核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、

§12.1 算法与程序框图
1．算法的概念及特点
(1)算法的概念
在数学中，算法通常是指按照一定______解决某一类问题的________和________的步骤．
(2)算法的特点之一是具有______性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效地执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有______性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有______性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题．
2．程序框图
(1)程序框图的概念
程序框图又称流程图，是一种用______、______及______来表示算法的图形．
(2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能
3.算法的基本逻辑结构
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按__________的顺序进行的．它是由若干个__________的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构．顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式．
(2)条件结构
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向．常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式．
(3)循环结构
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是_______反复执行的步骤称为________．
循环结构有如下两种形式：
①如图1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为____________．
②如图2表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为____________．
自查自纠
1．(1)规则明确有限(2)确定有序有穷
2．(1)程序框流程线文字说明
(2)①终端框(起止框) ②输入、输出框
③处理框(执行框) ④判断框⑤流程线
⑥连接点
3．(1)从上到下依次执行
(3)循环结构循环体
①直到型循环结构②当型循环结构
下列各式中的S 值不可以用算法求解的是( )
A ．S ＝1＋2＋3＋4
B ．S ＝12＋22＋32＋…＋1002
C ．S ＝1＋12＋13＋…＋110000
D ．S ＝1＋2＋3＋4＋…
解：由算法的有限性知，D 不正确，而A ，B ，C 都可以通过有限步骤操作，输出确定结果，故选D .
给出下列算法：
第一步，输入正整数n (n >1)．
第二步，判断n 是否等于2，若n ＝2，则输出n ；若n >2，则执行第三步．
第三步，依次从2到n －1检验能不能整除n ，若不能整除n ，则执行第四步；若能整除n ，则执行第一步．
第四步，输出n .
则输出的n 的值是( )
A ．奇数
B ．偶数
C ．质数
D ．合数
解：根据算法可知n ＝2时，输出n 的值为2；若n ＝3，输出n 的值为3；若n ＝4，2能整除4，则重新输入n 的值，…，故输出的n 的值为质数．故选C .
(2014·北京)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )
A ．1
B ．3
C ．7
D ．15 解：由程序框图知：S ＝1＋21＋22＝7.故选C .
(2014·辽宁)执行下面的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝____________．
解：输入x ＝9，则y ＝5，|y －x |＝4>1，不满足条件；x ＝5，y ＝113，|y －x |＝43>1，不
满足条件；x ＝113，y ＝299，|y －x |＝49<1，满足条件，输出y ＝299.故填299
.
如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________．
解：初始值s ＝0，n ＝2.第一次循环得s ＝12，n ＝4；第二次循环得s ＝12＋14
，n ＝6；第三次循环得s ＝12＋14＋16＝1112，n ＝8，此时退出循环，输出的s ＝1112.故填1112
.
类型一 算法的概念
下列语句是算法的个数为( )
①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；
④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三角形的面积．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解：①中勾画了从济南到巴黎的行程安排，完成了任务；②中节约时间，烧水泡茶完成了任务；③中对“树的大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法构造；④是纯数学问题，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．故选C .
【点拨】算法过程要做到一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且在有限步后必须得到问题的结果．
下列叙述能称为算法的个数为( )
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…，99＋1＝100；
③从宜昌乘火车到武汉，从武汉乘飞机到北京；
④3x >x ＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….
A．2 B．3 C．4 D．5
解：①②③可称为算法，④⑤不是，故选B.
类型二经典算法
“韩信点兵”问题．韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军事机密，他在点兵时采用下述方法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快就知道了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．解：在本题中，士兵从1～3报数，最后一个士兵报2，说明士兵的总人数是除以3余2，其他两种情况依此类推．
(算法一)步骤如下：
第一步：先确定最小的满足除以7余4的数是4；
第二步：依次加7就得到所有满足除以7余4的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，…；
第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：18；
第四步：依次加上35，得18，53，88，…；
第五步：在第四步得到的一列数中，找到最小的满足除以3余2的正整数：53，这就是我们要求的数．
(算法二)步骤如下：
第一步：先确定最小的满足除以3余2的数是2；
第二步：依次加3就得到所有满足除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56，…；
第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8；
第四步：然后依次加15就得8，23，38，53，…，不难看出，这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3；
第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以7余4的最小数是53，这就是我们要求的数．
【点拨】给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问题，研究解决此问题的一般方法；(2)将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程条理清楚地表达出来，就得到一个明确的算法．对于同一问题，可以设计不同的算法，其最终的结果是一样的，但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法．
一位商人有9枚银元，其中有一枚略轻的是假银元．请设计一种算法，用天平(不用砝码)将假银元找出来．
解：算法如下：
第一步：把银元分成3组，每组3枚；
第二步：先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组内；
第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．
类型三 顺序结构
已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P (x 0，y 0)到直线l 的距离d ，写出其算法并画出流程图．
解：算法如下：
第一步：输入x 0，y 0及直线方程的系数A ，B ，C .
