2019-2020版物理新设计同步鲁科版选修3-1讲义：第一章 静电场 第2节 Word版含答案

第2节静电力库仑定律
一、静电力与点电荷模型
1.静电力
(1)定义：电荷间的相互作用力，也叫库仑力。

(2)影响静电力大小的因素：两带电体的形状、大小、电荷量，电荷分布、二者之间的距离等。

2.点电荷
(1)定义：物理学上把本身的大小比相互之间的距离小得多的带电体叫做点电荷。

(2)特点：只有电荷量，没有大小的点。

二、库仑定律
1.库仑定律
(1)内容：真空中两个点电荷之间的相互作用力F的大小，跟它们的电荷量Q1、Q2的乘积成正比，跟它们的距离r的二次方成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同种电荷相斥，异种电荷相吸。

(2)公式：F＝k Q1Q2
r2，式中k＝9.0×10
9 N·m2/C2，叫静电力常量。

(3)适用条件：①真空中；②点电荷。

2.静电力叠加原理
对于两个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的总的静电力，等于其他电荷分
别单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。

这个结论通常叫做静电力叠加原理。

三、静电力与万有引力的比较
对点电荷的理解
[要点归纳]
1.点电荷是理想化模型
只有电荷量，没有大小、形状的理想化的模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。

2.带电体看成点电荷的条件
如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状和大小对相互作用力的影响很小，就可以忽略形状、大小等次要因素，只保留对问题有关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。

3.元电荷与点电荷
(1)元电荷是一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值，是电荷量的最小单位。

(2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。

[精典示例]
[例1] 下列关于点电荷的说法正确的是()
A.任何带电球体，都可看成电荷全部集中于球心的点电荷
B.体积很大的带电体一定不能看成是点电荷
C.当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷
D.一切带电体都可以看成是点电荷
解析能否把一个带电体看成点电荷，关键在于我们分析时是否考虑它的体积大小和形状。

能否把一个带电体看做点电荷，不能以它的体积大小而论，应该根据具体情况而定。

若它的体积和形状可不予考虑时，就可以将其看成点电荷，带电体的电荷也不能看成全部集中于球心的点电荷，故选项C正确。

答案 C
[针对训练1] (多选)关于点电荷，下列说法正确的是()
A.无论两个带电体多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体
就可以看作是点电荷
B.一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷
C.一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷
D.两个带电的金属小球，不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理
解析无论两带电体自身大小怎样，当两带电体之间的距离远大于它们的大小时，带电体本身的大小对于所研究的问题影响很小，可把带电体看作点电荷，选项A正确，而选项C错误；尽管带电体很小，但两带电体相距很近，以至于本身的大小和形状对问题的影响不能忽略，两带电体也不能被看作点电荷，选项B 错误；两个带电金属小球，若离得很近，两球所带的电荷在静电力作用下会分布不均，电荷的分布影响到静电力的大小，若带同种电荷，相互排斥，等效的点电荷间距大于球心距离；若带异种电荷，相互吸引，等效的点电荷间距小于球心距离，因此，选项D正确。

答案AD
库仑定律的理解与应用
[要点归纳]
1.静电力的确定方法
(1)大小计算：利用库仑定律计算静电力大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入Q1、Q2的绝对值即可。

(2)方向判断：利用同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引来判断。

2.库仑定律的两个应用
(1)计算在真空中两个可视为点电荷的带电体间的库仑力。

(2)分析两个带电球体间的库仑力。

①两个规则的均匀带电球体，相距比较远时，可以看成点电荷，库仑定律也适用，二者间的距离就是球心间的距离。

②两个规则的带电金属球体相距比较近时，不能被看成点电荷，此时两带电球体之间的作用距离会随电荷的分布发生改变。

如图1甲，若带同种电荷，由于排斥作用距离变大，此时F <k Q 1Q 2r 2；如图乙，若带异种电荷，由于吸引作用距离变小，
此时F >k Q 1Q 2
r 2。

图1
[精典示例]
[例2] 甲、乙两导体球，甲球带有4.8×10－16 C 的正电荷，乙球带有3.2×10－16 C 的负电荷，放在真空中相距为10 cm 的地方，甲、乙两球的半径远小于10 cm 。

(结果保留三位有效数字)
(1)试求两球之间的静电力，并说明是引力还是斥力？
(2)将两个导体球相互接触一会儿，再放回原处，其作用力能求出吗？是斥力还是引力？
(3)如果两个导体球完全相同，接触后放回原处，两球之间的作用力如何？ 解析 (1)因为两球的半径都远小10 cm ，因此可以作为两个点电荷考虑。

