2019届河北省中考数学系统复习：与圆有关的计算(8年真题训练)-(数学)

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河北省2019届中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(九)与圆有关的计算与证明练习

滚动小专题(九) 与圆有关的计算与证明类型1 与切线有关的计算与证明1．如图，⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，G 为弦AE 的中点，连接OG 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 交AE 于点F ，延长AE 至点C ，使得FC ＝BC ，连接BC.求证：BC 是⊙O 的切线；3⊙O 的半径为5，tanA ＝4，求FD 的长．解：(1)证明：∵点 G 是AE 的中点，∴OD⊥AE.∴∠ODB＋∠DFG＝90°.FC ＝BC ，∴∠CBF＝∠CFB.∵∠CFB＝∠DFG，∴∠CBF＝∠DFG.∵OB＝OD ，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠OBD＋∠CBF＝∠ODB＋∠DFG＝90°，即∠ABC＝90°.又∵OB 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线．(2)连接AD.OG3∵ tan ∠OAG＝＝，AG4∴设OG ＝3x ，那么AG ＝4x.2 2∴OA ＝ OG ＋AG ＝5x ＝5，解得x ＝1. ∴OG ＝3，AG ＝4. ∴DG ＝OD －OG ＝2. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADF ＝90°. ∵∠DAG ＋∠ADG ＝90°，∠ADG ＋∠FDG ＝90°， ∴∠DAG ＝∠F DG. 又∵∠AGD ＝∠DGF ， ∴△DAG ∽△FDG. DGFG 2 FG ∴＝，即＝ .∴FG＝1.AG DG 4 2 ∴在Rt △DFG 中，FD＝ 2 2 DG ＋FG ＝5.(1)(3)2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，过点C作CE⊥AD，垂足为E，且∠EDC＝∠BDC.(4)求证：CE是⊙O的切线；假设DE＋CE＝4，AB＝6，求BD的值．1(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 解：(1)证明：∵∠BAD ＝90°，(11) ∴∠BCD ＝90°.(12) ∵CE ⊥AD ，∴∠E ＝90°.(13) ∵∠EDC ＋∠DCE ＝90°，(14) ∠EDC ＝∠BDC ，(15) ∴∠BDC ＋∠DCE ＝90°.(16) ∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD.(17) ∴∠OCD ＋∠DCE ＝90°，即 OC ⊥CE.(18) 又∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线．过点O 作OF ⊥AE ，垂足为F ，那么AF ＝DF ，∴OF ＝1AB ＝1×6＝3.2 2 23 易证得四边形 OFEC 为矩形，∴CE ＝OF.4 ∵DE ＋CE ＝4，∴DE ＝1.5 2在Rt △DCE 中，CD ＝1＋3＝10.∵∠EDC ＝∠BDC ，∴Rt △BDC ∽Rt △CDE.BD CDBD10∴＝，即 10 ＝.CD DE 1∴BD ＝10.类型2 与弧长及面积有关的计算3．如图，在⊙O 中，半径 OA ⊥OB ，过 OA 的中点C 作FD ∥OB 交⊙O 于D ，F 两点，且 CD ＝ 3，以O 为圆心，OC 为︵半径作CE ，交OB 于E 点．(1)求⊙O 的半径OA 的长；(2)计算阴影局部的面积．解：(1)连接OD.FD ∥OB ，OA ⊥OB ，∴OA ⊥FD.∵C 为OA 的中点，21 1∴OC＝2OA＝2OD.∴在Rt△OCD中，∠ODC＝30°.∴OC＝CD·tan30°＝1.∴OD＝2OC＝2，即⊙O的半径OA的长为2.(2)S阴影＝S扇形BOD＋S△OCD－S扇形COE21230×π×290×π×1＝360＋2×1×3－360π312＋2.4．如图，风车的支杆O E垂直于桌面MN，风车中心O到桌面的距离 OE为25cm，小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A，B，C，D在同一圆O上，⊙O的半径为10cm.风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保存根号)；(2)在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保存π)．备用图1备用图2解：(1)如图1，当点A运动到点A1的位置时，∠AOE＝45°.作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，∴A1F＝GE.在Rt△A1OG中，∵∠A1OG＝45°，OA1＝10，122.∴OG＝OA·cos45°＝10×2＝5∵OE＝25，∴GE＝OE－OG＝25－5 2.∴A1F＝GE＝25－52.答：点A到桌面的距离是(25－52).cm(2)如图2，点A在旋转过程中运动到点A2，A3的位置时，点A到桌面的距离等于20.cm作A2H⊥MN于点H，那么A2H＝20.作A2D⊥OE于点D，∴DE＝A2H.∵OE＝25，∴OD＝OE－DE＝25－20＝5.在Rt△A2OD中，∵OA2＝10，OD1cos∠A2OD＝＝.OA22∴∠A2OD＝60°.由圆的轴对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°.120×π×1020π∴点A所经过的路径长为180＝3.答：点A所经过的路径长为203πcm.32π＋4π＝6π.图1 图25．如图，有一直径 MN ＝4的半圆形纸片，其圆心为点 P ，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的 MN 平行于数轴，且半圆 P 与数轴相切于原点 O ；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的 MN 垂直于数轴；位置Ⅲ中的 MN 在数轴上；位置Ⅴ中的点 N 到数轴的距离为 3，且半圆 P 与数轴相切于点 A. 解答以下问题：位置Ⅰ中的MN 与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半圆P 与数轴的位置关系是相切；求位置Ⅲ中的圆心P 在数轴上表示的数；纸片半圆P 从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N 所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；求OA 的长．[(2)(3)(4) 中的结果保存 π]︵︵解：(2)位置Ⅰ中ON 的长与数轴上线段 ON 相等，︵ 90×π×2∵ON 的长为＝π，NP ＝2，180∴位置Ⅲ中的圆心 P 在数轴上表示的数为 π＋2.90×π×4(3)点N 所经过路径长为＝2π，180 2 2S 半圆＝180×π×2 90×π×4 ＝4π.360 ＝2π，S 扇形＝ 360∴半圆P 所扫过图形的面积为作NC 垂直数轴于点C ，作PH ⊥NC 于点H ，连接PA ，那么四边形PHCA 为矩形．在Rt △NPH 中，PN ＝2，NH ＝NC －HC ＝NC －PA ＝1.NH1∵ sin ∠NPH ＝＝，∴∠NPH ＝30°.PN2∴∠MPA ＝60°.︵ 60×π×22∴MA 的长为 180 ＝π.32 5∴OA ＝π＋4＋3π＝3π＋4.4。

河北省2019届中考数学系统复习第六单元圆第25讲与圆有关的计算(8年真题训练)练习

第25讲与圆有关的计算命点近8年的命形式考方向高考点型呈形式比丰富，、2021(T25(1)解)，2021(T23(2)解、填空、解答三种型都有出，弧的扇形弧、面的算T25(3)解)，2021(T25解)，2021(T26考重于弧公式的考，算，解)，2021(T19填)，2021(T14)扇形面的考重在化程中形成的区域面，可用多种方法行化成求扇形面.重于有关正多形面的算，一般都有正多形与2021(T15)技巧性，需要我熟掌握正多形的各个量之的关系，并能把正多形行分割与拼接.命点1扇形弧、面的算1．(2021·河北T14·3分)如，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝23.S阴影＝(D)A．πB．2π C.23 D.2 33π2．(2021·河北T19·3分)如，将8cm的首尾相接成半径2cm的扇形．S扇形＝4cm2.命点2 正多形与S3．(2021·河北T15·3分)如，a的正六形内有两个三角形(数据如)，阴影＝(C)S空白A．3 B ．4 C ．5 D ．6重点1 弧的算如，△ABC是正三角形，曲CDEFG⋯叫做“正三角形的开〞，曲的各局部弧．1(1)中已有4段弧，接着画出第5段弧GH；2πa10πa(2)△ABC的a，第1段弧的是3；第5段弧的是3；前5段弧的和(即曲CDEFGH的)是10πa；(3)似地有“正方形的开〞“正五形的开〞⋯，a的正方形的开的前5段弧的和是15πa；2(4)猜测：30πa①a的正n形的前5段弧的和是n；m〔m＋1〕πa②a的正n形的前m段弧的和是n．【思路点】(1)以点B心，BG半径画弧即可；(2)利用弧公式算．但要先确定弧所的心角都是120度，半径却在不断地增大，第1段弧的半径是a，第2段弧的半径是2a，第3段弧的半径是3a，依此下去第5段弧的半径是5a，和就是把五段弧加起来；(3)先利用正方形的性求出正方形的外角度数，合每段弧所在的半径化律，利用弧公式算每段弧，最后求和；(4)可以利用前面的探究方法，合正n形的性解决．【式1】(2021·淄博)如，⊙O的直径AB＝6.假设∠BAC＝50°，劣弧AC的(D)8π3π4πA．2π B.3 C.4 D.3【式2】(2021·廊坊模)如，在 6的菱形ABCD中，分以各点心，以的一半半径，在菱形内作四条弧，中阴影局部的周是6π．(果保存π)方法指1．求弧，要先确定两个要素，一是弧所在的半径，二是弧所在扇形的心角，再代入弧公式算即可．2．同一正多形的开每局部弧所的心角不，半径后一段比相的前一段增加一个正多形的．2π×ma模型建立a的正n形的开第m段弧.n重点2 扇形面的有关算如1，直径AB 6的半，点A逆旋60°，此点B到达点B′，求中阴影局部的面．2图1 图2图3【变式1】 (2021·大庆)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A逆时针旋转30°后得到Rt △ADE，点B 经过的路径为弧BD ，那么图中阴影局部的面积为23π．【变式2】如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝1，∠ABC＝30°，将Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE，点B 经过的路径为弧BD ，那么图中阴影局部的面积是1π．3【变式3】如图4，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A 经过的路径为弧AD ，那么图中阴影局部的面积是π6．图4图5【变式4】如图5，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝1，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转60°，此时点B 恰π3好在DE 上，其中点A 经过的路径为弧AD ，那么图中阴影局部的面积是2－4 ．(注：所有小题结果保存π)【思路点拨】阴影局部的面积可以看作以旋转点为圆心，旋转角为圆心角， AB 为半径的扇形面积；只有变式4阴影局部的面积是 S－S.扇形ACD△BC E【自主解答】解：∵AB＝AB′＝6，∠BAB′＝60°，∴S＝S＋S－S＝S60 2阴影扇形B′A B 半圆O′ 半圆扇形B′A B ＝360×π×6＝6π.O方法指导在圆中求阴影局部面积大致有以下方法：弓形或弓形的一局部可转化成扇形减去三角形的面积；新月形可以用扇形减去一个弓形的面积；可以利用等积变换求阴影局部的面积；可以利用轴对称、中心对称求阴影局部的面积；旋转形成阴影局部的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积．重难点3 正多边形和圆(2021·河北模拟 )如图是由有两个公共顶点的正六边形与正方形组成的一个图形．假设阴影局部的周长为10，那么这个图形的外轮廓线的周长为()AA．18B．183C．22D．223【思路点拨】从图形上能看出，正方形的边长等于正六边形边长的2倍．提示：设正六边形的边长为a，那么正方形的边长为2a，由题意，得5a＝10，解得a＝2.那么外轮廓线的周长为3a2a×3＝9a＝18.【变式训练3】(2021·河北模拟 )如图，正六边形与正方形有重合的中心 O.假设∠BOC是正n边形的一个外角，那么n的值为(C)3A．8 B．10 C．12 D．16【变式训练4】(2021·石家庄二模)正六边形ABCDEF与正三角形△ACG按如下图位置摆放，在六边形AGCDEFS阴影中，S空白的值是(D)A.52B.51C.61D.71方法指导1．熟悉常见正多边形边长与对角线的数量关系．360°2．正n边形的中心角与每一个外角相等，都等于(n≥3)．n3．研究面积相关问题时可采用割补与拼接等方法，研究周长可采用化曲为直等方法．注：正多边形与圆中，正多边形通常是指正方形，正五边形，正六边形，正八边形等常见的正多边形．1．(2021·盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧︵︵(AB)，那么AB的展直长度为(B)．3πm ．6πm C．9．12πmA Bπm D2．(2021·成都)如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，那么图中阴影局部的面积是 (C)A．πB．2π C ．3πD．6π3．(2021·德州)如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，那么此扇形的面积为(A)π23222A.2mB.2πm C．πm D．2πm44．(2021·河北模拟)如图，分别把正六边形边AB，EF，CD向两个方向延长，相交于点M，N，Q，那么阴影局部与空白局部的面积比为(A)1121A.2B.3C.5D.45．(2021·河北模拟)如图，六边形ABCDEF和六边形MNPQGH都是正六边形．假设AB＝10，那么MN的值可能是(D)53C．52D．53A.B．526．(2021·株洲)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，那么∠BOM＝48°．7．(2021·石家庄藁城区模拟)如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边AB，AE的中点，四边形MNHG 是位于该正五边形内的正方形，那么∠BMH的度数是99°．8．(2021·盐城)如图，图1是由假设干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一局部，图2中图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°.那么图2的图形周长为8πcm(结果保存π)．359．(2021·河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到︵53△A′B′C′，其中点B的运动路径为BB′，那么图中阴影局部的面积为4π－2．10．(2021·邢台宁晋县模拟︵︵)如图，半圆O的直径AB＝4，P，Q是半圆O上的点，弦PQ的长为2，那么AP与QB的长度之和为()BA.2πB.4πC.5πD．π333︵︵1204提示：连接OP，OQ，易知△OPQ为等边三角形，lAP＋lQB＝180×π×2＝3π.11．(2021·威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，那么图中阴影局部的面积是(C)A．18＋36π B．24＋18π C ．18＋18πD．12＋18π提示：作 FH⊥BC 交BC 延长线于点H ，连接AE ，S 阴影＝S ＋S 半圆－S －S＝12×12＋ 2×π×6－2×12×6－ 2×65×65＝18＋18π.正方形ABCD △ABE △AEF1 2 1 112．(2021·河北模拟)如图，点 P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接 OP ，过点B 作BC∥OP交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；6(2)假设PD＝16，AC＝8，那么图中阴影局部的面积为25π－482；3cm cm2cm︵在(2)的条件下，假设点E是AB的中点，连接CE，求CE的长．解：(1)证明：连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°.∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB.∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠AOP＝∠COP.OA＝OC，在△PAO和△PCO中，∠AOP＝∠COP，OP＝OP，∴△PAO≌△PCO(SAS)．∴∠PAO＝∠PCO＝90°.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．连接AE，BE，过点B作BM⊥CE于点M，∴∠CMB＝∠EMB＝90°，∠AEB＝90°.︵︵︵又∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.1∴∠ECB＝∠ACE＝2∠ACB＝45°.又∵∠CMB＝90°，∴∠CBM＝45°.∴BM＝CM.在Rt△BCM中，由勾股定理，得∴CM＝BM＝32cm.又∵∠ABE＝∠ACE＝45°，2 2 2 2 2CM＋BM＝BC，即CM＋BM＝36，∴在Rt△AEB中，BE＝AB·cos∠ABE＝5 2cm.在Rt△BEM中，由勾股定理，得EM＝2222＝42(cm)，BE－BM＝〔52〕－〔32〕∴CE＝CM＋EM＝7 2cm，即CE的长为72cm.13．(2021·宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在?九章算术?中提出了“割圆术〞，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1.假设用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，7那么S＝2 3．(结果保存根号)8。

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2019届河北省中考数学系统复习⼀（8年真题训练）.docx 第⼀单元数与式第1讲实数及其运算命题点1实数的有关概念1. （2012 ?河北Tl ?3分）下列各数中,为负数的是（B ）姓名⽒⼩凫得分丄填空（毎⼩越20企共100分）的堆对備⾜丄；② 2的啊数屋⼆；③ *2的相反数圧_2丄；④ 1的⽴⽅粮超丄；⑤ d 和7的平均时3?--------------- ---------- - -------- /4. （2018 ?河北T10?2分）图中的⼿机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（B ）A. 2个B. 3个C. 4个 D- 5个(Sixs.s]\.书=±3 B. 3^/ZZ 8=2 C. (-2)°=0D. 2_1=|11. (2016 ?河北T17?3分)8的⽴⽅根为命题点4实数的⼤⼩⽐较12. (2011 ?河北T13?3分)萌，Ji , -4, 0这四个数中，最⼤的数是兰.命题点5⾮负数的性质13. (2011 ?河北 T15 - 3 分)若|x-3| + |y+2|=0,则 x+y 的值为丄.314. (2014 ?河北 T18?3 分)若实数 m, n 满⾜|m-2| + (n-2 014)2 = 0,则 m _1+n°==命题点6实数的运算15. (2011 -河北Tl ?2分)计算3°的结果是(C)A. 3B. 30C. 1D. 0 16. (2013 ?河北T1?2分)⽓温由⼀ 1 °C 上升2 °C 后是(B) A. —1 °CB ? 1 °CC. 2 °CD. 3 °C17. (2017 ?河北T1?3分)下列运算结果为正数的是(A)洞北8年盲题训练A. 01 B. -2 C. 1°-22. (2016 -河北 Tl ?3 分)计算：-(-1) = (0)A. ±1B. -2 C- -1D. 1 3. （2017 ?河北T6 ? 3分）如图为张⼩亮的答卷,他的得分应是（B ） A. 100 分 B. 80 分 C. 60 分 D. 40 分A. (— 3)2B. —34~2C. 0X (-2 017)D. 2-3 18. (2015 ?河北 Tl ?3 分)计算：3 — 2X( — l) = (A)A. 5B. 1C. -1D. 619. (2017 ?河北 T4 ?3分）2X2X —X2_ 3+3++3—= (B)2m2” 2m m2 A.亍 B. 3n c.— n D —3n20. （2017 ?河北T12?2分）如图是国际数学⽇当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容, 下列选项错误的是（D ）嘉嘉，咱俩玩-个数⼔北学游玻?好吗？在4 4 4=6等号的左边添加合适的数学运既算符号,使等式成⽴.A. 4+4—⼬=6B. 4 + 4°+4°=6C. 4 + %+4 = 6D. 4_,4-^/4 + 4=6淇淇好啊!玩什么游戏?嘉嘉21.(2012 ?河北T19-8 分)计算：| —5| —(边⼀3)°+6X(g—*) + ( —1)1解：原式=5 — 1 + (2 — 3) +1 = 4.(2016 ?河北T20 ? 9分)利⽤运算律有时能进⾏简便计算.98x 12=(IOO-2)x 12=1 200-24=1 176.⼀16 x 233+17 x 233=(-16+17) x 233=233.请你参考⿊板上⽼师的讲解，⽤运算律简便计算:(1)999X (-15)；4 1 3(2)999X118-+999X (--)-999X18-.解：(1)原式=(1 000-1) X(-⑸= -15 000+15= -14 985.(2)原式= 999X [118-|+ (―￡) — 18#]= 999X100=99 900.23.(2017 -河北T20?8分)在⼀条不完整的数轴上从左到右有点A, B, C,其中AB = 2, BC =1,如图所⽰.设点A, B, C所对应数的和是P.2⼗ (1)----- ----------------- ------------------- ?A B C(1)若以B为原点，写出点A, C所对应的数，并计算P的值；若以C为原点，P⼜是多少？(2)若原点0在图中数轴上点C的右边，且C0=28,求P.答:题:⽰:范解：(1)以B为原点，点A, C分别对应⼀2, 1.2分P=_2 + 0+l = — l： 4 分以C 为原点，P= (―1—2) + (―1)+0 = —4. 6 分(2)P= (-28-1-2) + (-28-1) + (-28)= -88.8 分24.(2018 ?河北T22?9分)如图，阶梯图的每个台阶上都标着⼀个数,从下到上的第1个⾄第4个台阶上依次标着⼀5, -2, 1, 9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试：(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应⽤：求从下到上前31个台阶上数的和.发现：试⽤含k(k为正整数)的式⼦表⽰出数“1”所在的台阶数.解：尝试：⑴由题意，得前4个台阶上数的和是⼀5—2 + 1+9 = 3.(2)由题意,得⼀2+l+9 + x = 3.解得X = —5.则第5个台阶上的数x是⼀5.应⽤：由题意知，台阶上的数字是每4个⼀循环，7314-4 = 7 ....... 3, .*.7X34-1-2-5 = 15.即从下到上前31个台阶上数的和为15.发现：数“1”所在的台阶数为4k-l.重难点1实数的有关概念(2018 ?河北预测改编)我们知道，实数与数轴上的点是⼀⼀对应的，任意⼀个实数在数轴上都能找到与之对应的点，⽐如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点.(1)在如图所⽰的数轴上，画出⼀个你喜欢的⽆理数，并⽤点A表⽰；I ] 1 I 1 I I I I I ?⼀ 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4(2)(1)⼬所取点A表⽰的数字是次但，相反数是⼆2、也，绝对值是2、匡，倒数是乎，其到点5的距离是5_2萌;(3)取原点为0,表⽰数字1的点为B,将(1)⼬点A向左平移2个单位长度，再取其关于点B的对称点C,求C0的长.【⼝主解答】解:(3)将点A向左平移2个单位长度，得到点A，,则点A表⽰的数字为2^2-2,其关于点B 的对称点为C,点B表⽰的数字为1,点C表⽰的数字为2X1-(2^2-2)=4-2^2.72^/2^2X1.414=2. 828<4,0) = 4-2返【变式训练1】(2018 ?⽯家庄裕华区⼀模)如果点A, B在数轴上表⽰的数的绝对值相等，且AB=4,那么点A表⽰的数是(B) A BI [ 4 1 [ [ J | ?A.-3B. —2C. -1D. 3【变式训练2】(2017 ?邯郸⼀模)数轴上点A, B表⽰的数分别是a, b,则点A, B之间的距离为(D)A. a + b B- a~b C. | a+b | D. | a—b⽅法指导1.求⼀个数的相反数，直接在这个数前⾯加上负号，并化简.1h q2.⾮零整数at的倒数为⼆0没有倒数，分数三的倒数是=a a b3.⾮负数的绝对值是它本⾝，负数的绝对值是它的相反数.4.⼀个数的绝对值就是在数轴上表⽰这个数的点到原点的距离. 重难点2科学记数法(2018 ?保定⼆模)2017年11⽉21 0, 2017国际产能合作论坛在北京国家会议中⼼举⾏，会上指出，未来15年，中国市场预计将进⼝24万亿美元商品，吸收2万亿美元境外直接投资，対外投资总额将达到2万亿美元.数据“24万亿”⽤科学记数法表⽰为(B)A.2.4X1012B. 2.4X1013C. 2.4X10*D. 2.4X10'【变式训练3】(2018 ?唐⼭路北区⼆模)将0. 000 007 7⽤科学记数法表⽰为(D)A.7. 7X10-5B. 77X10 "C. 77X10-5D. 7. 7X10 "【变式训练4】(2018 ?河北模拟)若⼀个数⽤科学记数法表⽰为5.8X10%则这个数为(C)A.5 800B. 58 000C. 580 000D. 5 800 0001.a值的确定：0是整数位数只有⼀位的数，即1 Wa<10.2.n值的确定：(1)对于⼀个⼤于10的数，n是正整数，n等于原数的整数位数减去1；(2)对于⼀个⼤于0且⼩于1的数，n是负整数，n等于原数左起第⼀个⾮零数前所有零(包括⼩数点前的零)的个数的相反数.重难点3平⽅根、算术平⽅根、⽴⽅根13(2018 ?河北模拟)下列说法正确的是(C)A.护⽍的相反数是⼀2B. a的⽴⽅根是⼟饭C. -5是25的平⽅根D.伍的算术平⽅根是4【变式训练5】(2018 ?恩施改编)(1)64的平⽅根为⼟&算术平⽅根为&⽴⽅根为也(2)0. 001的⽴⽅根为乞丄；(3)-0. 027的⽴⽅根为⼀0.3；(4⽿的⽴⽅根为寺⑸ -【变式训练6] (2018 ?河北中考预测)若⼀个正数的平⽅根为2a-3和5-a,则a=^2.易错提⽰|注意平⽅根、算术平⽅根、⽴⽅根的区别.重难点4实数的运算m (2018 ?通辽)计算：-|4-V12|-(n-3. 14)°+(l-cos30°)X (|)-2.【⾃主解答】解：原式=—(4 —2⼨^) —1+(1 -￥)X4=—4 + 2萌—1+4 —2仗=⼀1.【变式训练7] (2018?⽯家庄桥西区⼀模)下列计算错误的是(C)A.2⼻⼀2⼀2 = 2B.^/2X^X20=23,----------C.⼨2 + 2 + 2 = 2D. 2_1X2 + 2°=2【变式训练8】(2017 ?⽯家庄长安区质量检测)⼩明早晨跑步，他从⾃⼰家出发，向东跑了2 km到达⼩彬家，继续向东跑了1. 5 km到达⼩红家，然后⼜向西跑了4. 5 km到达学校, 最后⼜向东跑回到⾃⼰家.C A B1I 占I I 占 1.1 I .-3 -2 -1012 3 4 5(1)以⼩明家为原点，以向东为正⽅向，⽤1个单位长度表⽰lkm,在如图所⽰的数轴上，分别⽤点A表⽰出⼩彬家、⽤点B表⽰出⼩红家、⽤点C表⽰出学校的位置；(2)求⼩彬家与学校之间的距离；(3)如果⼩明跑步的速度是250 m/min,那么⼩明跑步⼀共⽤了多长时间？解：⑴如图.(2)⼩彬家与学校的距离是2-(-1) =3 (km).(3)⼩明⼀共跑了2 + 1. 5 + 4. 5 + 1 =9(km).⼩明跑步⼀共⽤的时间是9 0004-250 = 36 (min)?⽅法指导I实数的运算关键是依据正确运算顺序解答,另外还要熟记有关的运算性质?如：⑴⼋⼸訝0, p为正整数)；⑵吐1(申⼋⑶T的奇次幕为-1,偶次幕为1.—裸后…□基础过关I1.(2018 ?重庆B卷)下列四个数中，是正整数的是(D)1A.⼀1B. 0C.-D. 1n l ?22 r-2.(2018 ?巴中)下列各数：y, 0,的，0. 23, cos60° , y, 0. 030 030 003-, 1 ⼀德，其中⽆理数的个数为(B)A. 2B. 3C. 4D. 53.(2018 ?河北模拟)在—(—4), (⼀2严，⼁⼀6|,"中,结果为负数的有(A)A.1个B. 2个C. 3个D. 4个4.(2018 ?⽯家庄⼗⼋县⼤联考)⼀个数和它的倒数相等，则这个数是(C)A. 1B. -1C. ±1D. ±1 和05.(2018 ?⽯家庄新华区⼆模)关于字母a所表⽰的数，下列说法正确的是(B)A. a—定是正数B. a的相反数是⼀aC.。

