【人教版】初二数学上期末一模试卷含答案

一、选择题
1．使分式21x x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x ≠0
C ．x ≠±1
D ．x 为任意实数
2．如图，若x 为正整数，则表示3211327121(1)(1)543x x x x x x x x x
--++--÷++++的值的点落在（ ）．
A ．段①
B ．段②
C ．段③
D ．段④ 3．计算()32
22()m m m -÷⋅的结果是（ ） A ．2m -
B ．22m
C ．28m -
D ．8m - 4．若
x 2y 5=，则x y y +的值为（ ） A ．25 B ．72 C ．57 D ．75
5．2a =1，b 是2的相反数，则a+b 的值是（ ）
A ．1
B ．-3
C ．-1或-3
D ．1或-3 6．已知552a =，443b =，334c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >> 7．下列计算正确的是（ ） A ．224x x x +=
B ．222()x y x y -=-
C ．26()x y x y =3
D ．235x x x 8．已知()()22113(21)a b ab ++=-，则1b a a ⎛⎫-
⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．-1
9．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD ＝CD ；②AD +CF ＝BD ；③CE ＝12
BF ；④AE ＝BG ．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②③④ 10．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ） A ．50° B ．80° C ．65°或80° D ．50°或80° 11．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）
A ．HL
B ．SSS
C ．SAS
D ．ASA 12．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、C
E 相交于点D ，则BDC
∠的度数是（ ）
A ．65︒
B ．75︒
C ．85︒
D ．105︒
二、填空题
13．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．
14．当2x =，3y =-时，代数式2222
2-⋅++x y x x x xy y 的值为________． 15．计算：2221111112310⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⋯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
________ 16．观察下列各式：
2(1)(1)1x x x -+=-；
()
23(1)11x x x x -++=-；
()324(1)11x x x x x -+++=-；
……
（1）()432(1)1x x x x x -++++=___；
（2）根据规律可得：()1(1)1n x x x --+++=_____（其中n 为正整数）；
（3）计算：()504948
2(31)333331-++++++； 17．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．
18．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ，如果∠A ＝44°，则∠EDF 的度数为__．
19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．
20．2016年2月6日凌晨，宝岛高雄发生6.7级地震，得知消息后，中国派出武警部队探测队，探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上的,A B 两处，用仪器探测生命迹象C ，已知探测线与地面的夹角分别是30︒和60︒（如图)，则C ∠的度数是_________．
三、解答题
21．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小
红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）
22．先化简，再求值：22131x x x x x ---+-，其中2x =． 23．所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称
M 是完全平方式，如：422()x x =、222)2(x xy y x y =+++，则称4x 、222x xy y
++是完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．
①2244a a b ++；②24x ；③22x xy y -+； ④21025y y --；⑤21236x x ++；
⑥
2124949
a a -+ （2）已知a 、
b 、
c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．
（3）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．
24．如图1，点A 是射线OE ：y x =-（x≥0）上的一点，已知232OA =，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OE 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．
（1）求点A 的坐标；
（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．
（3）①若射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
②在①的条件下，在平面内另有三点1(8,8)P -、2P （4，32-）、
3(84
84)P +-，，请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）