由库仑
定律可求F ＝k Q 1Q 2
r 2＝9.0×109×4.8×10－16×3.2×10－160.1
2
N ≈1.38×10－19 N 。

两球带异种电荷，它们之间的作用力是引力。

(2)将两个导体球相互接触，首先正、负电荷相互中和，还剩余(4.8－3.2)×10－16 C 的正电荷，这些正电荷将重新在两导体球间分配。

由于题中并没有说明两个导体球是否完全一样，因此我们无法求出力的大小，但可以肯定两球放回原处后，它们之间的作用力变为斥力。

(3)如果两个导体球完全相同，则电荷中和后平分，每个小球的带电荷量为0.8×10
－16 C ，代入公式得F ＝k q 1q 2r 2＝9.0×109×（0.8×10－16）20.1
2
N ＝5.76×10－21 N ，即两个电荷之间的斥力为F ＝5.76×10－21 N 。

答案 (1)1.38×10－19 N 引力 (2)不能 斥力 (3)5.76×10－21 N 斥力
(1)库仑定律适用于点电荷间的相互作用，当r →0时，电荷不能再看成点电荷，库仑定律不再适用。

(2)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵守牛顿第三定律。

不要认为电荷量大的电荷对电荷量小的电荷作用力大。

[针对训练2] A 、B 、C 三点在同一直线上，AB ∶BC ＝1∶2，B 点位于A 、C 之间，在B 处固定一电荷量为Q 的点电荷。

当在A 处放一电荷量为＋q 的点电荷时，它所受到的电场力为F ；移去A 处电荷，在C 处放一电荷量为－2q 的点电荷，其所受电场力为( ) A.－F 2 B.F 2 C.－F
D.F
解析 在A 处放电荷量为＋q 的点电荷时，Q 所受电场力大小为F ＝kQq
r 2AB
；在 C 处放一电荷量为－2q 的点电荷时，Q 所受电场力大小为F ′＝kQ ·2q r 2BC ＝
2kQq
（2r AB ）2＝kQq 2r 2AB ＝F
2。

且不管电荷Q 是正还是负，两种情况下，Q 受力方向相同，故选项
B 正确，A 、
C 、
D 错误。

答案 B
库仑力的叠加
[要点归纳]
当多个带电体同时存在时，每两个带电体间的库仑力都遵守库仑定律。

某一带电体同时受到多个库仑力作用时可利用力的平行四边形定则求出其合力。

这就是库仑力的叠加原理。

[精典示例]
[例3] 如图2所示，在A 、B 两点分别放置点电荷Q 1＝＋2×10－14 C 和Q 2＝－2×10－14 C ，在AB 的垂直平分线上有一点C ，且AB ＝AC ＝BC ＝6×10－2 m 。

如果有一个电子在C 点，它所受到的库仑力的大小和方向如何？
图2
解析 电子在C 点同时受A 、B 点电荷对其的作用力F A 、F B ，如图所示，由库仑定律F ＝k Q 1Q 2r 2得F A ＝F B ＝k Q 1e
r 2＝9.0×109×2×10－14×1.6×10－19
（6×10－2）
2
N ＝8.0×10－21 N 。

由平行四边形定则和几何知识得：静止在C 点的电子受到的库仑力F ＝F A ＝F B ＝8.0×10－21 N ，方向平行于AB 向左。

答案 8.0×10－21 N 方向平行于AB 向左
[针对训练3] 在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球A 、B 、C 位于等边三角形的三个顶点上，小球D 位于三角形的中心，如图3所示。

现让小球A 、B 、C 带等量的正电荷Q ，让小球D 带负电荷q ，使四个小球均处于静止状态，则Q 与q 的比值为( )
图3
A.13
B.33
C.3
D. 3
解析 设三角形边长为L ，故AB 、AC 距离为L ，AD 距离为3
3L 。

以小球A 为研
究对象，由库仑定律知，B 、C 对A 球的库仑力大小均为F ＝k Q 2
L 2，两力的合力F 合
＝2F cos 30°＝3k Q 2L 2。

球A 、D 间的库仑力F ′＝k Qq ⎝ ⎛⎭⎪⎫
33L 2＝3k Qq
L 2。

根据平衡知识得F 合＝F ′，即3k Q 2L 2＝3k Qq
L 2，所以Q ＝3q ，Q 与q 的比值为3，D 正确。

答案 D
静电力作用下的平衡问题
[精典示例]
[例4] 如图4所示，质量为m 、电荷量为Q 的带电小球A 用绝缘细线悬挂于O 点，带有电荷量也为Q 的小球B 固定在O 点正下方绝缘柱上。