河北省2019届中考数学复习第25讲与圆相关的计算含答案

第25讲与圆相关的计算︵( C ) 的长为ABP＝60°，则是⊙如图，PA，PBO的切线，切点分别为A，B，若OA＝2，∠．1(2016·长春)542 ππ C.π D.A.π B．333AC＝60°，则劣弧O(2016·河北模拟)如图，四边形ABCD是⊙的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC2．( B )的长为 6ππ2 B．4π C．5πD．A．( B ) ，则它的内切圆的半径为3．(2016·南京)已知正六边形的边长为22A．2 1 B.3 C． D．3的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角以半径为14．(2016·泸州)( D ) 形的面积是2323 D.C.A. B. 8484( A )AB90°，连接，则图中阴影部分的面积是5．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为4π－π－2 D．442 BA．π－．π－4 C．2，且，其中OA的长度为6 cmπ．(2016·河北模拟)如图，水平地面上有一面积为30 cm的灰色扇形OAB6点2所示，则OOA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图( A )移动了2 图图1cm π1110A．π cm B．3)cm＋π(11．3)cm D2＋π(10．C．O点移动的距离其实就是优弧AB的长．提示：°，若∠A＝70AB，AC分别相交于点D，E.BC7．(2016·张家口模拟)如图，以为直径的⊙O与△ABC的边7 ，则图中阴影部分图形的面积和为π．BC＝218＝140°，提示：∠DOB ＋∠EOC7140.1＝π∴阴影部分图形的面积和为×π×18360忽略为半径的扇形(的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB8．(2016·巴中)如图，将边长为3 18．．则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为铁丝的粗细)1 求解．提示：利用公式S＝lr扇形2，，B(－21)ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，)9．(2016·张家界如图，已知：△ 1个单位长度)．C(1，1)(正方形网格中每个小正方形的边长是 2)；的坐标是逆时针旋转90度得到的，B(1，－绕点B(1)△AC是△ABCC1111 )．求出线段AC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π(2)为半径的扇形的面积．AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，AC解：线段2π5·（·π5）9022旋转过程中所扫过的面积为＝，∴线段AC.＝∵AC＝2＋15360410．(2016·昆明)如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A ＝30°，连( D )，下列结论不正确的是BC，OC，AD接．是等边三角形．△COBA．EF∥CD B︵3 πDG D.CB的长为C．CG＝2︵3π××60.＝π提示：CB的长为180︵上，点OB在的顶点C是AB的中点，点D·深圳11．(2016)如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF( A ) 2OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为时，则阴影部分的面积为2E在4－4π－8 D．π2．π－4 B．4π－8 C．2A的边长为．264如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为，则⊙O的内接正三角形EFG(201612．·威海)，CD＝O于D，F两点，且作OA如图，在⊙O中，半径⊥OB，过OA的中点CFD∥OB交⊙·13．(2016新疆)︵于E点．为圆心，OC为半径作CE，交OB以O OA的长；O(1)求⊙的半径 (2)计算阴影部分的面积．OD.(1)连接解：. °，∴∠AOB＝90OA∵⊥OB.90OCD＝°∵CD∥OB，∴∠，＝是AO中点，CD3CRt在△OCD中，∵2CO.OD＝∴2221. (2x)，解得x＝＝＋，∴＝设OCxx(3)2.的半径为O，即⊙2＝OD∴．1CO.，∴∠°CDO＝＝30CDO(2)∵sin∠＝2OD.30°＝OB，∴∠DOB＝∠ODC∵FD∥22π31×290π×130π×3＋－＝＋.SS＝S＋S－＝×1∴OCE阴影扇形△CDO扇形OBD236036021214．归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习．(1)如图1，已知正△ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是2πR．图1(2)如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是2πR．图2(3)猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少(R为正多边形的半径，可参看图3)？请说明理由．图3(4)进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值(R为多边形外接圆的半径)？为什么？请以任意三角形为例说明(如图4)．图4通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．120πR解：(1)当正△ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，所以其中心O经过的路程为×1803＝2πR.90πR(2)中心O经过的路程为×4＝2πR.180(3)2πR.理由如下：当正n边形向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是n条等弧，这些弧的半径为R，所360°对的圆心角为，n360πR∴中心O经过的路程为××n＝2πR.n180(4)是定值2πR，以任意三角形为例说明如下：如图4，在△ABC中，设∠A＝α，∠B＝β，∠C＝γ，△ABC的外接圆⊙O的半径为R，把△ABC沿直线l向右翻滚一周时，其外心O经过的路线是三条弧，当AC边与直线l重合时，C 与C′重合，A与A′重合，B与B′重合，连接CO，C′O′，则∠ACO＝∠A′C′O′，所以∠OCO′＝∠ACA′＝180°－γ，（180－γ）πR（180－α）πR（180－β）πR∴l＝，同理，另两条弧长分别为，，180180180∴外心O所经过的路程为2πR.R.π2结论：任何多边形都有一个外接圈，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程为。

(河北专版)2019年中考数学一轮复习第七章与圆有关的知识 7.2 与圆有关的位置关系及有关计算(试卷部分

180 1 8
②如图2,半圆M与BO切于点S时,连接QO,MO,SM.
图2
由对称性,同理得 B ︵Q的长= .
18
由l= 4 ,得 A︵的P 长= 4 - = 2 3.
3
3 18 18
综上, A︵ P的长为或 2 3. (10分)
18 18
︵
︵
︵
思路分析发现先确定 P Q的长度,进而求出与A P 的Q B长之和.
思考当PQ∥AB时,M与AB的距离最大,此时,∠AOP=60°,AP=2;当Q与B重合时,M与AB的距离
最小.
探究当半圆M与AB相切时,分以下两种情况讨论:当切点在线段OA上,当切点在线段OB上,然后分别求出 A︵ P的长.
评析本题是运动型问题,涉及最值、分类讨论思想,解决本题的关键是将半圆放在合适的位置上.要注意半圆M与AB相切时有两种情况,左侧相切和右侧相切是对称的,结合图形,根据cos
使点B在O右下方,且tan∠AOB= 4 .在优弧 A︵ B 上任取一点P,且能过P作直线l∥OB交数轴于
3
点Q,设Q在数轴上对应的数为x,连接OP. (1)若优弧 A︵ B上一段 A的︵ P 长为13π,求∠AOP的度数及x的值; (2)求x的最小值,并指出此时直线l与 A︵所B 在圆的位置关系; (3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值.
解析 (1)证明:连接OQ. (1分) ∵AP,BQ分别与优弧CD相切,∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,即∠APO=∠Q=90°. 又OA=OB,OP=OQ,∴Rt△APO≌Rt△BQO. (3分) ∴AP=BQ. (4分)
(2)∵BQ=4 ,3OB= 1 AB=8,∠Q=90°,
2
∴sin∠BOQ= 3 .∴∠BOQ=60°. (5分)

(完整版)2019年河北省中考数学试卷及答案

A．甲的思路错，他的 n 值对 B．乙的思路和他的 n 值都对 C．甲和丙的 n 值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11 分，17 小题 3 分：18～19 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上） 17．（3 分）若 7﹣2×7﹣1×70＝7p,则 p 的值为． 18．(4 分）如图，约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
24．（10 分）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为 2v(m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），排头与 O 的距离为 S 头（m）．
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(完整版)2019 年河北省中考数学试卷及答案(word 版可编辑修改)
又拿先拿
23．（9 分）如图，△ABC 和△ADE 中，AB＝AD＝6,BC＝DE,∠B＝∠D＝30°，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧,I 为△APC 的内心． (1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2)设 AP＝x，请用含 x 的式子表示 PD,并求 PD 的最大值；（3)当 AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出 m，n 的值．
A．点 M
B．点 N
C．点 P
D．点 Q
13．（2 分）如图,若 x 为正整数，则表示
﹣ 的值的点落在（）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
14．（2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主＝x2+2x，S 左＝x2+x，则 S 俯＝( ）

