高中数学18.概率127
高考数学127个快速解题公式
高中数学127个快速解题公式第1章 集合1、有限集合子集个数：子集个数：2n 个，真子集个数：12n -个；2、集合里面重要结论：①A B A A B ⋂=⇒⊆；②A B A B A ⋃=⇒⊆；③A B A B ⇒⇔⊆ ④A B A B ⇔⇔= 3、同时满足求交集，分类讨论求并集4、集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-第2章 函数52.236,3.142, 2.718e π≈≈≈≈≈ 6、分数指数幂公式：nma = 7、对数换底公式：log 1log ;log log log c a a c b b b b a a ==8、单调性的快速法：①.增＋增→增；增—减→增；②.减＋减→减；减—增→减；③.乘正加常，单调不变： ④.乘负取倒，单调不变：9、奇偶性的快速法：①.奇±奇→奇；偶±偶→偶；②.奇()⨯÷奇→偶；偶()⨯÷偶→偶；奇()⨯÷偶→奇；10、函数的切线方程：000()()y y f x x x '-=-11、函数有零点min max ()0()0f x f x ≤⎧⇔⎨≥⎩12、函数无零点max min ()0()0f x f x ⇔≤≥或13、函数周期性：()()f a x f b x +=+的周期T b a =-； 14、函数对称性：()()f a x f b x +=-的对称轴2a bx +=； 15、抽象函数对数型：若()()()f xy f x f y =+，则()log a f x x =；16、抽象函数指数型：若()()()f x y f x f y +=，则()xf x a =；17、抽象函数正比型：若()()()f x y f x f y +=+，则()f x kx =； 18、抽象函数一次型：若()f x c '=，则()f x cx b =+；19、抽象函数导数型：若()()f x f x '=，则()x f x ke =或()0f x =;20、两个重要不等式：1ln(1)1(0)ln 1x x e x x x e x x x ⎧≥+⇒+≤≤-==⎨≤-⎩当且仅当时“”成立 21、洛必达法则：()()()()limlim x ax a f x f x g x g x →→'='(当()0()0f x g x ∞→∞或时使用) 22、恒成立问题：max min(1)()()(2)()()a f x a f x a f x a f x ≥⇔≥<⇔<23、证明()()f x g x >思路：思路1：(1)()()()()0h x f x g x h x =-⇔>（常规首选方法）思路2：min max ()()f x g x >（思路1无法完成）第3章 数列24、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+- 25、等差数列通项公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 26、等比数列通项公式：11n n a a q -=27、等比数列通项公式：11(1)11n n n a a qa q S q q+-==--28、等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ 29、等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a = 30、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2A a b =+ 31、等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab = 32、裂项相消法1：若111(1)1n n nn -++=，则有1111n nT n n =-=++ 33、裂项相消法2：若1111(2)22n n n n -++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有1111(1)2212n T n n =+--++ 34、裂项相消法3：若111111n nnn a a d a a ++=-⎛⎫⎪⎝⎭，则有11111()n n T d a a +=- 35、裂项相消法4：若1111(21)(21)22121n n n n -+--+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有11(1)221n T n =-+ 36、错位相减法求和通式：1112()1(1)1n n n n dq b b a b qa b T q q q -=+----第4章 三角函数37、三角函数的定义：正弦：sin y r α=；余弦：cos x r α=；正切：tan yxα=；其中：r =38、诱导公式：π倍加减名不变，符号只需看象限；半π加减名要变，符号还是看象限。
高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率1.事件及样本空间
B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A +若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n nP A A A P A P A P A =+++． 事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生．中至少有一个发生．6．互为对立事件高中数学讲义版块一：事件及样本空间 1．必然现象与．必然现象与随机现象随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件随机事件．通常用大写通常用大写英文英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件．来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为所有基本事件构成的集合称为基本事件空间基本事件空间，常用W 表示．表示．版块二：随机事件的版块二：随机事件的概率概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A 与B 都是相互独立的．都是相互独立的．3．概率的．概率的统计统计定义定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n，当n 很大时，总是在某个很大时，总是在某个常数常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤．当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =．4．互斥事件与事件的并．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．件组成的集合．5．互斥事件的概率．互斥事件的概率加法加法公式：公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =知识内容 板块一.事件及样本空间不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -ì=ïïï+=+íï×=×ï=-ïî等可能事件等可能事件: : 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验次独立重复试验::求解求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；随机事件的概率，等可能性事件的概率；⑵ 互斥事件有一个发生的概率；互斥事件有一个发生的概率；⑶ 相互独立事件同时发生的概率；相互独立事件同时发生的概率；⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；次的概率；⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率；次才首次发生的概率；⑹ 对立事件的概率．对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．等．题型一 事件及样本空间【例1】 (2010安徽) 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A ，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的典例分析 高中数学讲义有()1()P A P A =-．<教师教师备案备案> 1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．，与通常所说的事件不同．基本事件空间基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或有时我们提到事件或有时我们提到事件或随机事件随机事件，也包含不可能事件和必然事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机将其作为随机事件的事件的特例特例，需要根据情况作出判断．，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的它具有一定的稳定性稳定性，总是在某个总是在某个常数常数附近摆，且随着试验次数的增加，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，摆动的幅度越来越小，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．这个常数叫做这个随机事件的概率．这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两．基本事件一定是两两互斥互斥的，它是互斥事件的特殊情形．的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质ìïïíïïî等可能事件等可能事件互斥事件互斥事件 独立事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．，即所给的问题归结为四类事件中的某一种． 第二步，判断事件的运算ìíî和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）． ① ()25P B =； ②(高中数学讲义)15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立；相互独立；④1A ，2A ，3A 两两互斥的事件；两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关．中究竟哪一个发生有关．【例2】 下列事件：①同学甲竞选同学甲竞选班长班长成功；②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A B C ，，，满足A B B C ÍÍ，，则A C Í； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于其中属于随机事件随机事件的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”；⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”；⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”； ⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化；⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何技术充分发达后，不需要任何能量能量的“永动机”将会出现；⑸买彩票中一等奖；⑹若平面a 平面m b =，n b ∥，n a ∥，则m n ∥．【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的写出这个试验的基本事件空间基本事件空间和基本事件总数；⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； ⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件； ⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的球，观察球的颜色颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间；事件，点数之和为的事件是 事件，点数之差为点的事件是 事43214321高中数学讲义 点间的事件是。
高中数学必修二课件：概率的基本性质
一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.