第二步：计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C .
第三步：计算z 2＝A 2＋B 2.
第四步：计算d ＝
||z 1z 2.
第五步：输出d .
流程图如图所示．
【点拨】顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤，画出程序框图．注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的．
阅读如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 的值分别是21，32，75，则输
出的a ，b ，c 分别是( )
A ．75，21，32
B ．21，32，75
C ．32，21，75
D ．75，32，21 解：该程序框图的执行过程是：输入21，32，75；x ＝21；a ＝75；c ＝32；b ＝21；输出75，21，32.故选A .
类型四 条件结构
(2015·深圳调研)执行如图所示的程序框图，如果依次输入函数：f (x )＝3x ，
f (x )＝sin x ，f (x )＝x 3，f (x )＝x ＋1x
，那么输出的函数f (x )为( )
A ．f (x )＝3x
B ．f (x )＝sin x
C ．f (x )＝x 3
D ．f (x )＝x ＋1x
解：依题意得，输出的函数应满足：f (－x )＝－f (x )(x ∈R )，即函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋m )>f (x )，其中m >0，即函数f (x )是定义在R 上的增函数．对于A ，函数f (x )＝3x 不是奇函数；对于B ，函数f (x )＝sin x 不是定义在R 上的增函数；对于C ，函
数f (x )＝x 3既是奇函数又是定义在R 上的增函数；对于D ，函数f (x )＝x ＋1x
的定义域不是实数集．综上所述，只能输出f (x )＝x 3
，故选C .
【点拨】条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构．
(2015·全国卷Ⅱ)如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a ＝( )
A．0 B．2 C．4 D．14
解：执行该程序，输入a，b的值依次为a＝14，b＝18；a＝14，b＝4；a＝10，b＝4；a＝6，b＝4；a＝2，b＝4；a＝b＝2，此时退出循环，输出的a＝2.故选B.
类型五循环结构
(2014·安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A．34 B．55 C．78 D．89
解：运行程序：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y ＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y ＝34，z＝55，跳出循环，输出结果是55.故选B.
【点拨】如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用循环结构．在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等，特别要使条件的表述恰当、准确．
(2015·陕西)根据下边的框图，当输入x为2006时，输出的y＝( )
A．28 B．10 C．4 D．2
解：初始条件：x＝2006.第1次运行：x＝2004；第2次运行：x＝2002；第3次运行：x＝2000；…；第1003次运行：x＝0；第1004次运行：x＝－2，不满足条件，跳出循环，
所以输出的y＝32＋1＝10，故选B.
1．设计算法时，要根据题目进行选择，以简单、程序短、易于在计算机上执行为原则．
2．画程序框图首先要进行结构选择，套用格式．若求只含有一个关系式的函数的函数
值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断才能执行后继步骤的，
就必须引入条件结构；如果问题涉及的运算进行了许多重复的步骤，有规律，就可引入变量，
应用循环结构．当然，应用循环结构一定要用到顺序结构与条件结构．
3．循环结构的循环控制
通过累加变量记录循环次数，通过判断框决定循环终止与否．用循环结构来描述算法，
在画出算法程序框图之前，需要确定的三件事是：(1)确定循环变量与初始条件；(2)确定循
环体；(3)确定终止条件．注意直到型循环与当型循环的区别，二者判断框内的条件表述在
解决同一问题时恰好相反．解决循环结构框图问题，当循环次数比较少时，可依次列出；当
循环次数较多时，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一
次或少一次循环的错误．
4．在具体绘制程序框图时，要注意以下几点：
(1)流程线上要标有执行顺序的箭头．
(2)判断框后边的流程线应根据情况标注“是(Y)”或“否(N)”．
(3)框图内的内容包括累加(积)变量初始值，计数变量初始值，累加值，前后两个变量
的差值都要仔细斟酌，不能有丝毫差错．
(4)判断框内条件常用“>”“≥”“<”“≤”“＝”等符号，它们的含义是各不相同
的，要根据所选循环结构的类型，正确地进行选择．
1．结合下面的算法：
第一步：输入x .
第二步：判断x 是否小于0，若是，则输出x ＋2，否则执行第三步．
第三步：输出x －1.
当输入的x 的值为－1，0，1时，输出的结果分别为( )
A ．－1，0，1
B ．－1，1，0
C ．1，－1，0
D ．0，－1，1
解：根据x 值与0的关系，选择执行不同的步骤，当x 的值为－1，0，1时，输出的结果分别为1，－1，0，故选C .