河北省2019年中考数学第7章圆第3节正多边形与圆有关的计算精讲试题

第三节正多边形与圆有关的计算利用三角函数其中求扇形面积在填空题中考查,河北五年中考真题及模拟)扇形的相关计算1．(2019河北中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠C ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为( D )A ．4πB ．2πC ．π D.2π3(第1题图) (第2题图)2．(2019石家庄二十八中三模)已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为( C )A ．πB ．4πC ．π或4πD ．2π或4π3．(2019石家庄十二中一模)如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( B )A.2π3－32B.2π3－ 3 C ．π－32D ．π－ 3 (第3题图) (第4题图)4．(2019河北中考)如图，将长为8 cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2 cm 的扇形．则S扇形＝__4__cm 2.5．(2019保定中考模拟)如图，四边形OABC 为菱形，点B ，C 在以点O 为圆心的EF ︵上，若OA ＝3，∠1＝∠2，则扇形OEF 的面积为__3π__．6．(2019保定十七中一模)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC ＝2，∠ABC ＝30°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.求：(1)BC ，AD 的长；(2)图中两阴影部分面积的和．解：(1)在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，AC ＝2，∴AB ＝4，∴BC ＝AB 2－AC 2＝2 3.∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠DCA ＝∠BCD，∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD ，∴在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝22AB ＝22； (2)连接OC ，OD.∵∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝60°.∵OA ＝OB ，∴S △AOC ＝12S △ABC ＝12×12×AC ·BC ＝12×12×2×23＝ 3.由(1)，得∠AOD＝90°，∴∠COD ＝150°，S △AOD ＝12×AO ×OD ＝12×22＝2，∴S 阴影＝S 扇形COD －S △AOC －S △AOD ＝150π×22360－3－2＝53π－3－2.7．(2019河北中考)如图，AB ＝16，O 为AB 中点，点C 在线段OB 上(不与点O ，B 重合)，将OC 绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD ，AP ，BQ 分别切优弧CD ︵于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP.(1)求证：AP ＝BQ ；(2)当BQ ＝43时，求优弧QD ︵的长；(结果保留π)(3)若△AP O 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围．解：(1)连接OQ.∵AP ，BQ 是⊙O 的切线， ∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ.∴∠APO ＝∠BQO＝90°， ∴Rt △APO ≌Rt △BQO ， ∴AP ＝BQ ；(2)∵Rt △APO ≌Rt △BQO ， ∴∠AOP ＝∠BOQ， ∴P ，O ，Q 三点共线．∵在Rt △BOQ 中，cosB ＝QB OB ＝438＝32，∴∠B ＝30°，∠BOQ ＝60°，∴OQ ＝12OB ＝4.∵∠COD ＝90°，∴∠QOD＝90°＋60°＝150°，∴优弧QD ︵的长＝210·π·4180＝143π；(3)∵△APO 的外心是OA 的中点，OA ＝8，∴△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OC 的取值范围为4＜OC ＜8.圆锥的相关计算8．(2019邯郸二模)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8 m ，母线AB 与底面半径OB 的夹角为α，tan α＝43，则圆锥的底面积是__36π__m 2.(结果保留π),中考考点清单)圆的弧长及扇形面积公式如果圆的半径是R ，弧所对的圆心角度数是n ，那么如果正1．牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等面积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．2．圆锥的侧面问题转化为平面问题，如最短路线问题．,中考重难点突破)弧长与扇形面积【例1】(1)(苏州中考)如图，AB 切⊙O 于点B ，O A ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC∥OA，劣弧BC 的弧长为________．(结果保留π)[例1(1)题图][例1(2)题图](2)(邯郸二模)如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形(阴影部分)图案，则树叶形图案的周长为( B )A ．πaB ．2πa C.12πa D ．3a【解析】(1)连接OC ，OB ，设法求半径OB 及∠BOC 即可；(2)阴影部分的周长为AC ︵的长的2倍．【答案】(1)13π；(2)A1．(2019苏州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC ＝3，∠BOC ＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__12__．圆锥的侧面积与全面积【例2】(2019绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB ＝8 cm ，圆柱体部分的高BC ＝6 cm ，圆锥体部分的高CD ＝3 cm ，则这个陀螺的表面积是( )A ．68π cm 2B ．74π cm 2C ．84π cm 2D ．100π cm 2【解析】∵底面圆的直径为8 cm ，高为 3 cm ，∴母线长为 5 cm ，∴其表面积＝π×4×5＋42×π＋8π×6＝84π cm 2.【答案】C2．(2019达州中考)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( A )A.22B.32C. 2D. 3 3．(2019石家庄四十三中中考模拟)如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S 阴影S 空白＝( C )A ．3B ．4C ．5D ．6(第3题图) (第4题图) 4．(2019广州中考)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l＝5，底面半径为6 cm，则这个圆锥的侧面积是__60π__cm2.(结果保留π) 6．(巴中中考)如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)．则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为__18__．教后反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，AB，AC均为⊙O的切线，切点分别为B，C，点D是优弧BC上一点，则下列关系式中，一定成立的是（）A．∠A+∠D＝180°B．∠A+2∠D＝180°C．∠B+∠C＝270°D．∠B+2∠C＝270°2．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A、B两点，则不等式kx+4＜0的解集是（）A.x＜﹣3B.x＞﹣3C.x＜﹣6D.x＞﹣63．下列说法正确的是（）A.了解全国中学生最喜爱哪位歌手，适合全面调查．B.甲乙两种麦种，连续3年的平均亩产量相同，它们的方差为：S甲2＝5，S乙2＝0.5，则甲麦种产量比较稳．C.某次朗读比赛中预设半数晋级，某同学想知道自己是否晋级，除知道自己的成绩外，还需要知道平均成绩．D.一组数据：3，2，5，5，4，6的众数是5．4．用百度搜索关键词“北京大学”，百度找到相关结果约39700000个，把数据39700000用科学记数法表示为( )A．3.97×105B．39.7×108C．3.97×107D．3.97×1095．如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走52米到点D处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：2.4．大楼AB的高度约为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A ．32米B ．35米C ．36米D ．40米6．民间剪纸是中国古老的传统民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A ．B ．C ．D ．7．下列运算正确的是（） A ．236a a a ⋅= B ．22423a a a += C ．236(2)2a a -=-D ．422()a a a ÷-=8．如图，是由几个大小相同的小立方体搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A ．B ．C ．D ．9．将抛物线23y x =-平移，得到抛物线23(1)2y x =---，下列平移方式中，正确的是（）A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位10．如图是一个大正方体切去一个小正方体形成的几何体，它的左视图是( )A. B. C. D.11．如图, 甲乙两城市相距600千米,一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市,已知货车出发1小时后客车再出发,先到终点的车辆原地休息,在汽车行驶过程中,设两车之间的距离为s (千米),客车出发的时间为t (小时),它们之间的关系如图所示,则下列结论：①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米.正确的有（）A．1B．2C．3D．412．如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；按B3此规律作下去，则点B n的坐标为（）A．（2n，2n﹣1）B．（2n，2n+1）C．（2n+1，2n）D．（2n﹣1，2n）二、填空题13．已知反比例函数5yx=，当2x<-时，y的取值范围是____．14．某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件x天，乙种零件y 天，则根据题意列二元一次方程组是__．15_____16．某校901班共有50名同学，如图是该次体育模拟测试成绩的频数分布直方图(满分为30分，成绩均为整数)，则测试成绩的中位数所在的组别是____．17．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________．18．将y ＝2x 2的图象沿y 轴向下平移3个单位，则得到的新图象所对应的函数表达式为_____．三、解答题19．如图，已知抛物线y=ax 2+85x+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A(2，0)，C(0，-4)，直线l ：y=-12x-4与x 轴交于点D ，点P 是抛物线y=ax 2+85x+c 上的一动点，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，交直线l 于F ．(1)试求该抛物线表达式；(2)如图(1)，若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标； (3)如图(2)，连接AC ．求证：△ACD 是直角三角形．20．为了传承中华优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校1200名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖．赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中100名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 73 75 75 75 75 76 76 76 76 76 76 76 76 77 77 78 78 78 79 79请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数是；（4）若这次比赛成绩在78分以上（含78分）的学生获得优胜奖，则该校参加这次比赛的1200名学生中获优胜奖的约有多少人？21．某体育用品商店购进了足球和排球共20个，一共花了1360元，进价和售价如表：（l）购进足球和排球各多少个？（2）全部销售完后商店共获利润多少元？22．如图，抛物线y＝ax2+32x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．23．如图,在小正方形的边长均为1的方格纸中点A、B、C均在格点上；(1)在图1中画出凸四边形ABCD,使四边形ABCD是轴对称图形,点D在格点上；(2)在图2中画出凸四边形ABCE,点E在格点上,∠AEC=90°,EC>EA，直接写出四边形ABCE的周长_____.24．在6×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上（1）在图中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点，连接DE，并直接写出∠BED的度数．25．如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．50 2y-<<14．15．16．第4组17．618．y＝2x2﹣3．三、解答题19．(1)y=15x2+85x-4；(2)P点的坐标为(-8，-4)，(-2.5，-274)；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求a、c的值，从而求得抛物线的表达式;（2）设P点的坐标是（x，15x2+85x-4），则F（x，-12x-4），由OCPF是平行四边形得OC=FP,OC∥PF，从而-15x2-2110x=4，求解即可得P的横坐标，代入解析式即可得P的坐标．（3）分别求出点A、C、D的坐标，可以根据勾股定理的逆定理即可判断【详解】(1)依题意，抛物线经过A(2，0)，C(0，-4)，则c=-4将点A代入得0=4a+85×2-4，解得a=15抛物线的解析式是y=15x2+85x-4(2)设P点的坐标是(x，15x2+85x-4)，则F(x，-12x-4)∴PF=(-12x-4)-(15x2+85x-4)=-15x2-2110x∵四边形OCPF是平行四边形∴OC=FP，OC∥PF∴-15x2-2110x=4即2x2+21x+40=0解得x1=-8 x2=-2.5∴P点的坐标为(-8，-4)，(-2.5，-274)(3)当y=0时，-12x-4=0，得x=-8，即D(-8，0)当x=0时，0-4=y，即C(0，-4)当y=0时，15x2+85x-4=0解得x1=-10 x2=2，即B(-10，0)，A(2，0) ∴AD=10∵AC2=22+42=20CD2=82+42=80∴AD2=AC2+CD2∴∠ACD=90°△ACD是直角三角形【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．20．（1）20，0.3；（2）详见解析；（3）75；（4）480（人）．【解析】【分析】（1）根据频数、频率以及总数之间的关系即可求出a和b；（2）根据（1）求出a的值直接补全统计图即可；（3）根据中位数的定义直接解答即可；（4）用总人数乘以在这次比赛中获优胜奖的人数所占的百分比即可得出答案．【详解】解：（1）a＝100×0.2＝20（分），30÷100＝0.3；故答案为：20，0.3；（2）根据（1）求出a的值，补图如下：（3）把这些数从小到大排列，中位数是第50、51个数的平均数，则中位数落在70≤x＜80这组，中位数是75；故答案为：75；（4）样本中成绩在78分以上的人数为40人，占样本人数的40%，获优胜奖的人数约为1200×40%＝480（人）．【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数、由样本估计总体等知识，解题的关键是掌握基本概念，熟练应用所学知识解决问题．21．（1）购进足球12个，购进排球8个；（2）若全部销售完，商店共获利260元．【解析】【分析】（1）根据题意设购进足球x个，排球y个，列出方程组，即可解答（2）由题（1）可直接用足球排球的个数乘以各自的销售利润，即可解答【详解】（1）设购进足球x个，排球y个，由题意得；2080501360x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：128x y =⎧⎨=⎩答：购进足球12个，购进排球8个．（2）若全部销售完，商店共获利：12（95﹣80）+8（60﹣50）＝180+80＝260（元）答：若全部销售完，商店共获利260元．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，利用方程组计算出足球排球的数量是解题关键 22．（1）y ＝﹣12x 2+32x+2（2）（32，4）或（32，52）或（32，﹣52）（3）（2，1）【解析】【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP ＝CD 时，②当DP ＝DC 时，分别求出点P 坐标即可．（3）如图2中，作CM ⊥EF 于M ，设2113,2,2222E a a F a a a ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，），则2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，（0≤a≤4），根据S 四边形CDBF ＝S △BCD +S △CEF +S △BEF111,222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）由题意3022,a c c ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 解得122.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴二次函数的解析式为213222y x x =-++．（2）存在．如图1中，∵C （0，2），3,0,2D ⎛⎫⎪⎝⎭∴CD 5.2=当CP ＝CD 时，13,42P ⎛⎫⎪⎝⎭，当DP ＝DC 时， 233535,,,.2222P P ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，满足条件的点P 坐标为3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,.22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）如图2中，作CM ⊥EF 于M ，∵B （4，0），C （0，2），∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设2113,2,2222E a a F a a a ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，），∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，（0≤a≤4）， ∵S 四边形CDBF ＝S △BCD +S △CEF +S △BEF 111,222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ ()225111124222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 254,2a a =-++()21322a =--+，∴a＝2时，四边形CDBF的面积最大，最大值为132，∴E（2，1）．【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．23．（1）如图所示，见解析；（2）如图所示，周长为6+【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质画出图形即可;(2)画出四边形 ABCDE,再求出其周长即可.【详解】（1）如图所示，（2）如图所示，四边形ABCE的周长为6+【点睛】此题考查作图-轴对称变换，掌握作图法则是解题关键24．（1）见解析；（2）图见解析，∠BED＝45°.【解析】【分析】（1）将线段AC沿着CB方向平移3个单位，即可得到线段BD；（2）利用1×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【详解】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠BED＝45°．【点睛】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．25．（1）12.6（cm）．（2）能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．【解析】【分析】（1）由题意CD＝CH，利用勾股定理求出CH即可．（2）如图2中，作EK⊥PC于K．解直角三角形求出CK，PK，DN即可判断．【详解】解：（1）由题意CD＝CH，在Rt△ACH中，CH≈12.2（cm）．∴CD＝CH＝12.6（cm）．（2）如图2中，作EK⊥PC于K．在Rt△ECK中，EK＝EC•sin53°≈4（cm），CK＝EC•cos53°≈3（cm），在Rt△EPK中，PK cm），∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.6﹣3﹣4.48﹣2＝3.12＞2.5，∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样.规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）.某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额超过30元的概率为（） A.12B.13C.23D.142．ABCD □周长为8厘米，点Q 是边AB 上一点，且1AQ =厘米，动点P 从点A 出发，沿折线A D C --运动.设动点P 运动的长度为x 厘米，线段AP 、AQ 、PQ 所围成图形的面积为y 平方厘米，作出y 与x 之间的函数图像如图所示.根据图像可以判定点P 运动所在的图形是（）A. B.C. D.3．关于反比例函数y ＝﹣，下列说法中正确的是（） A.它的图象位于一、三象限 B.它的图象过点（﹣1，﹣3） C.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D.当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 4．如果，.那么代数式的值是（） A.-1B.1C.-3D.35．如图，等边三角形ABC ，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），则点A 的坐标为（）A．（2，3）B．（2，）C．（，2）D．（2，6．△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．以点C为圆心、5为半径作圆C，则圆C与直线AB的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定7．某市冬季里某一天的气温为﹣8℃～2℃，则这一天的温差是（）A．6℃B．﹣6℃C．10℃D．﹣10℃8．观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（）A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.199．如图所示，□ABCD中，EF过对角线的交点O，如果AB=6cm，AD=5cm，OF=2cm，那么四边形BCEF的周长为（）A．13cm B．15cm C．11cm D．9.5cm10．将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=60°，则∠2为（）A．150°B．120°C．100°D．60°11．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是( )A．25B．13C．415D．1512．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．15，14 B．15，13 C．14，14 D．13，14二、填空题13．如图，线段BD、CE相交于点A，DE∥BC．如果AB＝4，AD＝2，DE＝1.5，那么BC的长为_____．14．三角形三边长分别为4，a，7，则a的取值范围是______________15．如图，已知AD∥BC，要使四边形 ABCD 为平行四边形，需要添加的一个条件是：____．(填一个你认为正确的条件即可，不再添加任何线段与字母)16．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则cosD＝________.17．如图，AB为弓形AB的弦，AB＝，弓形所在圆⊙O的半径为2，点P为弧AB上动点，点I为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为_____．18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，且BC=6，AB=3，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点E，点G是BC上一点，E为线段BG的中点，DG⊥BC于点G，交AC于点F，则FG的长为_____.三、解答题19．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐，cosα的值逐渐，tanα的值逐渐．（2）sin30°＝cos ，sin ＝cos60°；（3）sin230°+cos230°＝；（4）sin30tancos 30︒︒=；（5）若sinα＝cosα，则锐角α＝．20．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示每千克的销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．（3）当0≤x≤90时，销售该产品获得的利润与产量的关系式是；当90≤x≤130时，销售该产品获得的利润与产量的关系式是；总之，当产量为 kg时，获得的利润最大，最大利润是．21．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．求证：AE⊥BF．22．每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中．（1）写出图中从原点O出发，按箭头所指方向先后经过的A、B、C、D、E这几个点点的坐标；（2）按图中所示规律，找到下一个点F的位置并写出它的坐标．23．如图，正方形ABCD与正三角形ADE边长相等，点O是线段AB的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（无需写画法，但要保留P作图痕迹）．（1）在图①中，画出线段CD的中点P；（2）在图②中，画出线段BC的中点Q．24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D．(1)在图(1)中，用直尺和圆规过点D作⊙O的切线DE交BC于点E；(保留作图痕迹，不写作法)(2)如图(2)，如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．25．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，求证：BE＝DC．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．314．3<a<1115．AD=BC,AB∥DC, ∠A=∠C, ∠B=∠D等16．1 317．4π318三、解答题19．填表见解析；（1）增大，减少，增大．60゜，30゜；（2）1；（3）30°；（4）45°．【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值填写即可；（1）根据锐角三角函数的增减性，同角三角函数的关系填写；（2）根据两个角互余，则sinα=cosβ，cosα=sinβ填写。

河北省邢台市2019年中考数学二轮模块复习与圆有关的计算练习

与圆有关的计算与圆有关的计算在近7年河北中考中考查5次，选择题、填空题、解答题均有考查。

本节常考的知识点有：（1）扇形的相关计算；（2）圆锥的相关计算一、选择题例题精讲1. （2016黄石中考）在长方形ABCD 中，AB = 16，如图所示，裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥(AB 和AE 重合)，则此圆锥的底面圆半径为 ( )A ．4B ．16C ．24D ．8【答案】A【解析】设所围圆锥的底面半径为r ，则r ππ21801690=⨯，∴r = 4，故选择A ． 2. （宜昌中考）如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ．下列说法错误的是（） A ．圆形铁片的半径是4cm B ．四边形AOBC 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcm D ．扇形OAB 的面积是4πcm ²【答案】C【解析】∵圆形铁片与直尺和三角形的直角边都有唯一的公共点，∴圆与直尺和三角形的直角边均相切.∴OB ⊥BC ，OA ⊥AC ，又∠BCA ＝90°，∴四边形OACB 为矩形，又OA ＝OB ，∴四边形OACB 为正方形.∴圆形铁片的半径等于正方形的边长，为14－10＝4cm ；因此A 、B正确；利用弧长公式可计BC算弧AB 的长为9042180ππ⨯⨯=cm ，扇形OAB 的面积是29044360ππ⨯⨯=cm ²，故C 选项错误,D 正确.故选C . 针对性训练1. 已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80 cm ，则这块扇形铁皮的半径是( ) A ．24 cmB ．48 cmC ．96 cmD ．192 cm2. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A ．2015πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π3.如图，AB 为⊙O的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A ＝30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A ．43π B ．43π-C ．πD ．23π4. 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上．水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8 cm ，水的最大深度是2 cm ，则杯底有水部分的面积是（） A ．2)34316(cm -πB ．2)38316(cm -πC ．2)3438(cm -πD ．2)3234(cm -π5. 若用一张直径为20cm 的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（）cmcm D.10cm 答案1-5 B DAAA (二)、填空题例题精讲1. (龙东中考)如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC (A 、B 、C 三点在⊙O 上)，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是__________米．【答案】42 【解析】方法1：如图1，连接OB ，OC ，∵∠BAC ＝90°，∴∠BOC ＝180°，∴点B ，O ，C 在同一条直线上，∴BC 是⊙O 直径，∵⊙O 的直径为2米，∴BC ＝2米，在Rt △ABC 中，由勾股定理得222AB AC BC +=，∵AB ＝AC ，∴2AC 2＝22， ∴AC，∴圆锥的底面圆的÷(2π)．CBACBA图1图22.(大庆中考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，将其放入平面直角坐标系中，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC 沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为．CBA【答案】12π+【解析】如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB==∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积2190111123602ππ⨯⨯=⨯⨯+=+.故答案为：π +．针对训练1. 一个扇形的半径为3cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为_______．2. 如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆形量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA＝2，则图中阴影部分的面积是____________．（结果保留π）3. （黄冈中考）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB＝120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为__________cm2．【答案】1—3题答案40°，43，108π（三）、解答题例题精讲1. (2016龙东中考)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(4，－4)，C(1，－1)．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标：____________．（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2．（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积(结果保留π)．解：（1）如图所示，A1坐标为(﹣2，﹣4)，故答案为 (﹣2，﹣4).（2）如图所示．（3）∵OCOB＝，∴△ABC 旋转时线段BC 扫过的面积=22229090360360BOB COC OB OC S S ππ⨯⨯=-扇形扇形﹣＝90(322)360π⨯-＝152π．2. （怀化中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2.（1）求作⊙O ，使它经过点A 、B 、C （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，求出劣弧BC 的长l.解：（1）如图所示.（2）因为AC ＝1，AB ＝2，∠ACB ＝90°，所以∠B ＝30°，∠A ＝60°，连接OC ，则∠BOC ＝120°，OC ＝OB ＝1，所以劣弧BC 的长l ＝12021803ππ=. 针对练习1. 如图，射线PA 切⊙O 于点A ，连接PO ．（1）在PO 的上方作射线PC ，使∠OPC =∠OPA （用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC 是⊙O 的切线；（2）在（1）的条件下，若PC 切⊙O 于点B ，AB =AP =4，求AB 的长．2.如图①，半径为R ，圆心角为n °的扇形面积是S 扇形＝2360n R p ．由弧长l ＝180n Rp ，得S 扇形＝2360n R p＝12180n R R p 创＝12lR ．通过观察，我们发现S 扇形＝12lR 类似于S 三角形＝12×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S 扇环，AB 的长为l 1，CD 的长为l 2，线段AD 的长为h (即两个同心圆半径R 与r 的差)．类比S 梯形＝12×（上底＋下底）×高，用含l 1，l 2，h 的代数式表示S 扇环，并证明．（2）用一段长为40m 的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD 的长h 为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？答案;1解：（1）作图如图所示．连接OA ，过O 作OB ⊥PC 于B ，∵PA 切⊙O 于点A ， ∴OA ⊥PA ，又∵∠OPC =∠OPA ，OB ⊥PC ，∴易知OA =OB ，即d =r ，∴PC 是⊙O 的切线；（2）∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，又∵AB =AP =4，∴△PAB 是等边三角形，∴∠APB =60°，∴∠AOB =120°，∠POA =60°．在Rt △AOP 中，tan60°=4OA ，∴OA∴AB l =1203180π⨯．2解：（1）121().2S l l h =+证法1：S 扇环＝S 扇形OAB －S 扇形OCD 2222()360360360n R n r n R r p p p=-=-12111()()()().218021801802n n R n r R r R r h l l h p p p =?-=??+ 证法2：S 扇环＝S 扇形OAB －S 扇形OCD 2212111()222180180n R n r l R l r p p =-=-C n ° OABl 1 l 2 Dh 图②ABO n ° R l 图①12111()()()().218021801802n n R n r R r R r h l l h p p p =?-=??+ （2）由l 1＋l 2+2h ＝40，得l 1＋l 2＝40－2h ． ∴S 扇环＝12×(l 1＋l 2)×h ＝12(40－2h ) h ＝－h 2＋20h ＝－(h －10)2＋100(0＜h ＜20)． ∴当h ＝10时，S 扇环的最大值为100m 2．∴当线段AD 的长为10m 时，花园的面积最大，最大面积为100m 2．。

