北大12春统计学作业

单选
ABAACDBB
9.某地区今年物价指数增加10%，则用同样多的人民币只能购买去年商品的1/1.1 。

（第十二章第三节）
10.发展速度可分为定基发展速度和环比发展速度。

（第十一章第六节）
11.长期趋势测定的方法主要有：修匀法和数学模型法。

（第十一章第二节）
12.利用最小平方法求解参数估计量时，剩余残差之和等于 0 。

（第十章第二节）
13.在小样本的情况下，点估计的三个评价标准是无偏性、有效性、最小均方误差（第六章第二节）
14.当X和Y相互独立时，它们之间的协方差为 0 。

（第五章第五节）
15. 已知随机变量X~N(0, 9)，那么该随机变量X的期望为 0 ，方差为9 。

（第五章第四节）
16. 若随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则它的数学期望为np，方差是npq。

（第五章第四节）
17.标准正态分布的期望为 0 ，方差为 1 。

（第五章第四节）
18.某超市平均每小时72人光顾，那么在3分钟之内到大4名顾客的概率是0.1912 。

（第五章第二节）
19. 已知10支晶体管中有3个次品，现从中不放回的连续依次取出两支，则两次取出的晶体管都是次品的概率是1/15。

（第五章第一节）
20. 已知10个灯泡中有3个次品，现从中任取4个，问取出的4个灯泡中至少有1个次品的概率是5/6。

（第五章第一节）
21. 一副不包括王牌的扑克有52张，从中随机抽取1张，则抽出红桃或抽出K 的概率是16/52。

（第五章第一节）
22. 必然事件的发生概率为 1 ，不可能事件的发生概率为 0 。

（第五章第一节）
23.在电话号码薄中任取一个号码，则后面4位全不相同的概率是0.504。

（第五章第一节）
24.设A、B、C为3个事件，则A、B、C都发生的事件可以写成AB U AC U BC。

（第五章第一节）
25.假如数据分布完全对称，则所有奇数阶中心矩都等于 0 。

（第四章第三节）
26.平均数、中位数和众数用来描述数据的集中趋势；用于描述数据离中趋势的主要指标有全距、平均差、方差与标准差。

27. 代表性误差是指由于用部分代表整体所必然产生的误差。

28.一个完整的统计指标应该包括两个方面的内容：一是指标的名称，二是指标的数值。

29.某旅馆的经理认为其客人每天的平均花费为1000元。

假如抽取了一组16张帐单作为样本资料，样本平均数为900元，样本方差为400元，试以5％的显著水平检验是否与该经理的说法有显著差异。

（第七章第二节）
先写出原假设和备择假设：
:1000 Hμ=
0VS
1
:1000
Hμ≠
因为
1000
(15)X X t --=
所以 在95%的置信水平下，X 的置信区间为：
1000-2.131×5X ≤≤1000+2.131×5
即：989.34X ≤≤1010.66
然而，900不在这个范围内，所以我们拒绝H 0，也就是说那位经理的估计有误。

30.某工厂对废水进行处理，要求处理后的水中某种有毒物质的浓度不超过18毫克/立升。

现抽取n=10的样本，得到均值为17.1毫克/升，假设有毒物质的含量服从正态分布，且已知正态总体方差为4.5，请问，分别在显著水平为1％，5％和10％下处理后的水是否合格。

（第七章第二节）
答：首先确定原假设，我们要证明水合格，即18μ≤，所以我们得取其对立事件即18μ≥为原假设。

即：0:18H μ≥ 1:18H μ<
由于已知总体方差，所以Z
＝(0,1)N
此时 1.34Z ==- 这是个左尾检验，只要这个Z 小于临界值，就会落入拒绝域，可以得出水是合格的。

查表得到0.01 2.325Z -=-，0.05 1.645Z -=-，0.1 1.281Z -=-
Z 只有在显著水平为10%时才足够小（即小于－1.281）
，落入拒绝域，水是合格的。

在显著水平为1%和5%下，落入接受域，无法说明水是合格的。

31.下面是一个家庭的月收入情况与月消费情况：
（1）利用回归的方法求该家庭的消费函数，其边际消费倾向是多少？
（2）如果月收入为13000元，请预测其消费量是多少？（第十章第二节）
答：（1）设消费为y ，收入为x ，
根据公式112
1()()()n
i i i n i i x x y y x
x β==--=-∑∑ ＝0.8
01y x ββ=- ＝8800－0.8×10000＝800
所以有y ＝800＋0.8x 。

边际消费倾向为0.8。

（2）如果收入x 为13000，那么消费的预测额为800＋13000×0.8＝11200元。

32.一种电子元件平均使用寿命为1000小时。

现从一批该元件中随机抽取25件，测得其平均寿命为950小时。

已知元件寿命服从标准差为100小时的正态分布，试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格。

（第七章第二节）
得到其相应置信水平下的置信区间，如果参数原假设下在置信区间内，那么我们接受原假设，如果落入拒绝域的话，那么就拒绝原假设。

:1000H μ=0 VS 1:1000H μ≠
因为1000μ=、950X =、100σ=
所以
(0,1)
X N - 于是，在95%的置信水平下，置信区间为：
1.96 1.96
≤≤－ ，或者1000
1.96 1.96100/5X -≤≤－
即 1000-1.96×20X ≤≤1000+1.96×20
可得 961.8X ≤≤1039.2
由于950落在该区域外，所以拒绝原假设，我们可以认为这批元件不合格。

