高考数学二轮复习 统计2

高考数学二轮复习 统计2
【知识归纳】
1.在统计中，为了考察一个总体的情况，通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况。

这种估计大体分为两类，一类是，一类是.
2.总体平均数(又称为总体期望值)描述了一个总体的平均水平。

对很多总体来说，它 的平均数不易求得，常用容易求得的样本平均数：x =对它进行估计.
方差和标准差计算公式：样本方差：2
s =；样本标准差：s =。

方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的的特征数,标准差大说明波动大. 3.用样本频率分布估计总体分布
由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计的分布.一般地,样本的容量越大,估计越精确.
(1) 当总体中个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应频率表 示,其几何表示就是相应的条形图.
(2) 当总体中个体取不同数值很多时,用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.
4.一般地，设一个总体的个体总数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为。

这种抽样方法有两种，即、。

一般地，可以证明：用这种抽样的方法从个体数为N 的总体中逐次抽取一个容量为n 的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到概率都等于
N
n . 5.当总体中的个体数较多时，采用简单随机抽样显得较为费事，这时可将总体分成均匀的几部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样叫做。

当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽取叫做 . 【例题精选】
1.☆☆从5名男生、1名女生中随机抽取3人，检查他们的英语口语水平.
在整个抽样过程中，这名女生“第一次、第二次均未被抽到，第三次被抽到”的概率是（ A ）
A ．
16 B ．13 C ．12 D ．2
3
【变式】☆☆用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为2的样本,则某
个个体a “第一次被抽到的概率”, “第一次未被抽到,第二次被抽到的概率”,“在整个过程中被抽到的概率”分别是
111,,10105
. 【思想方法回顾】准确地化归为等可能事件的概率
2.☆为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是 （ C ）
A ．8
B ．400
C ．96
D ．96名学生的成绩 3. ☆（06某某卷）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 （ B ） （A ）30人，30人，30人（B ）30人，45人，15人 （C ）20人，30人，10人（D ）30人，50人，10人
4.☆在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示 （B ）
(A)落在相应各组的数据的频数 (B)相应各组的频率 (C)该样本所分成的组数 (D)该样本的样本容量
5.☆（06年某某卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.☆☆已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 （ D ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
【解析】由题意可得：x+y=20,(x-10)2
+(y-10)2
=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出y x -，设x=10+t, y=10-t, 24x y t -==，选D 6. ☆已知样本：
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 12
那么频率为0.3的X 围是 （ B ） (A)5.5~7.5(B)7.5~9.5(C)9.5~11.5(D)11.5~13.5
7.☆心理辅导员为研究班上的男女生心理状况,对某班50名学生(其中男生30名,女生20名)采取分层抽样的法案方法，抽取一个容量为10的样本进行研究,则抽取情况的总数为 ( B ) (A)6
4
10
302010C C A (B)6
4
3020C C (C)6
4
3020C A (D)6
4
3020A A 8.☆设n 个实数,12,,
n x x x 的算术平均数是x ,若a x ≠,
设22212()()()n p x x x x x x =-+-+-,22212()()()n q x a x a x a =-+-+-
则一定有 ( B )
（A ）p q > （B ）p q < （C ）p q = （D ）p =9.☆某一计算机网络，有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率p ，则这个网络中一天平均使用的终端个数为 （ B ）
(A) np(1-p) (B) np (C) n (D) p(1- p)
10.☆☆为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况， 得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列， 后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为 （A ） A ．0.27,78 B ．0.27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,83
【解析】由条件得前4组的频率成等比数列,,又前2组的频率为0.01,0.03,得第三、四组的频
率为0.09,0.27,所以后六组的频率之和为1－(0.01+0.03+0.09)=0.87,由
6(0.27)
0.872
x +=
,得x=0.02,所以视力在4.6～5.0之间的频率之和为0.78,学生数为
0.78×100=78,最大的频率为第四组的频率,故等于0.27. 【思想方法回顾】正确理解频率分布直方图的结构特征.
11. ☆（2003年全国高考某某卷14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取6，30，10辆.
12.☆一总体由差异明显的三部分数据组成，分别有m 个、n 个、p 个，现要从中抽取a 个数据作为样本考虑总体的情况，各部分数据应分别抽取___am m n p ++_____、 _an
m n p
++_____、
____
ap
m n p
++___.
13. ☆ (06年某某调研卷)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,002,…,799.进行编号,如果从随机第8行第18列的数开始向右读,请你依次写出最先检验的5袋牛奶的编号719,050,717,
512,358.(下面摘取了一随机数表的第7行至第9行)
……
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62 58 79 73 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 ……
【思想方法回顾】正确理解随机数表的结构和用法
14.☆☆一个总体中的100个个体为0,1,2,…,99,并依次将其分为10个小组,要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定:如果在第一组(为0～9)随机抽取的为m,那么依次错位地得到后面各组的,即第k 组中抽取的个数为m+k －1或m+k －11(如果m+k ≥11).若第6组抽取的为52,,则m=7 .
【解析】当k=6时,,则m+6－1=2或m+6－11=2(m+6≥11),即m=－3(舍去)或m=7(m+6≥11).
15.☆若样本a 1，a 2，a 3的方差是2，则样本2a 1+3，2a 2+3，2a 3+3的方差是8.
16. ☆为了科学地比较考试的成绩,有些选拔 性考试常常会将考试分数标准分,转化关系为:x x
z s
-=
(其中x 是某位学生的考试分数,x 是该次考试的平均分,s 是该次考试的标准差,z 称为这 位学生的标准分).转化成标准分后可能出现小数或负数,因此,又常常再将z 分数作线性变 换转化成其它分数.例如某次学业选拔考试采用的是T 分数,线性变换公是:4060T z =+
.已知在这次考试中某位考生的考试分数是86,而他的T 分数则为100.若这次考试的平均分是70,则这次考试的方差是256 .
17. ☆☆抽样本检查是产品检查的常用方法.分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案.现
有100只外型相同的电路板，其中有40只A 类版后60只B 类板.问在下列两种情况中“从100只抽出3只，3只都是B 类”的概率是多少？
（1） 每次取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只（称为返回抽样）；
（2） 每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只（称为不返回抽
样）
【解析】(1)31327()5125p ==;(2)360231005133
0.2223765
A p A ==≈.
18. ☆某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种,分别在5块试验田上
问:哪一种的西红柿既高产又稳定? 【解析】第一种西红柿品种.
统计量 组别 平均 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4
19.☆☆有一容量为50的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[10,15),4;[30,35),9;[15,20),5;[35,40),8;
[20,25),10;[40,45),3;[25,30),11;
(1) 列出样本的频率分布表; (2) 画出频率分布直方图.
【解析】(1)由所给的数据,不难得出以下样本的频率分布表:
数据段 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 总计 频数 4 5 10 11 9 8 3 50 频率 0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1.00
(2)频率分布直方图(如图).
20. ☆☆对某一工件进行了三次测量,测得的数据分别是123,,x x x ,对于函数
2221231
[()()()]3
y x x x x x x =-+-+-,当x 取何值时,函数值y 取得最小值?并求出最小值.
【解析】当1233x x x x ++=时,有y 最小值,2222
1231()3
y x x x x =++-最小值.
21. ☆☆某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
求全班的平均成绩和标准差
. 【解析】设第一组学生的成绩为1220,,x x x ,第二组学生的成绩为212240,,x x x ,则由
209020808540x ⨯+⨯==,20222120(690)i i x ==⨯+∑,40
22221
20(480)i i x ==⨯+∑,得
4022
21
1(40)40i i s x x ==-∑,得51s =.
【思想方法回顾】熟悉方差的变形公式
22
2
11()n i i s x nx n ==-∑.
【课后作业】
1.☆☆某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名 学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果 用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平 均每人的课外阅读时间为 ( B )
(A)0.6小时 (B)0.9小时 (B)1.0小时 (D)1.5小时 【解析】每人一天平均阅读时间为
050.520 1.010 1.510 2.05
50
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
0.9()=小时
2.☆若M 个数的平均数是X, N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是（ C ）
(A)
2X Y +(B)X Y M N ++ (C) MX NY M N ++ (D)MX NY
X Y
++ 3.☆下面哪有个数不为总体特征数的是 （ D ） (A) 总体平均数 (B) 总体方差 (C) 总体标准差 (D) 总体样本
4.☆一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了了解他们在课外的兴趣爱好要求每班是40号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（ D ）
(A) 分层抽样 (B) 抽签法 (C) 随机数表法 (D) 系统抽样法 5.☆在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是 （ C ）
(A) 与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最大 (B) 与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最小 (C) 与第几次抽样无关，每次抽到的可能性相等 (D) 与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关
6.☆要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况。