河北省2019年中考数学专题9圆的有关计算证明与探究精讲试题

2019中考，每年都是原创题，并且出题解题策略解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线找到解题思路与方法．一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等．,重难点突破)圆内定理的应用【例1】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，且CD ＝24，点M 在⊙O 上，MD 经过圆心O ，连接MB.(1)若BE ＝8，求⊙O 的半径；(2)若∠DMB＝∠D，求线段OE 的长．【解析】(1)根据垂径定理求出DE 的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程即可求出半径；(2)根据∠DOE＝2∠DMB，得出∠DOE＝2∠D，根据AB⊥CD，求出∠D 的度数，根据锐角三角函数求出O E 的长．【答案】解：(1)设⊙O 的半径为x ，则OE ＝x －8. ∵CD ＝24，由垂径定理得DE ＝12.在Rt △ODE 中，∵OD 2＝DE 2＋OE 2，即x 2＝(x －8)2＋122，解得x ＝13. ∴⊙O 的半径为13；(2)∵∠DOE＝2∠DMB，∠DMB ＝∠D，∴∠DOE ＝2∠D.∵∠DOE＋∠D＝90°，∴∠D ＝30°. 在Rt △OED 中，∵DE ＝12，∠OED ＝90°，∴OE ＝DE·tan30°＝12×33＝4 3.1．如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.(1)弦长AB ＝________；(结果保留根号)(2)当∠D＝20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C ，O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．解：(1)23；(2)连接OA.∵OA＝OB ＝OD ，∴∠BAO ＝∠B＝30°，∠D ＝∠DAO＝20°， ∴∠DAB ＝∠BAO＋∠DAO＝50°， ∴∠BOD ＝2∠DAB＝100°； (3)∵∠B CO ＝∠DAC＋∠D， ∴∠BCO>∠DAC，∠BCO>∠D ，∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD ＝120°， ∴∠DAC ＝60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3.【方法指导】熟练掌握圆内的4个定理，根据图形的形状和位置选择合适的定理．圆外定理的应用【例2】(天水中考)如图，点D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)判断直线CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)过点B 作⊙O 的切线BE 交直线CD 于点E ，若AC ＝2，⊙O 的半径是3，求BE 的长．【解析】(1)连接OD ，根据圆周角定理求出∠DAB ＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC ，由切线长定理得出DE ＝EB ，在Rt △CBE 中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【答案】解：(1)直线CD 和⊙O 的位置关系是相切．理由：连接OD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠DBA＝90°. ∵∠CDA ＝∠CBD，∴∠DAB ＋∠CDA＝90°. ∵OD ＝OA ，∴∠DAB ＝∠ADO ，∴∠CDA ＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE， ∴直线CD 是⊙O 的切线，即直线CD 和⊙O 的位置关系是相切；(2)∵AC＝2，⊙O 的半径是3，∴OC ＝2＋3＝5，OD ＝3. 在Rt △CDO 中，由勾股定理得CD ＝4. ∵CE 切⊙O 于点D ，EB 切⊙O 于点B ， ∴DE ＝EB ，∠CBE ＝90°. 设DE ＝EB ＝x ，在Rt △CBE 中，由勾股定理，得CE 2＝BE 2＋BC 2，则(4＋x )2＝x 2＋(5＋3)2，解得x ＝6，即BE ＝6.2．(毕节中考)如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于点F ，AC ＝FC.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)已知圆的半径R ＝5，EF ＝3，求DF 的长．解：(1)连接AE ，AO.∵BE 为直径，∴∠BAE ＝90°. ∵BD ︵＝ED ︵，∴∠BAD ＝∠EAD＝45°， ∴∠AFC ＝∠B＋45°， ∴∠CAF ＝∠EAC＋45°.∵AC ＝FC ，∴∠AFC ＝∠CAF，∴∠B ＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B ＝∠EAC. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B，∴∠EAC ＝∠OAB，∴∠OAC ＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°， ∴AC ⊥OA ，∴AC 为⊙O 的切线；(2)连接OD.∵BD ︵＝DE ︵， ∴∠BOD ＝∠DOE＝90°.在Rt △OFD 中，OF ＝5－3＝2，OD ＝5，∴DF ＝OF 2＋OD 2＝29. 【方法指导】掌握圆外3个定理和2个定义，了解一种证明方法，熟练应用6条辅助线解题．圆中的计算【例3】(2019枣庄中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F.(1)试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若BD ＝23，BF ＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)连接OD ，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC 是圆的切线；(2)在Rt △BOD 中，设OF ＝OD ＝x ，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，用Rt △ODB 的面积减去扇形DOF 的面积即可确定出阴影部分面积．【答案】解：(1)BC 与⊙O 相切．证明：连接OD.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵OD＝OA ，∴∠OAD ＝∠ODA，∴∠CAD ＝∠ODA，∴OD ∥AC ， ∴∠ODB ＝∠C＝90°，即OD⊥BC. 又∵BC 过半径OD 的外端点D ， ∴BC 与⊙O 相切；(2)设OF ＝OD ＝x ，则OB ＝OF ＋BF ＝x ＋2，在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OB 2＝OD 2＋BD 2，即(x ＋2)2＝x 2＋12，解得：x ＝2，即OD ＝OF ＝2，∴OB ＝2＋2＝4.∵Rt △ODB 中，OD ＝12OB ，∴∠B ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∴S 扇形DOF ＝60π×4360＝2π3，∴S 阴影＝S △ODB －S 扇形DOF ＝12×2×23－2π3＝23－2π3.故阴影部分的面积为23－2π3.3．(2019襄阳中考)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，∠BAC ＝∠DAC，过点C 作直线EF⊥AD，交AD 的延长线于点E ，连接BC.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l. 解：(1)连接OC.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA. 又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC ＝∠OCA，∴AD ∥OC. ∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥OC ， ∴EF 是⊙O 的切线； (2)连接OD ，DC.∵∠DAC ＝12∠DOC ，∠OAC ＝12∠BOC ，∵∠DAC ＝∠OAC.∴∠DOC ＝∠BOC，∴DC ＝BC.∵ED ＝1，DC ＝BC ＝2，∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12，∴∠ECD ＝30°，∴∠OCD ＝60°. ∵OC ＝OD ，∴△DOC 是等边三角形， ∴∠BOC ＝∠COD＝60°，OC ＝2，∴l ＝60π×2180＝2π3.【方法指导】熟练应用5个公式，关注与前面知识的综合应用．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A ．8x 2 y 3＝2x 2⋅4 y 3B ．（ x+1）（ x ﹣1）＝x 2﹣1C ．3x ﹣3y ﹣1＝3（ x ﹣y ）﹣1D ．x 2﹣8x+16＝（ x ﹣4）22．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBA ＝30°，AE 平分∠CAB 交BC 于D ，BE ⊥AE 于E ，给出下列结论：①BD ＝2CD ；②AE ＝3DE ；③AB ＝AC+BE ；④整个图形（不计图中字母）不是轴对称图形．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（）A ．75°B ．70°C ．60°D ．55°4．如图，正方形ABCD 内接于圆O ，4AB =，则图中阴影部分的面积是（）.A ．416π-B ．3216π-C ．1632π-D ．816π-5．如图，已知正方形ABCD 的边长为3cm ，若将这个正方形沿射线AD 方向平移2cm ，则平移前后图形的重叠部分面积为（）A．3cm2B．4.5cm2C．6cm2D．9cm26．下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是（）A．甲队员成绩的平均数比乙队员的大B．乙队员成绩的平均数比甲队员的大C．甲队员成绩的中位数比乙队员的大D．甲队员成绩的方差比乙队员的大7．一组2、3、4、3、3的众数、中位数、方差分别是（）A．4,3,0.2B．3,3,0.4C．3,4,0.2D．3,2,0.48．如图，在锐角ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN BC，MN分别交ACB∠的平分线于E，F两点，连接AE、AF.在下列结论中.①∠、ACDCF=，则OC的长为6；④当AO CO=时，四边形CE=，5=；③若12OE OF=；②CE CFAECF是矩形.其中正确的是( )A．①④B．①②C．①②③D．②③④9．如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（）个．①若O是△ABC的外心，∠A＝50°，则∠BOC＝100°；②若O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC＝115°；③若BC＝6，AB+AC＝10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．A．1 B．2 C．3 D．410．某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加10场比赛，各场得分情况如图，下列四个结论中，正确的是（）A．甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数 B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C．甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值 D．甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差11．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，甲、乙两人的作法如图：根据两人的作法可判断（）A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误12．给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y'＝n×x n﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝6x的解是（）A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝2 D．x＝﹣2二、填空题13．如图，当小明沿坡度i=1A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC=______米．14．已知扇形所在圆半径为4，弧长为6π，则扇形面积为_____15．如图，在平面直角坐标系中，将点P(－4，2)绕原点顺时针旋转90°，求其对应点Q的坐标．16．分解因式：ax2﹣ax＝_____．17．今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为______．18．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝70°，则∠2＝_____°．三、解答题19．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．20．下面是两个转盘，每个转盘分成几个相等的扇形，甲、乙两个人做游戏，游戏者同时转动两个转盘一次，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，则甲赢否则乙赢．（1）甲和乙获胜的概率分别是多少？（2）这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．（3）如果你认为不公平，应怎样修改才能使游戏对双方公平？21．如图1，P（m，n）在抛物线y=ax2-4ax（a＞0）上，E为抛物线的顶点．（1）求点E的坐标（用含a的式子表示）；（2）若点P在第一象限，线段OP交抛物线的对称轴于点C，过抛物线的顶点E作x轴的平行线DE，过点P作x轴的垂线交DE于点D，连接CD，求证：CD∥OE；（3）如图2，当a=1，且将图1中的抛物线向上平移3个单位，与x轴交于A、B两点，平移后的抛物线的顶点为Q，P是其x轴上方的对称轴上的动点，直线AP交抛物线于另一点D，分别过Q、D作x轴、y轴的平行线交于点E，且∠EPQ=2∠APQ，求点P的坐标．22．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．求证：AE⊥BF．23．某水果零售商店，通过对市场行情的调查，了解到两种水果销路比较好，一种是冰糖橙，一种是睡美人西瓜．通过两次订货购进情况分析发现，买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元．（1）请求出购进这两种水果每箱的价格是多少元？（2）该水果零售商在五一期间共购进了这两种水果200箱，冰糖橙每箱以40元价格出售，西瓜以每箱50元的价格出售，获得的利润为w元．设购进的冰糖橙箱数为a箱，求w关于a的函数关系式；（3）在条件（2）的销售情况下，但是每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍，请你设计进货方案，并计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？24．如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．（1）在图1中，以AB为边画直角三角形△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等．（2）在图2中，以AB为边画直角三角形△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．25．在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．（1）若小明同学心里想的是数8，请帮他计算出最后结果：[（8+1）2﹣（8﹣1）2]×25÷8（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a≠0），请你帮小明完成这个验证过程．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．314．；15．点Q的坐标为(2，4)．16．ax（x﹣1）．17．09×10618．三、解答题19．（1）见解析；（2）BF＝2．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS 得到三角形AEC 与三角形ADB 全等即可；（2）根据∠BAC ＝45°，四边形ADFC 是菱形，得到∠DBA ＝∠BAC ＝45°，再由AB ＝AD ，得到三角形ABD 为等腰直角三角形，求出BD 的长，由BD ﹣DF 求出BF 的长即可．【详解】解：（1）由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ， ∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC+∠BAE ＝∠DAE+∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中，AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ）；（2）∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°， ∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°，由（1）得：AB ＝AD ， ∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形， ∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝， ∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝﹣2．【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 20．（1）1625，925 ；（2）不公平，理由见解析；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【解析】【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，再根据概率公式计算可得；（2）由（1）的结果，判断两人获胜的概率是否相等，得到结论不公平．（3）只要使甲、乙获胜的概率相等即可．【详解】解：（1）列表如下：由表知，共有25种等可能结果，其中转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色有16种结果，∴甲获胜的概率为16 25，则乙获胜的概率为925；（2）不公平，因为1625≠925；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．21．(1) E（2，﹣4a）；(2)见解析;(3) P（2+1）．【解析】【分析】（1）将原式提取公因式然后化简即可解答（2）设直线OE的解析式为：y＝k x，把E点代入可得直线OE的解析式为：y＝﹣2ax，由P（m，n）得直线OP的解析式为：y＝nxm，得到C（2，2nm），然后设直线CD的解析式为：y＝kx+b，得到：k＝﹣2a，即可解答（3）当a＝1时，抛物线解析式为：y＝x2﹣4x，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，然后设P（2，t），可得AP的解析式为：y＝tx﹣t，D（3+t，t2+2t），Q（2，﹣1），E（3+t，﹣1），再设PE交x轴于F，即可解答【详解】解：（1）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x+4﹣4）＝a（x﹣2）2﹣4a，∴E（2，﹣4a）；（2）设直线OE的解析式为：y＝kx，把E（2，﹣4a）代入得：2k＝﹣4a，k＝﹣2a，∴直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ，由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nxm， ∴当x ＝2时，y ＝2n m ，即C （2，2n m）， ∵D （m ，﹣4a ），设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，将点D 和C 的坐标代入得：422km b an k b m +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩（n ＝am 2﹣4am ），解得：k ＝﹣2a ，根据两直线系数相等， ∴OE ∥CD ；（3）如图2，当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1， ∴Q （2，﹣1），A （1，0），B （3，0），设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，联立方程组为：243y tx ty x x =-⎧⎨=-+⎩ ，解得：1110x y =⎧⎨=⎩ ，22232x ty t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ， ∴D （3+t ，t 2+2t ）， ∵Q （2，﹣1）， ∴E （3+t ，﹣1）， ∴PQ ＝QE ＝t+1， ∴∠EPQ ＝45°， ∵∠EPQ ＝2∠APQ ， ∴∠APQ ＝22.5°，设PE 交x 轴于F ， ∵∠DEP ＝45°， ∴ME ＝FM ＝1，∴∠FPA ＝∠PAF ＝67.5°， ∴PF ＝AF ＝t+1， ∵FP，t ＝t+1，t+1，∴P（2+1）．【点睛】此题为二次函数综合题，需要熟练掌握运算方法22．证明见解析【解析】【分析】由E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点知CF＝BE，证Rt△ABE≌Rt△BCF得∠BAE＝∠CBF，根据∠BAE+∠BEA＝90°即可得∠CBF+∠BEA＝90°，据此即可得证．【详解】证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∵AB BCABE BCF BE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF．【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质与全等三角形的判定与性质．23．（1）每箱冰糖橙进价为35元，每箱睡美人西瓜进价为40元；（2）w＝﹣5a+2000；（3）当购买冰糖橙30箱，则购买睡美人西瓜170箱该水果零售商店能获得的最大利润，最大利润为1850元．【解析】【分析】（1）设每箱冰糖橙x元，每箱睡美人西瓜y元，根据“买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元”列出方程组并解答；（2）根据（1）的结论以及“利润＝售价﹣成本”解答即可；（3）设购买冰糖橙a箱，则购买睡美人西瓜为（200﹣a）箱，根据“每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）设每箱冰糖橙进价为x元，每箱睡美人西瓜进价为y元，由题意，得40152000 20301900x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：3540 xy=⎧⎨=⎩，即设每箱冰糖橙进价为35元，每箱睡美人西瓜进价为40元；（2）根据题意得，w＝（40﹣35）a+（50﹣40）（200﹣a）＝﹣5a+2000；（3）设购买冰糖橙a箱，则购买睡美人西瓜为（200﹣a）箱，则200﹣a≥5a且a≥30，解得30≤a1 333≤，由（2）得w＝﹣5a+2000，∵﹣5，w随a的增大而减小，∴当a＝30时，y最大．即当a＝30时，w最大＝﹣5×30+2000＝1850（元）．答：当购买冰糖橙30箱，则购买睡美人西瓜170箱该水果零售商店能获得的最大利润，最大利润为1850元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．24．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）如图1，根据三边对应相等的两三角形全等作图即可；（2）根据三组对应边成比例的两个三角形相似作图．【详解】解：（1）如图1，∴△ACD为所求；（2）如图2，∴△ABD为所求．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．此题灵活应用相似三角形的判定与性质．25．(1)100;(2)100.【解析】【分析】（1）原式先计算括号中的乘方运算，再计算减法运算，最后算乘除运算即可求出值；（2）列出代数式，计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式＝（81﹣49）×25÷8＝800÷8＝100；（2）根据题意得：[（a+1）2﹣（a﹣1）2]×25÷a＝4a×25÷a＝100．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列一元二次方程有两个不相等的实数根的是( ) A.2(1)20x ++= B.2251010x x -+= C.230x x -=D.230x -+=2．如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中A 是光盘与桌面的切点，∠BAC ＝60°，光盘的直径是80cm ，则斜边AB 被光盘截得的线段AD 长为（）A.20cmB.40cmC.80cmD.80cm3．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（）.A.B.C.D.4．不等式组21331563x x x +≥-⎧⎪-⎨--⎪⎩＞的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，AC ＝4，则OD 的长为（）A.1B.1.5C.2D.2.56．下列交通标志是中心对称图形的为（）A ．B ．C ．D ．7．如图是由几个相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上小正方体的个数，这个立体图形的左视图是（）A．B． C． D．8．数据2、5、6、0、6、1、8的中位数是（）A．8 B．6 C．5 D．09．港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（）A．1.269×1010B．1.269×1011C．12.69×1010D．0.1269×101210．分式方程1232x x=-的解为（）A．25x=-B．1x=-C．1x=D．25x=11．已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是（）A.3 C.3 D.9或4112．1纳米=10－9米，将50纳米用科学记数法表示为（）A．50×10－9米B．5×10－9米C．0.5×10－9米D．5×10－8米二、填空题13．将5700 000用科学记数法表示为______．14．如图，在平面直角坐标系xoy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数3(0)y xx=>的图象上，则△OAB的面积等于_____ .15在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．16．如图，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，则∠B的度数为_____．17．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝75°，则∠B＝_____．18．若分式12x有意义，则x的取值范围为_____．三、解答题19．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．20．我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．（1）判断抛物线y＝x2与y＝﹣x2是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；（2）抛物线y＝x2﹣2x与y＝x2﹣2mx﹣3是“共点抛物线”，且“共点”在x轴上，求抛物线y＝x2﹣2mx﹣3的函数关系式；（3）抛物线L1：y＝﹣x2+2x+1的图象如图所示，L1与L2：y＝﹣2x2+mx是“共点抛物线”；①求m的值；②点P是x轴负半轴上一点，设抛物线L1、L2的“共点”为Q，作点P关于点Q的对称点P′，以PP′为对角线作正方形PMP′N，当点M或点N落在抛物线L1上时，直接写出点P的坐标．21．如图，直线y＝x+b与双曲线y＝kx（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．22．从共享单车，共享汽车等共享出行到共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速的普及，根据国家信息中心发布的中国分享经济发展报告2017显示，参与共享经济活动超6 亿人，比上一年增加约1亿人．（1）为获得北京市市民参与共享经济活动信息，下列调查方式中比较合理的是；A．对某学校的全体同学进行问卷调查B．对某小区的住户进行问卷调查C．在全市里的不同区县，选取部分市民进行问卷调查（2）调查小组随机调查了延庆区市民骑共享单车情况，某社区年龄在12～36岁的人有1000人，从中随机抽取了100人，统计了他们骑共享单车的人数，并绘制了如下不完整的统计图表．如图所示．骑共享单车的人数统计表根据以上信息解答下列问题：①统计表中的a＝；b＝；②补全频数分布直方图；③试估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有多少人？23．如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，2∠B+∠DAB＝180°．(1)证明：直线CD为⊙P的切线；(2)若DC＝，AD＝4，求⊙P的半径．24．家访是学校与家庭沟通的有效渠道，是形成教育合力的关键，是转化后进生的催化剂．某市教育局组织全市中小学教师开展家访活动活动过程中，教育局随机抽取了部分教师调查其近两周家访次数，将采集到的数据按家访次数分成五类，并分别绘制了下面的两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）所抽取的教师中，近两周家访次数的众数是次，平均每位教师家访次；（3）若该市有12000名教师，请估计近两周家访不少于3次的教师有多少名？25．合肥合家福超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在三等分的转盘上依次标有“合”，“家”，“福”字样，购物每满200元可以转动转盘1次，转盘停下后，指针所指区域是“福”时，便可得到30元购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费400元，并参加促销活动，转了2次转盘．（1）求出该顾客可能获得购物券的最高金额和最低金额；（2）请用画树状图法或列表法求出该顾客获购物券金额不低于30元的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．7×106．14．9 215．x≥﹣116．54°17．40°18．x≠2．三、解答题19．（1）见解析；（2）BF＝2．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC＝45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB＝AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．【详解】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△ADB （SAS ）；（2）∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°，由（1）得：AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝，∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2，∴BF ＝BD ﹣DF ＝﹣2．【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．20．（1）是，（0，0）；（2）2132y x x =--；（3）①m 的值为0或4，②P （﹣3，0）或P （﹣5，0）或P （﹣13，0）.【解析】【分析】（1）解方程x 2＝﹣x 2得出x ＝0（2）因为两个抛物线的共点在x 轴上，y ＝0代入L1中求得交点坐标，分别代入L2中，求得m 的值，获得抛物线的解析式．（3）①两抛物线为共点抛物线时，只有一个交点，运用判别式为零，求出m 的值②设点P 坐标（a ，0），通过Q 点坐标，获得P'点坐标，因为PP'为正方形，利用K 型全等模型建立全等关系，从而求出点M 和N 的坐标，将M 、N 分别代入解析式，获得a 的值，从而求出点P 的坐标．【详解】解：（1）是，（0，0）x 2＝﹣x 2∴x ＝0（2）令y ＝x 2﹣2x ＝0解得x 1＝0，x 2＝2当x ＝0时，﹣3≠0∴（0，0）不是共点当x ＝2时，4﹣4m ﹣3＝0解得m ＝14 ∴y ＝2132x x -- （3）①若两个抛物线是“共点抛物线”则方程﹣x 2+2x+1＝﹣2x 2+mx 有两个相等的实数根即x 2+（2﹣m ）x+1＝0有两个相等的实数根∴△＝（2﹣m ）2﹣4＝0解得m ＝0或m ＝4∴m 的值为0或4．②P （﹣3，0）或P （﹣5，0）或P （﹣13，0）设点P （a ，0）当m ＝0时，Q （﹣1，﹣2）∴P'（﹣2﹣a ，﹣4）∵PM ＝MP'，∠A ＝∠B ，∠AMP ＝∠BP'M∴△APM ≌△BMP'（AAS ）设M （x ，y ），N （a ，b ）42y x a a x y +=-⎧⎨---=⎩解得13x y a =⎧⎨=--⎩24a m n n m a ---=-⎧⎨--=-⎩解得31m n a =-⎧⎨=-⎩∴可得M （1，﹣3﹣a ），N （﹣3，a ﹣1）分别代入L 1解析式可得a 1＝﹣5，a 2＝﹣13当m ＝4时，Q （1，2）∴P'（2﹣a ，4）∵PM ＝MP'，∠A ＝∠B ，∠AMP ＝∠BP'M∴△APM ≌△BMP'（AAS ）设M （m ，n ）N （x ，y ）240a m n n a --=⎧⎨-=-⎩解得24m n a=-⎧⎨=-⎩ 24a x y y x a --=-⎧⎨-=-⎩解得31x y a =⎧⎨=+⎩∴可得M （﹣2，4﹣a ），N （3，1+a ）分别代入L 1解析式可得a 1＝﹣3，a 2＝11（舍）∴P （﹣3，0）或P （﹣5，0）或P （﹣13，0）【点睛】本题考查了全等模型和抛物线的交点问题，难度适中，难点在于（3）②，需要根据正方形建立K 型全等，从而获得参数a 的值，是一道很好的压轴问题．21．（1）y ＝2x ；y ＝x+1；（2）P 点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【解析】【分析】（1）把A （1，2）代入双曲线以及直线y ＝x+b ，分别可得k ，b 的值；（2）先根据直线解析式得到BO ＝CO ＝1，再根据△BCP 的面积等于2，即可得到P 的坐标．【详解】解：（1）把A （1，2）代入双曲线y ＝k x ，可得k ＝2， ∴双曲线的解析式为y ＝2x；把A （1，2）代入直线y ＝x+b ，可得b ＝1，∴直线的解析式为y ＝x+1；（2）设P 点的坐标为（x ，0），在y ＝x+1中，令y ＝0，则x ＝﹣1；令x ＝0，则y ＝1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO＝1＝CO，∵△BCP的面积等于2，∴12BP×CO＝2，即12|x﹣（﹣1）|×1＝2，解得x＝3或﹣5，∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．22．（1）C；（2）①0.15，30；②见解析；③估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有700人．【解析】【分析】（1）根据抽样调查的定义可得；（2）①根据“频率＝频数÷总数”可分别求得a、b的值；②由①中所求数据可补全图形；③总人数乘以样本中第3、4、5组的频率之和可得答案．【详解】解：（1）调查方式中比较合理的是C，故答案为：C；（2）①a＝15÷100＝0.15，b＝100×0.3＝30，故答案为：0.15，30；②补全图形如下：③1000×（0.15+0.25+0.3）＝700（人），答：估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有700人．【点睛】本题考查条形图、频率分布表、样本估计总体等知识，解题的关键是记住频率＝频数÷总数，频率之和为1，属于中考常考题型．23．(1)证明见解析；(2)⊙P的半径为5．【解析】【分析】（1）连接PC，则∠APC＝2∠B，可证PC∥DA，证得PC⊥CD，则结论得证；（2）连接AC，先求出AC长，可证△ADC∽△ACB，可求出AB长，则⊙P的半径可求出．【详解】(1)连接PC，∵PC＝PB，∴∠B＝∠PCB，∴∠APC＝2∠B，∵2∠B+∠DAB＝180°，∴∠DAC+∠ACP＝180°，∴PC∥DA，∵∠ADC＝90°，∴∠DCP＝90°，即DC⊥CP，∴直线CD为⊙P的切线；(2)连接AC，∵DC＝AD＝4，∠ADC＝90°，∴AC===，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠ACP，∵AD∥PC，∴∠DAC＝∠ACP，∴∠PAC＝∠DAC，∵AB是⊙P的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠BCA＝∠ADC，∴△ADC∽△ACB，∴AB AC AC AD=，=∴AB＝10，∴⊙P的半径为5．【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．24．（1）补图见解析；（2）3，3.24；（3）9120名.【解析】【分析】（1）家访总人数：54÷36%＝150（人），家访4次的人数：150×28%＝42（人），家访2次的人数：150﹣6﹣54﹣42﹣18＝30（人）；（2）根据统计图可知，家访3次的人数最多，所以众数为3，平均每位教师家访：（6×1+30×2+54×3+42×4+18×5）÷150＝3.24（次）；（3）近两周家访不少于3次的教师有12000×544218150++＝9120（名）．【详解】解：（1）家访总人数：54÷36%＝150（人），家访4次的人数：150×28%＝42（人）家访2次的人数：150﹣6﹣54﹣42﹣18＝30（人）条形统计图补全如下：（2）根据统计图可知，家访3次的人数最多，所以众数为3，平均每位教师家访：（6×1+30×2+54×3+42×4+18×5）÷150＝3.24（次），故答案为3，3.24；（3）近两周家访不少于3次的教师有12000×544218150++＝9120（名）．【点睛】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．25．（1）最高金额为60元、最低金额为0元；（2）5 9【解析】【分析】（1）两次都抽到“福”时可得最高金额，两次都没有抽到“福”时可得最低金额；（2）画出树状图，利用概率公式计算即可；【详解】解：（1）根据题意，该顾客可能获得购物券的最高金额为60元、最低金额为0元；（2）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中该顾客获购物券金额不低于30元的有5种结果，所以该顾客获购物券金额不低于30元的概率为59．。

