五邑大学《高级运筹学》考试试卷

五邑大学 试 卷学期： 2014 至 2015 学年度 第 1 学期 课程：高级运筹学 任课教师（命题人）： 使用班级： 经管研2014 姓名： 学号： 2111401002一、构建下述问题的线性规划数学模型并用系统软件求解（10分）生产需要2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。

说明利用的是什么软件，求解的结果和重要的截图。

解：分析可得，每一根原材料的下料方案有如下几种：87654321x x x x x x x x 、、、、、、、根，所需要的原材料的总根数为z 根.数学模型如下：目标函数为：87654321min x x x x x x x x Z +++++++=10024321≥+++x x x x10023276532≥++++x x x x x 1004323876431≥+++++x x x x x x087654321≥x x x x x x x x 、、、、、、、且为整数这是一个线性规划问题，我用的软件lingo 来解这道题，以下就是我用软件解这道题的重要步骤：1、打开lingo 软件2、输入上述线性规划模型3、运行软件，结果如下由软件的运行结果可知，最优解如下，耗费原材料90根，其中按方案一下料的原材料为40根，按方案二下料的原材料为20根，按方案六下料的原材料为30根。

二、用图解法求解下述线性规划问题（5分）2153max x x Z +=123221≤+x x204521≤+x x321≥+x x0,021≥≥x x解：由题意可得，以21x x 、为坐标轴建立直角坐标系（1）根据约束条件画出与约束条件相应方程的直线，由这些直线共同确定出一个 区域，即可行解的区域可行区域如下图所示：为纵轴为横轴，21x x其中，01232:121=-+x x Y Y2：0204521=-+x x Y3：0321=-+x x其中阴影部分的每一个点都是这个线性规划问题的解。

（2）再分析目标函数2153max x x Z +=，在这个坐标平面上，它表示以z 为参数、-5/3为斜率的一组平行线：z x x 515312+-=，当z 值由大变小时，直线沿其法线方向向上平移，如图所示：所以最后的最优解为20,4,021===z x x三、用单纯形法求解下述线性规划问题（15分）32142max x x x Z ++=6321≤++x x x 42321≤-+x x x 82321≥+-x x x0,0,0321≥≥≥x x x解：（1）先将此线性规划问题化为标准形。

引入松弛变量654x x x 、、后将其化为标准形：65432100042max x x x x x x Z +++++= 64321=+++x x x x 425321=+-+x x x x 826321=-+-x x x x )6,5,4,3,2,1(0=≥i x i在该标准形中，约束条件的系数矩阵中不含有单位矩阵，加入人工变量7x ，使得上式变为：765432100042max Mx x x x x x x Z -+++++=64321=+++x x x x 425321=+-+x x x x 8276321=+-+-x x x x x )7,6,5,4,3,2,1(0=≥i x i(4)进行下一迭代。

如下表所示：根据最优性解的条件，这个解是最优的，但在最优解中包括了一个人工变量x,这说该问题没7有可行解。

所以此题无可行解。

四、已知如下产销量及运价表，求解此运输问题（15分）产销量及运价表（元）(1)首先，在表格中找到最小运价90，即（产地3，销地1），由于产地3只有25吨，故优先供应销地25吨，划去产地3的那一行。

在找到余下的最低运价100，即（产地1，销地1），供应1吨，划去销地1的那一列。

再找到余下的最低运价120，即（产地1，销地3），供应18吨，划去销地3的那一列。

再找到余下的最低运价130，即（产地2，销地2），供应20吨，划去产地2的那一行，最后只剩下运价为180的了，即（产地1，销地2），经计算可得，供应16吨。

Z=100*1+16*180+18*120+20*130+25*90=9990(2)对该初始最优方案进行检验，计算空格的检验数，当所有的检验数都大于0时，就得到了最优方案。