概率的基本性质课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
年最高水位 (单位：m)
[8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概 率：(1)[10,16)；
高中数学 必修第二册 RJ·A
解 记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)， [16,18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥. P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
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反思感悟
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥. (2)求各事件分别发生的概率，再求其和. 注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
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跟踪训练
在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
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典例剖析
一、互斥事件概率公式的应用
例1 (1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，
B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝1 ，求出现1点或2点的概率. 6
解 设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件， 由 C＝A∪B 可得 P(C)＝P(A)＋P(B)＝16＋16＝13， 所以出现 1 点或出现 2 点的概率是13.
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(2)[8,12)； 解 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之127均值不等式含义
14. 函数 的
A.最大值是 B.最小值是 C.最大值是 D.最小值是
15. 已知 ， 是关于 的方程 的两个实根，那么
A.有最小值 ，没有最大值B.有最小值 ，也有最大值
C.有最小值 ，也有最大值 D.既没有最小值也没有最大值
16. 设 ，且 ，则
A. B. C. D.
17. 函数 的最小值为
35. 已知 ， ， ，则 的最小值是
A. B. C. D.
36. 若 ， ，且 ，则 ， ， ， 中最大的一个是
A. B. C. D.
37. 以下说法正确的有
① 最小值为
② 对 恒成立
③ 的最小值为
④ 且 ，则必有
A.①②B.②④C.③④D.①③
38. 给出下列三个命题：
①若 ，则 ；
②若正整数 和 满足 ，则 ；
A. B. C. D.
18. 若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是
A. B. C. D.
19. 若 ，则 的最小值是
A. B. C. D.
20. 在下列函数中，最小值是 的是
A. B.
C. D.
21. 已知函数 ， ， 是正实数， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A. B. C. D.
22. 已知等比数列 中， ，则其前 项的和 的取值范围是
53. “ ， ”是“ ”的条件．
54. 已知 ，则 的最小值是．
55. 与 的大小关系是．
56. 已知 ， ，且 ，那么 ， ， ， 中最大的是．
57. 已知 ，则 的最大值是．
58. 函数 的最小值是．
59. 若实数 ， 满足 ，则 的最小值为．
60. 已知复数 ，则 的最大值为．
高中数学求概率的方法总结
高中数学求概率的方法总结高中数学中的概率理论是一个非常重要的知识点，它是统计学的基础，也是日常生活中常用的一种数学工具。
在学习概率的过程中，我们需要掌握一些基本概念和方法，以便能够正确地计算概率。
一、基本概念1. 随机事件：指具有不确定性的事件，例如掷骰子、抽卡等。
2. 样本空间：指所有可能结果的集合，通常用 S 表示。
3. 事件：指样本空间的一个子集，通常用 A 表示。
4. 等可能事件：指每个事件发生的概率相等的事件，例如抛硬币、掷骰子等。
5. 互斥事件：指两个事件不能同时发生的事件，例如抛硬币正反面、掷骰子点数等。
二、计算概率的方法1. 古典概型：指等可能事件的概率计算方法，通常用公式P(A)=m/n 表示，其中m 表示事件A 中的有利结果数，n 表示样本空间 S 的元素个数。
2. 几何概型：指通过几何图形来计算概率的方法，例如计算圆内随机点的概率等。
3. 统计概型：指通过实验和统计来计算概率的方法，通常需要进行大量的实验来验证概率的准确性。
4. 条件概率：指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常用公式P(B|A)=P(A∩B)/P(A) 来表示，其中 A 和 B 是两个事件。
5. 独立事件：指两个事件相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
通常用公式P(A∩B)=P(A)×P(B) 来表示。
三、应用举例1. 抛硬币的概率：假设硬币是均匀的，事件 A 表示正面朝上，事件B 表示反面朝上，样本空间 S={A,B}。
则有 P(A)=P(B)=1/2。
2. 抽卡的概率：假设卡片是等概率的，事件 A 表示抽到某个卡片，事件 B 表示抽到另一个卡片，样本空间S={A,B}。
