四川省绵阳市2020年中考数学试题

…………外………………内……绝密★启用前
四川省绵阳市2020年中考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息$2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．﹣3的相反数是（ ） A ．﹣3 B ．﹣
13
C D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用相反数的定义得出即可． 【详解】
解：-3的相反数是3 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了相反数的定义．正确理解相反数的定义是解题关键．
2．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（ ）
A ．2条
B ．4条
C ．6条
D ．8条
【答案】B
试卷第2页，总30页
………○…………线※※题※※
………○…………线【解析】 【分析】
根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数． 【详解】 解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形， 所以此图形的对称轴有4条． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
3．近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐．截至2019年12月底，华为5G 手机全球总发货量突破690万台．将690万用科学记数法表示为（ ） A ．0.69×107 B ．69×105
C ．6.9×105
D ．6.9×106
【答案】D 【解析】 【分析】
绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为10n a ⨯，n 为整数位数减1． 【详解】
解：690万＝6900000＝6.9×106． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了科学记数法-表示较大的数，科学记数法中a 的要求和10的指数n 的表示规律为关键，
4．下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
线…………○……线…………○……A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可． 【详解】
解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种， 因此选项D 符合题意， 故选：D ． 【点睛】
本题考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的11种不同情况，是正确判断的前提．
5a 的取值范围是（ ） A ．a≥1 B ．a≤1 C ．a≥0 D ．a≤﹣1
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】
10a -， 解得：1a ． 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 6．《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7
试卷第4页，总30页
○…………装…※※请※※不※※要※○…………装…钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（ ） A ．160钱 B ．155钱
C ．150钱
D ．145钱
【答案】C 【解析】 【分析】
设共有x 人合伙买羊，羊价为y 钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】
解：设共有x 人合伙买羊，羊价为y 钱，
依题意，得：54573x y
x y +=⎧⎨+=⎩
，
解得：21150x y =⎧⎨
=⎩
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DF ∥BC ，∠ABC 的平分线BE 交DF 于点G ，GH ⊥DF ，点E 恰好为DH 的中点，若AE ＝3，CD ＝2，则GH ＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
过E 作EM BC ⊥，交FD 于点H ，可得EH GD ，得到EH 与GH 平行，再由E 为HD
中点，得到2HG
EH ，同时得到四边形NMCD 为矩形，再由角平分线定理得到
AE ME =，进而求出EH 的长，得到HG 的长．
【详解】
……线…………○………线…………○…解：过E 作EM BC ⊥，交FD 于点N ，
//DF BC ，
EN
DF ，
//EN HG ，
∴
EN ED
HG HD
， E 为HD 中点， ∴12
ED HD
， ∴
1
2
EN HG ，即2HG EN ，
90DNM NMC C ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形NMCD 为矩形，
2M N
DC
，
BE 平分ABC ∠，EA AB ⊥，EM BC ⊥，
3EM AE ， 321EN
EM M N
，
则22HG EN
．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
8．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（ ） A ．
23
B ．
12
C ．
13
D ．
16
【答案】A 【解析】 【分析】
试卷第6页，总30页
