高中数学 第二章 解析几何初步 2.3 空间直角坐标系学案 北师大版

第1课时空间直角坐标系及点的坐标
[核心必知］
1．空间直角坐标系
（1)右手直角坐标系．
在空间直角坐标系中,四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向
旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指指向z轴正向，这样的坐标系称右手系．
(2)坐标系中相关概念．
如图所示的坐标系中，O叫作原点，x，y,z轴统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．空间直角坐标系中点的坐标
（1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z）来表示，第一个是x 坐标,第二个是y坐标，第三个是z坐标．
(2）空间中的点与一个三元有序数组（x，y，z）建立了一一对应的关系．
［问题思考]
1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90°？
提示：不是．空间直角坐标系中,任意两坐标轴的夹角都是90°,但在画直观图时通常画∠xOy＝135°，使x轴、y轴确定的平面水平,∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．2．确定点（x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？
提示:确定点的位置一般有三种方法：
(1）在x轴上找点M1（x0,0,0）,过M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴上找点M2(0，y0，0），过M2作与y轴垂直的平面β；再在z轴上找点M3（0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面γ,于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．
（2）确定点(x0,y0，0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点（x0，y0，z0)的位置．
(3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|,|y0|，｜z0|的长方体(三条棱的位置要
与x0，y0,z0的符号一致）,则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．
讲一讲
1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AD＝3，AB＝5,AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．
［尝试解答] 如图,以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O.xyz.
∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，
显然D（0，0,0)，A在x轴上，∴A（3，0，0）；
C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，
∴D1(0，0，4）；B在xOy平面内，
∴B(3，5,0）;
A1在xOz平面内，∴A1（3，0，4）；C1在yOz平面内，
∴C1(0，5,4）．
由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，
∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，
∵B1在z轴上的射影为D1（0，0,4），
∴B1的竖坐标为4，
∴B1（3，5，4）．
1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则
（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;
（2）充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影，（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号）确定第三个坐标．
练一练
1．如图,棱长为1的正方体ABCD。

A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系,并确定E,F，G三点的坐标．
解:如图,以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且｜EA|＝错误!.
∴E点的坐标为错误!。

∵B点和B1点的坐标分别为（1，1,0）和(1，1,1)，故F点坐标为错误!.
同理可得G点坐标为错误!.
讲一讲
2．求点A(1，2，－1）关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．
［尝试解答] 如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C,使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1，2，1)．
过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB 。

则A 与B 关于x 轴对称且B （1，－2,1)．∴
A (1，2,－1）关于坐标平面xOy 对称的点C (1,2,1）．
A (1,2,－1）关于x 轴对称的点
B （1，－2,1)．
点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点： (1)P (x ,y ，z ）关于原点对称,P 1(－x ，－y ，－z )； (2）P （x ，y ,z ）关于x 轴对称，P 2（x ,－y ，－z ）；
P （x ，y ,z ）错误!P 3(－x ，y ,－z ）； P （x ,y ，z ）错误!P 4(－x ，－y ，z )．
记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”． （3）P （x ,y ，z ）错误!P 5（x ,y ，－z ）;
P （x ，y ,z )错误!P 6（－x ,y ，z ）； P (x ，y ，z ）――→，
关于坐标平面xOz 对称
P 7（x ，－y ,z ）．
练一练
2．设正四棱锥S 。

P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为a ，建立适当的坐标系，求点S 、P 1、P 2、P 3
和P 4的直角坐标．
解:以底面中心作为坐标原点，棱P 1P 2,P 1P 4分别垂直于Oy 轴和Ox 轴（如图)． 正四棱锥S －P 1P 2P 3P 4如图所示,其中O 为底面正方形的中心，P 1P 2⊥Oy 轴,P 1P 4⊥Ox 轴，
SO 在Oz 轴上，
∵d （P 1P 2)＝a ，而P 1，P 2,P 3,P 4均在xOy 平面上， ∴P 1错误!，P 2错误!。