河北省2019年中考数学专题9圆的有关计算证明与探究精练试题

专题九圆的有关计算、证明与探究一、选择题1．(2019呼和浩特中考)如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB⊥CD，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )A ．26πB ．13π C.96π5 D.3910π5(第1题图)(第3题图)2．(2019株洲中考)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( A ) A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形3．(2019西宁中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°.则CD 的长为( C )A.15 B ．2 5 C ．215 D ．84．(2019咸宁中考)如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB ，OD ，若∠BOD＝∠BCD，则BD ︵的长为( C )A ．π B.32π C ．2π D ．3π(第4题图)(第5题图)5．(2019眉山中考)如图，在△ABC 中，∠A ＝66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为( C ) A ．114° B ．122° C ．123° D ．132°6．(2019遵义中考)已知圆锥的底面积为9π cm 2，母线长为6 cm ，则圆锥的侧面积是( A ) A ．18π cm 2B ．27π cm 2C ．18 cm 2D ．27 cm 27．(2019南充中考)如图，在Rt △ABC 中，AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，∠ACB ＝90°，把Rt △ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( B )A ．60π cm 2B ．65π cm 2C ．120π cm 2D ．130π cm 28．(2019百色中考)以坐标原点O 为圆心，作半径为2的圆，若直线y ＝－x ＋b 与⊙O 相交，则b 的取值范围是( D )A ．0≤b ≤2 2B ．－22≤b≤2 2C ．－23＜b ＜2 3D ．－22＜b ＜2 2 二、填空题9．(2019大连中考)如图，在⊙O 中，弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC ＝3 cm ，则⊙O 的半径为__5__cm.(第9题图)(第10题图)10．(2019青岛中考)如图，直线AB 与CD 分别与⊙O 相切于B ，D 两点，且AB⊥CD，垂足为P ，连接BD.若BD ＝4，则阴影部分的面积为__2π－4__．11．(2019株洲中考)如图，已知AM 为⊙O 的直径，直线BC 经过点M ，且AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM，线段AB 和AC 分别交⊙O 于点D ，E ，∠BMD ＝40°，则∠EOM＝__80°__．(第11题图)(第12题图)12．(2019舟山中考)如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm 的⊙O，AB ︵＝90°，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为__(32＋48π)cm 2__．13．(2019原创)如图，B ，C 在⊙O 上，O 在等腰直角三角形ABC 内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6.则⊙O 的半径为．(第13题图)(第14题图)14．如图，⊙O 上有三个点A ，B ，C ，且∠CBD ＝∠AB C ，P 为BC 上一点，PE ∥AB 交BD 于E.若∠AOC＝60°，BE ＝3时，则点P 到AB 的距离为2．15．如图，在⊙O 内有折线OABC ，OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B＝60°，则BC 的长为__20__．(第15题图)(第16题图)16．(2019海南中考)如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是2．三、解答题17．(2019遵义中考)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB ＝60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC ，BC.(1)求证：四边形ACBP 是菱形；(2)若⊙O 半径为1，求菱形ACBP 的面积．解：(1)连接AO ，BO.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP＝90°，PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO＝12∠APB＝30°，∴∠AOP ＝60°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA.∵∠AOP ＝∠CAO＋∠ACO，∴∠ACO ＝30°， ∴∠ACO ＝∠APO，∴AC ＝AP ，同理BC ＝PB ，∴AC ＝BC ＝BP ＝AP ， ∴四边形ACBP 是菱形； (2)连接AB 交PC 于D. ∵四边形ACBP 是菱形， ∴AD ⊥PC ，∵OA ＝1，∠AOP ＝60°， ∴AD ＝32OA ＝32， ∴PD ＝32，∴PC ＝3，AB ＝3，∴菱形ACBP 的面积＝12AB·PC＝332.18．(2019郴州中考)如图，AB 是⊙O 的弦，BC 切⊙O 于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，OA 是⊙O 的半径，且OA ＝3.(1)求证：AB 平分∠OAD；(2)若点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB＝60°，求扇形OAB 的面积．(计算结果保留π)解：(1)连接OB. ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥BC. ∵AD ⊥BC ， ∴AD ∥OB ， ∴∠DAB ＝∠OBA. ∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA， ∴∠DAB ＝∠OAB， ∴AB 平分∠OAD；(2)∵点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB＝60°， ∴∠AOB ＝2∠AEB＝120°， ∴S 扇形OAB ＝120π×32360＝3π.19．(2019河南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作CF∥AB，与过点B 的切线交于点F ，连接BD.(1)求证：BD ＝BF ；(2)若AB ＝10，CD ＝4，求BC 的长．解：(1)∵AB＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB. ∵CF ∥AB ， ∴∠ABC ＝∠FCB，∴∠ACB ＝∠FCB，即CB 平分∠DCF. ∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即BD⊥AC. ∵BF 为⊙O 的切线，∴BF ⊥AB. ∵CF ∥AB ，∴BF ⊥CF ，∴BD ＝BF ；(2)∵AB＝AC ＝10，CD ＝4， ∴AD ＝AC －CD ＝10－4＝6.在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2－AD 2＝102－62＝64，在Rt △BDC 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝64＋16＝4 5 即BC 的长为4 5.20．(2019滨州中考)如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ；连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM＝∠DAC.求证：(1)直线DM 是⊙O 的切线； (2)DE 2＝DF·DA.证明：(1)连接DO ，并延长交⊙O 于点G ，连接BG. ∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠DAC. ∵∠G ＝∠BAD，∴∠MDB ＝∠G. ∵DG 为⊙O 的直径，∴∠GBD ＝90°，∴∠G ＋∠BDG＝90°. ∴∠MDB ＋∠BDG＝90°. ∴直线DM 是⊙O 的切线； (2)连接BE.∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠ABE ＝∠CBE，∠BAD ＝∠CAD. ∵∠EBD ＝∠CBE＋∠CBD ， ∠BED ＝∠ABE＋∠BAD. ∵∠CBD ＝∠CAD， ∴∠EBD ＝∠BED， ∴DB ＝DE.∵∠CBD ＝∠BAD，∠ADB ＝∠ADB， ∴△DBF ∽△DAB ，∴DB DA ＝DFDB ，即BD 2＝DF·DA. ∴DE 2＝DF·DA.21．(2019湖州中考)如图，O 为Rt △ABC 的直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E.已知BC ＝3，AC ＝3.求：(1)AD 的长；(2)图中阴影部分的面积．解：(1)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝32＋（3）2＝2 3. ∵BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线．∵AB是⊙O的切线，∴BD＝BC＝3，∴AD＝AB－BD＝3；(2)在Rt△ABC中，sinA＝BCAB＝323＝12，∴∠A＝30°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠AOD＝90°－∠A＝60°.∵ODAD＝tanA＝tan30°，∴OD3＝33，∴OD＝1，∴S阴影＝60π×12360＝π6.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，▱ABCD 中，点A 在反比例函数y=(0)kk x≠的图像上，点D 在y 轴上，点B 、点C 在x 轴上．若▱ABCD 的面积为10，则k 的值是（）A ．5B ．5-C ．10D ．10-2．如图，D 是BC 上的一点，DE AB DA CE ∥，∥，若65ADE ∠=︒，则B C ∠∠，的度数分别可能是（）A ．46,68︒︒B ．45,71︒︒C ．46,70︒︒D ．47,68︒︒3．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a 的最大值为（） A ．0 B ．﹣1C ．1D ．24．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.5．我们知道，如果一个矩形的宽与长之比为12，那么这个矩形就称为黄金矩形．如图，已知A 、B 两点都在反比例函数y ＝kx（k ＞0）位于第一象限内的图像上，过A 、B 两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C 、D 和E 、F ，设AC 与BF 交于点G ，已知四边形OCAD 和CEBG 都是正方形．设FG 、OC 的中点分别为P 、Q ，连接PQ ．给出以下结论：①四边形ADFG 为黄金矩形；②四边形OCGF 为黄金矩形；③四边形OQPF 为黄金矩形．以上结论中，正确的是（）A ．①B ．②C ．②③D ．①②③6．如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（-3，-2），⊙A 的半径为1，P 为x 轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，则当PQ 最小时，P 点的坐标为（）A ．（-3，0）B ．（-2，0）C ．（-4，0）或（-2，0）D ．（-4，0）7．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则下列三角函数表示正确的是（）A ．3tan 4A =B ．4tan 3B =C ．3sin 5A =D ．3cos 5A =8．如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（）A. B. C. D.9．若a =b 6=-，c =则下列关系正确的为( ) A.a b c >>B.c b a >>C.b a c >>D.b c a >>10．如图，四边形ABCD 中，AC 平∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，若AD ＝4，AB ＝6，则ACAF的值为（）A ．2B ．74C ．32D ．211．如图一，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 、Q 从点B 同时出发，点P 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，点Q 以1cm/s 的速度沿BA ﹣AC 方向运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y(cm 2)，运动时间为x(s)，则y 与x 之间的函数关系图象如图二所示，则BC 长为( )A ．4cmB ．8cmC ．D ．12．如图,若等边△ABC 的内切圆⊙0的半径是2,则△ABC 的面积是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．某天最低气温是-5℃，最高气温比最低气温高9℃，则这天的最高气温是______℃．14．小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入________小球时有水溢出．15．有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）.现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为____.16．如图，已知△ACF ≌△DBE ，∠E=∠F ，AD=9cm ，BC=5cm ，AB 的长为_____cm ．17．如图所示，一动点从半径为2的O 上的0A 点出发，沿着射线0A O 方向运动到O 上的点1A 处，再向左沿着与射线1A O 夹角为60︒的方向运动到O 上的点2A 处；接着又从2A 点出发，沿着射线2A O方向运动到O 上的点3A 处，再向左沿着与射线3A O 夹角为60︒的方向运动到O 上的点4A 处；40A A 间的距离是________；…按此规律运动到点2019A 处，则点2019A 与点0A 间的距离是________.18．计算：23a a ⋅=__________．三、解答题19．把0，1，2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字．放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字．请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率． 20．如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ．求证：AB ＝BC ．21．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）22．如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 与Rt △ACD 的两直角边分别交于点E 、F ，点F 是弧BE 的中点，∠C=90°，连接AF ．（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线．（2）若BD=1，OB=2，求tan ∠AFC 的值．23．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？24．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y （℃），从加热开始计算的时间为x （分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？（3）该种材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间有多长？25．某种机器在加工零件的过程中，机器的温度会不断变化.当机器温度升高至40C ︒时，机器会自动启动冷却装置控制温度上升的速度；当温度升到100C ︒时，机器自动停止加工零件，冷却装置继续工作进行降温；当温度恢复至40C ︒时，机器自动开始继续加工零件，如此往复，机器从20C ︒时开始，机器的温度y （C ︒）随时间t （分）变化的函数图象如图所示.（1）当机器的温度第一次从40C ︒升至100C ︒时，求y 与t 之间的函数关系式；（2）冷却装置将机器温度第一次从100C ︒降至40C ︒时，需要多少分钟？（3）机器的温度在98C ︒以上（含98C ︒）时，机器会自动发出鸣叫进行报警.当0154t ≤≤时，直接写出机器的鸣叫时间.【参考答案】***一、选择题二、填空题13．414．1015．1216．217． 2.18．a 5三、解答题19．见解析，49. 【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为4，所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率＝49．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20．见解析【解析】【分析】连接AC，利用等腰三角形的性质及角的和差证明∠BAC=∠BCA即可．【详解】解：连接AC，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA．∴BA＝BC．【点睛】考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是利用角相等证明线段相等．21．（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y＝700x，当10＜x≤90时，y＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝300x；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元．【解析】【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．【详解】（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元．由题意得：3200﹣5（x﹣10）＝2800，解得：x＝90．答：商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：当0≤x≤10时，y＝（3200﹣2500）x＝700x，当10＜x≤90时，y＝[3200﹣5（x﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝（2800﹣2500）•x＝300x；（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，函数y＝700x，y＝300x均是y随x增大而增大，而y＝﹣5x2+750x＝﹣5（x﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y随x增大而增大．由上述分析得x的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元，答：公司应将最低销售单价调整为2875元．【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．22．（1）详见解析；（2【解析】【分析】（1）连结OF，BE，根得到BE∥CD，根据平行线的性质得到∠OFD=90°，根据切线的判定定理证明；（2）由OF∥AC可得比例线段求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，tan∠AFC的值可求．【详解】（1）证明：连结OF，BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠C=90°，∴∠AEB=∠ACD，∴BE∥CD，∵点F是弧BE的中点，∴OF⊥BE，∴OF⊥CD，∵OF为半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠C=∠OFD=90°，∴AC∥OF，∴△OFD∽△ACD，∴OF OD AC AD=，∵BD=1，OB=2，∴OD=3，AD=5，∴251033 AC⨯==，∴3，∵CF CD OA AD=，∴CD OACFAD⨯==3，∴tan∠AFC=10 ACCF==【点睛】本题考查的是切线的判定、三角函数的计算，掌握切线的判定定理是解题的关键．23．（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．【解析】【分析】（1）设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，可列方程求解；（2）利用总利润y＝销量×每千克利润，进而求出最值即可．【详解】（1）设每千克应涨价x 元，则（10+x ）（500﹣20x ）＝6 000解得x ＝5或x ＝10，为了使顾客得到实惠，所以x ＝5．（2）设涨价z 元时总利润为y ，则y ＝（10+z ）（500﹣20z ）＝﹣20z 2+300z+5 000＝﹣20（z 2﹣15z ）+5000 ＝22252252015500044z z ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭＝﹣20（z ﹣7.5）2+6125 当z ＝7.5时，y 取得最大值，最大值为6 125．答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．【点睛】考核知识点：二次函数的的应用.根据题意列出等量关系是解题的关键.24．（1）915(05)300(5)x x y x x+≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩；（2）20分钟；（3）8518分钟【解析】【分析】（1）分成0≤x≤5和x ＞5两种情况，利用待定系数法即可求解；（2）在当x ＞5时的函数解析式中，求得y ＝15时对应的自变量x 的取值即可；（3）在两个函数解析式中求得y ＝40时对应的自变量的值，求差即可．【详解】（1）当0≤x≤5时，设函数的解析式是y ＝kx+b ，则15560b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得：159b k =⎧⎨=⎩ 则函数的解析式是：y ＝9x+15；3005x y x=当＞时，；综上所述，915(05)300(5)x x y x x+≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）把y ＝15代入300y x =，得30015=x，x ＝20；经检验：x ＝20是原方程的解．则当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟；（3）把y ＝40代入y ＝9x+15得x ＝259；把y ＝40代入300y x =得x ＝7.5，所以材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间为7.5﹣259＝8518 分钟．【点睛】本题考查了二次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．25．（1）36y t =+；（2）冷却装置将机器温度第一次从100C ︒降至40C ︒时，需要15分钟；（3）机器工作154分钟会鸣叫5分钟.【解析】【分析】（1）先设函数关系式，再从图中找到时间和温度的对应值，求出自变量，可得机器温度T （℃）与运行时间t （h ）的函数关系式；（2）从函数图象可知机器开始第二次工作时的函数值为40，将y 100=代入函数关系式可求出第一次停机后多少小时机器开始第二次加工；（3）机器温度第一次由100C ︒降至40C ︒的过程中，先求y 与t 之间的函数关系式．根据y 值求t 值可得.【详解】（1）根据图象可设11y k t b =+.由点()4,40和点()44,80在函数图象上，可得11114k b 40,44k b 80,+=⎧⎨+=⎩解得11k 1,b 36,=⎧⎨=⎩∴y 与t 之间的函数关系式为y t 36=+. （2）由（1）可得，当y 100=时，100t 36=+，得t 64=，所以冷却装置将机器温度第一次从100C ︒降至40C ︒时，需要796415-=（分钟）.（3）设机器温度第一次由100C ︒降至40C ︒的过程中，y 与t 之间的函数关系式为22y k t b =+.由点()64,100和点()79,40在函数图象上，可得222264k b 100,79k b 40,+=⎧⎨+=⎩解得22k 4,b 356,=-⎧⎨=⎩∴y 4t 356=-+.当机器的工作温度为98C ︒时，由y t 36=+，得1t 62=；由y 4t 356=-+，得2t 64.5=，21t t 2.5-=（分）.∵()()15447942-÷-=，∴2 2.55⨯=（分），∴机器工作154分钟会鸣叫5分钟.【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，必须学会从一次函数图象中找到对应的已知条件．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，经过点B （﹣2，0）的直线y ＝kx+b 与直线y ＝4x+2相交于点A （﹣1，﹣2），4x+2＜kx+b ＜0的解集为（）A.x ＜﹣2B.﹣2＜x ＜﹣1C.x ＜﹣1D.x ＞﹣12．ABCD □周长为8厘米，点Q 是边AB 上一点，且1AQ =厘米，动点P 从点A 出发，沿折线A D C --运动.设动点P 运动的长度为x 厘米，线段AP 、AQ 、PQ 所围成图形的面积为y 平方厘米，作出y 与x 之间的函数图像如图所示.根据图像可以判定点P 运动所在的图形是（）A. B. C. D.3．在某次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：73，78，79，81，81，81，83，83，85，91，则这组数据的众数、中位数分别为( )A.81，82B.83，81C.81，81D.83，824．如图，在菱形ABCD 中，∠BAC=60°，AC 与BC 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD=DE ，连接BE 分别交AC 、AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论中一定成立的是（）．①OG=AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S △ABF ；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．A.①③④B.①④C.①②③D.②③④5．如果，.那么代数式的值是（）A.-1B.1C.-3D.36．如图，在▱ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论正确的是（）A.DE＝DFB.AG＝GFC.AF＝DFD.BG＝GC7．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是( )A．16B．12C．13D．238．如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ACD 和 BCE，连结 DE，则 DE 长的最小值是( )A B．2 C．D．49．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝kx的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（﹣2，﹣2），∠ABC＝60°，则k的值是（）A ．4B ．6C ．D ．1210．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A'BC’，连接A'C ，则A'C 的长为（）A ．6B ．C ．D ．11．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，P 为AB 上的一个动点，若AB 2=，则PE PC +的最小值为( )A ．1+B ．C ．2+D ．12．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在四边形ABCD 中，5AB AD ==，12BC =，90B D ∠=∠=︒，点M 在边BC 上，点N 在四边形ABCD 内部且到边AB 、AD 的距离相等，若要使CMN ∆是直角三角形且AMN ∆是等腰三角形，则MN =__________．14．在△ABC 中，点A 到直线BC 的距离为d ，AB ＞AC ＞d ，以A 为圆心，AC 为半径画圆弧，圆弧交直线BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交直线AB 于点E ，若BC=4，DE=1，∠EDA=∠ACD ，则AD=__________.15．若最简二次根式23x y -=____.16．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣（m ﹣2）＝0有实数根，则m 的取值范围是_____17．如图，函数k y x=在第一象限内的图像上的点 A 、B 、C 的横坐标别为 1、2、3，若 AB=3BC 则该k 的值为______．18．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 的中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的面积记为S 1，取BE 的中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ．得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2，照此规律，则S 2012＝____．三、解答题19．入冬以来，我省的雾霾天气频发，空气质量较差，容易引起多种上呼吸道疾病.某电器商场代理销售A ，B 两种型号的家用空气净化器，已知一台A 型空气净化器的进价比一台B 型空气净化器的进价高200元；2台A 型空气净化器的进价与3台B 型空气净化器的进价相同.（1）求A ，B 两种型号的家用空气净化器的进价分别是多少元.（2）若商场购进这两种型号的家用空气净化器共50台，其中A 型家用空气净化器的数量不超过B 型家用空气净化器的数量，且不少于16台，设购进A 型家用空气净化器m 台.①求m 的取值范围；②已知A 型家用空气净化器的售价为每台800元，销售成本为每台2n 元；B 型家用空气净化器的售价为每台550元，销售成本为每台n 元.若25100n ≤≤，求售完这批家用空气净化器的最大利润w （元）与n （元）的函数关系式.（每台销售利润=售价-进价-销售成本）20．某小区应政府号召,开展节约用水活动,效果显著.为了了解该小区节水情况,随机对小区的100户居民节水情况进行抽样调查,其中3月份较2月份的节水情况如图所示.（1）补全统计图;（2）计算这100户居民3月份较2月份的平均节水量;（3）已知该小区共有5000户居民,根据上面的计算结果,估计该小区居民3月份较2月份共节水多少吨?21．如图，一次函数y ＝kx+3的图象分别交x 轴、y 轴于点B 、点C ，与反比例函数y x n =的图象在第四象限的相交于点P ，并且PA ⊥y 轴于点A ，已知A （0，﹣6），且S △CAP ＝18．（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；（2）设Q 是一次函数y ＝kx+3图象上的一点，且满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍，求出点Q 的坐标．22．计算：214)0452-︒⎛⎫ ⎪⎝⎭． 23．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，某校数学兴趣小组设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，将测试成绩分成A 、B 、C 、D 四组，绘制了如下统计图表：请结合以上信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本总量是多少？（2）样本中，测试成绩在B组的频数是多少，在D组的频率是多少？（3）样本中，这次测试成绩的中位数落在哪一组？（4）如果该校共有800名学生，请估计成绩在90＜x≤100的学生约有多少人？24．在“双十一”购物节中，某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查发现：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同（1）求A、B的进价分别是每个多少元？（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A类玩具多少个？25．某初中学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调査的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题（1）参加调査的学生共有人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形圆心角为度；（2）将条形图补充完整；（3）若该校有2300名学生，则估计喜欢“足球”的学生共有人．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．6517或651814．2或15．-216．m≥1．17．18.三、解答题19．（1）A 型进价600元/台，B 型进价400元/台.（2）①m 的取值范围为1625m ≤≤且为整数.②87507025507500505083006650100n n w n n n n -≤<⎧⎪=-=⎨⎪-<≤⎩【解析】【分析】（1）设A 型进价x 元/台，B 型进价y 元/台，由题意得：20023x y x y-=⎧⎨=⎩，解方程组可得；（2）①由题意得：5016m m m ≤-⎧⎨≥⎩，②分段分析可得：87507025507500505083006650100n n w n n n n -≤<⎧⎪=-=⎨⎪-<≤⎩. 【详解】解：（1）设A 型进价x 元/台，B 型进价y 元/台，由题意得：20023x y x y -=⎧⎨=⎩， ∴600x =，400y =，∴A 型进价600元/台，B 型进价400元/台.（2）①由题意得：5016m m m ≤-⎧⎨≥⎩， ∴1625m ≤≤，∴m 的取值范围为1625m ≤≤且为整数.②由题意得：(8006002)(550400)(50)w n m n m =--⋅+---(50)507500n m n =--+.∵25100n ≤≤，1）当2550n ≤<时，500n ->，w 随着m 的增大而增大，∵1625m ≤≤，∴当25m =时，w 最大，max 875070w n =-.2）当50n =时，750050w n =-.3）当50100n <≤时，500n -<，w 随着m 的增大而减小，∴当16m =时，w 最大，max 830066w n =-.综上：87507025507500505083006650100n n w n n n n -≤<⎧⎪=-=⎨⎪-<≤⎩.【点睛】考核知识点：一次函数综合运用.分段分析问题是关键.20．（1）见解析；（2）这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t ；（3）估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【解析】【分析】（1）从图中可获得节水量在0.4-0.8t 的有5户，0.8-1.2t 的有20户，1.6-2.0t 的有30户，2.0-2.4t 的有10户，样本共100户，可求得节水1.2-1.6t 的有35户，补全图形即可；（2）运用加权平均数公式把组中值当作每组数据，户数看成权，可求得平均节水量；（3）利用样本估计总体可得结果.【详解】解：(1)100-5-20-30-10=35(户).∴节水1.2~1.6吨的有35户.补全统计图如下.(2)由统计图得每小组中的组中值分别为0.40.82+=0.6,0.8 1.22+=1.0,1.2 1.62+=1.4,1.6 2.02+=1.8,2.0 2.42+=2.2, 所以这100户居民3月份较2月份的平均节水量 =0.65 1.020 1.435 1.830 2.210100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.48(t). 答:这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t;(3)由题意可得1.48×5000=7400(t).答:估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【点睛】本题考查从统计图表中获取信息的能力，加权平均数的应用和统计中用样本估计总体的思想．21．（1）y=24x -； y=9x 34-+；（2）Q 1(8,93-)， Q 2(8,33-) 【解析】【分析】（1）根据一次函数解析式可得到点C 的坐标为（0，3），已知S △CAP ＝18，可求得点A 、点P 的坐标，点P 在一次函数和反比例函数上，利用待定系数法即可求得函数解析式.（2）设点Q 的坐标（m ，94-m+3），根据一次函数解析式可知点B 坐标，结合等底三角形面积性质可得到关于m 的一元一次方程，解方程即可求得m 值，进而求得Q 点坐标.【详解】（1）令一次函数y=kx+3中的x=0，则y=3，即点C 的坐标为（0，3），∴AC=3-（-6）=9．∵S △CAP =12AC·AP=18 ∴AP=4，∵点A 的坐标为（0，-6），∴点P 的坐标为（4，-6）．∵点P 在一次函数y=kx+3的图象上，∴-6=4k+3，解得：k=94- ∵点P 在反比例函数y x n=的图象上， ∴-6=4n ，解得：n=-24． ∴一次函数的表达式为y=94-x+3，反比例函数的表达式为24y x =- （2）令一次函数=y=94-x+3中的y=0 解得x=43即点B 的坐标为（43，0）．设点Q 的坐标为（m ，94-m+3） ∵△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍， ∴|m|=2×43，解得：m=±83， ∴点Q 的坐标为Q 1(8,93-)， Q 2(8,33-)【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法求函数解析式，其中第二问掌握题目要求中两三角形是等底关系，满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍即可转化为高是2倍的关系即可解题. 22．1【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣3+12＝2﹣1＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．（1）200；（2）72，0.15；（3）B ；（4）132.【解析】【分析】。

