行且反向 C ．垂直
D ．不垂直也不平行
C 〖∵a·b ＝1×0＋(－5)×6＋6×5＝0，∴a ⊥b ．〗 2．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) B ．c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) C ．e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0)
D ．g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，24，40) 〖答案〗 D
3．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
C 〖a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a·c ＝7，得a·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32
＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a ||c |＝－12
，〈a ，c 〉＝120°．〗
4．设a ＝(1，0，1)，b ＝(1，－2，2)，则|a －b |＝________，〈a ，b 〉＝________． 5 π
4
〖由a －b ＝(1，0，1)－(1，－2，2)＝(0，2，－1)，得|a －b |＝02＋22＋(－1)2＝
5．
∵cos 〈a ，b 〉＝a·b
|a ||b |＝32×3＝22，〈a ，b 〉∈〖0，π〗，
∴〈a ，b 〉＝π
4
．〗
5．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，求|AB →
|的取值范围． 〖解〗 |AB →
|＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＋(1－1)2
＝
13－12cos (α－θ)，
∵－1≤cos(α－θ)≤1， ∴1≤|AB →
|≤5．。