其中O 点与小球A 的间距为l ，O 点与小球B 的间距为3l ，当小球A 平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°。

带电小球A 、B 均可视为点电荷，静电力常量为k 。

则( )
图4
A.A 、B 间库仑力大小F ＝kQ 2
2l 2
B.A 、B 间库仑力大小F ＝3mg
3
C.细线拉力大小T ＝kQ 2
3l 2 D.细线拉力大小T ＝3mg
解析 带电小球A 受力如图所示，OC ＝3
2l ，即C 点为OB 中点，根据对称性AB ＝l 。

由库仑定律知A 、B 间库仑力大小F ＝kQ 2l 2，细线拉力T ＝F ＝kQ 2
l 2，选项A 、C 错
误；根据平衡条件得F cos 30°＝12mg ，得F ＝3mg 3，绳子拉力T ＝3mg
3，选项B 正确，D 错误。

答案 B
处理点电荷的平衡问题及动力学问题的方法
(1)确定研究对象。

如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。

(2)对研究对象进行受力分析，多了库仑力(F ＝kQ 1Q 2
r 2)。

(3)列平衡方程(F 合＝0或F x ＝0，F y ＝0)。

[例5] 如图5所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L 的点电荷A 、B ，带电荷量分别为－4Q 和＋Q ，今引入第三个点电荷C ，使三个点电荷都处于平衡状态，则C 的电荷量和放置的位置是( )
图5
A.－Q 在A 左侧距A 为L 处
B.－2Q 在A 左侧距A 为L
2处 C.－4Q 在B 右侧距B 为L 处 D.＋2Q 在A 右侧距A 为3L
2处
解析 要使三点电荷处于平衡，可知C 应放在B 的右侧，且与A 电性相同带负电，由F AB ＝F CB 得k 4Q 2L 2＝k Q C Q r 2BC ；由F AC ＝F BC 得k 4QQ C （r BC ＋L ）2＝k QQ C
r 2BC ；解得r BC ＝L ，Q C ＝4Q ，故选项C 正确。

答案 C
三电荷平衡模型
(1)模型构建
①三个点电荷共线。

②三个点电荷彼此间仅靠电场力作用达到平衡，不受其他外力。

③任意一个点电荷受到其他两个点电荷的电场力大小相等，方向相反，为一对平衡力。

(2)模型规律
①“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上。

②“两同夹异”——正负电荷相互间隔。

③“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。

④“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。

[针对训练4] (多选)如图6，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(均可视为点电荷)，三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下处于静止状态，则以下判断正确的是()
图6
A.a对b的静电力一定是引力
B.a对b的静电力可能是斥力
C.a的电荷量可能比b的少
D.a的电荷量一定比b的多
解析根据三电荷平衡问题“两同夹异”的特点，a、b带有异种电荷，它们之间一定是引力，A正确，B错误；根据“两大夹小”的特点，b球带电荷量最少，C错误，D正确。

答案AD
1.(点电荷的理解)下列说法正确的是( )
A.点电荷是客观存在的，任何带电体在任何情况下都可看成点电荷
B.点电荷就是体积和带电荷量都很小的带电体
C.两带电荷量分别为Q 1、Q 2的球体间的作用力在任何情况下都可用公式F ＝k Q 1Q 2
r 2计算
D.一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计
解析 点电荷是一种理想化模型，一个带电体能否看成点电荷不是看其大小，而是应具体问题具体分析，是看它的形状和尺寸对相互作用力的影响能否忽略不计。

因此大的带电体一定不能看成点电荷和小的带电体一定能看成点电荷的说法都是错误的，所以本题D 正确。

答案 D
2.(库仑定律的理解)两个完全相同的金属小球A 、B (均可视为点电荷)带有相等的电荷量，相隔一定距离，两小球之间相互吸引力的大小是F 。

今让第三个不带电的相同金属小球先后与A 、B 两小球接触后移开。

这时A 、B 两小球之间的相互作用力的大小是( ) A.F 8 B.F 4 C.3F 8
D.3F 4
解析 设A 、B 两球间的距离为r ，因为开始时A 、B 两球间的作用力是吸引力，所以设A 所带电荷量为Q ，B 所带电荷量为－Q ，由库仑定律知，开始时A 、B 两球之间的作用力F ＝k QQ
r 2。

