高中数学 2.5.12向量在物理中的应用举例课件 新人教A版必修4
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1．在平行四边形 ABCD 中，求证：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋ CD2＋DA2.
证明：设∠BAD＝θ，则由A→C＝A→B＋B→C，得 A→C2＝(A→B＋B→C)2， 即|A→C|2＝|A→B|2＋|B→C|2＋2A→B·B→C， |A→C|2＝|A→B|2＋|B→C|2＋2|A→B|·|B→C|cos θ. 由B→D＝B→A＋A→D得，B→D2＝(B→A＋A→D)2， 即|B→D|2＝|B→A|2＋|A→D|2＋2B→A·A→D， |B→D|2＝|C→D|2＋|D→A|2＋2|B→A|·|A→D|cos(π－θ)， |B→D|2＝|C→D|2＋|D→A|2－2|C→D|·|D→A|cos θ.
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误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
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错解一：因为 a·b＝b·c＝c·a，所以|a·b|＝|b·c|＝|c·a|，即|a||b|＝ |b||c|＝|c||a|.
知识点 3 向量在物理学上的应用 【例 3】 某人骑车以 a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正 北方向吹来；而当速度为 2a km/h 时，感到风是从东北方向吹来， 试求实际的风速和风向． 思路点拨：无风且以 a km/h 的速度向东行驶时，可感到 a km/h 的向西的风，此风与实际吹的风的合成即为此人感受到的风．实际 风不变，可以向量的加减运算求解．
v－2a，又由题意可知，∠PBO＝45°，在△OPB 中，作 PC⊥OB
于 C，不难证得，△POC≌△POA≌△PBC.∴|P→B|＝|P→O|，∠PBC
＝∠POA＝45°，|v|＝ 2a(km/h)．
答：实际吹来的风是风速为 2a km/h 的西北风．
第十八页，共27页。
方法点评： 向量是既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多这样的 量，如力、速度、位移等，因此可以用向量来解决某些实际问题．
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正解：因为 a·b＝b·c，所以(a－c)·b＝0，而由向量加法的三角 形法则可知，a＋b＋c＝0，所以 b＝－a－c，所以(a－c)·(－a－c) ＝0，即(a－c)·(a＋c)＝0，得到 a2－c2＝0，a2＝c2，即|a|2＝|c|2，也 就是|a|＝|c|.同理可得，|a|＝|b|，所以|a|＝|b|＝|c|.故三角形 ABC 是 等边三角形．
由|a||b|＝|b||c|得，|a|＝|c|，由|b||c|＝|c||a|得，|b|＝|a|.所以|a|＝|b| ＝|c|.故三角形 ABC 是等边三角形．
错解二：因为 a·b＝b·c＝c·a，所以 a·b＝b·c，即(a－c)·b＝0， 而 b≠0，所以 a－c＝0，得到 a＝c.同理由 b·c＝c·a 得到 a＝b.所以 a＝b＝c，故三角形 ABC 是等边三角形．
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知识点 2 用向量解答有关代数问题 【例 2】 求函数 y＝ x2＋x＋1－ x2－x＋1的值域．
思路点拨：经过变形，该函数可以看作是两个向量的模之差的 坐标表示．
解： y＝ x＋122＋34－ x－122＋34， 令 a＝x＋12， 23，b＝x－12， 23， 则 a 与 b 不共线，∴y＝|a|－|b|<|a－b|＝1，∴－1<y<1.
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解：|PA|2＋|PB|2＝|P→A|2＋|P→B|2＝(P→A＋P→B)2－2P→A·P→B， 而P→A＋P→B＝P→O＋O→A＋P→O＋O→B＝2P→O， P→A·P→B＝(O→A－O→P)·(O→B－O→P) ＝O→A·O→B－O→P(O→A＋O→B)＋|O→P|2＝－4＋|O→P|2.