…………装…………………线……※※请※※不※※要※※在※※…………装…………………线……根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】
解：三个不同的篮子分别用A 、B 、C 表示，根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种， 则恰有一个篮子为空的概率为62
93
=． 故选：A ． 【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．在螳螂的示意图中，AB ∥DE ，△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝124°，∠CDE ＝72°，则∠ACD ＝（ ）
A ．16°
B ．28°
C ．44°
D ．45°
【答案】C 【解析】 【分析】
延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的
性质得出28CFD A ，
【详解】
订…………○…__考号：___________
订…………○…解：延长ED ，交AC 于F ，
ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，
28A
ACB
，
//AB DE ，
28CFD A
，
72CDE CFD ACD
，
72
28
44ACD
，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km ”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km ”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ） A ．1.2小时 B ．1.6小时
C ．1.8小时
D ．2小时
【答案】C 【解析】 【分析】
设乙驾车时长为x 小时，则乙驾车时长为（3﹣x ）小时，根据两人对话可知：甲的速度为
180x
km/h ，乙的速度为80
3x -km/h ，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
【详解】
解：设乙驾车时长为x 小时，则乙驾车时长为（3﹣x ）小时， 根据两人对话可知：甲的速度为
180x
km/h ，乙的速度为80
3x -km/h ，
根据题意得：
180(3)80
3x x x
-=-，
试卷第8页，总30页
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
…
…
…
订
…
…
※
线
※
※
内
※
※
答
※
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
…
…
…
订
…
…
解得：x1＝1.8或x2＝9，
经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，
x2＝9不合题意，舍去，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．
11．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）
A．B．米C．D．7米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【详解】
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO= 3
2
，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+3
2
，
∵BC =10， ∴点B （﹣5，0）， ∴0=a ×（﹣5）2+3
2
， ∴a =-
350
， ∴大孔所在抛物线解析式为y =-
350
x 2+3
2，设点A （b ，0），则设顶点为A 的小孔所在
抛物线的解析式为y =m （x ﹣b ）2， ∵EF =14，
∴点E 的横坐标为-7， ∴点E 坐标为（-7，-
36
25
）， ∴-
36
25
=m （x ﹣b ）2， ∴x 1+b ，x 2b ，
∴MN =4， b-（b ）|=4
∴m =-
9
25
， ∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =-9
25
（x ﹣b ）2， ∵大孔水面宽度为20米， ∴当x =-10时，y =-
92
， ∴-
92=-9
25
（x ﹣b ）2， ∴x 1b ，x 2=-2
+b ，
∴单个小孔的水面宽度=|b ）-（b ）|=（米），
故选：B ． 【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结
试卷第10页，总30页
…○…………装○…………线…※※请※※不※※要※
…○…………装○…………线…合的思想解答．
12．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ''，当A B ''恰好经过点D 时，△B 'CD 为等腰三角形，若B B '＝2，则A A '＝（ ）
A ．
B ．
C D
【答案】A 【解析】 【分析】
过D 作DE BC ⊥于E ，则90DEC DEB ，根据矩形的性质得2BE
AD ，
27DE
AB
，
根据旋转的性质得到90DB C ABC
，B C BC '=，A C AC '=，
A CA
B CB ，推出△B CD 为等腰直角三角形，得到2CD B
C ，设B C BC
x ，
则CD =，2CE x =-，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DE BC ⊥于E ，
则90DEC DEB ，
//AD BC ，90ABC ∠=︒，
90DAB ABC ∴∠=∠=︒，
∴四边形ABED 是矩形，
2BE
AD
，27DE
AB
，
将ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ''， 90DB C