P 3与P 1关于原点O 对称，P 4与P 2关于原点O 对称．
∴P 3错误!,P 4错误!。

又∵|SP 1｜＝a ，｜OP 1｜＝错误!a ， ∴在Rt △SOP 1中,|SO ｜＝ 错误!＝错误!a . ∴S 错误!.
如图，三棱柱ABC.A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
[错解］如图,分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
显然A（0，0，0），
又∵各棱长均为1,且B、C、A1均在坐标轴上，
∴B(1，0,0)，C（0,1,0)，A1(0，0,1)，
B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，
∴B1（1，0,1)，C1（0，1，1）,
∴各点坐标为A（0，0，0)，B（1,0，0），C（0,1,0),
A1（0,0，1），B1(1,0，1），C1(0，1,1)．
[错因］因为三棱柱各棱长均为1,所以△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°,即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°。

故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果没有满足条件的直线,可以让某一条坐标轴“悬空"．
[正解］取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC,
分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝错误!，
OB＝
3
2
，∵A，B,C均在坐标轴上，
∴A错误!，B错误!,C错误!, 点A1与C1在yOz平面内，
∴A1错误!，C1错误!，点B1在xOy面内射影为B，且BB1＝1.∴B1错误!，
∴各点的坐标为A错误!，B错误!，C0,错误!，0,A10，－错误!，1，B1错误!，C1错误!.
1．z轴上点的坐标的特点是（)
A．竖坐标为0
B．横坐标，纵坐标都是0
C．横坐标为0
D．横，纵，竖坐标不可能都是0
解析：选B 点在某坐标轴上时,其他两轴对应的坐标均为零,点在z轴上，所以其横、纵坐标都是0。

2．已知空间直角坐标系中一点A（－3，1，－4),则点A关于x轴对称点的坐标为（）A．(－3，－1，4) B．（－3，－1，－4）
C．（3,1,4) D．(3，－1,－4）
解析：选A 点A关于x轴的对称点A′的y、z坐标都变为相反数，x坐标不变，
∴A′（－3,－1,4）．
3．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在( ）
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
解析：选C 点的纵坐标为0，∴点在xOz平面上．
4．在空间直角坐标系O­xyz中，点P（1,2，3)关于xOz平面的对称点的坐标是________．解析：求点P关于xOz平面的对称点，只要将y坐标变为原来的相反数，∴对称点的坐标是(1,－2,3)．
答案：（1，－2，3)
5．已知A（3,2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为________．
解析:设其中点为M（x，y，z），由中点坐标公式可知
x＝错误!＝4,y＝错误!＝0，z＝错误!＝－1，
故M的坐标为（4,0,－1)．
答案：(4,0，－1）
6.
如图所示，在长方体ABCD。

A′B′C′D′中,E，F分别是BB′,B′D′的中点，其中|AB｜＝4，|BC|＝3，｜DD′｜＝2.求点E，F的坐标．
解:∵点E在坐标平面xDy上的射影为点B(3，4,0）,而点E的z坐标为1,∴E(3，4,1）．∵点F在坐标平面xDy上的射影的点的坐标为错误!,而点F的z坐标为2，
∴F错误!。

一、选择题
1．有下列叙述:
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为（0，b,0）；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0,b，c）；
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为（a,0，c)．
其中正确叙述的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①错误，②③④正确．
2．已知点A(－3，1，4）,则点A关于原点的对称点的坐标为( ）
A．(1,－3，－4) B．(－4,1，－3）
C．（3，－1，－4) D．（4，－1，3）
解析：选C 空间直角坐标系中一点关于原点对称点的坐标特点是：三个坐标都变为它的相反数．
∴A（－3,1,4）关于原点对称点的坐标为(3，－1，－4）．
3．在空间直角坐标系中P(2，3，4)，Q(－2,3,4）两点的位置关系是（）
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
解析：选B ∵P，Q两点对应的三个坐标横坐标互为相反数,
∴P，Q关于yOz平面对称．
4．设z为任一实数，则点（2,2，z）表示的图形是( )
A．z轴
B．与平面xOy平行的一直线
C．平面xOy
D．与平面xOy垂直的一直线
解析：选D (2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．
5．已知点A(2，3－μ，－1＋v）关于x轴的对称点为A′（λ,7，－6）,则λ，μ，v的值为( )
A．λ＝－2,μ＝－4,v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10,v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
解析：选D 两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变,y坐标与z坐标均互为相反数,故有λ＝2,7＝－(3－μ），－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10,v＝7.
二、填空题
6．点A（－5，5，6）关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为________．
解析：点A（－5,5，6)关于yOz对称的点A1坐标为(5，5，6),则点A1关于坐标平面xOy 的对称点A2的坐标为(5,5，－6)．
答案：(5，5,－6)
7．点A(2，4,6)关于y轴对称的点的坐标为________．
解析：关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变成相反数，故A(2，4，6)关于y轴对称的点的坐标为(－2，4，－6)．
答案：(－2，4,－6）
8．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点,则M′关于原点对称的点的坐标是________．
解析：点M在xOz上的射影为（－2，0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0，3)．答案:（2,0,3)
三、解答题
9．如图，棱长为a 的正方体OABC .D ′A ′B ′C ′中,对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,试写出点Q 的坐标．
解：因为OB ′与BD ′相交于点Q ,所以Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，所以Q 的坐标为错误!。