纠错心得：向量是一个具有方向的量，因此，在进行向量计算 时，不能简单地照搬代数的运算方法，而应该严格按照向量的定义、 性质、运算法则进行运算．
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课堂总结 1．平面向量的应用是向量的核心内容，向量的平行和垂直是 向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何及解析几何、物理等 方面有着重要的应用．特别是对不同解题方法进行比较，从中会体 验到向量方法的优越性所在．
A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】B
3．某船在平静湖面的速度大小为 a，现船沿水流速度为 v 的 河流顺流而下，则此向的实际速度为________．
【答案】a＋v 4．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进 60 m，若牵绳与行进方 向夹角为 30°，纤夫的拉力为 50 N．则纤夫对船所做的功为 ______27页。
要点阐释 1．向量方法在几何中的应用主要体现在以下五个方面： ①证明线段相等，如证明 AB＝CD，要转化为证明|A→B|＝|C→D|， 如果需要，还可证明|A→B|2＝|C→D|2.若知道线段的端点坐标，则可求 其模． ②证明线段平行，如证明 AB∥CD，则只要证明：存在实数 λ≠0，使A→B＝λC→D，且 AB 与 CD 无公共点．如果知道线段端点的 坐标，还可采用坐标形式 x1y2－x2y1＝0.
⑤求角，如求∠BAC，则只要求向量A→B，A→C的夹角即可．
第九页，共27页。
2．向量在物理学中的应用： ①求力的大小或方向； ②求速度的大小或方向； ③求加速度的大小或方向； ④求位移的大小或方向； ⑤求力所做的功； ⑥求力的分解或合成． 用向量知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问 题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学 模型的研究来解释相关的物理问题．
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典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
所以|PA|2＋|PB|2＝4|O→P|2＋8－2|O→P|2＝2|O→P|2＋8.由于|O→C|＝ 52＋122＝13，|C→P|＝2，点 P 在圆上运动，所以|O→C|－|C→P|≤|O→P |≤|O→C|＋|C→P|，即 11≤|O→P|≤15.
故|PA|2＋|PB|2 的最大值为 458，最小值为 250.
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2．求函数 y＝ x2－2x＋2＋ x2－10x＋34的值域． 解： 将函数化为 y＝ x－12＋12＋ x－52＋32， 令 a＝(x－1,1)，b＝(x－5,3) 可知 a 与 b 不共线， 所以 y＝|a|＋|b|≥|a－b|＝|(4，－2)|＝ 42＋22＝2 5.
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也就是|B→D|2＝|C→D|2＋|D→A|2－2|A→B|·|B→C|cos θ. 将|A→C|2＝|A→B|2＋|B→C|2＋2|A→B|·|B→C|cos θ 与|B→D|2＝|C→D|2＋|D→A|2－2|A→B|·|B→C|cos θ 相加得 |A→C|2＋|B→D|2＝|A→B|2＋|B→C|2＋|C→D|2＋|D→A|2. 故在平行四边形 ABCD 中， AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
5．功是力与_位__移___的数量积．
第三页，共27页。
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
第四页，共27页。
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234. 故两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值为6144234.
错解三：因为 a·b＝b·c＝c·a，所以 a·b＝b·c，而 b≠0，所以 a ＝c.同理可得 a＝b.所以 a＝b＝c，故三角形 ABC 是等边三角形．
第二十二页，共27页。
错因分析： 以上三种解法都犯了推理不严谨的错误．解法一错在“因为 a·b＝b·c＝c·a，所以|a·b|＝|b·c|＝|c·a|”，其实，由 a·b＝b·c＝c·a 不 能得到|a||b|＝|b||c|＝|c||a|，因为 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，只有 在 a，b 同向共线时，才有 a·b＝|a||b|成立；解法二错在“即(a－c)·b ＝0，而 b≠0，所以 a－c＝0，得到 a＝c”，由(a－c)·b＝0 只能得 出(a－c)⊥b，而不能得到 a＝c；解法三错在“所以 a·b＝b·c，而 b≠0，所以 a＝c”．向量具有方向，不能像数量那样，在进行计 算时可以约分．
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3．两个粒子 a，b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒 子源为原点，它们的位移分别为 sa＝(3，－4)，sb＝(4,3)．求：
(1)此时粒子 b 相对于粒子 a 的位移 s； (2)s 在 sa 方向上的投影．
解： (1)粒子 b 相对于粒子 a 的位移 s＝sb－sa＝(4,3)－(3，－4)＝ (1,7)． (2)设 s 与 sa 的夹角为 θ，则 s 在 sa 方向上的投影为 |s|cos θ＝|s||ss|··s|saa|＝s|s·saa| ＝1×33＋2＋7×－4－24＝－5.