河北省2019届中考数学系统复习第六单元圆第23讲圆的基本性质(8年真题训练)练习

第六单元圆第23讲圆的根本性质命题点近8年的命题形式考查方向2021(T25解)，2021(T25解)，高频考点垂径定理是圆的轴对称性的具体表达，它可垂径定理2021(T14选)，2021(T5选)，以串联弦、弧、角、图形的大小和位置关系，常与圆2021(T25解)的相关知识综合，为进一步探索提供数据支持.考查的频率较低，常与其他有关“角〞的知识内容串圆周角定理2021(T16填)联，作为圆大题的补充．题型多以选择题和填空题为主.命题点1 垂径定理1．(2021·河北 T5·2分)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，那么以下结论正确的选项是 (D)A ．AE >BE︵︵AD ＝BC1C ．∠D ＝2∠AECD ．△ADE ∽△CBE命题点2 圆周角定理︵2．(2021·河北T16·3分)如图，点O 为优弧AB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，那么∠D ＝27°．重难点1 垂径定理及其应用AB 是半径为 5的⊙O 的直径，E 是AB 上一点，且 BE ＝2.如图1，过点E 作直线CD ⊥AB ，交⊙O 于C ，D 两点，那么CD ＝8；图1 图2 图3图4探究：如图2，连接AD ，过点O 作OF⊥AD 于点F ，那么OF ＝ 5；1过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．①假设∠AED＝30°，如图3，那么CD＝91；②假设∠AED＝45°，如图4，那么CD＝82．【思路点拨】由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．【变式训练1】(2021·襄阳)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．假设OA⊥BC，∠CDA＝30°，那么弦BC的长为(D)A．4B．22C.3D．23【变式训练2】【分类讨论思想】(2021·孝感)⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，那么弦AB和CD之间的距离是2__cm或14__cm．方法指导1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．重难点2圆周角定理及其推论⊙O是△ABC的外接圆，且半径为 4.如图1，假设∠A＝30°，求BC的长；如图2，假设∠A＝45°：①求BC的长；︵②假设点C是AB的中点，求AB的长；如图3，假设∠A＝135°，求BC的长．图1图2图3【思路点拨】连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．【自主解答】解：(1)连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．∴BC＝OB＝4.(2)①连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．∵OB＝OC＝4，∴BC＝4 2.︵②∵点C是AB的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.2︵在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.OB＝OC＝4，∴BC＝42.【变式训练3】(2021·南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，那么∠B的度数是(A)．58°．60°．64°．68°A B C D【变式训练4】(2021·秦皇岛海港区一模)将量角器按如下图的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，那么∠ACB的大小为(C)A．15°B．28°C．29°D．34°方法指导1．在圆中由角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．模型建立在半径的圆内接三角形中，假设三角形一内角，可以求得此角所对的边．易错提示注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，防止把数量关系弄颠倒．重难点3圆内接四边形(2021·潍坊)如图，四边形A BCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，那么∠DBC的度数为(C)A．50°B．60°C．80°D．90°【思路点拨】︵︵延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得CD＝2DM，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．【变式训练5】(2021·邵阳)如下图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，那么∠BOD的大小是(B)3A．80°B．120°C．100°D．90°【变式训练6】(2021·曲靖)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．假设∠A＝n°，那么∠DCE＝n°方法指导1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，那么较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ︵︵1．如图，在⊙O中，如果AB＝2AC，那么(C)A．＝AC B．＝2C．＜2ACD．＞2AB ABAC AB ABAC2．(2021·邯郸模拟)如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，那么AB的长为(D)A．2B．23C．4D．433．(2021·承德模拟)如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.假设OB＝8，OC＝6，那么⊙O′的半径为(C)A．7B．6C．5D．444．(2021·聊城)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.假设∠A＝60°，∠ADC＝85°，那么∠C 的度数是(D)A．25°B．°C．30°D．35°5．(2021·陕西)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，那么∠DBC的大小为(A)A．15°B．35°C．25°D．45°6．(2021·河北模拟)如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.假设∠F＝27°，∠A＝53°，那么∠C的度数为(C)A．30°B．43°C．47°D．53°(1)7．(2021·玉林)如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘(2)相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4〞和“16〞(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是10cm.(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)8．(2021·临沂)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(10)求证：DE＝DB；假设∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．5解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.︵︵︵BD＝CD.︵∴∠DBC＝∠BAE.︵∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,︵∴∠DBE＝∠DEB.︵∴DE＝DB.︵连接CD.︵BD＝CD，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．∴∠BDC＝90°.22∴BC＝BD＋CD＝4 2.∴△ABC外接圆的半径为 2 2.9．(2021·遵义)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.假设DE＝3，那么AD的长为(D)．5．4．35．25A B C D提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．︵10．(2021·宜宾)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.假设EF3CG5＝，那么＝．AE4GB511．(2021·金华)如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂 BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°.图2中，弓臂两端B1，C1的距离为303cm；(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，那么D1D2的长为(105－10)cm.612．如下图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，且 CD ⊥AB ，垂足为H.如果⊙O 的半径为4，CD ＝43，求∠BAC 的度数；︵假设点E 为ADB 的中点，连接OE ，CE.求证：CE 平分∠OCD ；在(1)的条件下，圆周上到直线AC 的距离为3的点有多少个？并说明理由．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CH ＝1 CD ＝23.2在Rt △COH 中，sin ∠COH ＝ CH 3＝ 2，∴∠COH ＝60°. OC1∴∠BAC ＝2∠COH ＝30°.︵证明：∵点E 是ADB 的中点，∴OE ⊥AB. 又∵CD ⊥AB ，∴OE ∥CD.∴∠ECD ＝∠OEC. 又∵OE ＝OC ，∴∠OEC ＝∠OCE.∴∠OCE ＝∠DCE ，即 CE 平分∠OCD. 圆周上到直线AC 的距离为3的点有2个．︵AC 的最大距离为︵AC 的最大距离为 6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，因为AC 上的点到直线2，ADC 上的点到直线︵3的点有2个．ADC 到直线AC 的距离为7。

河北省2019年中考数学专题9圆的有关计算证明与探究精练试题

2019年河北中考数学专题复习单元测试卷《圆》

单元测试(六) 圆(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1.如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠B＝25°，则∠O的度数是(D)A．25°B．30°C．40°D．50°2．已知⊙O的半径为2，若OB＝3，则可以得到的正确图形可能是(A)A B C D3．如图，在10×10网格图中，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，则下列四个点中，在⊙O外的点为(D) A．B点B．C点 C．D点D．E点4．如图，A，B，C，D为⊙O上四点，AB，DC相交于点E，AD，BC相交于点F.若∠E＝36°，∠F＝30°，则∠A的度数为(C)A．30°B．40° C．57°D．70°5．如图，AD，AE，CB均为⊙O的切线，D，E，F分别为切点，AD＝8，则△ABC的周长为(D) A．8 B．10 C．12 D．166．如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是(C )A ．AB ＝AE B ．AB ＝BEC ．AE ＝BED ．AB ＝AC提示：由题意可得∠BCE ＝∠ECD ，∵∠ACE ＋∠ABE ＝180 °，∠ACE ＋∠ECD ＝180 °，∴∠ABE ＝∠ECD.∴∠BAE ＝∠BCE ＝∠ABE.∴AE ＝BE.7．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是(A )A ．△ACF 是等边三角形B ．连接BF ，则BF 分别平分∠AFC 和∠ABCC ．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形D ．四边形AFGH 与四边形CFED 的面积相等8．如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 三条高，则三条高的交点H 是(A )A ．△DEF 的内心B ．△DEF 的外心C ．△ABC 的内心D ．△ABC 的外心提示：以B ，F ，H 三点作圆，∵∠BFH ＝90 °，∴BH 是圆的直径．∵∠BDH ＝90 °，∴点D 在圆上．∴∠HFD ＝∠HBD.同理可得∠HAE ＝∠EFH ，而∠HBD ＋∠ACB ＝90 °，∠HAE ＋∠ACB ＝90 °，∴∠HBD ＝∠HAE.∴∠EFH ＝∠HFD ，同理可得，H 是△DEF 的角平分线的交点，即H 是△DEF 的内心．二、填空题(每小题3分，共12分)9．如图，△ABC 外接圆的圆心坐标为(2，－1)．10．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是30__°．提示：连接OB ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB ＝360 °6＝60 °.∴∠ADB ＝12∠AOB ＝12×60 °＝30 °.11．一块量角器与一块含30°锐角的三角板，如图所示放置，三角板的直角顶点C 落在量角器的直径MN 上，顶点A ，B 恰好都落在量角器的圆弧上，且AB ∥MN.若AB ＝8 cm ，则量角器的直径MN提示：设量角器的中心为O ，因为AB ∥MN ，则O 到AB 的距离与C 到AB 的距离相等，易求C 到AB 的距离为23，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AD ＝4，又OD ＝23，所以OA ＝27.所以量角器的直径MN ＝47.12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，D 是以点A 为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD ，点M 为BD 中点，线段CM 长度的最大值为7．提示：作AB 的中点E ，连接EM ，CE ，AD.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10，∵E 是Rt △ABC 斜边AB 上的中点，∴CE ＝12AB ＝5.∵M 是BD 的中点，E 是AB 的中点，∴ME ＝12AD ＝2.∴在△CEM 中，5－2≤CM ≤5＋2，即2≤CM ≤7.∴最大值为7.三、解答题(共56分)13．(12分)在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：(1)如图，作直径AD ；(2)作半径OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点； (3)连接AB ，AC ，那么△ABC 为所求的正三角形．请你判断两位同学的方法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC ，然后给出△ABC 是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．解：两位同学的方法正确．画出△ABC 如图所示．证明：连接BO ，CO. ∵BC 垂直平分OD ，∴在Rt △OEB 中，cos ∠BOE ＝OE OB ＝12，∠BOE ＝60 °.由垂径定理，得∠COE ＝∠BOE ＝60 °， ∵AD 为直径，∴∠AOB ＝∠AOC ＝120 °. ∴AB ＝BC ＝CA ，即△ABC 为等边三角形．14．(14分)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵的中点，连接BM ，CM.(1)求证：BM ＝CM ；(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD.∴AB ︵＝CD ︵. ∵M 为AD ︵的中点，∴AM ︵＝DM ︵. ∴AB ︵＋AM ︵＝CD ︵＋DM ︵，即BM ︵＝CM ︵.∴BM ＝CM.(2)∵⊙O 的半径为2，∴⊙O 的周长为4π. ∵AM ︵＝DM ︵＝12AD ︵＝12AB ︵，∴BM ︵＝AB ︵＋AM ︵＝32AB ︵.∴lBM ︵＝32×14×4π＝32π.15．(14分)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE.(1)求证：BE 与⊙O 相切；(2)设OE 交⊙O 于点F ，若DF ＝2，BC ＝43，求由劣弧BC 、线段CE 和BE 所围成的图形面积S.解：(1)证明：连接OC. ∵OD ⊥BC ，∴CD ＝BD.∴OE 为BC 的垂直平分线． ∴EB ＝EC.∴∠EBC ＝∠ECB. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB.∴∠OBC ＋∠EBC ＝∠OCB ＋∠ECB ，即∠OBE ＝∠OCE. ∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ，即∠OCE ＝90 °. ∴∠OBE ＝90 °，即OB ⊥BE.又∵OB 是⊙O 的半径，∴BE 与⊙O 相切．(2)设⊙O 的半径为R ，则OD ＝R －DF ＝R －2，OB ＝R. 在Rt △OBD 中，BD ＝12BC ＝23，∵OD 2＋BD 2＝OB 2，∴(R －2)2＋(23)2＝R 2，解得R ＝4.∴OD ＝2，OB ＝4.∴∠OBD ＝30 °.∴∠BOD ＝60 °.在Rt △OBE 中，BE ＝OB ·tan60 °＝43，∴S 阴影＝S 四边形OBEC －S 扇形OBC ＝2×12×4×43－120×π×42360＝163－163π.16．(16分)如图，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，OA ⊥OB ，C 是半径OB 上一动点，连接AC 并延长交⊙O 于点D ，过点D作圆的切线交OB 的延长线于点E ，已知OA ＝8.(1)求证：∠ECD ＝∠EDC ；(2)若tanA ＝14，求DE 的长；(3)当∠A 从15°增大到30°的过程中，求弦AD 在圆内扫过的面积．解：(1)证明：连接OD. ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠EDC ＋∠ODA ＝90 °. ∵OA ⊥OB ，∴∠ACO ＋∠A ＝90 °. ∵OA ＝OD ， ∴∠ODA ＝∠A. ∴∠EDC ＝∠ACO.又∵∠ECD ＝∠ACO ，∴∠ECD ＝∠EDC. (2)∵tanA ＝OC OA ，∴OC 8＝14.∴OC ＝2.设DE ＝x ，∵∠ECD ＝∠EDC ，∴CE ＝x.∴OE ＝2＋x.∵∠ODE ＝90 °，∴OD 2＋DE 2＝OE 2.∴82＋x 2＝(2＋x )2，解得x ＝15.∴DE ＝CE ＝15. (3)过点D 作AO 的垂线，交AO 的延长线于点F. 当∠A ＝15 °时，∠DOF ＝30 °，DF ＝4， S 弓形ABD ＝150×π×64360－12×8×4＝80π3－16；当∠A ＝30 °时，∠DOF ＝60 °，DF ＝43， S ′弓形ABD ＝120×π×64360－12×8×43＝64π3－16 3.∴S ＝(80π3－16)－(64π3－163)＝163π＋163－16.。