同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的交点，所以Q 点的坐标为错误!.
10．如右图，在棱长为1的正方体ABCD 。

A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ,BD 的中点,G 在棱CD 上，且CG ＝错误!CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ,F ，G ,H 的坐标．
解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点，
故点E 坐标为错误!. 过F 作FM ⊥AD ,FN ⊥DC , 则|FM ｜＝｜FN |＝错误!， 故点F 坐标为错误!； 点G 在y 轴上，又｜GD ｜＝34,
故点G 坐标为错误!；
过H 作HK ⊥CG 于点K ，由于H 为C 1G 的中点， 故|HK ｜＝错误!，｜CK |＝错误!. ∴|DK |＝7
8。

故点H 的坐标为错误!.
第2课时空间两点间的距离公式
［核心必知]
1．长方体的对角线
（1）连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．(如图）
(2）如果长方体的长、宽、高分别为a,b，c，那么对角线长d＝错误!。

2．空间两点间的距离公式
（1）空间任意一点P（x0，y0，z0）与原点的距离
|OP|＝错误!。

(2）空间两点A（x1,y1，z1)，B（x2，y2，z2)间的距离
｜AB｜＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22。

[问题思考]
1．空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？
提示：空间中两点间的距离与两点的顺序无关，两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此,距离公式也可以写成|P1P2｜＝错误!.
2．已知点P（x，y，z),如果r为定值，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形?
提示:由错误!为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P到原点的距离为定值｜r｜。

因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，｜r｜为半径的球面．当r＝0时，x2＋y2＋z2＝0表示原点．
讲一讲
1.
如图所示，在长方体ABCD。

A1B1C1D1中，|AD｜＝3，｜CD｜＝4，｜DD1｜＝2，作DE⊥AC 于E，求点B1到点E的距离．
[尝试解答]
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，得A（3,0，0），C（0,4，0）,B1(3,4，2），设E（x,y,0)．
在Rt△ADC中，|AD｜＝3，|CD|＝4，
｜AC|＝5,∴|DE｜＝错误!。

在Rt△ADE中，｜DE｜2＝x·｜AD｜，∴x＝错误!＝错误!。

在Rt△CDE中，｜DE｜2＝y·｜CD｜，∴y＝错误!＝错误!。

∴E错误!。

∴|B1E｜＝错误!＝错误!.
空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式形式类似,只是根号内增加了一项(z1－z2)2，同时，平面内两点间的距离公式可视为空间两点间距离公式的特殊情况,在空间两点间距离公式中令z1＝z2＝0，即得平面内两点间距离公式．
练一练
1．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点分别为A(－1,2,3），B(2，－2，3)，C错误!.
判断△ABC的形状．
解：法一：|AB|＝错误!＝5，
|AC｜＝错误!＝错误!，
｜BC｜＝错误!＝错误!。

所以|BC|2＋｜AC|2＝|AB｜2＝25，
所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．
法二：由它们的竖坐标都为3可知，此三点在平行于xOy平面的一个平面内，故只考虑该平面内的边长情况即可．
｜AB|＝错误!＝5。

|BC｜＝错误!＝错误!，
｜AC｜＝错误!＝错误!.
所以｜BC|2＋｜AC｜2＝｜AB|2,所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形.
讲一讲
2．在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M,使它到点P(－3，4 ,5)的距离最小,并求出最小值．
[尝试解答] ∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，
∴设点M的坐标为（a，2a,0），
则｜MP｜＝a＋32＋2a－42＋52＝错误!
＝5a－12＋45。