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③证明线段垂直，如证明 AB⊥CD，则只要证明A→B·C→D＝0， 如果给出了向量坐标，则可用 x1x2＋y1y2＝0.
④证明三点 A，B，C 共线，则只要证明：存在实数 λ≠0，使 A→B＝λA→C.如果知道三点 A，B，C 的坐标 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则可用(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.
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预习测评 1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时 作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 f4，则 f4 等于( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 【答案】D
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2．坐标平面内一只小蚂蚁以速度 v＝(1,2)从点 A(4,6)移动到点 B(7,12)，其所用时间长为( )
第十七页，共27页。
解：设此人行驶的速度为 a，则|a|＝a，且在无风时，此人感 到的风速为－a，风向向西，又设实际风速为 v.当此人骑车以 a km/h 的速度向东行驶时，如图 1 所示，由向量加法的三角形法则可知， P→A＝v－a，且△POA 是直角三角形，∠OAP＝90°.
图1
图2
当此人骑车以 2a km/h 的速度向东行驶时，如图 2 所示，P→B＝
第一页，共27页。
自学导引 1．证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
b∥a(a≠0)⇔b＝λa 或 b∥a(a≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(其中 a＝(x1，y1)，
b＝(x2，y2))． 2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向
量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0 或 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(其中 a＝
(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
第二页，共27页。
3．求直线的夹角问题，常转化为求两向量的夹角(或补角)， 求向量夹角的公式为：cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22(其中 a＝(x1， y1)，b＝(x2，y2))．
4．速度、加速度、力、位移都是向量，它们的合成与分解就 是向量的加__、__减 __运算．
1．在平行四边形 ABCD 中，求证：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋ CD2＋DA2.
证明：设∠BAD＝θ，则由A→C＝A→B＋B→C，得 A→C2＝(A→B＋B→C)2， 即|A→C|2＝|A→B|2＋|B→C|2＋2A→B·B→C， |A→C|2＝|A→B|2＋|B→C|2＋2|A→B|·|B→C|cos θ. 由B→D＝B→A＋A→D得，B→D2＝(B→A＋A→D)2， 即|B→D|2＝|B→A|2＋|A→D|2＋2B→A·A→D， |B→D|2＝|C→D|2＋|D→A|2＋2|B→A|·|A→D|cos(π－θ)， |B→D|2＝|C→D|2＋|D→A|2－2|C→D|·|D→A|cos θ.
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误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
第二十一页，共27页。
错解一：因为 a·b＝b·c＝c·a，所以|a·b|＝|b·c|＝|c·a|，即|a||b|＝ |b||c|＝|c||a|.