25．如图，在ABC ∆中，90,C ∠=︒点D 在BC 上，过点D 作DE AB ⊥于点,E 点F 是AC 边上一点，连接DF ．若,BD DF CF EB ==，求证：AD 平分BAC ∠．
26．如图，CAD ∠与CBD ∠的角平分线交于点P ．
（1）若35C ∠=︒，29D ∠=︒，求P ∠的度数；
（2）猜想D ∠，C ∠，P ∠的等量关系．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围．
【详解】
由题意，得x 2−1≠0，
解得：x≠±1，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 2．B
解析：B
【分析】
将原式分子分母因式分解，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据题意求出化简后分式的取值范围，即可选择．
原式2
21(1)71211543(1)x x x x x x x -++=-++++ 1(3)(4)11(1)(4)3x
x x x x
x x x x
-++=-++++ 1111x x x -=
-++ 1
x x =+ 又因为x 为正整数，
所以
1121
x x ≤<+， 故选B ．
【点睛】 本题考查分式的化简及分式的混合运算，最后求出化简后的分式的取值范围是解答本题关键．
3．C
解析：C
【分析】
先分别计算积的乘方运算，再利用单项式除以单项式法则计算即可．
【详解】
解：()3222()m
m m -÷⋅ ＝()468m m -÷
＝()4
68m m -÷ ＝28m -，
故选：C ．
【点睛】 本题考查单项式除以单项式，积的乘方运算．在做本题时需注意运算顺序，先计算积的乘方，再算除法．
4．D
解析：D
【分析】
根据同分母分式的加法逆运算得到x y x y y y y +=+，将x 2y 5
=代入计算即可．
解：∵x 2y 5
=， ∴x y x y 2y y y 5+=+=+175
=， 故选：D ．
【点睛】
此题考查同分母分式的加减法，已知式子的值求分式的值．
5．C
解析：C
【分析】
根据平方及相反数定义求出a 、b 的值，代入a+b 计算即可．
【详解】
∵2a =1，b 是2的相反数，
∴1a =±，b=-2，
当a=1时，a+b=1-2=-1，
当a=-1时，a+b=-1-2=-3，
故选：C ．
【点睛】
此题考查求代数式的值，根据平方及相反数定义求出a 、b 的值是解题的关键． 6．B
解析：B
【分析】
由552a =，443b =，334c =，比较543
2,3,4的大小即可．
【详解】
解：∵555112=(2)a =，444113(3)b == ，333114(4)c == ，435342>> ， ∴411311511(3)(4)(2)>>，即b c a >>，
故选B ．
【点睛】
本题考查了幂的乘方的逆运算及数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．
7．D
解析：D
【分析】
根据整式的加法法则，乘法法则，积的乘方计算法则，完全平方公式分别计算进行判断．
【详解】
A 、2222x x x +=，故该项错误；
B 、222()2x y x xy y -=-+，故该项错误；
C 、2363()x y x y =，故该项错误；
D 、23
5x x x ，故该项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查整式的计算，正确掌握整式的加法法则，乘法法则，积的乘方计算法则，完全平方公式是解题的关键． 8．D
解析：D
【分析】
先对()()22113(21)a b ab ++=-进行变形，可以解出a ，b 的关系，然后在对1b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭进行因式分解即可．
【详解】
∵()()
22113(21)a b ab ++=-，
∴2222163a b a b ab +++=-， 22222440a b ab a b ab +-+-+=，
()()
2220a b ab -+-=， ∴a b =，2ab =， ∴1121b b a ab a a
⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭ 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据∠ABC=45°，CD ⊥AB 可得出BD=CD ，利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF=AD ，BF=AC ．则CD=CF+AD ，即AD+CF=BD ；再利用ASA 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE=AE=12AC ，又因为BF=AC 所以CE=12AC=12
BF ，连接CG ．因为△BCD 是等腰直角三角形，即BD=CD ．又因为DH ⊥BC ，那么DH 垂直平分BC ．即BG=CG ．在Rt △CEG 中，CG 是斜边，CE 是直角边，所以CE ＜CG ．即AE ＜BG ．
【详解】
解：∵CD ⊥AB ，∠ABC ＝45°，
∴△BCD 是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝1
2
AC．
又由（2），知BF＝AC，
∴CE＝1
2AC＝
1
2
BF；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG 在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故④错误．
∴正确的选项有①②③；故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
10．D
解析：D
【分析】
由50︒的角是顶角或底角，依据三角形内角和计算得出顶角的度数．
【详解】
当50︒的角为顶角时，它的顶角为50︒，
当50︒的角为底角时，它的顶角为18050280︒-︒⨯=︒，
∴它的顶角为50︒或80︒，
故选：D ．
【点睛】
此题考查等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟记等边对等角的性质是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.