河北省2019届中考数学系统复习第六单元圆第24讲与圆有关的位置关系(8年真题训练)练习

第24讲与圆有关的位置关系命题点近8年的命题形式考查方向作为圆的核心知识点的补充，在中考范围内仅出点与圆的位置关系2021(T23(3)解) 现一次(2021年)，并巧妙结合外心与扇形相关内容进行考查，估计这种形式将偶尔出现.高频考点切线的性质与判定是河北省中考必考202 1(T25解)，2021(T23解)，(半圆202 1(T25解)，2021(T26考点，呈现方式稳定，多以局部圆为背景切线的性质与判定解)，或扇形，弓形等)，以旋转或折叠等方式，在变2021(T25解)，2021(T24解)，化过程中，对某一位置或某一时刻形成相切时，2021(T25解)，2021(T25解)对对应的某一量进行求解，表达了从一般到特殊，再到一般的研究问题的思维过程.常考点作为圆的核心知识点的补充，近四年出2021(T15选，T23(3)解)，三角形的内心与外心2021(T23(3)解)，2021(T9选)，现在中考试题中，既表达考查知识的连续性，又2021(T6选) 表达考查知识的全面性，估计这种全局设计方式在一定时期内将一直存在.命题点1 三角形的内心与外心1．(2021·河北T6·3分)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，以下三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B ．△ACF C．△ABD D ．△ADE2．(2021·河北T9·3分)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)A．△ACD的外心 B ．△ABC的外心C．△ACD的内心 D ．△ABC的内心3．(2021·河北T15·2分)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，那么图中阴影局部的周长为(B)1A．B．4C．3D．2命题点2切线的性质与判定︵4．(2021·河北T24·11分)如图，在△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB ＝80°，以点O为圆心，6为半径的优弧MN分别交OA，OB于点M，N.点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证：AP＝BP′；︵点T在左半弧上，假设AT与MN相切，求点T到OA的距离；︵(3)设点Q在优弧MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．解：(1)证明：∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′(SAS)．AP＝BP′.连接OT，过点T作TH⊥OA于点H.︵∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴＝2－2＝102－62＝8.ATOA OT1 12OA·TH＝2AT·OT，AT·OT8×624∴TH＝OA＝10＝5.24∴点T到OA的距离为5.(3)10°或170°.(注：当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点)重难点1 切线的性质如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点 A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE.︵(1)假设∠ADC＝30°，求BD的长；(2)求证：△DAC≌△ECP；2(3)在点P运动过程中，假设1tan∠DCE＝，求AD的长．2【思路点拨】(1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得∠DOB＝60°，利用弧长公式求︵BD的长；先证得四边形DCPE是矩形，从而证明△DAC≌△ECP；(3)可以利用tan∠DCE在Rt△DAC中获得三边的数量关系，在Rt△AOC中建立方程求解．【自主解答】解：(1)∵∠ADC＝30°，OA＝OD，∴∠OAD＝30°.∴∠DOB＝60°.60×π×55π∴lBD＝180＝3.证明：连接OP.∵AO＝OP，点C是AP的中点，∴∠DCP＝90°.∵DE是⊙O的切线，∴∠CDE＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.∴四边形DCPE是矩形．∴DC＝EP.又∵AC＝CP，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP( SAS)．由(2)知，四边形DCPE是矩形，△DAC≌△ECP，∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE.∵tan∠DCE＝1，∴tan∠ADC＝1.2∴设AC＝x，那么DC＝2x，AD＝5x.在Rt△AOC中，OC＝2x22－5，AO＝AC＋OC，2＋(2x 2∴5＝x－5)，解得x1＝0(舍去)，x2＝4.∴AD＝45 .【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过点P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.求证：△CDQ是等腰三角形；如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°.又∵∠BAC＝60°，OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∠ABC＝∠Q＝30°.∴∠ACO＝60°.∴∠DCQ＝180°－90°－60°＝30°.∴∠DCQ＝∠Q.∴△CDQ是等腰三角形．3设⊙O的半径为x，那么AB＝2x，AC＝x，BC＝3x. ∵△CDQ≌△COB，∴CQ＝BC＝3x.11＋3∴AQ＝AC＋CQ＝(1＋3)x.∴AP＝2AQ＝2.3－33－1.∴BP＝AB－AP ＝x，PO＝AP－AO＝22∴BP∶PO＝ 3.方法指导1．遇切线，通常的方法是连接过切点的半径，利用切线垂直于过切点的半径，构建直角三角形，进而利用直角三角形进行求解或证明．2．在圆中还可以获得直角的方法有：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，直径所对的圆周角是直角．3．以圆为背景的求解题，往往转化成解双直角三角形或者相似三角形．Ｋ重难点2 切线的判定(2021·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．求证：AC是⊙O的切线；⊙O的半径为，BE＝4，求BC，AD的长．【思路点拨】(1)证AC是⊙O的切线，可转化为证OE⊥AC；(2)求BC，AD的长可通过证明△BDE∽△BEC和△AOE∽△ABC.【自主解答】解：(1)证明：连接OE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE.∴∠OEB＝∠CBE.∴OE∥BC.又∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC.又∵OE是⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线．∵ED⊥BE，∴∠BED＝∠C＝90°.又∵∠DBE＝∠EBC，∴△BDE∽△BEC.B D BE5416，即.∴BC ＝.B E BC4BC5∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC.A O OEAD＋45，即AD＋5＝.∴AD＝.A B BC 167 5【变式训练2】(2021·安顺)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为BC的中点，AC与半圆O 相切于点D.求证：AB是半圆O所在圆的切线；2(2)假设cos∠ABC＝3，AB＝12，求半圆O所在圆的半径．4解：(1)证明：作OE⊥AB于点E，连接OD，OA.∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴∠CAO＝∠BAO.∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC.又∵OE⊥AB，∴OD＝OE，即OE是半圆O所在圆的半径．∴AB是半圆O所在圆的切线．(2)∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.2在Rt△AOB中，OB＝AB·cos∠ABC＝12×3＝8.根据勾股定理，得OA＝22AB－OB＝45.∵S ＝112AB·OE＝2OB·OA，△AOBOB·OA8585∴O E＝AB＝3，即半圆O所在圆的半径为3.方法指导1．证明某条直线是圆的切线的方法：假设这条直线经过圆上一点，需证明这条直线和经过这一点的半径垂直；假设没有明确直线经过圆上一点，需证明圆心到这条直线的距离等于圆的半径．2．不能或不易直接求解的边长可转化成易求两条边长的差或和．重难点3 三角形的内心与外心如图，点O为锐角△ABC的外心，四边形 OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断以下说法正确的是(B)A．点O是△AEB的外心，点O是△AED的外心B．点O是△AEB的外心，点O不是△AED的外心C．点O不是△AEB的外心，点O是△AED的外心D．点O不是△AEB的外心，点O不是△AED的外心【变式训练3】如图，假设点O是AB的中点，且点O不是一个三角形的外心，那么这个三角形可以是(B)A．△ABC B．△ABE C．△ABF D．△ABD5【变式训练4】如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，那么以下说法正确的选项是(A)A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形【变式训练5】如图，△ABC的外心坐标是(B)A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－2，－2) D．(－1，－1)方法指导1．判断点是某个三角形的外心，只需说明点到此三角形的三个顶点的距离相等即可；判断点是某个三角形的内心，只需说明点到此三角形三边的距离相等即可．2．三角形的内心是三角形角平分线的交点，又是三角形内切圆的圆心；三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，又是三角形外接圆的圆心．它是串联圆与三角形之间的关键点，可以利用它从一个图形过渡到另一个图形．重难点4 切线长定理如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O 的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，那么剪下的三角形的周长为(B)A．12cm B ．7cm C ．6cm D ．随直线MN的变化而变化【思路点拨】由切线长定理，可将△AMN的周长转化成求AD＋AE的和，而BD＋CE的和等于BC.【变式训练6】如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点．假设∠E＝46°，∠DCF＝32°，6那么∠A的度数是99°．方法指导1．由切线长定理及三角形周长可得：1①AD＝2C△ABC－BC；1②BD＝2C△ABC－AC；1③CE＝2C△ABC－AB.2．假设三角形的内切圆及切点，求线段的长或周长时，往往用到切线长定理．1．⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为10，那么反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(D)2．⊙O的半径是3，点P在圆内，那么线段OP的长可能是()A．2B．3C．4D．53．(2021·宜昌)如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，那么∠CED的度数为(D)A．30°B．35°C．40°D．45°4．(2021·河北模拟)九个相同的等边三角形如下图，点O是一个三角形的外心，那么这个三角形是(C)A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△ACE5．(2021·保定模拟)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点D，E分别是AC，AB的中点，那么以DE为直径的圆与BC的位置关系是(B)A．相切B．相交C．相离D．无法确定76．(2021·烟台)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，那么∠CDE的度数为(C)A．56° B．62° C．68° D．78°7．(2021·石家庄长安区模拟)如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上．假设过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，那么MK＝(B)A．3 2 B．2 5 C．5 D. 348．(2021·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，那么过 A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．9．(2021·安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点 D，E.假设点D是AB的中点，那么∠DOE＝60°．10．(2021·邵阳)如下图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．8证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠OCB＝∠DBC.∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.又∵OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．11．(2021·黄冈)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.(1)求证：∠CBP＝∠D；(2)假设OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．解：(1)证明：连接OB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴∠A＋∠D＝90°.∵BC为切线，∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°.∴∠OBA＋∠CBP＝90°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.∴∠CBP＝∠D.∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°.∴∠P＋∠A＝90°.∴∠P＝∠D.又∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD.A PAO1＋BP2∴＝，即4＝.A DAB1∴BP＝7.12．(2021·荆门)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为(A)A．(－2，3) B．(－3，2) C．(3，－2) D．(2，－3)提示：I(3，2)．913．(2021·台州)如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E.将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，假设B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，那么以下判断错误的选项是(D)A．△ADF≌△CG EB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC 的面积是一个定值D．四边形OGB′F的面积是一个定值提示：连接OA，OC，易证△DOF≌△GOF≌△GO E，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，△ADF≌△CGE，应选项A正确；∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE.∴△ADF≌△B′GF≌△CGE∴.B′F＝AF，B′G＝CG.∴C△B′FG＝FG＋B′F1＋B′G＝FG＋AF＋CG＝AC(定值)，应选项B正确；S四边形FOEC＝S△OCF＋S△OCE＝S△OCF＋S△OAF＝S△AOC＝3S△ABC(定值)，应选项C正确；S四边形OGB＝SOFG＋SBGF＝SOFD＋SADF＝S＝S＋S＝S＋S＝S－S，过点O作OH⊥AC′F△△′△四边形OFAD△OAD△OAF△OCG△OAF△OAC△OFG于点H，∴S1OGB′F的面积也变化，故＝2FG·OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形△OFG选项D错误．14．(2021·南京)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，那么CF的长为4．提示：连接22OE，延长EO交CD′于点G，那么OE＝OC＝2.5.∴OG＝EG－OE＝1.5.∴CG＝OC－OG＝2.∴CF ＝2CG＝4.15．【分类讨论思想】(2021·宁波)如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或43．1提示：分两种情况讨论：①当⊙P与直线CD相切时，BP＝3；②当⊙P与直线AD相切时，PB＝4 3.16．(2021·扬州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.求证：AC是⊙O的切线；假设点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影局部的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．解：(1)证明：作OH⊥AC于点H.∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC.又∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE，即OH为⊙O的半径．∴AC是⊙O的切线．∵点F是OA的中点，∴OA＝2OF＝2OE＝6.又∵OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°.∴AE＝3 3.∴S阴影＝S△AOE－S扇形EOF12 60×π×3＝2×3×33－360＝93－3π.2作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于点P，此时PE＋PF最小．∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′.∵∠AOE＝∠F′＋∠OEF′＝60°，∴∠F′＝30°.∴∠F′＝∠EAF′.EF′＝EA＝33，即PE＋PF最小值为33.在Rt△OPF′中，OP＝tan30°·OF′＝3，在Rt△ABO中，OB＝tan30°·OA＝23，∴BP＝23－3＝3.11。

河北省2019年中考数学复习圆第31讲与圆有关的计算试题(含解析)

第31讲与圆有关的计算1. (2010，河北)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8 m ，母线AB 与底面半径OB 的夹角为α，tan α＝43，则圆锥的底面积是 36π m 2.第1题图【解析】 ∵AO ＝8，tan α＝AO BO ＝43，∴BO ＝6.所以圆锥的底面积是π·62＝36π(m 2)．2. (2013，河北)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C ＝30°，CD ＝23，则S 阴影为(D)第2题图A. πB. 2πC. 233D. 23π 【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝23，∴CE ＝DE ＝12CD ＝ 3.在Rt △ACE 中，∵∠C ＝30°，∴AE＝CE ·tan 30°＝1.在Rt △OED 中，∵∠DOE ＝2∠C ＝60°，∴OD ＝EDsin 60°＝2.∴OE ＝OA －AE ＝OD －AE ＝1.∴S 阴影＝S 扇形OAD －S △OED ＋S △ACE ＝60π×22360－12×1×3＋12×1×3＝23π.3. (2014，河北)如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形，则S 扇形＝ 4 cm 2.第3题图【解析】由题意，得弧长为8－2×2＝4(cm)，扇形的面积是12×4×2＝4(cm 2)．4. (2018，河北)如图①，作∠BPC 平分线的反向延长线PA ，现要分别以∠APB ，∠APC ，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC ＝90°，而90°2＝45°是360°(多边形外角和)的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图②所示．第4题图图②中的图案外轮廓周长是 14 ；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 21 .【解析】题图②中的图案外轮廓周长是6＋6＋2＝14.设∠BPC ＝2x ，则以∠BPC 为内角的正多边形的边数为360180－2x ＝18090－x ，以∠APB 为内角的正多边形的边数为360x .所以图案的外轮廓周长是18090－x －2＋360x －2＋360x －2＝18090－x ＋720x －6.根据题意，可知2x 的值只能为60，90，120，144.当x 越小时，周长越大．∴当x ＝30时，周长最大．把此时的图案定为会标，则会标的外轮廓周长是18090－30＋72030－6＝21.扇形的弧长与面积例1 (2018，唐山滦南县二模)如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2.将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以点O ，E 为圆心，OA ，ED 的长为半径画AF 和DF ，连接AD ，则图中阴影部分的面积是(A)例1题图A. 8－πB. 5π4C. 3＋πD. π【解析】如答图，过点D 作DH ⊥AE 于点H .∵∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝13.由旋转的性质，可知OE ＝OB ＝2，DE ＝EF ＝AB ＝13.∵∠OFE ＋∠FEO ＝∠OED ＋∠FEO ＝90°，∴∠OFE ＝∠OED .∴△DHE ≌△EOF .∴DH ＝OE ＝OB ＝2.∴S 阴影＝S △ADE ＋S △EOF ＋S 扇形AOF －S扇形DEF ＝12×5×2＋12×2×3＋90π·32360－90π·（13）2360＝8－π.例1答图针对训练1 (2018，成都武侯区模拟)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB 的三个顶点都在格点上．现将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，则点A 经过的路径AC 的长为(A)训练1题图A. 3π2B. πC. 2πD. 3π【解析】 ∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，∴∠AOC ＝90°. ∵OC ＝3，∴点A 经过的路径AC 的长为90π·3180＝3π2.针对训练2 (2018，绍兴柯桥区模拟)如图，△ABC 为等边三角形，保持各边的长度不变，将BC 边向三角形外拉伸得到扇形ABC .设△ABC 的面积为S 1，扇形ABC 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系为(A)训练2题图A. S 1＜S 2B. S 1＝S 2C. S 1＞S 2D.无法确定【解析】设△ABC 的边长是a ，高是h ，则a ＞h .∵S 1＝12ah ，S 2＝12·BC ·a ＝12a 2，∴S 1＜S 2.圆锥的相关计算例2(2018，连云港模拟)如图，已知扇形AOB 的半径为6，圆心角的度数为120°.若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为(A)例2题图A. 4πB. 6πC. 9πD. 12π【解析】由弧长公式，可知AB ＝120π·6180＝4π.∴圆锥底面圆的周长为4π.设底面圆的半径为r ，∴4π＝2πr .∴r ＝2.∴圆锥的底面积为π·22＝4π.针对训练3 (2018，南京秦淮区模拟)已知圆锥的母线长为12，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积是(D)A. 24πB. 36πC. 70πD. 72π【解析】圆锥的底面圆的周长为2π·6＝12π，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为12π，则圆锥的侧面积为12·12π·12＝72π.针对训练4 (2018，银川兴庆区模拟)如图，点A 在以BC 为直径的⊙O 内，且AB ＝AC .以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，得到扇形ABC ，剪下扇形ABC 围成一个圆锥(AB 和AC 重合)．若∠ABC ＝30°，BC ＝23，则这个圆锥底面圆的半径是(A)训练4题图A. 23B. 32C. 2D. 3【解析】如答图，连接OA .∵AB ＝AC ，OB ＝OC ＝12BC ＝3，∴AO ⊥BC .∵∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝120°，AO ＝33OB ＝1.∴AB ＝2OA ＝2.设这个圆锥底面圆的半径为r ，则 2πr ＝120·π·2180.解得r ＝23.训练4答图正多边形和圆例3 (2018，南阳镇平县模拟)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 的长为(B)例3题图A. 2B. 23C. 3D. 4 3【解析】如答图，连接OB ，OC .∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC ＝60°.∵OB ＝OC ，∴△BOC 是等边三角形．∴∠OBM ＝60°.∴OM ＝OB ·sin ∠OBM ＝4×32＝2 3.例3答图针对训练5 如图，将正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 的长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)．若AB ＝3，则所得扇形的面积为 18 .训练5题图【解析】 ∵六边形ABCDEF 是正六边形，AB ＝3，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA ＝3.∴BDF 的长为3×4＝12.∴S 扇形AFB ＝12×12×3＝18.针对训练6 (2018，石家庄新华区模拟)如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A ，B 在一个半径为2的圆上，顶点C ，D 在圆内，将正方形ABCD 沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路径长为（ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋26π ）.训练6题图【解析】如答图，设圆心为O ，连接AO ，BO ，AC ，AE ，OF .∵AB ＝2，AO ＝BO ＝2，∴△AOB 是等边三角形．∴∠AOB ＝∠OAB ＝60°.同理△FAO 也是等边三角形，∠FAB ＝2∠OAB ＝120°.∴∠EAC ＝120°－90°＝30°，∠GFE ＝120°－90°＝30°.∵AD ＝AB ＝2，∴AC ＝（2）2＋（2）2＝2.当点C 第一次落在圆上时即点G 的位置，点C 运动的路径长为30π·2180＋30π·2180＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋26π.训练6答图一、选择题1. (2018，盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB )，则AB 的展直长度为(B)第1题图A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π【解析】AB 的展直长度为108π·10180＝6π.2. (2018，仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A. 120°B. 180°C. 240°D. 300°【解析】设母线长为R ，底面圆的半径为r ，∴底面圆的周长为2πr ，底面积为πr 2，侧面面积为πrR .∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr 2＝πrR .∴R ＝2r .设圆心角为n ，则n πR180＝2πr ＝πR .解得n ＝180°.3. (2018，宁夏)用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥底面圆的半径是(A)A. 10B. 20C. 10πD. 20π【解析】设这个圆锥底面圆的半径是r .依题意，得2πr ＝120π·30180.解得r ＝10.故这个圆锥底面圆的半径是10.4. 如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，以点D 为圆心，BD 长为半径画弧交AC 于点E .若∠A ＝60°，∠B ＝100°，BC ＝4，则扇形BDE 的面积为(C)第4题图A. π3B. 2π3C. 4π9D. 5π9【解析】 ∵∠A ＝60°，∠B ＝100°，∴∠C ＝180°－60°－100°＝20°.∵DE ＝DC ，∴∠DEC ＝∠C ＝20°.∴∠BDE ＝∠C ＋∠DEC ＝40°.∴S 扇形BDE ＝40π·22360＝4π9.5. (2018，黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD 的长为(D)第5题图A. 2π3B. 4π3C. 2πD. 8π3【解析】如答图，连接OD .∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝2∠ABD ＝60°.∴∠BOD ＝ 120°.∴BD 的长为120π·4180＝8π3.第5题答图6. (2018，石家庄裕华区一模)如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a )重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是(C)第6题图A. 5∶2B. 3∶2C. 3∶1D. 2∶1【解析】正六边形的面积为6×34·(2a )2＝63a 2，阴影部分的面积为2·a ·3a ＝23a 2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是63a 2∶23a 2＝3∶1.7. (2018，广安，导学号5892921)如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上．若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分的面积为(C)第7题图A. 2π3－2 3B. 2π3－ 3C. 4π3－2 3D. 4π3－ 3【解析】如答图，连接OB ，AC ，且它们相交于点D .∵⊙O 的半径是2，∴OB ＝OA ＝OC ＝2.∵四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD ＝12OB ＝1.在Rt △COD 中，利用勾股定理，可知CD ＝22－12＝ 3.∴AC ＝2CD ＝2 3.∵sin ∠COD ＝CD OC ＝32，∴∠COD ＝60°.∴∠AOC ＝2∠COD ＝120°.∴S 菱形ABCO ＝12·OB ·AC ＝12×2×23＝23，S 扇形AOC ＝120π·22360＝4π3.∴S 阴影＝S 扇形AOC －S 菱形ABCO ＝4π3－2 3.第7题答图8. (2018，衢州)如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面圆的直径．已知BC ＝6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC 的值为(C)第8题图A. 34B. 35C. 45D. 53【解析】设圆锥的母线长为R .由题意，得15π＝π·3·R .解得R ＝5.∴圆锥的高AO 为4.∴sin ∠ABC ＝AO AB ＝45.9. (2018，成都)如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C)第9题图A. πB. 2πC. 3πD. 6π【解析】 ∵在▱ABCD 中，∠B ＝60°，∴∠C ＝120°.∴S 阴影＝120π·32360＝3π.10. (2018，绵阳)如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成．若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π m 2，圆柱高为3 m ，圆锥高为2 m 的蒙古包，则需要毛毡的面积为(A)第10题图A. (30＋529)π m 2B. 40π m 2C. (30＋521)π m 2D. 55π m2【解析】设底面圆的半径为r .根据题意，得πr 2＝25π.解得r ＝5.∴圆锥的母线长为22＋52＝29.∴圆锥的侧面积为12×2π·5×29＝529π，圆柱的侧面积为2π·5×3＝30π.∴需要毛毡的面积为(30＋529)π m 2.11. (2018，十堰)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝100°，OA ＝12，C 是OB 的中点，CD ⊥OB 交AB 于点D ，以OC 为半径的CE 交OA 于点E ，则图中阴影部分的面积是(C)第11题图A. 12π＋18 3B. 12π＋36 3C. 6π＋18 3D. 6π＋36 3【解析】如答图，连接OD ，BD .∵C 为OB 的中点，∴OC ＝12OB ＝12OD .∵CD ⊥OB ，∴∠CDO＝30°，∠DOC ＝60°.∴△BDO 为等边三角形．∵OD ＝OA ＝12，OC ＝CB ＝6.∴CD ＝6 3.∴S 扇形BOD ＝60π·122360＝24π.∴S 阴影＝S 扇形AOB －S 扇形COE －(S 扇形BOD －S △COD )＝100π·122360－100π·62360－⎝ ⎛⎭⎪⎫24π－12×6×63＝6π＋18 3.第11题答图12. (2018，邯郸二模)正六边形ABCDEF 与正三角形ACG 按如图所示的位置摆放，在六边形AGCDEF 中，S 阴影S 空白的值是(D)第12题图A. 25B. 15C. 16D. 17【解析】如答图，连接DF ，过点G 作GM ⊥AC 于点M . 设AC ＝2a .∵六边形ABCDEF 是正六边形，△ACG 是正三角形，∴∠ABC ＝（6－2）×180°6＝120°，AB ＝BC ，AG ＝CG ＝AC ＝2a .∴GM 过点B .∴AM ＝ CM ＝a ，∠BAC ＝∠BCA ＝30°.∴BM ＝33a .∴AB ＝2BM ＝233a .∴AF ＝AB ＝233a .在Rt △GMA 中，由勾股定理，得GM ＝（2a ）2－a 2＝3a .∴正六边形ABCDEF 的面积为2×12·2a ·33a ＋2a ·233a ＝23a 2，正三角形ACG 的面积为12·AC ·GM ＝12·2a ·3a ＝3a 2，阴影部分的面积为12·AC ·BM ＝12·2a ·33a ＝33a 2.∴S 阴影S 空白＝33a 223a 2＋3a 2－233a2＝17.第12题答图二、填空题13. (2018，贵阳)如图，M ，N 分别是正五边形ABCDE 的两边AB ，BC 上的点，且AM ＝BN ，点O 是正五边形的中心，则∠MON 的度数是 72° .第13题图【解析】如答图，连接OA ，OB ，OC ，则∠AOB ＝360°5＝72°.∵∠AOB ＝∠BOC ，OA ＝OB＝OC ，∴∠OAB ＝∠OBC .在△AOM 和△BON 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠OAM ＝∠OBN ，AM ＝BN ，∴△AOM ≌△BON .∴∠AOM ＝∠BON .∴∠MON ＝∠AOB ＝72°.第13题答图14. (2018，株洲，导学号5892921)如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM 的度数是 48°.第14题图【解析】如答图，连接OA .∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠AOB ＝360°5＝72°.∵△AMN 是正三角形，∴∠AOM ＝360°3＝120°.∴∠BOM ＝∠AOM －∠AOB ＝48°.第14题答图三、解答题 15. (2018，湖州)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连接BC .(1)求证：AE ＝ED ；(2)若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求AC 的长．第15题图【思路分析】 (1)根据平行线的性质得出∠AEO ＝90°，再利用垂径定理证明即可．(2)根据弧长公式解答即可．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵OC ∥BD ，∴∠AEO ＝∠ADB ＝90°，即OC ⊥AD . ∴AE ＝ED .(2)解：∵OC ⊥AD ，∴AC ＝CD .∴∠ABC ＝∠CBD ＝36°.∴∠AOC ＝2∠ABC ＝2×36°＝72°. ∴AC ＝72π·5180＝2π.16. (2018，石家庄桥西区一模)如图，在矩形ABCD 中，点F 在BC 边上，且AF ＝AD ，过点D 作DE ⊥AF ，垂足为E .(1)求证：DE ＝AB ； (2)以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧交AF 于点G .若AD ＝43，tan ∠ADE ＝3，求阴影部分的面积．第16题图【思路分析】 (1)根据矩形的性质得出∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，求出∠DAE ＝∠AFB ，∠AED＝90°，根据AAS 推出△ABF ≌△DEA 即可．(2)根据tan ∠ADE ＝3，可得∠ADE ＝60°，解Rt △ADE ，求出AE ＝6，DE ＝23，根据全等三角形的性质得到AB ＝DE ＝23，BF ＝EA ＝6，∠BAF ＝∠EDA ＝60°，再根据S 阴影＝S △ABF －S 扇形ABG 求出即可．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°，AD ∥BC . ∴∠DAE ＝∠AFB . ∵DE ⊥AF ， ∴∠AED ＝90°.在△ABF 和△DEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DAE ，∠FBA ＝∠AED ，AF ＝DA ，∴△ABF ≌△DEA (AAS)．∴DE ＝AB .(2)解：∵tan ∠ADE ＝3， ∴∠ADE ＝60°.∵AD ＝43，∠AED ＝90°， ∴AE ＝AD ·sin ∠ADE ＝43×32＝6， DE ＝2 3.由(1)知，△ABF ≌△DEA . ∴AB ＝DE ＝23，BF ＝EA ＝6， ∠BAF ＝∠EDA ＝60°.∴S 阴影＝S △ABF －S 扇形ABG ＝12×23×6－60π·（23）2360＝63－2π.1. (2018，荆州)如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示(图中数据单位： cm)，则钢球的半径为（ 6013）cm.(圆锥的壁厚忽略不计)第1题图【解析】钢球的直径为1212＋14×20＝12013(cm)，所以钢球的半径为12013÷2＝6013(cm)．2. (2018，荆门)如图，在▱ABCD 中，AB ＜AD ，∠D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为（4π3－ 3 ）.第2题图【解析】如答图，连接OE ，AE .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝4，∠B ＝∠D ＝30°.∴AE ＝12AB ＝2，BE ＝42－22＝2 3.∵OA ＝OB ＝OE ，∴∠B ＝∠OEB ＝30°.∴∠BOE ＝120°.∴S 阴影＝S 扇形OBE －S △BOE ＝120π·22360－12×12AE ·BE ＝43π－14×2×23＝4π3－ 3.第2题答图3. (2018，玉林，导学号5892921)如图，正六边形ABCDEF 的边长是6＋43，点O 1，O 2分别是△ABF ，△CDE 的内心，则O 1O 2第3题图【解析】如答图，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，连接O 1F ，O 1A ，O 1B .∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠FAB ＝（6－2）×180°6＝120°，AF ＝AB .∴∠AFB ＝∠ABF ＝12×(180°－120°)＝30°.∴AM ＝12AF ＝12×(6＋43)＝3＋2 3.∴FM ＝BM ＝3AM ＝33＋6.∴BF ＝2FM ＝12＋6 3.设△AFB 的内切圆的半径为r .∵S △AFB ＝S △AO 1F ＋S △AO 1B ＋S △BFO 1，∴12×(3＋23)×(63＋12)＝12×(6＋43)·r ＋12×(6＋43)·r ＋12×(12＋63)·r .解得r ＝3，即O 1M ＝r ＝3.∴O 1O 2＝2×3＋6＋43＝12＋4 3.第3题答图。