∴当a＝1时,｜MP｜取最小值3错误!，此时M（1，2 ，0）．
∴M坐标为(1,2,0）时,｜PM｜最小,最小值为3错误!.
确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程（组）求点坐标，另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．练一练
2．在空间直角坐标系中，求到两定点A（2，3，0)，B(5，1,0）距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件．
解：∵点P的坐标为(x,y，z),
则由题意可得｜PA|＝错误!，
|PB｜＝错误!,
∵PA＝PB,
∴错误!
＝错误!，
等式两边同时平方、整理得6x－4y－13＝0，
∴P点坐标满足条件为6x－4y－13＝0.
如图所示,正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动,若CM＝BN＝a(0<a<错误!)．求：(1）MN的长；
（2)当a为何值时，MN的长最小．
［巧思] 建立空间直角坐标系,将MN的长度转化为空间两点间的距离问题求解．
[妙解] (1）∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD。

∴AB，BC，BE两两垂直．
∴以B为原点,以BA，BE,BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M错误!a，0,1－错误!a，，N错误!a，错误!a，0。

∴｜MN|＝
错误!
＝错误!＝错误!（0〈a〈错误!）．
（2）∵｜MN｜＝错误!，
∴当a＝错误!时，｜MN|min＝错误!。

即a＝错误!时,MN的长最小．
1．空间直角坐标系中，点A(－3，4,0）和点B(2，－1,6)的距离是（)
A．2错误!B．2错误!
C．9 D。

错误!
解析:选D 由空间两点间的距离公式可得
|AB|＝错误!＝错误!.
2．已知点A(1，－2，11），B（4，2，3)，C（6，－1，4)，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析:选C ｜AB｜＝错误!＝错误!，
|AC｜＝错误!＝错误!,
|BC|＝6－42＋－1－22＋4－32＝错误!，
∵｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB|2，
∴△ABC为直角三角形且一定不是等腰三角形．
3．设点P在x轴上,它到P1(0,错误!，3)的距离为到点P2（0,1，－1）的距离的两倍,则点P的坐标为( )
A．(1,0，0)
B．（－1，0，0)
C．(1，0，0)或(0，－1，0）
D．(1，0,0）或（－1，0，0）
解析：选D ∵点P在x轴上，
∴设点P的坐标为(x,0，0)，
由题意｜PP1｜＝2｜PP2｜,
∴错误!
＝2x－02＋0－12＋0＋12，
解得x＝±1.
∴所求点为(1，0,0）或(－1,0,0）．
4．已知A(1,－2，1),B(2,2,2），点P在z轴上，且｜PA|＝｜PB｜，则点P的坐标为________．
解析：∵P在z轴上可设P（0，0，z)，由|PA|＝｜PB|，
∴错误!＝
错误!,解得z＝3.
答案：（0，0,3)
5．点A（1，t,0)和点B（1－t,2,1）的距离的最小值为________．
解析：｜AB|＝错误!＝错误!，
∴当t＝1时，｜AB｜的最小值为 3.
答案： 3
6．如图，在棱长分别为2，4,3的长方体ABCD。

A1B1C1D1中,利用空间两点间的距离公式,求对角线AD1，AB1和AC1的长．
解:以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则D（0，0,0)，A(2,0，0)，
D1(0,0,3）,B1(2,4,3）,C1(0，4，3),
∴｜AD1|＝错误!＝错误!，
|AB1|＝2－22＋42＋32＝5，
|AC1｜＝错误!＝错误!。

一、选择题
1．点B是点A(1，2,3)在坐标平面上yOz内的射影，则|OB｜等于（)
A。

错误! B.错误!
C．2 3 D。

错误!
解析:选B B点坐标为（0,2，3)，∴|OB｜＝错误!.
2．点P错误!到原点O的距离是( ）
A。

错误! B．1
C。

错误! D。

错误!
解析：选B ｜OP|
＝错误!
＝错误!＝1。

3．已知点A(x,1,2)和点B(2，3,4),且｜AB｜＝26，则实数x的值是（)
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
解析：选D 由空间两点间的距离公式得
错误!＝2错误!,
解得x＝6或x＝－2。