2．如图的程序框图输出的结果是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
解：该算法首先将1，2，3三个数分别赋给x ，y ，z ；然后先让x 取y 的值，即x 变成2，再让y 取x 的值，即y 的值是2，接着让z 取y 的值，即z 的值为2，从而最后输出z 的值为2.故选C .
3．(2014·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于( )
A ．[－6，－2]
B ．[－5，－1]
C ．[－4，5]
D ．[－3，6]
解：由程序框图可得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2＋1－3，t ∈[－2，0），t －3，t ∈[0，2]，
其值域为[－3，6]．故选D . 4．(2015·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
解：执行程序，得S ＝0，i ＝2；S ＝－1，i ＝3；S ＝－1，i ＝4；S ＝0，i ＝5；S ＝0，i ＝6＞5，跳出循环，输出S ＝0.故选C .
5．(2014·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )
A ．s ＞12
B ．s ＞35
C ．s ＞710
D ．s ＞45 解：当输出k 的值为6时，s ＝1×910×89×78＝710
，结合各选项知，C 符合要求．故选C . 6．(2015·全国课标Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解法一：执行程序，S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116
，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4；S ＝132，m ＝164，n ＝5；S ＝164，m ＝1128，n ＝6；S ＝1128<t ＝0.01，m ＝1256，n ＝7，循环结束，输出n ＝7.
解法二：记第n 次循环后S 的值为a n ()n ＝0，1，2，…，其中a 0＝1，则a n ＝a n －1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ，递推可得a n ＝a 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝12n ≤t ＝0.01. 显然n >6，故n ＝7.故选C .
7．(2015·安徽)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为________．
解：各次循环中变量
当a ＝1.416·时，跳出循环，输出的n 为4.故填4.
8．(2014·湖北)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________．
解法一：当a＝123时，b＝321－123＝198≠123；
当a＝198时，b＝981－189＝792≠198；
当a＝792时，b＝972－279＝693≠792；
当a＝693时，b＝963－369＝594≠693；
当a＝594时，b＝954－459＝495≠594；
当a＝495时，b＝954－459＝495＝a，终止循环，输出b＝495.
解法二：设I(a)＝100x＋10y＋z，D(a)＝100z＋10y＋x，x<y<z，x，y，z∈N*，则D(a)－I(a)＝99(z－x)，因此各位数字都不是0且没有重复数字，而且是99的倍数的三位数有：198，297，396，495，594，693，792，891，经检验知只有495满足题意．故填495.
9．某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜三者之一，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜．请设计安全过河的算法．解：第一步，人带羊过河．
第二步，人自己返回．
第三步，人带青菜过河．
第四步，人带羊返回．
第五步，人带狼过河．
第六步，人自己返回．
第七步，人带羊过河．
10．设计一个算法，找出区间[1，1000]内的能被7整除的整数，画出程序框图．
解：第一步，取k＝1.
第二步，判断k≤1000是否成立，若不成立，则执行第五步．
第三步，若k除以7的余数为0，则输出k.
第四步，将k的值增加1，返回执行第二步．
第五步，结束．
程序框图如图．
11．设计一个算法计算11×3＋13×5＋15×7＋…＋12013×2015
的值，并画出程序框图． 解：算法步骤如下：
第一步，令S ＝0，k ＝1.
第二步，若k <2015成立，则执行第三步，否则输出S .
第三步，计算S ＝S ＋1k （k ＋2）
，k ＝k ＋2，返回第二步． 程序框图如图所示：
意大利数学家斐波那契，在1202年出版的《算盘全书》一书里提出了这样一
个问题：一对兔子饲养到第二个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔．问这样下去到年底应有多少对兔子？试画出解决此问题的程序框图．
解：根据题意可知，第一个月有1对小兔，第二个月有1对成年兔子，第三个月有两对兔子，从第三个月开始，每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和，设第N 个月有F 对兔子，第N －1个月有S 对兔子，第N －2个月有Q 对兔子，则有F ＝S ＋Q ，一个月后，即第N ＋1个月时，式中变量S 的新值应变为第N 个月兔子的对数(F 的旧值)，变量Q 的新值应变为第N －1个月兔子的对数(S 的旧值)，这样，用S ＋Q 求出变量F 的新值就是N ＋1个月兔子的对数，依此类推，可以得到一个数序列，数序列的第12项就是年底应有兔子对数，我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1，以此为基准，构造一个循环程序，让表示“第x (x ≥3)个月的i 从3逐次增加1，一直变化到12，再循环一次得到的F ”就是所求结果．流程图如图所示．。