应采用的抽样方法是 （ B ）
(A) ①用随机抽样法②用系统抽样法 (B) ①用分层抽样法②用随机抽样法 (C) ①用系统抽样法②用分层抽样法 (D) ①、②都用分层抽样法
7.☆甲、乙两个小组各10名同学进行英语口语会话练习,各练5次,,他们每个同学合格的次数分别如下:
甲组:4,1,2,2,1,3,3,1,2,1; 乙组:4,3,0,2,1,3,3,0,1,3.
如果把合格3次以上(含3次)作为及格标准,则 ( B ) (A)甲组的口语会话及格率高, 乙组口语会话合格次数比较稳定; (B)乙组的口语会话及格率高, 甲组口语会话合格次数比较稳定; (C)甲组的口语会话及格率高, 甲组口语会话合格次数比较稳定; (D)乙组的口语会话及格率高, 乙组口语会话合格次数比较稳定;
8.☆(06年某某卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 ( C ) （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
9.☆(06年某某卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001
4000
25001000月收入（元）
频率/组距
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ( C ) (A)20 (B)30 (C)40 （D ）50 10.☆已知样本123,,,
,n x x x x 的平均数是x ,标准差为s ,那么样本
123350,350,350,,350n x x x x ----的平均数和标准差分别是 ( D )
(A),x s (B)3,3x s (C)350,350x s -- (D)350,3x s -
11.☆（06年某某卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是150. 12.☆（06年全国II ）一个社会调查机构就某地居民
的月收入调查了10 000人，并根据所
得数据画了
样本的频率分布直方图（如右图）．为 了分析居民的收入与年龄、学历、职 业等方面的关系，要从这10 000人中 再用分层抽样方法抽出100人作进一 步调查，则在［2500，3000）（元）月 收入段应抽出25人．
13.☆甲、乙两种棉花，各抽取50根棉花纤维检验长度，样本方差分别是s 2甲=1.32，s 2乙=0.93，这两种棉花质量较好的是乙 .
14.☆某校要从两名短跑运动员中选拔一名代表学校去省运动会参赛，为此对甲、乙两名运动员进行了6次短跑成绩测验，结果表明两运动员平均成绩相同，但甲成绩的方差为0.008，乙成绩的方差为0.027，由此可以估计___甲___的成绩比__乙____的成绩稳定，学校应选派__甲____运动员去参加省运动会为佳．
15.☆已知一个容量为40的样本，把它分成六组：第一组到第四组的频数分别是：5，6，7，10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是4，频
率为0.1.
16.☆据新华社2002年3月12日电,1985年 到2000年间,我国农村人均居住面积如图 所示,其中从 1995 年到 2000 年的五年间增长最快.
17.☆☆某人有资金10万元，准备用于投资经
营
获利（万元） 2 3 -1 概率 0.4 0.3 0.3
获利（万元）
1 4 -
2 概率 0.6
0.2
0.2
甲，乙两种商品，根据统计资料：
经营甲 经营乙
问：应该选择经营哪种商品？ 【解析】3
1
1.4i
i i x x
p ==
=∑甲,3
1
1.0i i i x x p ===∑乙.故选甲商品.
18.☆ 甲、乙两学生连续五次数学测验成绩如下，甲：80、75、80、90、70；乙：70、
70、75、80、65。