ABC
，B C BC '=，A C AC '=
，A CA B CB ，
∴△A CA ∽△B CB ，
试卷第11页，总30页
∴
A A AC
B B BC
， △B CD 为等腰三角形，
∴△B CD 为等腰直角三角形，
2CD
B C ，
设B C BC x ，则CD =，2CE x =-，
22
2CD CE DE ， 2
2
2(2)(2)(27)x x
，
4x ∴=（负值舍去）
， 4BC ∴=，
2
2
211AC
AB BC ，
∴2112A A
， 11A A
，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
13．因式分解：x 3y ﹣4xy 3＝_____． 【答案】xy （x +2y ）（x ﹣2y ） 【解析】 【分析】
原式提取公因式xy ，再利用平方差公式分解即可； 【详解】 解：x 3y ﹣4xy 3， ＝xy （x 2﹣4y 2）， ＝xy （x +2y ）（x ﹣2y ）．
试卷第12页，总30页
故答案为：xy （x +2y ）（x ﹣2y ）． 【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法因式分解．一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14．平面直角坐标系中，将点A （﹣1，2）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点A 1的坐标为_____． 【答案】（﹣3，3） 【解析】 【分析】
根据在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）即可得结论． 【详解】
解：∵将点A （﹣1，2）先向左平移2个单位横坐标﹣2， 再向上平移1个单位纵坐标+1，
∴平移后得到的点A 1的坐标为：（﹣3，3）． 故答案为：（﹣3，3）． 【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-平移，解决本题的关键是掌握平移定义． 15．若多项式||
22
(2)1m n xy n x y 是关于x ，y 的三次多项式，则mn =_____．
【答案】0或8 【解析】 【分析】
直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】 解：
多项式||
22
(2)1m n xy
n x y 是关于x ，y 的三次多项式，
20n ∴-=，1||3m n ，
2n ∴=，||2m n ， 2m n ∴-=或2n m ， 4m ∴=或0m =，
试卷第13页，总30页
0mn 或8．
故答案为：0或8． 【点睛】
本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
16．我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是_____万元．（利润＝销售额﹣种植成本） 【答案】125 【解析】 【分析】
设甲种火龙果种植x 亩，乙钟火龙果种植(100)x -亩，此项目获得利润w ，根据题意列出不等式求出x 的范围，然后根据题意列出w 与x 的函数关系即可求出答案． 【详解】
解：设甲种火龙果种植x 亩，乙钟火龙果种植(100)x -亩，此项目获得利润w ， 甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元， 由题意可知：
0.9 1.1(100)980.9 1.1(100
)100
x x x x ，
解得：5060x ，
此项目获得利润 1.1 1.4(100)1400.3w x x x ，
∵0.30-<
∴w 随x 的增大而减小， ∴当50x =时，
w 的最大值为14015125万元，
故答案为：125． 【点睛】
本题考查一元一次不等式和一次函数，熟悉相关性质是解题的关键．
17．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．
试卷第14页，总30页
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
※
※
订
※
※
线
※
※
内
※
※
答
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
【答案】2
【解析】
【分析】
取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC 于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
【详解】
解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝1
2
AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGE＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝GF OF＝，∴ME≥OF﹣OM＝2，
试卷第15页，总30页
∴当O ，M ，E 共线时，ME 的值最小，最小值为﹣2． 【点睛】
本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 18．若不等式
5
2
x +＞﹣x ﹣72的解都能使不等式（m ﹣6）x ＜2m +1成立，则实数m 的
取值范围是_______． 【答案】23
6
≤m ≤6 【解析】 【分析】 解不等式
5
2
x +＞﹣x ﹣72得x ＞﹣4，据此知x ＞﹣4都能使不等式（m ﹣6）x ＜2m+1
成立，再分m ﹣6＝0和m ﹣6≠0两种情况分别求解． 【详解】 解：解不等式
5
2
x +＞﹣x ﹣72得x ＞﹣4，
∵x ＞﹣4都能使不等式（m ﹣6）x ＜2m +1成立，