【详解】
∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，
∴90PMO PNO ∠=∠=．
∵OM ON =，OP OP =，
∴()HL ≌
PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，
故选：A ．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.
12．B
解析：B
【分析】
根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵∠CEA =60︒，∠BAE =45︒，
∴∠ADE = 180︒−∠CEA −∠BAE =75︒，
∴∠BDC =∠ADE =75︒，
故选：B
【点睛】
本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
二、填空题
13．【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可【详解】；【点睛】本 解析：6627a b 4
2a b
【分析】
（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；
（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可.
【详解】
()6322
66627327a a b a b b --==； 4
22
422()a a b a b b
----==. 【点睛】 本题考查了负整数指数幂，利用了积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
14．-5【分析】根据平方差公式完全平方公式和分式运算的性质先化简代数式；再将代入到代数式计算即可得到答案【详解】∵∴故答案为：-5【点睛】本题考查了乘法公式分式运算代数式的知识；解题的关键是熟练掌握分式 解析：-5
【分析】
根据平方差公式、完全平方公式和分式运算的性质，先化简代数式；再将2x =，3y =-代入到代数式计算，即可得到答案．
【详解】
2222
2-⋅++x y x x x xy y 2
()()()x y x y x x x y +-=⋅+
x y x y
-=+ ∵2x =，3y =- ∴2222
2-⋅++x y x x x xy y x y x y
-=+ 2(3)23
--=- 5=-
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查了乘法公式、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握分式运算、乘法公式的性质，从而完成求解．
15．【分析】运用平方差公式进行计算即可【详解】解：====故答案为：【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键 解析：1120
【分析】
运用平方差公式进行计算即可．
【详解】 解：2221111112310⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=1111111+1111122331010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ =132491122331010
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =111210
⨯ =1120
． 故答案为：
1120． 【点睛】
此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键．
16．（1）；（2）；（3）【分析】(1)第二个括号里最高次数4根据观察可知
结论中次数为4+1=5；(2)第二个括号里最高次数n-1根据观察可知结论中次数为n-1+1=n ；(3)用3代替等式中的x 次数根据
解析：（1）51x -；（2）1n x -；（3）5131-.
【分析】
(1)第二个括号里最高次数4，根据观察可知结论中次数为4+1=5；
(2) 第二个括号里最高次数n-1，根据观察可知结论中次数为n-1+1=n ；
(3)用3代替等式中的x ，次数根据观察规律确定即可.
【详解】
（1）根据观察，发现结论是个二项式，且常数项为-1，另一项底数是x ，指数比第二个括号里多项式的最高次数多1，
∵()4321x x x x ++++的最高次数是4，
∴()
432(1)1x x x x x -++++=51x -，
故应该填51x -； （2）∵(
)11n x x -+++的最高次数是n-1， ∴()1(1)1n x x x --+++=1n x -，
故应该填1n x -；
（3）由（2）知：()1(1)11n n x x
x x --+++=-，
令3x =，51n =，得： ()504948251(31)33333131-+++
+++=-，
故应该填5131-.
【点睛】 本题考查了整式变化中的规律探索，解答时，抓住变化中变化项，不变项，变化的位置，变化的规律是解题的关键.
