高中数学必修5 第3章 不等式 教师版 不等式第12课时

听课随笔
第12课时 不等式的证明方法
1.初步学会不等式证明的三种常用方法：比较法，综合法，分析法。

2.了解不等式证明的另三种方法：反证法，换元法，放缩法. 【课堂互动】
自学评价
1.比较法： 利用不等式两边差的正负来
证明不等式的方法． ．
２．综合法： 利用某些已证不等式或不等
式的性质来证明不等式的方法．
３．分析法： 利用不断寻找欲证式的充分
条件来证明不等式的方法． 【精典范例】
例１．（１）已知,,a b
R 且a
b ，
求证：3
3
2
2
a
b
a b
ab
（２）已知,a b R ，求证：
2233
33()()(8a
b a b a b a b
（３）已知1,1a b ，
求证：11a b ab
（４）已知,,a b c R ，求证：()()()6ab a
b b
c b c ac a
c abc
【解】
（１）比较法：
左－右＝0))((2
>--b a b a ． 比较法
（２）综合法： 由02>≥+ab b a
0222>≥+ab b a
0233>≥+ab ab b a
把上面三个式子相乘即得所证式．
（３）分析法：
欲证原式，只需证：2
2
)1()(ab b a +<+ 即证：0)1)(1(2
2
>--b a 此式显然成立．故原式得证．
（４）左＝)(2
2
ab b a +＋)(2
2
ca c a +＋
)(22cb c b +abc abc abc 222++≥ ＝abc 6＝右．
思维点拔：
１．比较法证题步骤：作差―――变
形――――判断．
２．综合法证题模式：Ａ（已知）
12n
B B B Ｂ（结论）
３．分析法证题模式：Ｂ （结论）
12n
A A A Ａ（已知）
追踪训练一
１．已知,,,a b m R 且a b ，求证：
a m a
b m b
． ２．已知,,,a b c
R 且1a
b c ，
求证：1
3ab bc ca
6
7
5
略证：（１）比较法． （２）综合法． （３）分析法．
例２.（１）已知,,(0,1),a b c
求证：
(1),(1),(1)a b b c c a 不能都大于
4
1
． （２）已知2
222
1,1a
b x y ，求证：
1ax by
（３）求证：
1
11a b a b a b
a
b
证明：（１）反证法．
（２）三角换元法．
（３）放缩法．
其中（3）为： 左=|
|11
1b a ++-
≤|
|||11
1b a ++-
=|
|||1|
|||||1||b a b b a a +++++
右．听课随笔
思维点拨
１．反证法证题的步骤是：（１）假设．（２）归谬．（３）否定假设，肯定原结论．
２．遇到平方和的形式可采用三角换元法． ３．通常通过增或舍去正，负项实现放缩，注意放缩要适度．
追踪训练二
１．用反证法证明：若,,a b R 且4ab ，
求证：2
2
8a b ．
易证．
２．已知2
21x
y ，求证：
22
3114
x y
三角换元法易证．
３．求证：222
1111223n
放缩法易证．。