4．已知三点A(－1,0，1），B(2,4,3），C（5，8，5），则A、B、C三点（)
A．构成等腰三角形 B．构成直角三角形
C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形
解析：选D 由已知得
｜AB｜＝－1－22＋0－42＋1－32＝错误!，
|AC｜＝－1－52＋0－82＋1－52＝错误!＝2错误!，
|BC｜＝错误!＝错误!,
∴|AB|＋|BC｜＝｜AC｜,故不能构成三角形．
5．在空间直角坐标系中,与点A（3,1,2），B(4,－2,－2)，C（0，5,1）等距离的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．无数
解析：选D 由两点间距离公式可得｜AB｜＝错误!，|BC|＝错误!,|AC|＝错误!，易知A、B、C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A、B、C距离相等，而过该点与面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．
二、填空题
6．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1，2,－1)，B(3，－2，3），则正方体的体积是________．
解析：设正方体棱长为a,则错误!＝｜AB|＝错误!,所以a＝4，V＝43＝64.
答案:64
7．点A（2，－1,2)到y轴的距离为________．
解析:点A在y轴上的投影为(0，－1，0)，
∴点A到y轴的距离为错误!＝2错误!.
答案：2错误!
8．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A（2,1,1)，B(1,1,2），C（x,0，1），则x＝________。

解析：由距离公式｜AB|＝2－12＋1－12＋1－22＝错误!；
|AC｜＝2－x2＋1－02＋1－12＝错误!;
|BC｜＝1－x2＋1－02＋2－12＝错误!；
∵∠BAC＝90°，∴｜BC|2＝|AB｜2＋｜AC｜2,
∴(1－x）2＋2＝2＋(2－x）2＋1,解得x＝2.
答案：2
三、解答题
9．已知正三棱锥A。

BCD，高为1，底面正三角形边长为3,建立适当坐标系写出A、B、C、D四点的坐标,并求侧棱AB的长度．
解：设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心．
如图以OB所在直线为x轴，
以OA所在直线为z轴，
以过O与CD平行的直线为y轴,建立空间直角坐标系，
设CD中点为E，由BC＝错误!，O为△BCD中心可知，
|OB｜＝错误!|BE|＝错误!·错误!｜BC｜＝1，｜OE｜＝错误!|OB|＝错误!，
∴B（1,0，0）,E错误!。

又｜CE|＝|ED|＝错误!，
∴C错误!，D错误!.
又∵A在z轴上，且｜AO｜＝1，∴A(0,0,1)．
由两点间的距离公式|AB|＝错误!＝错误!，
∴各点坐标为A（0,0，1），B（1，0，0),C错误!，D错误!，侧棱AB长为错误!。

10．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O。

xyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上．
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时,探究｜PQ｜的最小值；
（2)当点Q为棱CD的中点,点P在对角线AB上运动时，探究｜PQ|的最小值．
解：设正方体的棱长为a.
(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是（错误!，错误!，错误!）．因为点Q 在线段CD上,设Q(0，a，z）．
｜PQ｜＝错误!
＝错误!。

当z＝错误!时，｜PQ｜的最小值为错误!a,即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值错误!
a.
（2）因为P在对角线AB上运动，Q是定点,所以当PQ⊥AB时，｜PQ|最短．因为当点Q 为棱CD的中点时,|AQ|＝|BQ｜，△QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时,|PQ|取得最小值错误! a.
1．直线的五种方程
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．2．距离问题
距离包括平面两点间的距离、空间两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离．学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．
3．圆的方程
(1)圆的标准方程:（x－a)2＋（y－b）2＝r2，其中，圆心是C（a，b），半径长是r。