知识点 3 向量在物理学上的应用 【例 3】 某人骑车以 a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正 北方向吹来；而当速度为 2a km/h 时，感到风是从东北方向吹来， 试求实际的风速和风向． 思路点拨：无风且以 a km/h 的速度向东行驶时，可感到 a km/h 的向西的风，此风与实际吹的风的合成即为此人感受到的风．实际 风不变，可以向量的加减运算求解．
v－2a，又由题意可知，∠PBO＝45°，在△OPB 中，作 PC⊥OB
于 C，不难证得，△POC≌△POA≌△PBC.∴|P→B|＝|P→O|，∠PBC
＝∠POA＝45°，|v|＝ 2a(km/h)．
答：实际吹来的风是风速为 2a km/h 的西北风．
第十八页，共27页。
方法点评： 向量是既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多这样的 量，如力、速度、位移等，因此可以用向量来解决某些实际问题．
第二十三页，共27页。
正解：因为 a·b＝b·c，所以(a－c)·b＝0，而由向量加法的三角 形法则可知，a＋b＋c＝0，所以 b＝－a－c，所以(a－c)·(－a－c) ＝0，即(a－c)·(a＋c)＝0，得到 a2－c2＝0，a2＝c2，即|a|2＝|c|2，也 就是|a|＝|c|.同理可得，|a|＝|b|，所以|a|＝|b|＝|c|.故三角形 ABC 是 等边三角形．
由|a||b|＝|b||c|得，|a|＝|c|，由|b||c|＝|c||a|得，|b|＝|a|.所以|a|＝|b| ＝|c|.故三角形 ABC 是等边三角形．
错解二：因为 a·b＝b·c＝c·a，所以 a·b＝b·c，即(a－c)·b＝0， 而 b≠0，所以 a－c＝0，得到 a＝c.同理由 b·c＝c·a 得到 a＝b.所以 a＝b＝c，故三角形 ABC 是等边三角形．
第十四页，共27页。
知识点 2 用向量解答有关代数问题 【例 2】 求函数 y＝ x2＋x＋1－ x2－x＋1的值域．
思路点拨：经过变形，该函数可以看作是两个向量的模之差的 坐标表示．
解： y＝ x＋122＋34－ x－122＋34， 令 a＝x＋12， 23，b＝x－12， 23， 则 a 与 b 不共线，∴y＝|a|－|b|<|a－b|＝1，∴－1<y<1.
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解：|PA|2＋|PB|2＝|P→A|2＋|P→B|2＝(P→A＋P→B)2－2P→A·P→B， 而P→A＋P→B＝P→O＋O→A＋P→O＋O→B＝2P→O， P→A·P→B＝(O→A－O→P)·(O→B－O→P) ＝O→A·O→B－O→P(O→A＋O→B)＋|O→P|2＝－4＋|O→P|2.
纠错心得：向量是一个具有方向的量，因此，在进行向量计算 时，不能简单地照搬代数的运算方法，而应该严格按照向量的定义、 性质、运算法则进行运算．
第二十四页，共27页。
课堂总结 1．平面向量的应用是向量的核心内容，向量的平行和垂直是 向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何及解析几何、物理等 方面有着重要的应用．特别是对不同解题方法进行比较，从中会体 验到向量方法的优越性所在．
A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】B
3．某船在平静湖面的速度大小为 a，现船沿水流速度为 v 的 河流顺流而下，则此向的实际速度为________．
【答案】a＋v 4．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进 60 m，若牵绳与行进方 向夹角为 30°，纤夫的拉力为 50 N．则纤夫对船所做的功为 ______27页。
要点阐释 1．向量方法在几何中的应用主要体现在以下五个方面： ①证明线段相等，如证明 AB＝CD，要转化为证明|A→B|＝|C→D|， 如果需要，还可证明|A→B|2＝|C→D|2.若知道线段的端点坐标，则可求 其模． ②证明线段平行，如证明 AB∥CD，则只要证明：存在实数 λ≠0，使A→B＝λC→D，且 AB 与 CD 无公共点．如果知道线段端点的 坐标，还可采用坐标形式 x1y2－x2y1＝0.
⑤求角，如求∠BAC，则只要求向量A→B，A→C的夹角即可．
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2．向量在物理学中的应用： ①求力的大小或方向； ②求速度的大小或方向； ③求加速度的大小或方向； ④求位移的大小或方向； ⑤求力所做的功； ⑥求力的分解或合成． 用向量知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问 题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学 模型的研究来解释相关的物理问题．
第十页，共27页。
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
所以|PA|2＋|PB|2＝4|O→P|2＋8－2|O→P|2＝2|O→P|2＋8.由于|O→C|＝ 52＋122＝13，|C→P|＝2，点 P 在圆上运动，所以|O→C|－|C→P|≤|O→P |≤|O→C|＋|C→P|，即 11≤|O→P|≤15.
故|PA|2＋|PB|2 的最大值为 458，最小值为 250.
