2013高考数学(理)一轮复习课件(考基自主导学+考向探究导析+考题专项突破)：排列与组合

【训练2】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所
选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课
程中至少有一门不相同的选法有多少种？
解 (1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课
程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．
(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C
双基自测 1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外 编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所 在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的 这8名运动员安排跑道的方式共有( )． A．360种 B．4 320种 C．720种 D．2 160种
(3)组合数公式
Cmn ＝AAmmnm＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝m！nn！－m！
(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Cn0＝1. (4)组合数的性质：①Cmn ＝Cnn－m；②Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
一个区别 排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无 序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与 顺序无关即是组合． 两个公式 (1)排列数公式Amn ＝n－n！m！ (2)组合数公式Cmn ＝m！nn！－m！利用这两个公式可计算排列问 题中的排列数和组合问题中的组合数．
在第二位时，有A
1 3
·A
3 3
＝18种排法，所以共有方案24＋18＝
42(种)，故选B.
答案 B
4.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，
要求每行、每列都没有重复数字，右
面是一种填法，则不同的填写方法共有(
A．6种
B．12种
12 3
31 2 )． 2 3 1
C．24种 D．48种
解析 只需要填写第一行第一列，其余即确定了．因此共有A33 A22＝12(种)． 答案 B
考向二 组合问题 【例2】►某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参 加赈灾医疗队，其中 (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同 选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？ (4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ [审题视点] “无序问题”用组合，注意分类处理．
3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下
要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目
丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
( )．
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
解析 因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前
五位上的排法．当甲排在第一位时，有A44＝24种排法，当甲排
考向一 排列问题 【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站 法？ (1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人顺序已定． [审题视点] 根据题目具体要求，选择恰当的方法，如捆绑 法、插空法等．
共有C112C48＋C212C83＋C132C28＋C412C18＝14 656(种)． 法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是
外科医生的选法种数，得C520－(C152＋C58)＝14 656(种)．
对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个 (些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的 计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先 取再后取”产生顺序造成计算错误．
①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排 列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清 怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有 序”和“无序”． ②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排 列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可 以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数 或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果． 四字口诀 求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列， 无序组合；分类相加，分步相乘．”
第2讲 排列与组合
【2013 年高考会这样考】 1．考查排列组合的概念及其公式的推导． 2．考查排列组合的应用． 【复习指导】 复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些 排列组合的基本模式题的解决方法，如指标分配问题、均匀分 组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等．
基础梳理 1．排列 (1)排列的概念：从n个 不同 元素中，任取m(m≤n)个元素(这里 的被取元素各不相同)按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列 数，用符号Amn 表示．
2 4
C
2 4
，
又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满
足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．
考向三 排列、组合的综合应用 【例3】►(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试 问：每个盒子都不空的放法共有多少种？ (2)计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组； (3)计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组． [审题视点] 根据题目要求分类求解，做到不重不漏．
0,2个1的排列，共有C
2 8
二 数字排列和位置排列问题
用 0,1,2,3,4,5，组成没有重复数字的数： (1)能组成多少个六位数； (2)能组成多少个六位奇数； (3)能组成多少个能被 5 整除的六位数； (4)能组成多少个比 240135 大的数．
【解析】(1)第一位不能是 0，有 A15种方法，其它各位有 A55种方法，共有六位数的个数是 A15A55＝600.
解析 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面
体，共可构成C
4 10
＝210个四面体．其中四点在同一平面内的有
三类：
(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C54个． (2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C52个． (3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行
(例如AB∥E1C1)，这样共面的四点共有2C15个． 所以C410－2C45－C25－2C15＝180(个)，选D. 答案 D
【训练1】 用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数， 分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右 从小到大排列． 解 (1)A25A44＝480； (2)A22A41A44＝192； (3)A15A55－A22A41A44＝408， (4)A24A21A22＋A42A33＝120； (5)A66－2A55＋A44＝504； (6)A36－A53＝60.
(2)要使六位数为奇数，其个位数字必须是 1 或 3 或 5，所 以所求六位奇数的个数是 A13A14A44＝288.
(3)要使六位数能被 5 整除，个位数字必须是 0 或 5，当个 位数字是 0 时，有 A55个；当个位数字是 5 时，有 4A44个，因 此，能被 5 整除的六位数的个数是 A55＋4A44＝216.
(4)要比 240135 大，首先必须是六位数，有以下几类：首 位数是 3 或 4 或 5 时各有 A55个；首位数字是 2，第二位数字是 4 或 5，但不包含 240135 在内，有 2A44－1 个，因此共有比 240135 大的数是 3A55＋2A44－1＝407.
【点评】排数字问题是排列组合中最常见的一种题 型．这种问题应把握住在排数字时，如首位和末位等这些 特殊的位置，如 0,5，奇数，偶数等这些特殊的元素，我们 需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线．例如 第(1)小问，注意到 0 这一特殊的元素，它不能排在首位这 一特殊的位置．解答中以位置优先，较易解决，但若以特 殊元素为主，也可解决．这类问题还需注意排成的数是不 是数字不充许重复的．
解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C138＝816(种)；
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C158＝8 568(种)；
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C
1 2
C
4 18
＋C318＝6 936(种)；
(4)法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法
可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以
解 (1)法一 先将其中4个相同的小球放入4个盒子中，有1种 放法；再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下 3种情况： ①某一个盒子放3个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个 放入这3个小球，有C14种不同的放法； ②这3个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从4个不同 的盒子中任选3个盒子，分别放入这3个相同的小球，有C34种不 同放法； ③这3个小球中有两个小球放在1个盒子中，另1个小球放在另 一个盒子中，从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列， 有A42种不同的方法． 综上可知，满足题设条件的放法为C14＋C34＋A24＝20(种)．
5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在 工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进 行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项 工程的不同排法种数是________(用数字作答)． 解析 可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求 是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、 乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、 丙丁共A52C33＝20种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b， 共C35A22＝20种排法． 答案 20
法二 “每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个
小球”，若用“挡板法”，可易得C36＝20. (2)可看做将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多
少种放法．转化为6个0,2个1的排列，要求1不排在两端且不相
邻，共有C
2 5
＝10种排法，因此方程x＋y＋z＝6有10组不同的正
整数解；
(3)可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为6个
(3)排列数公式 Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ． (4)全排列数公式 Ann＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)． 2．组合 (1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合 数．用符号Cmn 表示．
解 (1)A25A44＝480； (2)A22A55＝240； (3)A44A52＝480； (4)A22A42A33＝144； (5)A66－2A55＋A44＝504； (6)A36＝120.
有条件的排列问题大致分四种类型． (1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素 占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问 题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个 数． (2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法) 然后与其它元素排列． (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些 元素进行插空(即插空法)． (4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置， 先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．
解析 本题考查排列组合知识，可分步完成，先从8个数字中 取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安 排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5 个跑道上，故共有6A33A55＝4 320种方式． 答案 B
2．以一个正五棱柱的顶点为 B．190个 C．185个 D．180个