特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）．
（2)由于圆的方程均含有三个参变量（a，b，r或D,E，F），而确定这三个参数必须有三个独立的条件．因此，三个独立的条件可以确定一个圆．
（3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点,通常可用圆的一般方程．
4．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切,其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断）、几何法（由圆心到直线的距离d 与半径长r的大小关系来判断)．
(1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r,最小距离为d－r，其中d 为圆心到直线的距离．
（2）当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．
①若切线所过点(x0,y0)在圆x2＋y2＝r2上,则切线方程为x0x＋y0y＝r2;若点（x0，y0)在圆（x－a）2＋（y－b)2＝r2上,则切线方程为(x0－a)（x－a)＋(y0－b)(y－b）＝r2。

②若切线所过点(x0，y0）在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．
5．常用的直线系和圆系
（1)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，且λ≠C)．
(2)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是:Bx－Ay＋λ＝0（λ是参数）．
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程是：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0（λ为参数，且λ≠0)．（4)过直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F〉0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C）＝0，λ是待定的系数．6．对称问题
对称问题，是高考的热点之一，也是重要的数学思想方法．一般来说，对称问题可分为四个类型：①点关于点的对称；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．归根结底,都可转化为点关于点的对称．
（1）中心对称．
①点的中心对称：
若点M（x1，y1)关于P(a，b）的对称点为N（x，y）,则由中点坐标公式可得错误!
②直线的中心对称：
主要方法:在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线；或者求出一个对称点再利用对称直线与原直线平行求方程．(2）轴对称．
①点的轴对称：
点A(x0,y0)关于直线l:Ax＋By＋C＝0对称点B（x，y）可由方程组错误!求得．
②直线的轴对称：
主要方法：在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再由两点式写出对
称直线的方程．
特殊情况：①关于x轴对称,方法错误!
②关于y轴对称,方法错误!
③关于直线y＝x对称，方法错误!即x，y对调；
④关于直线y＝－x对称,方法错误!
即x，y对调之后加负号．
考点1直线的倾斜角与斜率
［典例1] 求直线ax＋错误!y＋2＝0(－1≤a≤1)的倾斜角的取值范围．
[解］∵直线的斜率k＝－错误!a，∴－错误!≤k≤错误!，
当0≤k≤错误!时，直线的倾斜角α满足0≤α≤错误!。

当－错误!≤k<0时,直线的倾斜角α满足错误!≤α<π,
∴直线的倾斜角的取值范围是0,错误!∪错误!，π。

［借题发挥］求倾斜角的范围,应先求出斜率的范围然后根据倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围即可解出相应的答案．
[对点训练]
1．点P(x，y)在以A(－3,1)，B（－1，0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则错误!的取值范围是（）
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
解析：选D
如图，令k＝错误!,则k可以看成过点D（1,2）和(x，y）的直线斜率,显然k AD是最小值，k BD是最大值．由于不包含边界，
所以k∈错误!.
考点2求直线方程
［典例2] 直线l过点P（8，6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的
方程．
[解］法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0,
故设直线l的方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1（a≠0)，
当直线l的方程为错误!＋错误!＝1时，
把P(8,6）代入得错误!＋错误!＝1，解得a＝14，
∴直线l的方程为x＋y－14＝0;
当直线l的方程为错误!＋错误!＝1时，
把P（8，6）代入得错误!－错误!＝1,解得a＝2,
∴直线l的方程为x－y－2＝0。

综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.
法二:设所求直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0，b≠0），
令x＝0，得y＝b;令y＝0,得x＝－错误!。

∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形，
∴｜b｜＝错误!.
∵b≠0，∴k＝±1.
当k＝1时，直线l的方程为y＝x＋b，
把P（8，6）代入得6＝8＋b，解得b＝－2,
∴直线l的方程为y＝x－2,
即x－y－2＝0;
当k＝－1时,直线l的方程为y＝－x＋b，
把P(8，6）代入得6＝－8＋b，解得b＝14，
∴直线l的方程为y＝－x＋14,即x＋y－14＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0。

［借题发挥］本题法一和法二分别应用了直线方程的截距式和斜截式来解题，可以看出法一要优于法二，涉及直线与两条坐标轴围成的三角形的面积或周长的与截距有关的问题时，设截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为0。