①当m ﹣6＝0，即m ＝6时，则x ＞﹣4都能使0•x ＜13恒成立； ②当m ﹣6≠0，则不等式（m ﹣6）x ＜2m +1的解要改变方向， ∴m ﹣6＜0，即m ＜6，
∴不等式（m ﹣6）x ＜2m +1的解集为x ＞21
6
m m +-， ∵x ＞﹣4都能使x ＞21
6
m m +-成立， ∴﹣4≥
21
6
m m +-， ∴﹣4m +24≤2m +1， ∴m ≥
236
， 综上所述，m 的取值范围是23
6
≤m ≤6． 故答案为：23
6
≤m ≤6． 【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及
试卷第16页，总30页
…………○…………线答※※题※※
…………○…………线不等式的基本性质．
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与反比例函数y ＝k
x
（k ＜0）的图象在第二象限交于A （﹣3，m ），B （n ，2）两点． （1）当m ＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E 在x 轴上，满足∠AEB ＝90°，且AE ＝2﹣m ，求反比例函数的解析式．
【答案】（1）233y x =+；（2）5
3y x
=-． 【解析】 【分析】
（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式中求出k ，进而得出点B 坐标，最后用待定系数法求出直线AB 的解析式；
（2）先判断出BF AE =，进而得出Rt BFG(AAS)AEG
，得出AG BG =，
EG FG =，即BE BG EG AG FG AF ，再求出2
3
m
n ，进而得出2
2
3
BF n ，3MN n ，即3BE
AF n ，再判断出AME ENB ∽，得出
2
3ME
AE BN
BE ，得出24
3
3
ME BN ，最后用勾股定理求出m ，即可得出结论． 【详解】
解：（1）当1m =时，点(3,1)A -， 点A 在反比例函数k
y x
=
的图象上， 313k ∴=-⨯=-，
∴反比例函数的解析式为3y x =-
； 点(,2)B n 在反比例函数3
y x
=-图象上，
23n
，
32
n
，
试卷第17页，总30页
…订…………○……_____考号：___________
…订…………○……设直线AB 的解析式为y ax b =+，则
31
3
22
a b a b ， ∴
233
a b
， ∴直线AB 的解析式为2
33
y x =
+； （2）如图，过点A 作AM x ⊥轴于M ，过点B 作BN x ⊥轴于N ，过点A 作AF BN ⊥于F ，交BE 于G ，
则四边形AMNF 是矩形， FN
AM ，AF
MN =，
(3,)A m ，(,2)B n ，
2BF m ， 2AE
m ，
BF AE ∴=，
在AEG ∆和BFG ∆中，
90
AGE
BGF AEG BFG
AE
BF
对顶角相等，
Rt BFG(AAS)AEG ，
AG BG ∴=，EG FG =，
BE
BG
EG
AG
FG
AF ，
点(3,)A m -，(,2)B n 在反比例函数k
y x
=的图象上， 32k m n ，
2
3m n ， 2
22
3
BF
BN
FN
BN
AM
m
n ，(3)
3MN n n
，
3BE AF n ，
试卷第18页，总30页
90AEM MAE ，90AEM BEN ，
MAE NEB ， 90AME
ENB
，
AME ENB ∽，
∴22
2233
3
3
n ME
AE m BN BE n n ， 2433
ME
BN ， 在Rt AME 中，AM m =，2AE m ，根据勾股定理得，222AM ME AE +=，
2224()(2)3m m ，
59m ， 533k
m
， ∴反比例函数的解析式为53y x
=-
． 【点睛】
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出()AEG BFG AAS 是解本题的关键．
三、解答题
20．（1）计算：3|+2
）0
． （2）先化简，再求值：（x +2+32x -）÷2
122
x x x ++-，其中x ﹣1．
【答案】（1）0 （2）1
1
x x -+；1-【解析】 【分析】
（1）先去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 【详解】
试卷第19页，总30页
解：（1）原式＝13122
- ＝321- ＝0；
（2）原式＝22
43(1)222⎛⎫-++÷ ⎪---⎝⎭
x x x x x ＝
2
(1)(1)22(1)+--⋅-+x x x x x
＝
11
x x -+， 当x ﹣1时，
＝1． 【点睛】
本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握绝对值性质、二次根式的性质、零指数幂的规定、熟记三角函数值及分式的混合运算顺序和运算法则． 21．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
（1）以x （单位：元）表示标价总额，y （单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y 关于x 的函数解析式；
（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？ 【答案】（1）y ＝0.8x ；(100)0.640(100)
x x y x
x
（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案．
（2）先求出两书店所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱． 【详解】
(100)0.640(x x x ⎧=⎨+⎩
0.6x+40，
试卷第21页，总30页
…装…………○……__姓名：___________班级：_…装…………○……则中位数是