17．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD 平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的 解析：25°
【分析】
由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB ∠=∠，则BEG 是等腰三角形，由顶角的度数算出底角EGB ∠的度数，即可得出结果．
【详解】
解：∵BD 平分ABC ∠，
∴EBG CBG ∠=∠，
∵//EF BC ，
∴CBG EGB ∠=∠，
∴EBG EGB ∠=∠，
∴BEG 是等腰三角形，
∵130BEG ∠=︒， ∴
180130252
EGB ︒-︒∠=
=︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒．
故答案是：25︒．
【点睛】 本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 18．56°【分析】根据可求出根据△DBE ≌△ECF 利用三角形内角和定理即可求出的度数【详解】解：∵AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB 在△DBE 和△CEF 中∴△DBE ≌△ECF （SAS ）∴DE ＝EF ∴△DEF
解析：56°
【分析】
根据44A ∠=︒可求出68ABC ACB ∠=∠=︒，根据△DBE ≌△ECF ，利用三角形内角和定理即可求出 EDF ∠的度数．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
在△DBE 和△CEF 中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DBE ≌△ECF （SAS ），
∴DE ＝EF ，
∴△DEF 是等腰三角形，
∵△DBE ≌△ECF ，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，
∴()118044682
B ∠=︒-︒=︒，
∴1218068∠+∠=︒-︒，
∴3218068∠+∠=︒-︒，
∴∠DEF ＝68°， ∴18068562
EDF ︒-︒∠=
=︒． 故答案为：56°．
【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质的理解和掌握，主要应用了三角形内角和定理和平角是180︒，根据等腰三角形的性质得出B C ∠=∠是解题的关键．
19．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴
解析：32°
【分析】
由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．
【详解】
解：∵DE ⊥AB ，
∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，
在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，
AD AD AE AC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），
∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，
∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，
∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．
故答案为：32°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．
20．【分析】先由题意得CAB=30°∠ABD=60°再由三角形的外角性质即可得出答案【详解】解：∵探测线与地面的夹角为30°和
60°∴∠CAB=30°∠ABD=60°∵∠ABD=∠CAB+∠C ∴∠C=6
解析：30︒
【分析】
先由题意得CAB=30°，∠ABD=60°，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】
解：∵探测线与地面的夹角为30°和60°，
∴∠CAB=30°，∠ABD=60°，
∵∠ABD=∠CAB+∠C ，
∴∠C=60°-30°=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质，对顶角，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质，比较简单．
三、解答题
21．（1）70米/分；（2）能，见解析
【分析】
（1）设小红步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分．由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可； （2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论．
【详解】
（1）解：设小红步行的平均速度是x 米/分，则骑自行车的平均速度是3x 米/分． 根据题意，得
21002100203x x
-=， 方程两边同乘最简公分母3x ，得
6300210060x -=，
解得70x =．
检验：把70x =代入最简公分母3x ，得
33700x =⨯≠，