33.为了调查北大网络学院学生的身高，随机在北京抽查了10位同学的身高，分别如下（单位：cm ）：
152 187 165 168 172
158 155 180 169 174
（1）试分别求出样本均值以及样本方差。

（2）如果已知网院学生的身高的总体方差160，试确定总体均值的95％的置信区间。

（3）如果未知总体方差，试确定总体均值的95％的置信区间。

（第六章第三节）
答：（1）样本均值为168，样本方差为121.33。

（2）如果已知总体方差，那么
Z ＝
(0,1)N
给定置信水平95％，有
/2/2()0.95X P Z Z αα--≤≤=，这里0.05α=。

查表
0.05/2 1.96Z =，所以有 1.96 1.96-≤≤
解得160.16175.84μ≤≤，即置信区间为【160.16，175.84】。

（3）如果未知总体方差，则有
(1)X t n --
给定置信水平95％，有
/2/2()0.95P t t αα-≤≤=
其中2S ＝121.33，查表得到0.05(9) 2.262t = 所以有 2.262 2.262
-≤≤
解得160.12175.88μ≤≤，即置信区间为【160.12，175.88】。

34.设有一批产品，其废品率为p(0<p<1)，现从中随机抽出100个，发现其中有10个废品，试用极大似然法估计总体参数p 。

（第六章第二节）
若正品用“0”表示，废品用“1”表示，则总体X 的分布为：
P( X = x )=p x q 1-x ， x=0, 1；q=1-p
则样本观察值的联合分布（似然函数）为：
L(x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x 100; p)=(p x1q 1- x1)(p x2q 1- x2) ⋅⋅⋅ (p x100q 1- x100)
=p 10q 90
方程两边同时取对数，可得：
lnL(x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x 100; p)=10lnp+90ln(1-p)
方程两边同时对p 求导数并令其为零，可得：
1090l n 01d
L d p p p
=-=- 解得：ˆp
=10/100=0.1 35.经验表明某商店平均每天销售250瓶酸奶，标准差为25瓶，设销售酸奶瓶数服从正态分布，问：
（1）在某一天中，购进300瓶酸奶，全部售出的概率是多少？
（2）如果该商店希望以99％的概率保证不脱销，假设前一天的酸奶已全部售完，那么当天应该购进多少瓶酸奶？（第五章第三节）
答：（1）由于每天销售酸奶数量的均值为250，标准差为25，并且销售数量服从正态分布，所以将300瓶酸奶全部售出的概率为
250
300250
(300)()(2)1(2)10.977250.02275
2525X p X p p ϕ--≥=≥=≥=-Φ=-=即全部售出的概率仅为2.275%。

（2）设为了保证不脱销，需要购进x 瓶酸奶。

根据题意我们可以得到：
()0.99
p X x ≤= 于是： 250250()0.992525
X x p --≤= 而(2.325)0.99Φ=，所以有250
(
)(2.325)25x -Φ=Φ 即250
2.32525x -=，解得 2.32525250308.125x =⨯+=
所以，当天应该购进309瓶酸奶才能以99％的概率保证不脱销。

36.想象一个游戏：在一个盒子里有9个红球和1个黑球，让你从其中抓一个球，那么
（1）抓到红球的可能性有多大？
（2）如果让你抓两个球出来，那么你抓到黑球的可能性有多大？
（3）如果让我先抓，结果我抓出了一个红球，然后你再来抓一个球，那么你抓到黑球的可能性有多大？（第五章第一节）
答：（1）抓到红球的可能性是9/10
（2）抓到黑球的可能性是9/10×1/9+1/10=2/10
（3）抓到黑球的可能性是1/9
37、甲、乙、丙三人向同一架飞机射击。

设甲、乙、丙击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7；又假设若一人击中，飞机坠毁的概率为0.2；若两人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机必坠毁，求飞机坠毁的概率。

（第五章第一节）
答：记B=“飞机坠毁”，A i =“有i 个人击中”，其中i=0、1、2、3。

显然，A 0，A 1，A 2，A 3是完备事件组，运用概率乘法和加法定理，
P(A 0)=0.6⨯0.5⨯0.3=0.09
P(A 1)=0.4⨯0.5⨯0.3+0.6⨯0.5⨯0.3+0.6⨯0.5⨯0.7=0.36
P(A 2)=0.6⨯0.5⨯0.7+0.4⨯0.5⨯0.7+0.4⨯0.5⨯0.3=0.41
P(A 3)=0.4⨯0.5⨯0.7=0.14
根据题意可知，P(B/A 0)=0，P(B/A 1)=0.2，P(B/A 2)=0.6，P(B/A 3)=1
利用全概率公式，则有：
P(B)=3
i i 0P (A )P(B/A )i =∑=0.09⨯0+0.36⨯0.2+0.41⨯0.6+0.14⨯1=0.458。