7575
752
（克)；
因为75出现了4次，出现的次数最多， 所以众数是75克； 平均数是：
1(747575757377
7872
76
75)
7510
（克)；
（2）根据题意得：
3
1003010
⨯
=（个)， 答：质量为75克的鸡腿有30个； （3）选B 加工厂的鸡腿．
A 、
B 平均值一样，B 的方差比A 的方差小，B 更稳定， ∴选B 加工厂的鸡腿．
【点睛】
本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键． 23．如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 外，∠ADC ＝90°，BD 交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，∠EAC ＝∠DCE ，∠CEB ＝∠DCA ，CD ＝6，AD ＝8．
（1）求证：AB ∥CD ； （2）求证：CD 是⊙O 的切线； （3）求tan ∠ACB 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）24
7
【解析】 【分析】
（1）由圆周角定理与已知得BAC DCA ∠=∠，即可得出结论； （2）连接EO 并延长交O 于G ，连接CG ，则EG 为O 的直径，90ECG ∠=︒，
证明DCE
EGC
OCG ，得出90DCE
OCE
，即可得出结论；
（3）由三角函数定义求出3
cos 5
ACD ∠=
，证出ABC ACD CAB ，求出
10BC AC ==，12AB =，过点B 作BG AC ⊥于C ，设GC x =，则10AG x ，
试卷第22页，总30页
……订…………○……线※※内※※答※※题※※
……订…………○……由勾股定理得出方程，解方程得14
5GC ，由勾股定理求出48
5
BG ，由三角函数定义即可得答案． 【详解】 （1）证明：
BAC
CEB ，CEB
DCA ，
BAC DCA ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
（2）证明：连接EO 并延长交
O 于G ，连接CG ，如图1所示：
则EG 为O 的直径，
90ECG ∴∠=︒，
OC
OG ，
OCG EGC ， EAC EGC ，EAC DCE ，
DCE EGC OCG ， 90OCG OCE ECG
， 90DCE
OCE
，即90DCO ∠=︒，
OC 是O 的半径， CD ∴是O 的切线；
（3）解：在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：10AC =，
63cos 10
5
CD ACD
AC
， CD 是O 的切线，//AB CD ，
ABC
ACD
CAB ，
10BC AC ∴==，32cos 210
125
AB BC ABC
，
过点B 作BG AC ⊥于C ，如图2所示：
试卷第23页，总30页
……线…………○…………线…………○……
设GC x =，则10AG x ， 由勾股定理得：22222AB AG BG BC GC ，
即：2
22
212
(10)10x x ，
解得：145
x =， 145GC ， 2
2
2
2144810()5
5
BG
BC GC ， 48245tan 147
5
BG ACB
GC
． 【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数定义、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
24．如图，抛物线过点A （0，1）和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B 0），平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，
点F ，四边形BDEF 为平行四边形． （1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当△PAB 面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
【答案】（1）﹣
1
3
）；y＝﹣x2+x+1（2），
47
12
）（3）
Q
44
3
⎫
-⎪
⎭
，R
37
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
或Q，﹣10），R
37
3
-）
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣
3
x+1，求出F点的坐标，由平行
四边形的性质得出﹣3a+1＝
16
3
a﹣8a+1﹣（﹣
1
3
），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣
3
n+1），得
出PP'＝﹣n2，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C
4
3
），设Q m），分两种
情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴
m0
m1
+=
=
⎪⎩
，
解得
1
k
m
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
试卷第24页，总30页
试卷第25页，总30页
…………○…………学校:___________…………○…………∴直线AB 的解析式为y ， ∵点F ， ∴F ＝﹣13， ∴F ，﹣13
）， 又∵点A 在抛物线上， ∴c ＝1， 对称轴为：x ＝﹣2b
a
= ∴b ＝﹣，
∴解析式化为：y ＝ax 2﹣， ∵四边形DBFE 为平行四边形． ∴BD ＝EF ， ∴﹣3a+1＝
16
3a ﹣8a+1﹣（﹣13