因此，70x =是原方程的根．
答：小红步行的平均速度是70米/分．
（2）由（1），得70x =，3210x =，
所以小红骑自行车的速度是210米/分，
于是，小红回家取道具共花时间：
2100210030104070210
+=+=（分）， 由于4045<，
因此，小红能在联欢会开始前赶到学校．
【点睛】
本题是一道行程问题的应用题，考查了列分式方程解实际问题，分式方程的解法，解答时小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程是关键．
22．()11x x -，12
【分析】 此题需先根据分式的混合运算顺序和法则把
22131
x x x x x ---+-进行化简，然后把x 代入即可．
【详解】 解：原式=()
13(1)(1)1x x x x x x ---++- =()
(1)(1)(3)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x ----+-+- =22(1)(11)
23x x x x x x x -+--++ ()
11x x =- 当2x =时，原式12=
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
23．（1）②⑤⑥；（2）ABC ∆是等边三角形；（3）见详解
【分析】
（1）根据完全平方公式的结构特征和完全平方式的定义，逐一判断即可；
（2）把等式右边的代数式移到左边，再利用完全平方公式写成平方和的形式，从而即可得到a ，b ，c 的关系，进而即可得到结论；
（3）利用完全平方公式进行因式分解，把原式写成一个整式的平方的形式，即可得到结论．
【详解】
（1）②24x =2(2)x ；⑤21236x x ++=2(6)x +；⑥2124949a a -+=21(7)7
a -是完全平方式，
①2244a a b ++；③22x xy y -+； ④21025y y --不是完全平方式，
各式中完全平方式的编号有②⑤⑥，
故答案为：②⑤⑥；
（2）∵22222()a b c c a b ++=+，
∴()()2222220a ac c
b b
c c -++-+=， ∴()()220a c b c -+-=，
∴a-c=0且b-c=0，
∴a=b=c ，
∴ABC ∆是等边三角形；
（3）∵原式=2(8)(4)64x x x +++
=22(8)(816)64x x x x ++++
=222(8)16(8)64x x x x ++++
=22(8)8x x ⎡⎤++⎣⎦
=()2
288x x ++，
∴多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
24．（1）(4,4)A -；（2）见解析；（3）①存在，P （8，-4）；②满足全等的点有P 1、P 2、P 3，见解析．
【分析】
（1）根据题意，设(,)A a a -，在Rt △AOB 中，利用勾股定理，解得a 的值，即可解得点A 的坐标；
（2）过点C 作CM ⊥x 轴于M ，由平行线的性质得到∠MBC=∠ABC ，结合角平分线上的点到角两边的距离相等可得CM= CH ，据此可证明CG ＝CH ；
（3）①先计算∠BDC 的度数，再根据角平分线及平行线性质可证明∠BOC=∠BCO ，由等角对等边可解得BO=BC=AB ，继而得到∠ACP=∠BDC ，接着证明△APB 为等腰直角三角形，解答AP 的长，据此解题； ②根据全等三角形的判定方法，分别证明1
()BCD PCA AAS ≅、2()BCD P CA AAS ≅、3()BCD P AC AAS ≅即可解题．
【详解】
（1）∵AB ⊥x 轴
∴∠ABO=90°
∵A 在y x =-上
∴设(,)A a a -
则AB=OB=a
即△ABO 为等腰直角三角形
在Rt △AOB 中
∵222AB OB OA +=
∴2232
+=
a a
∴a=±4（负值舍去）
A-，
∴(44)
（2）如图，过点C作CM⊥x轴于M
∵BC//OE
∴∠MBC=∠BOA=45°，∠ABC=∠OAB=45°∴∠MBC=∠ABC
∵CM⊥x轴，CG⊥AB
∴CM= CG
∵OC平分∠AOB，CM⊥x轴 CH⊥OE
∴CM= CH
∴CG＝CH
（3）①存在点P
易证∠BDC=∠BOD+∠OBD=22.5°+90°=112.5°∵OC平分∠AOB，BC∥OE
∴∠BOC=∠COA ，∠BCO=∠COA
∴∠BOC=∠BCO
∴BO=BC=AB
又∠ABC =45°
∴∠BAC=∠BCA=67.5°
∴∠ACP=112.5°
∴∠ACP=∠BDC
又∠BAC=∠CDA=67.5°
∴CA=CD
∴当CP=BD 时，△ACP ≌△CDB ∴∠APC=∠DBC=45°
∴△APB 为等腰直角三角形 ∴AP=AB=OB=4
∴P （8，-4）
②如图，满足全等的点有P 1、P 2、P 3理由如下， 1(8,8)P -
∴点1P 在射线(0)OE x x =-≥：y 上，
84<
1P ∴在线段OA 上，
连接1CP
,45CG AB CBG ⊥∠=︒ BCG ∴是等腰直角三角形， CG BG ∴=
(4,4)A -
4OB ∴=
BC OB =
222216BC BG CG OB ∴=+== 2,4BG CG BC ∴=== (42,2)C ∴+- 1422224CP ∴=+= 11,//CP BC CP x ∴=轴 145CP A BOA CBD ∴∠=∠=∠=︒ 190,PGA ∠=︒ 145P AG ∴∠=︒
1167.545112.5CAP CAG P AG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒ 在BCD △与1PCA 中