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2．求函数 y＝ x2－2x＋2＋ x2－10x＋34的值域． 解： 将函数化为 y＝ x－12＋12＋ x－52＋32， 令 a＝(x－1,1)，b＝(x－5,3) 可知 a 与 b 不共线， 所以 y＝|a|＋|b|≥|a－b|＝|(4，－2)|＝ 42＋22＝2 5.
第十六页，共27页。
第十三页，共27页。
也就是|B→D|2＝|C→D|2＋|D→A|2－2|A→B|·|B→C|cos θ. 将|A→C|2＝|A→B|2＋|B→C|2＋2|A→B|·|B→C|cos θ 与|B→D|2＝|C→D|2＋|D→A|2－2|A→B|·|B→C|cos θ 相加得 |A→C|2＋|B→D|2＝|A→B|2＋|B→C|2＋|C→D|2＋|D→A|2. 故在平行四边形 ABCD 中， AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
5．功是力与_位__移___的数量积．
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自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
第四页，共27页。
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234. 故两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值为6144234.
错解三：因为 a·b＝b·c＝c·a，所以 a·b＝b·c，而 b≠0，所以 a ＝c.同理可得 a＝b.所以 a＝b＝c，故三角形 ABC 是等边三角形．
第二十二页，共27页。
错因分析： 以上三种解法都犯了推理不严谨的错误．解法一错在“因为 a·b＝b·c＝c·a，所以|a·b|＝|b·c|＝|c·a|”，其实，由 a·b＝b·c＝c·a 不 能得到|a||b|＝|b||c|＝|c||a|，因为 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，只有 在 a，b 同向共线时，才有 a·b＝|a||b|成立；解法二错在“即(a－c)·b ＝0，而 b≠0，所以 a－c＝0，得到 a＝c”，由(a－c)·b＝0 只能得 出(a－c)⊥b，而不能得到 a＝c；解法三错在“所以 a·b＝b·c，而 b≠0，所以 a＝c”．向量具有方向，不能像数量那样，在进行计 算时可以约分．
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3．两个粒子 a，b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒 子源为原点，它们的位移分别为 sa＝(3，－4)，sb＝(4,3)．求：
(1)此时粒子 b 相对于粒子 a 的位移 s； (2)s 在 sa 方向上的投影．
解： (1)粒子 b 相对于粒子 a 的位移 s＝sb－sa＝(4,3)－(3，－4)＝ (1,7)． (2)设 s 与 sa 的夹角为 θ，则 s 在 sa 方向上的投影为 |s|cos θ＝|s||ss|··s|saa|＝s|s·saa| ＝1×33＋2＋7×－4－24＝－5.
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③证明线段垂直，如证明 AB⊥CD，则只要证明A→B·C→D＝0， 如果给出了向量坐标，则可用 x1x2＋y1y2＝0.
④证明三点 A，B，C 共线，则只要证明：存在实数 λ≠0，使 A→B＝λA→C.如果知道三点 A，B，C 的坐标 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则可用(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.
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预习测评 1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时 作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 f4，则 f4 等于( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 【答案】D
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2．坐标平面内一只小蚂蚁以速度 v＝(1,2)从点 A(4,6)移动到点 B(7,12)，其所用时间长为( )
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解：设此人行驶的速度为 a，则|a|＝a，且在无风时，此人感 到的风速为－a，风向向西，又设实际风速为 v.当此人骑车以 a km/h 的速度向东行驶时，如图 1 所示，由向量加法的三角形法则可知， P→A＝v－a，且△POA 是直角三角形，∠OAP＝90°.
图1
图2
当此人骑车以 2a km/h 的速度向东行驶时，如图 2 所示，P→B＝
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自学导引 1．证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
b∥a(a≠0)⇔b＝λa 或 b∥a(a≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(其中 a＝(x1，y1)，
b＝(x2，y2))． 2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向
量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0 或 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(其中 a＝
(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
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3．求直线的夹角问题，常转化为求两向量的夹角(或补角)， 求向量夹角的公式为：cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22(其中 a＝(x1， y1)，b＝(x2，y2))．
4．速度、加速度、力、位移都是向量，它们的合成与分解就 是向量的加__、__减 __运算．