）， 解得a ＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2；
（2）设P （n ，﹣n 2），作PP'⊥x 轴交AC 于点P'，
则P'（n ）， ∴PP'＝﹣n 2， S △ABP ＝12OB•PP'272+n ＝﹣2
2n ⎝
试卷第26页，总30页
∴当n
△ABP ，此时
P 4712）． （3
）∵213
1y x y x ⎧=
+⎪⎨⎪=-++⎩
，
∴x ＝0或x ∴C
43），
设Q m
）， ①当AQ 为对角线时， ∴R 7
3
m +）， ∵R 在抛物线y ＝2(
x -+4上，
∴m+73＝﹣2
⎛ ⎝+4，
解得m ＝﹣44
3
， ∴
Q 443⎫-
⎪⎭，
R 373⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
②当AR 为对角线时， ∴R 7
3
m -）
， ∵R 在抛物线y ＝2(
x -+4上，
∴m ﹣2
73=-+4， 解得m ＝﹣10， ∴Q 10），R 37
3
-）． 综上所述，Q 443⎫-⎪⎭，R 373⎛⎫- ⎪
⎝⎭
；或Q ﹣10），R 373-）． 【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
25．如图，在矩形ABCD 中，对角线相交于点O ，⊙M 为△BCD 的内切圆，切点分别
试卷第27页，总30页
订…………○……_考号：___________
订…………○……为N ，P ，Q ，DN ＝4，BN ＝6． （1）求BC ，CD ；
（2）点H 从点A 出发，沿线段AD 向点D 以每秒3个单位长度的速度运动，当点H 运动到点D 时停止，过点H 作HI ∥BD 交AC 于点I ，设运动时间为t 秒．
①将△AHI 沿AC 翻折得△A H 'I ，是否存在时刻t ，使点H '恰好落在边BC 上？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由；
②若点F 为线段CD 上的动点，当△OFH 为正三角形时，求t 的值．
【答案】（1）8；6 （2）①存在；25
12
s ②（4）s 【解析】 【分析】
（1）由切线长定理得出BP ＝BN ＝6，DQ ＝DN ＝4，CP ＝CQ ，BD ＝BN +DN ＝10，设CP ＝CQ ＝a ，由勾股定理得出BC 2+CD 2＝BD 2，得出方程，解方程即可；
（2）①由折叠的性质得∠AH 'I ＝∠AHI ，AH '＝AH ＝3t ，证明△AIH '∽△AH 'C ，则AH '2＝AI ×AC ，证△AIH ∽△AOD ，求出AI ＝158t ，得出（3t ）2＝15
8
t ×10，解方程即可；
②作PH ⊥OH 于H ，交OF 的延长线于P ，作OM ⊥AD 于M ，PN ⊥AD 于N ，证出FH ＝FP ＝OF ，HP ，DN ＝DM ＝4，证明△OMH ∽△HNP ，求出HN OM ＝则DH ＝HN ﹣DN ＝﹣4，得出AH ＝AD ﹣DH ＝12﹣即可得出答案． 【详解】
解：（1）∵⊙M 为△BCD 的内切圆，切点分别为N ，P ，Q ，DN ＝4，BN ＝6， ∴BP ＝BN ＝6，DQ ＝DN ＝4，CP ＝CQ ，BD ＝BN +DN ＝10， 设CP ＝CQ ＝a ，则BC ＝6+a ，CD ＝4+a ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BCD ＝90°，
∴BC 2+CD 2＝BD 2，即（6+a ）2+（4+a ）2＝102，
试卷第28页，总30页
○
…
…
…
…
线
…
※
○
…
…
…
…
线
…
解得：a＝2，
∴BC＝6+2＝8，CD＝4+2＝6；
（2）①存在时刻t＝25
12
s，使点H′恰好落在边BC上；理由如下：
如图1所示：
由折叠的性质得：∠AH'I＝∠AHI，AH'＝AH＝3t，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∠BCD＝90°，OA＝OC＝1
2
AC，OB＝OD＝
1
2
BD，AC
＝BD，
∴AC＝BD10，OA＝OD＝5，∴∠ADO＝∠OAD，
∵HI∥BD，
∴∠AHI＝∠ADO，
∴∠AH'I＝∠AHI＝∠ADO＝∠OAD＝∠ACH'，
∴△AIH'∽△AH'C，
∴AH
AC
'
＝
AI
AH'
，
∴AH'2＝AI×AC，∵HI∥BD，
∴△AIH∽△AOD，
∴AI
AO
＝
AH
AD
，即
5
AI
＝
3
8
t
，
解得：AI＝15
8
t，
∴（3t）2＝15
8
t×10，
解得：t＝25 12
，
试卷第29页，总30页
…外…………○…学校…内…………○…即存在时刻t ＝
25
12
s ，使点H ′恰好落在边BC 上； ②作PH ⊥OH 于H ，交OF 的延长线于P ，作OM ⊥AD 于M ，PN ⊥AD 于N ，如图2所示：
则OM ∥CD ∥PN ，∠OMH ＝∠HNP ＝90°，OM 是△ACD 的中位线， ∴OM ＝
1
2
CD ＝3， ∵△OFH 是等边三角形，
∴OF ＝FH ，∠OHF ＝∠HOF ＝60°， ∴∠FHP ＝∠HPO ＝30°， ∴FH ＝FP ＝OF ，HP ， ∴DF 是梯形OMNP 的中位线， ∴DN ＝DM ＝4，
∵∠MHO +∠MOH ＝∠MHO +∠NHP ＝90°， ∴∠MOH ＝∠NHP ， ∴△OMH ∽△HNP ， ∴
OM HN ＝OH
HP
，
∴HN ＝， ∴DH ＝HN ﹣DN ＝4， ∴AH ＝AD ﹣DH ＝12﹣ ∴t ＝
AH
3
＝4 即当△OFH 为正三角形时，t 的值为（4）s ．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了切线长定理、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线长定理、相似三角
试卷第30页，总30页
形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．。