111BDC P AC CP A CBD BC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
1
()BCD PCA AAS ∴≅ 2P 的横坐标为4，点(4,4)4A OB -=，
2P ∴在BA 的延长线上，
连接22,AP CP
67.5BAC ∠=︒
2180112.5CAP BAC ∴∠=︒-∠=︒
2CAP BDC ∴∠=∠ 2P
的纵坐标为
2BP ∴==2BG =
22GP BP BG ∴=-=
CG ∴=2GP CG ∴=
CG AB ⊥
245AP C ∴∠=︒
2AP C ABC ∴∠=∠
在BCD △与2P CA 中，
22BDC P AC ABC AP C CD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
2()BCD P CA AAS ∴≅
3P
，点C
的横坐标为4，
3CP ∴所在的直线垂直于x 轴，
AB x ⊥轴
3//CP AB ∴
连接33CP AP 、，过点A 作3AQ CP ⊥交3P C 的延长线于点Q ， 3//CP AB
3180BAC ACP ∴∠+∠=︒
3180112.5ACP BAC ∴∠=︒-∠=︒
3ACP BDC ∴∠=∠
(4,4)A -
3
444(4)AQ PQ ∴=-==--=3
AQ PQ ∴= 3
AQ PQ ⊥ 3
45APQ ∴∠=︒ 3
APQ ABC ∴∠=∠ 在BCD △与3P AC 中
33BDC PCA APC ABC CD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
3()BCD P AC AAS ∴≅
故答案为：123P P P 、、 ．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
25．证明见解析
【分析】
由已知可得RT △DCF ≌RT △DEB ，从而得到DC=DE ，又由已知可得DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，所以由角平分线的判定定理即可得解．
【详解】
证明：由题意可得，在Rt DCF ∆和Rt DEB ∆中，
CF EB BD DF =⎧⎨=⎩
Rt DCF Rt DEB ∴∆≅∆，
DC DE ∴=
90,C ∠=︒
,DC AC ∴⊥
,DE AB ⊥
AD ∴平分BAC ∠．
【点睛】
本题考查角平分线与直角三角形的综合运用，熟练掌握角平分线的判定与直角三角形的判定和性质是解题关键．
26．（1）32°；（2）()12
P C D ∠=∠+∠．
【分析】
（1）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFP ，∠BED =∠AEP ，利用三角形的内角和定理可得∠C ＋∠CAF=∠P ＋∠PBF①，∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PAE②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C ＋∠D=2∠P ，从而求出∠P ；
（2）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFP ，∠BED =∠AEP ，利用三角形的内角和定理可得∠C ＋∠CAF=∠P ＋∠PBF①，∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PAE②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C ＋∠D=2∠P ，从而证出结论．
【详解】
解：（1）∵∠AFC=∠BFP ，∠BED =∠AEP
∴180°－（∠C ＋∠CAF ）=180°－（∠P ＋∠PBF ），180°－（∠D ＋∠DBE ）=180°－（∠P ＋∠PAE ）
∴∠C ＋∠CAF=∠P ＋∠PBF①，∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PAE②
①＋②，得
∠C ＋∠CAF ＋∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PBF ＋∠P ＋∠PAE
∵CAD ∠与CBD ∠的角平分线交于点P
∴∠CAF=∠PAE ，∠DBE=∠PBF
∴∠C ＋∠D=2∠P
∴∠P=
()12C D ∠+∠=()135292
︒+︒=32°； （2）()12
P C D ∠=∠+∠，理由如下 ∵∠AFC=∠BFP ，∠BED =∠AEP ∴180°－（∠C ＋∠CAF ）=180°－（∠P ＋∠PBF ），180°－（∠D ＋∠DBE ）=180°－（∠P ＋∠PAE ）
∴∠C ＋∠CAF=∠P ＋∠PBF①，∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PAE②
①＋②，得
∠C ＋∠CAF ＋∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PBF ＋∠P ＋∠PAE
∵CAD ∠与CBD ∠的角平分线交于点P
∴∠CAF=∠PAE ，∠DBE=∠PBF
∴∠C ＋∠D=2∠P
∴∠P=
()12
C D ∠+∠． 【点睛】 此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题关键．。