当第三个不带电的小球与A 接触时，据电荷均分原
理可知，两球均带电荷量为1
2Q 。

当第三个小球与B 球接触时，两球均带电荷量
为12×(12 Q －Q )＝－1
4Q 。

故这时A 、B 两球间的作用力大小F ′＝k 12Q ×14Q r 2＝18F 。

答案 A
3. (“三点共线”模型)如图7所示，两个点电荷，电荷量分别为Q 1＝4×10－9 C 和Q 2＝－9×10－9 C ，两者分别固定在相距20 cm 的a 、b 两点上，有一个点电荷q 放在a 、b 所在直线上，且静止不动，该点电荷所处的位置是何处(
)
图7
A.a 的左侧40 cm
B.a 、b 的中点
C.b 的右侧40 cm
D.无法确定
解析 根据平衡条件，它应在点电荷Q 1的左侧，设距离Q 1为x ，有k Q 1q x 2＝k Q 2q （x ＋20）2，将Q 1＝4×10－9 C ，Q 2＝－9×10－9 C 代入，解得x ＝40 cm ，故选项A 正确。

答案 A
4.(静电力的平衡问题) (2017·西安高二检测)把质量为m 的带负电小球A ，用绝缘细绳悬挂，若将带电荷量为Q 的带正电球B 靠近A ，当两个带电小球在同一高度相距r 时，绳与竖直方向成α角。

试求： (1)A 球受到的绳子拉力多大？ (2)A 球带电荷量是多少？
图8
解析
(1)带负电的小球A 处于平衡状态，A 受到库仑力F 、重力mg 以及绳子的拉力T 的作用，受力如图。

竖直方向：mg －T cos α＝0，① 水平方向：F －T sin α＝0② 解得T ＝mg
cos α③
F ＝mg tan α④
(2)根据库仑定律F ＝k qQ
r 2⑤ 联立④⑤解得q ＝mgr 2tan α
kQ
答案 (1)mg
cos α (2)mgr 2tan αkQ
基础过关
1.(多选)(2017·青岛高二检测)对于库仑定律，下列说法正确的是( )
A.凡计算真空中两个静止的点电荷间的相互作用力，就可以使用公式F ＝k Q 1Q 2
r 2 B.两个带电小球即使相距非常近，也能用库仑定律
C.相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等
D.当两个半径为r 的带电金属球中心相距为4r 时，对于它们之间的静电作用力大小，只取决于它们各自所带的电荷量
解析 由库仑定律的适用条件可知，选项A 正确；两带电小球距离非常近时，带电小球不能视为点电荷，库仑定律不再适用，故选项B 错误；由牛顿第三定律可知，相互作用的两个点电荷之间的作用力总是大小相等的，故选项C 正确；当带电小球之间的距离较近时，带电小球之间的作用力不仅跟距离有关，还跟带电体所带电性及电荷量都有关系，不能视为点电荷，故选项D 错误。

答案 AC
2.如图1所示，两个质量均为m 的完全相同的金属球
图1
壳a 和b ，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支座上，两球心间的距离l 为球半径的3倍。

若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q ，那么关于a 、b 两球之间的万有引力F 引和库仑力F 库的表达式正确的是( ) A.F 引＝G m 2l 2，F 库＝k Q 2l 2
B.F 引≠G m 2l 2，F 库≠k Q 2
l 2
C.F 引≠G m 2l 2，F 库＝k Q 2
l 2
D.F 引＝G m 2l 2，F 库≠k Q 2
l 2
解析 由于a 、b 两球所带异种电荷相互吸引，使它们各自的电荷分布不均匀，即相互靠近的一侧电荷分布较密集，又l ＝3r ，不满足l ≫r 的要求，故不能将带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定律，故F 库≠k Q 2
l 2。

虽然不满足l ≫r ，但由于其壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看成质量集中于球心的质点，可以应用万有引力定律，F 引＝G m 2
l 2，故选项D 正确。

答案 D
3.如图2，电荷量为q 1和q 2的两个点电荷分别位于P 点和Q 点。

已知放在P 、Q 连线上某点R 处的点电荷q 受力为零，且PR ＝2RQ 。

则( )
图2
A.q 1＝2q 2
B.q 1＝4q 2
C.q 1＝－2q 2
D.q 1＝－4q 2
解析 由于R 处的点电荷q 受力平衡，根据库仑定律得kq 1q （PR ）
2
＝kq 2q （RQ ）
2
，PR
＝2RQ ，解得q 1＝4q 2。

q 1、q 2一定为同种电荷，所以选项B 正确。

答案 B
4.如图3所示，两个固定的带正电的点电荷q 1、q 2，电荷量之比为1∶4，相距为d ，引入第三个点电荷q 3，要使q 3能处于平衡状态，对q 3的位置、电性和电荷量的要求，以下叙述正确的是( )
图3
A.q 3在q 1和q 2连线之间距离q 1为1
3d 处，且为负电荷，对电荷量无要求 B.q 3在q 1和q 2连线之间距离q 1为1
3d 处，且为正电荷，对电荷量无要求 C.q 3在q 1和q 2连线之间距离q 1为1
3d 处，对电性和电荷量均无要求
D.q 3在q 1和q 2连线的延长线上，位于q 1左侧1
3d 处，对电性和电荷量均无要求 解析 由题意知，电荷q 3一定在两正电荷之间，根据平衡条件有：k q 1q r 21
＝k q 2q
r 22
，
解得r 1r 2＝12，即r 1＝13d ，q 3在q 1和q 2连线之间距离q 1为1
3d 处，对电性和电荷量
均无要求，故C 正确。