［对点训练］
2．一条直线被两条直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程．
解：法一：当直线的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，且l与已知两直线的交点分别为P1（x1，y1)，P(x2，y2）,
则错误!
由此解得错误!
∵O是P1P2的中点，
∴x1＋x2＝0，
即错误!－错误!＝0，解得k＝－错误!.
当斜率不存在时，直线l是y轴，它和两已知直线的交点分别是（0，－6)和（0,－错误!），显然不满足中点是原点的条件．
∴所求的方程为y＝－错误!x。

法二：设过原点的直线l交已知两直线于P1，P2，且O为P1，P2的中点，∴P1与P2关于原点对称．
若设P1(x0，y0），则P2（－x0,－y0)，
∴错误!
①＋②得x0＋6y0＝0.
∴点P1(x0，y0）,P2（－x0,－y0）都满足方程x＋6y＝0，
∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点，
∴所求直线l的方程即为x＋6y＝0。

[典例3] 已知直线l1：x＋ay－2a－2＝0，l2:ax＋y－1－a＝0。

（1）若l1∥l2，试求a的值；
(2)若l1⊥l2,试求a的值．
[解］l1:x＋ay－2a－2＝0，l2:ax＋y－1－a＝0.
(1）由A1B2－A2B1＝0得a2－1＝0，解得a＝±1.
又A1C2－A2C1≠0，
即－1－a－a(－2a－2)≠0,2a2＋a－1≠0，
解得a≠－1,且a≠错误!。

综上所述，a＝1.
(2)由A1A2＋B1B2＝0得a＋a＝0。

∴a＝0.
［借题发挥］设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
（1)l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1;
(2）l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且B1C2＝B2C1;
(3）l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1;
（4)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[对点训练]
3．已知直线（a＋2)x＋(1－a）y－3＝0与(a－1)x＋（2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a
的值为________．
解析：由(a＋2）(a－1)＋(1－a）(2a＋3)＝0.
即(a－1）（a＋1）＝0，a＝±1.
答案：1或－1
［典例4] 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点；若存在，求出直线l的方程；若不存在,说明理由．[解] 假设存在斜率为1的直线l，满足题意，
则OA⊥OB,
设直线l的方程是y＝x＋b,其与圆C的交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B(x2，y2)，则错误!·错误!＝－1,
即x1x2＋y1y2＝0。

①
由错误!
消去y，得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0.
所以x1＋x2＝－（b＋1），x1x2＝错误!（b2＋4b－4）,②
y1y2＝(x1＋b)（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2)＋b2
＝错误!（b2＋4b－4)－b2－b＋b2
＝错误!（b2＋2b－4)，③
把②③式代入①式，得
b2＋3b－4＝0，解得b＝1，或b＝－4，
且b＝1，或b＝－4都使得
Δ＝4（b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0成立．
故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1，或y＝x－4。

［借题发挥］本题是一类探索性问题，解答这类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代数关系作转化,求出所涉及的参数，最后通过验证来说明其是否存在．
［对点训练]
4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4错误!,求直线l的方程．
解：将圆的方程写成标准形式，得x2＋（y＋2）2＝25，
如图，因为直线l被圆所截得的弦长是45,
所以弦心距为错误!＝错误!，
即圆心到所求直线l的距离为 5.
因为直线l过点M(－3,－3)，易见，当直线l与x轴垂直时不合题意，
所以斜率存在,
所以可设所求直线l的方程为y＋3＝k(x＋3）,
即kx－y＋3k－3＝0。

根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l的距离d＝错误!.
因此，错误!＝错误!，
即｜3k－1｜＝5＋5k2,
两边平方，并整理得到2k2－3k－2＝0.
解得k＝－错误!或k＝2.
所以，所求直线l有两条，
方程分别为y＋3＝－错误!(x＋3)或y＋3＝2（x＋3)．
即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0。

考点5圆的几何性质的应用
[典例5] 以原点为圆心，且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是（) A．x2＋y2＝5 B．x2＋y2＝16
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝25
［解析] 设圆的半径为r，圆心O到直线3x＋4y＋15＝0的距离是d＝错误!＝3，
由题意得d2＋42＝r2，所以r2＝32＋42＝25，
所以圆的方程是x2＋y2＝25。

［答案] D
［借题发挥] 圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目,要边读。