备战2019高考数学大二轮复习 专题一 集合、逻辑用语等 题型练4 大题专项(二

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
题型练4 大题专项(二)数列的通项、求和问题
1.设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+qa n=1,且q(q-1)≠0.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.
2.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,b n=.
(1)求数列{b n}的通项公式;
(2)设数列{b n}前n项和为T n,求T n.
3.(2018浙江,20)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.
(1)求q的值;
(2)求数列{b n}的通项公式.
4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;
(2)求数列的前n项和T n.
5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n-(n∈N*).
(1)证明:1≤≤2(n∈N*);
(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:(n∈N*).
6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.
(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;
(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.
题型练4大题专项(二)
数列的通项、求和问题
1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.
当n≥2时,由(1-q)S n+qa n=1,得(1-q)S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n=qa n-1.
又q(q-1)≠0,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列,故a n=q n-1.
(2)证明由(1)可知S n=,又S3+S6=2S9,
所以,
化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.
2.解 (1)∵在等差数列{a n}中,a1=1,公差d=1,
∴S n=na1+d=,∴b n=
(2)b n==2,∴
T n=b1+b2+b3+…+b n=2+…+=2+…+
=2故T n=
3.解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.
由a3+a5=20,得8=20,
解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.
(2)设c n=(b n+1-b n)a n,数列{c n}前n项和为S n,
由c n=解得c n=4n-1.
由(1)可知a n=2n-1,
所以b n+1-b n=(4n-1)
故b n-b n-1=(4n-5),n≥2,
b n-b1=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)
=(4n-5)+(4n-9)+…+7+3.
设T n=3+7+11+…+(4n-5),n≥2,
T n=3+7+…+(4n-9)+(4n-5), 所以T n=3+4+4+…+4-(4n-5),
因此T n=14-(4n+3),n≥2,
又b1=1,所以b n=15-(4n+3)
4.解 (1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=
(2)+22n+1,
∴T n=+…+(22n+3-8)=
5.证明 (1)由题意得a n+1-a n=-0,即a n+1≤a n,故a n由a n=(1-a n-1)a n-1,得a n=(1-a n-1)(1-a n-
-a1)a1>0.
2)…(1
由0<a n,得[1,2],
即12.
(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①
由和12,得12,所以n2n, 因此a n+1(n∈N*).②
由①②得(n∈N*).
6.(1)解由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,
两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.
又由S2=qS1+1得到a2=qa1,
故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.
所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.
从而a n=q n-1.
由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,
即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,
由已知,q>0,故q=2.
所以a n=2n-1(n∈N*).
(2)证明由(1)可知,a n=q n-1.
所以双曲线x2-=1的离心率e n=
由e2=,解得q=
因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).
于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,
故e1+e2+…+e n>。