问哪一位同学的数学成绩比较稳定？ 【解析】244s
=甲
,2
26s =乙,故乙稳定.
19.☆某欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50000份，
其中持各种态度的份数如下表所示：
很满意
满意
一般
不满意
10800 12400 15600 11200
为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？ 【解析】108,124,156,112.
20.☆☆100名学生分4个小组参加课外活动,其中参加足球小组有30人,参加篮球小组有27人,参加排球小组有23人,参加乒乓球小组有20人. (1)列出学生参加运动小组的频率分布表; (2)画出表示频率分布的条形图.
【解析】(1) 学生参加运动小组的频率分布表如下: 类别 频数 频率
足球小组①
30 0.30 篮球小组②
27 0.27 排球小组③
23 0.23 乒乓球小组④
20 0.20 合计
100 1.00 (2)所求作的频率分布条形图如图所示:
21.☆☆有同一型号的汽车100辆.为了解这种汽车每耗油1L 所行走路程的情况,现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1L 所行路程试验,得到如下样本数据(单位:km):13.7, 12.7, 14.4,
13.8, 13.3, 12.5, 13.5, 13.6, 13.1, 13.4.并分组如下:
分组频数频率
[12.45,12.95)
[12.95,13.45)
[13.45,13.95)
[13.95,14.45)
合计10 1.0
(1)完成上面频率分布表;
(2)根据上表,在给定坐标系中画出频率分布直方图,并根据样本估计总体数据落在
[12.95,13.95)中的概率;
(3)根据样本,对总体的期望值进行估计.
【解析】(1)频率分布表:
分组频数频率
[12.45,12.95) 2 0.2
[12.95,13.45) 3 0.3
[13.45,13.95) 4 0.4
[13.95,14.45) 1 0.1
合计10 1.0
(2)频率分布直方图:
估计总体数据落在[12.95,13.95)中的概率约为0.7;
x ,因此估计总体的期望值约为
(3)可求出13.4
13.4.
【解题回顾】
1.抽样问题涉及到概率知识时,要会转化为概率模型来解决;
2.了解三种随机抽样的操作流程和要求,才能正确解决有关抽样问题;
3.理解频率分布表结构和频率分布直方图的流程,记住样本平均数和方差及标准差的计算公
式是正确解决此类问题的根本之道.
【老师点评】
统计一章的考试要求：
1．了解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，要求会用抽样方法从总体中抽取样本；2．会概率知识解决与随机抽样的概率问题；
3．会用样本平均数估计总体期望值, 会用样本方差估计总体方差,会求样本平均数、样本方差和标准差;
4.通过统计案例，会用样本频率分布估计总体分布；了解频率分布表和频率分布直方图的绘制. 统计一章命题特点:
1.随机抽样与概率的综合性问题;
2.会对简单实际问题进行抽样分析;
3.读直方图或对抽样的数据进行分析.。