答案 C
5.三个相同的金属小球A 、B 、C 分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。

A 、B 两球带同种电荷，A 所带电荷量为Q ，B 所带电荷量为nQ ，C 不带电且离A 和B 很远，此时A 、B 两球之间作用力的大小为F 。

现使C 先与A 接触，与A 分开后，C 再与B 接触，然后将C 移至远处，此时A 、B 两球之间作用力的大小仍为F ，方向不变。

由此可知( ) A.n ＝13
B.n ＝3
C.n ＝16
D.n ＝6
解析 设A 、B 两球间的距离为r ，则F ＝k nQ 2
r 2，C 与A 接触后，A 、C 分别带的电荷量均为Q
2，C 再与B 接触后，B 、C 所带的电荷量均为（2n ＋1）Q 4，则F ＝
k （2n ＋1）Q 28r 2，联立两式可得n ＝
16，C 正确。

答案 C
能力提升
6.如图4所示，直角三角形ABC 中∠B ＝30°，点电荷A 、B 所带电荷量分别为Q A 、Q B ，测得在C 处的某正点电荷所受静电力方向平行于AB 向左，则下列说法正确的是( )
图4
A.A 带正电，Q A ∶Q B ＝1∶8
B.A 带负电，Q A ∶Q B ＝1∶8
C.A 带正电，Q A ∶Q B ＝1∶4
D.A 带负电，Q A ∶Q B ＝1∶4
解析 要使C 处的正点电荷所受静电力方向平行于AB 向左，该正点电荷所受力的情况应如图所示，所以A 带负电，B 带正电。

设AC 间的距离为L ，则F B sin 30°＝F A 即k Q B Q C （2L ）
2
·sin
30°＝kQ A Q C
L 2
解得Q A Q B ＝1
8，故选项B 正确。

答案 B
7.(多选)(2017·济南高二检测)如图5所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，
斜面与水平面的夹角为θ。

一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A ，细线与斜面平行。

小球A 的质量为m 、电荷量为q 。

小球A 的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B ，两球心的高度相同、间距为d 。

静电力常量为k ，重力加速度为g ，两带电小球可视为点电荷。

小球A 静止在斜面上，则(
)
图5
A.小球A 与B 之间库仑力的大小为kq 2
d 2 B.当q d ＝mg sin θ
k 时，细线上的拉力为0 C.当q d ＝mg tan θ
k 时，细线上的拉力为0 D.当q d ＝
mg
k tan θ
时，斜面对小球A 的支持力为0
解析 根据库仑定律、物体的平衡条件解决问题。

根据库仑定律，A 、B 球间的库仑力F 库＝k q 2
d 2，选项A 正确；小球A 受竖直向下的重力mg ，水平向左的库仑
力F 库＝kq 2
d 2，由
平衡条件知，当斜面对小球的支持力F N 的大小等于重力与库仑力的合力大小时，细线上的拉力等于零， 如图所示，则kq 2
d 2mg ＝tan θ，所以q
d
＝
mg tan θ
k
，选项C 正确，选项B 错误；斜面对小球的支持力F N 始终不会等于零，选项D 错误。

答案 AC
8.如图6所示，绝缘水平面上静止着两个质量为m 、电荷量均为＋Q 的物体A 和B (A 、B 均可视为质点)，它们间的距离为
r ，与水平面间的动摩擦因数均为μ。

求：
(1)A 受的摩擦力为多大？
(2)如果将A 的电荷量增至＋4Q ，两物体开始运动，当它们的加速度第一次为零时，A 、B 各运动了多远距离？
图6
解析 (1)由平衡条件知对A 有F f ＝F ＝k Q 2
r 2。

(2)当a ＝0时，设A 、B 间距离为r ′， k 4Q 2
r ′2－μmg ＝0， 所以r ′＝2Q k μmg
由题意可知：
A 、
B 运动的距离均为x ＝r ′－r
2， 故x ＝Q
k μmg
－r 2。

答案 (1)k Q 2
r 2 (2)Q k μmg －r 2。