河北省2019届中考数学系统复习第三单元函数第9讲函数的基础知识(8年真题训练)练习

第三单元函数第9讲函数的根底知识命题点1 函数图象1．(2021·河北T11·3分)如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，那么y与x的函数图象大致是(A)A B C D命题点2 分段函数的图象2．(2021·河北T16·3分)如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12.动点P从点A出发，沿折线AD－DC－CB以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y＝S△EPF，那么y与t的函数图象大致是(A)A B C D重难点1 平面直角坐标系及点的坐标(2021·咸宁)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，那么点F的坐标为(－1，5)．【思路点拨】过点E作x轴的垂线，过点F作y轴的垂线，构成全等三角形，得到相应的线段长，从而求出点 F的坐标．【变式】例1中，点G的坐标是(－3，2)；将正方形OEFG绕点O顺时针旋转，当点F在y 轴上时，点E的坐标26 26 26 26是(2，2)或(－2，－2)．【变式训练1】 (1)点A的坐标为(2，3)，将点A绕原点逆时针旋转90°，得到点B，那么点B的坐标为(－3，2)；点A的坐标为(2，3)，将点O绕点A顺时针旋转90°，得到点C，那么点C的坐标为(－1，5)．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，?OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为(5，0)，点C 的坐标为(1，2)，那么点B的坐标为(6，2)．1【变式训练3】(2021·百色)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为(2，10)，将正方形OABC沿着OB方向平移2OB个单位长度，那么点C的对应点坐标是(1，3)．方法指导1．解决与平面直角坐标系有关的问题要灵活运用数形结合的思想．2．求一个点的坐标需确定两方面的信息：一是坐标的正负性，以确定这个点所在的区域；二是坐标的绝对值，以确定这个点到两条坐标轴的距离．3.坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．4.规律探索类问题解题的关键是根据条件发现题目所蕴含的规律．通常采用递推的形式进行探索．,注：变式训练4可不必找出全部规律，而是先看求什么，根据所求再去寻找规律能够简化很多．,模型归纳)全等的三垂直模型易错提示注意坐标与线段长的关系，此题中，点F在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正．变式点把正方形放在坐标系中，是考查点的坐标中常见的一种呈现方式．改变呈现方式，见变式训练1；改变背景图形，见变式训练2；加上平移运动，见变式训练 3.重难点2函数图象(2021·西宁)如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC－CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，那么以下图象中能大致反映y与x之间函数关系的是(A)A B C D3【思路点拨】△AMN的底为x，点N在线段DC上时，△AMN的高为3，不变，y＝2x；点N在线段CB上时，△AMN1的高为3＋3－2x＝6－2x，y＝2x(6－2x)．【变式训练4】(2021·石家庄十八县大联考)小明早上从家骑自行车去上学，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达学校，小明骑自行车所走的路程s(单位：千米)与他所用的时间t(单位：分钟)的关系如图所示，放学后，小明沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致．以下说法：①小明家距学校4千米；②小明上学所用的时间为12分钟；③小明上坡的速度是千米/分钟；④小明放学回家所用时间为15分钟．其中正确的个数是(C)2A．1B．2C．3D．4【变式训练5】(2021·广安)点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如下图，那么该封闭图形可能是(A)方法指导运动背景下的函数图象问题，第一，要数形结合，将运动过程与图象完全对应起来；第二，可先从图象上判断自变量的取值范围是否与运动实际过程一致，然后结合图象的趋势判断是否与实际过程一致；第三，可选取图象上的特殊点看是否符合运动过程；第四，可尝试求出函数关系式，再根据函数关系式的类型去判断．在复习时遇到判断函数图象的问题时，容易想到学过的一次函数、二次函数、反比例函数，但要注意一些分段函数及非常规的函数．1．(2021·宁夏)在平面直角坐标系中，点(3，－2)关于原点对称的点是(A)A．(－3，2)B．(－3，－2)C．(3，－2)D．(3，2)2．(2021·东营)在平面直角坐标系中，假设点P(m－2，m＋1)在第二象限，那么m的取值范围是(C)A．m＜－1B．m＞2C．－1＜m＜2D．m＞－13．(2021·扬州)在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，那么点M的坐标是(C)A．(3，－4)B．(4，－3)C．(－4，3)D．(－3，4)4．假设汽车的速度为120km/h，那么描述路程s(km)与时间t(h)之间关系的说法：①s是t的函数；②t是s的函数；③s＝120t；④s随t的增大而减小．其中正确的有(A)A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④5．(2021·齐齐哈尔)等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，那么以下函数中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是(D)A B C D6．(2021·北京)如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：3①当表示天安门的点的坐标为(0，0)，表示广安门的点的坐标为(－6，－3)时，表示左安门的点的坐标为(5，－6)；②当表示天安门的点的坐标为(0，0)，表示广安门的点的坐标为(－12，－6)时，表示左安门的点的坐标为(10，－12)；③当表示天安门的点的坐标为(1，1)，表示广安门的点的坐标为(－11，－5)时，表示左安门的点的坐标为(11，－11)；④当表示天安门的点的坐标为，1.5)，表示广安门的点的坐标为(－，－7.5)时，表示左安门的点的坐标为，－16.5)．上述结论中，所有正确结论的序号是(D)A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④2x＋117．(2021·恩施)函数y＝x－3的自变量x的取值范围是x≥－2且x≠3．8．(2021·南京)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，再将点A′向下平移4个单位长度，得到点A″，那么点A″的坐标是(1，－2)．9．(2021·孝感)如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接F，△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，那么表示y OB，OC，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，与x的函数图象大致是(B)A B C D10．(2021·滨州)如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，那么函数y＝x－[x]的图象为(A)11．(2021·安顺)如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4.假设点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，那么点P4的坐标为(8，0)．412．(2021·石家庄十八县大联考)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)，点C的坐标为(－25，4)，点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从点O开始，以每秒2个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从点O出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒(t>0)，△OMN的面积为S.那么：AB的长是10，BC的长是6；当t＝3时，S的值是6．如图是一种古代计时器“漏壶〞的示意图，在壶内盛有一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁上画有刻度，人们可以根据壶中水面的位置计算时间．假设用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是(不考虑水量变化对压力的影响)(B)5。

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第25讲与圆有关的计算命题点1 扇形弧长、面积的计算1．(2013·河北T14·3分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD ＝2 3.则S 阴影＝(D)A ．πB ．2π C.23 3 D.23π2．(2014·河北T19·3分)如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形．则S 扇形＝4cm 2.命题点2 正多边形与圆3．(2014·河北T15·3分)如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S 阴影S 空白＝(C)A ．3B ．4C ．5D ．6重难点1 弧长的计算如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．(1)图中已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH ；(2)设△ABC 的边长为a ，则第1段弧的长是2πa 3；第5段弧的长是10πa3；前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是10πa；(3)类似地有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”…，边长为a 的正方形的渐开线的前5段弧长的和是15πa2；(4)猜想：①边长为a 的正n 边形的前5段弧长的和是30πan ；②边长为a 的正n 边形的前m 段弧长的和是m （m ＋1）πan．【思路点拨】 (1)以点B 为圆心，BG 长为半径画弧即可；(2)利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断地增大，第1段弧的半径是a ，第2段弧的半径是2a ，第3段弧的半径是3a ，依此下去第5段弧的半径是5a ，总和就是把五段弧长加起来；(3)先利用正方形的性质求出正方形的外角度数，结合每段弧所在圆的半径变化规律，利用弧长公式计算每段弧长，最后求和；(4)可以利用前面的探究方法，结合正n 边形的性质解决．【变式训练1】 (2018·淄博)如图，⊙O 的直径AB ＝6.若∠BAC＝50°，则劣弧AC 的长为(D)A ．2π B.8π3 C.3π4 D.4π3【变式训练2】 (2018·廊坊模拟)如图，在边长为6的菱形ABCD 中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是6π．(结果保留π)方法指导1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可．2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长．模型建立边长为a 的正n 边形的渐开线第m 段弧长为2π×man .重难点2 扇形面积的有关计算如图1，直径AB 为6的半圆，绕点A 逆时针旋转60°，此时点B 到达点B′，求圆中阴影部分的面积．图1 图2 图3【变式1】 (2018·大庆)如图2，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为23π．【变式2】如图3，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝1，∠ABC＝30°，将Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是13π．【变式3】如图4，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°后得到△DBE，点A 经过的路径为弧AD ，则图中阴影部分的面积是6π．图4 图5【变式4】如图5，在Rt△A BC 中，∠ACB＝90°，BC ＝1，将Rt△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，此时点B 恰好在DE 上，其中点A 经过的路径为弧AD ，则图中阴影部分的面积是π2－4(注：所有小题结果保留π)【思路点拨】阴影部分的面积可以看作以旋转点为圆心，旋转角为圆心角，AB 为半径的扇形面积；只有变式4阴影部分的面积是S 扇形ACD －S △BCE .【自主解答】解：∵AB＝AB′＝6，∠BAB′＝60°， ∴S 阴影＝S 扇形B′AB ＋S 半圆O′－S 半圆O ＝S 扇形B′AB ＝60360×π×62＝6π.方法指导在圆中求阴影部分面积大致有以下方法： (1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积； (2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积； (3)可以利用等积变换求阴影部分的面积； (4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积．重难点3 正多边形和圆(2017·河北模拟)如图是由有两个公共顶点的正六边形与正方形组成的一个图形．若阴影部分的周长为10，则这个图形的外轮廓线的周长为(A)A ．18B ．18 3C ．22D ．22 3 【思路点拨】从图形上能看出，正方形的边长等于正六边形边长的2倍．提示：设正六边形的边长为a ，则正方形的边长为2a ，由题意，得5a ＝10，解得a ＝2.则外轮廓线的周长为3a ＋2a×3＝9a ＝18.【变式训练3】 (2017·河北模拟)如图，正六边形与正方形有重合的中心O.若∠BOC 是正n 边形的一个外角，则n 的值为(C)A ．8B ．10C ．12D ．16【变式训练4】 (2018·石家庄二模)正六边形ABCDEF 与正三角形△ACG 按如图所示位置摆放，在六边形AGCDEF 中，S 阴影S 空白的值是(D)A.25B.15C.16D.17方法指导1．熟悉常见正多边形边长与对角线的数量关系．2．正n 边形的中心角与每一个外角相等，都等于360°n(n≥3)．3．研究面积相关问题时可采用割补与拼接等方法，研究周长可采用化曲为直等方法．注：正多边形与圆中，正多边形通常是指正方形，正五边形，正六边形，正八边形等常见的正多边形．1．(2018·盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，则AB ︵的展直长度为(B)A ．3π mB ．6π mC ．9π mD ．12π m2．(2018·成都)如图，在▱ABCD 中，∠B＝60°，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C)A ．πB ．2πC ．3πD ．6π3．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A)A.π2 m 2B.32π m 2 C ．π m 2 D ．2π m 24．(2018·河北模拟)如图，分别把正六边形边AB ，EF ，CD 向两个方向延长，相交于点M ，N ，Q ，则阴影部分与空白部分的面积比为(A)A.12B.13C.25D.145．(2018·河北模拟)如图，六边形ABCDEF 和六边形MNPQGH 都是正六边形．若AB ＝10，则MN 的值可能是(D)A.532B ．5C ．5 2D ．5 3 6．(2018·株洲)如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM＝48°．7．(2018·石家庄藁城区模拟)如图，M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边AB ，AE 的中点，四边形MNHG 是位于该正五边形内的正方形，则∠BMH 的度数是99°．8．(2018·盐城)如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分，图2中图形的相关数据：半径OA ＝2 cm ，∠AOB＝120°.则图2的图形周长为8π3cm(结果保留π)．9．(2018·河南)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B 的运动路径为BB′︵，则图中阴影部分的面积为54π－32．10．(2018·邢台宁晋县模拟)如图，半圆O 的直径AB ＝4，P ，Q 是半圆O 上的点，弦PQ 的长为2，则AP ︵与QB ︵的长度之和为(B)A.23πB.43πC.53π D ．π 提示：连接OP ，OQ ，易知△OPQ 为等边三角形，lAP ︵＋lQB ︵＝120180×π×2＝43π.11．(2018·威海)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，则图中阴影部分的面积是(C)A ．18＋36πB ．24＋18πC ．18＋18πD ．12＋18π提示：作FH⊥BC 交BC 延长线于点H ，连接AE ，S 阴影＝S 正方形ABCD ＋S 半圆－S △ABE －S △AEF ＝12×12＋12×π×62－12×12×6－12×65×65＝18＋18π.12．(2018·河北模拟)如图，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163 cm ，AC ＝8 cm ，则图中阴影部分的面积为25π－482 cm 2；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．解：(1)证明：连接OC ， ∵PA 切⊙O 于点A ， ∴∠PAO＝90°. ∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB. ∵OC＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB. ∴∠AOP＝∠COP.在△PAO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOP＝∠COP，OP ＝OP ，∴△PAO≌△PCO(SAS)． ∴∠PAO＝∠P CO ＝90°. 又∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线．(3)连接AE ，BE ，过点B 作BM⊥CE 于点M ， ∴∠CMB＝∠EMB＝90°，∠AEB＝90°. 又∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ︵＝BE ︵.∴∠ECB＝∠ACE＝12∠ACB＝45°.又∵∠CMB＝90°， ∴∠CBM＝45°.∴BM＝CM.在Rt△BCM 中，由勾股定理，得CM 2＋BM 2＝BC 2，即CM 2＋BM 2＝36， ∴CM＝BM ＝3 2 cm.又∵∠ABE＝∠ACE＝45°，∴在Rt△AEB中，BE＝AB·cos∠ABE＝5 2 cm.在Rt△BEM中，由勾股定理，得EM＝BE2－BM2＝（52）2－（32）2＝42(cm)，∴CE＝CM＋EM＝7 2 cm，即CE的长为7 2 cm.13．(2018·宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1.若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S(结果保留根号)。

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