采用闭合回路法。

空格的检验数如下所示：（产地2，销地1）的检验数=150-100+180-130=100（产地2，销地3）的检验数=200-120+180-130=130（产地3，销地2）的检验数=110-180+100-90=-60（3）以（产地3，销地2)为调整格，将其作为入基变量，找到此格原闭合回路的各个顶点，此时的总运费为：Z=17*100+18*120+20*130+9*90+16*110=9030（元）五、用隐枚举法求解下述0-1型整数规划问题（10分）4321342max x x x x Z -+-=4324321≥+++x x x x 3234321≥+-+x x x x104321⋅⋅=or x x x x ，，，解：（1）将模型转化为极小的问题4321342min x x x x Z +-+-= 4324321≥+++x x x x3234321≥+-+x x x x104321⋅⋅=or x x x x ，，，(2)令33111',1'x x x x -=-=，带入极小问题模型中得33'4'2min 4321-+++=x x x x Z13''24321≥+-+-x x x x 2'2'24321≥+++-x x x x 10',',,,,314321或=x x x x x x(3)目标函数中变量按系数大小排列，约束条件中变量排列顺序也相应调整，得3''234min 3142-+++=x x x x Z 1''233142≥--+x x x x 2''223142≥+-+x x x x 10',',,,,314321或=x x x x x x最优解为0',0',0,13142====x x x x（5）原问题的最优解为0,1,1,14321====x x x x ，Z=-1 六、用动态规划求解下述非线性问题（10分）123max z x x x =⨯⨯1231239,,0x x x x x x ++=⎧⎨≥⎩ 解：这个问题是将一个数9分成三部分，使目标函数Z 达到最大。

取阶段变量k=1,2,3共分三个阶段。

决策变量k x 表示滴k 个阶段分配的数量，状态变量k s 表示从第k 个阶段至第3个阶段可供分配的总数量，则状态转移方程为k k k x s s -=+1 即 11222333,,s x s s x s x s =+=+==9允许决策集合：}0{)(k k k k k s x x s D ≤≤=， 允许状态集合：}90{≤≤=k k k s s S ，91=S 。

递推方程为)}(max{)(11++⋅=k k k k k s f x s f 1)(44=s f当k=3时，有333333,}max{)(s x s x s f ===当k=2时，有)}({max )}({max )(22203320223232x s x s f x s f s x s x -=⋅=≤≤≤≤令)()(22222x s x x -=ϕ，则：22222)('x s x -=ϕ再由2222210)('s x x ==得ϕ，又由直接验证可知的极大值点（为故)21,02)(''222222x s x x ϕϕ=<-=。

这时，222241)(s x f =，2221s x =当k=1时，有})(41{max )}({max )(211102210112121x s x s f x s f s x s x -⋅=⋅=≤≤≤≤令211111)(41)(x s x x -⋅=ϕ，则)3)((41)('111111x s x s x --=ϕ，再令的极大值点。

（为故由或得)31,0)31('',31,0)('111111111111x s x s s x s x x ϕϕϕ=<=== 此时2111111181)31(121)(s s s s s f =-= 因为3,3,3,93211====x x x s 所以最优解为, 目标函数的最优解为27333=⨯⨯=Z七、用标号法求下图中S V 点到其他各点的最短路（5分）解：如下图所示：下划线部分为永久标号，未画下划线的为临时标号。

(1)(2)(3)（0,0） (M ，∞)(M ，∞)(M ，∞) （s v ，13） （s v ，12） (M ，∞)（0,0） （s v ，12） （s v ，13） （s v ，12） (5v ，24）(3v ,24)（5v ，39） (4v ，30） （3v ，30）（M,∞)（0,0）（s v ，12） （s v ，13）（s v ，12）（3v ，30）(5v ，24） (3v ,24) (4v ，30） （2v ，46）所以，1v v s →的最短路径为1v v s →，最短路径长为12，3v v s →的最短路径为3v v s →，最短路径长为125v v s →的最短路径为5v v s →，最短路径长为132v v s →的最短路径为23v v v s →→，最短路径长为304v v s →的最短路径为4543v v v v v v s s →→→→或，最短路径长为246v v s →的最短路径为643v v v v s →→→或645v v v v s →→→，最短路径长为30F s v v →最短路径为F s v v v v →→→23,最短路径长为46八、写一篇不少于1200字的课程论文（30分）对运筹学的认识与体会在学习了近一个学期的运筹学后，我对运筹学有了一个最基本的认识。

何谓“运筹学”？它的英文名称是Operations Research,直译为“作业研究”，就是研究在经营管理活动中如何行动，如何以尽可能小的代价，获取尽可能好的结果，即所谓“最优化”问题。

汉语是世界上最丰富的语言，中国学者把这门学科意译为“运筹学”，就是取自古语“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”，其意为运算筹划，出谋献策，以最佳策略取胜。

这就极为恰当地概括了这门学科的精髓。

经过这一个学期的学习，我们应该熟练地掌握、运用运筹学的精髓，用运筹学的思维思考问题，即：应用分析、试验、量化的方法，对实际生活中的人力、财力、物力等有限资源进行合理的统筹安排。