则有P(A)=P(B)=1/2。
3. 掷骰子的概率：假设骰子是均匀的，事件 A 表示掷出的点数为偶数，事件B 表示掷出的点数为质数，样本空间S={1,2,3,4,5,6}。
则有 P(A)=1/2，P(B)=1/2。
关于数学概率问题的解题技巧
关于数学概率问题的解题技巧摘要：概率数学是一种很重要和活跃的基础数学基本概念,在我们所有的初中大学生和数学远程课堂中,都会可以看到至少有一本数学书籍或者课程是专门给我们进行讲解数学概率的,由此看来数学概率的重要意义和极其重要性,而在我们进行利用数学认识概率的课堂教学中,对于我们所需要学习很多的数学知识都认为应该来说是有益的。
拥有一定计算概率的数学基础知识正在逐渐地发展成为我们所有人应该必须具备的一项社会基本素质。
关键词:数学;概率;解题技巧引言随着现代网络信息技术的进步和发展,人们常常都会需要在网络上搜集大量的资料,根据通过调查获取的资料和数据来分析推算得出有价值的资料和信息再由此作出合理的判断和决策,概率不仅在日常的学习中非常重要,在我们的生活中也非常重要,现在在我们的手机上观察天气预报,我们就可以能够清楚地看到网络页面上每天都会出现一个人平均降水的概率,再比如说假设今天是天小红问小明明天到底会不会有雨,要给自己穿什么样的衣服,小明告诉小明明天应该不会有雨。
应该这个名字,也可以是一个用来表示概率的单词,他所要表达的概率大小通常应该是小于1或者大于0.5。
所以来讲,概率在我们的日常生活中息息相关,概率的教学不仅对我们进行高考很有帮助,而且能够很好地帮我们预测一些在生活中可能发生的事件和程度。
一、学习概率知识的重要性在我们的高考中,“概率”这种类的基础知识一直都是我们高考时候数学命题的一个教学重点,有时候我们很可能还会再次出现一些选择题、填空问题或者说是一些大题,高考中任意一个问题无论是分数多还是小,能不随意丢分就没有随意丢分,而概率就很有时候也可能出这种样子的题型:假如我们设 x ~ b ( n ,b ),且 e ( x )=3, d ( x )=2,试求 x 的全部都有可能被取得,并进行公式为 p( x≤8)。
解题 e ( x )=3= npd ( x )=2= np (1- p ) p =1/3p ( x )= cx( n )×1/3n×2/3x - n , x =0,1,2,, n p( x≤8)=0+1/3+2×1/3×2/3++8×1/3×2/37。
高中数学 概率与统计知识点总结
高中数学概率与统计知识点总结概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差1.概率及其计算概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。
计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。
如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。
2.随机变量的分布列、期望与方差随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量。
常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何分布。
二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
超几何分布指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从超几何分布。
2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。
相互独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。
3.独立重复试验与二项分布独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验的结果只有两种可能，即成功或失败。
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
高中数学概率问题解决技巧与方法详细说明
高中数学概率问题解决技巧与方法详细说明数学概率是高中数学中的一个重要内容，也是学生们经常会遇到的问题。
在处理概率问题时，我们需要运用一些技巧和方法来解决，以确保能够正确地分析和计算概率。
本文将详细介绍一些高中数学概率问题解决的技巧和方法，帮助读者更好地理解和应用概率概念。
一、概率问题的基本概念回顾在解决概率问题之前，我们首先需要回顾一些基本概念。
概率是指某个事件发生的可能性，通常用一个介于0到1之间的数值来表示。
事件的概率可以通过分为有限样本空间的情况下，事件发生的次数与样本空间中的总次数之比来计算。
二、计算概率的常用方法在解决概率问题时，我们可以运用以下几种常见的计算方法：1. 等可能性原则：当事件的样本空间中的每个样本发生的可能性相等时，我们可以采用等可能性原则。
例如，投掷一个均匀的骰子，每个点数（1-6）出现的可能性相等。
2. 频率法：在实际的观察或实验中，通过统计事件发生的频次来估计事件的概率。
这种方法在大量实验中往往更加准确。
3. 几何法：对于几何问题，我们可以通过计算区域面积或长度比来计算概率。
例如，计算一个点落在某个区域内的概率，可以通过计算该区域的面积与总体面积的比值。
4. 利用条件概率：有时，我们需要计算事件在给定其他条件下发生的概率。
这时可以使用条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B) 表示事件 A 和 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
5. 利用排列与组合：排列与组合是解决概率问题时常用的技巧。
当事件所涉及的样本空间较大时，我们可以利用排列与组合的原理来简化计算。
例如，在从一副52张的扑克牌中抽取5张牌，我们可以利用组合数来计算不同组合的出现概率。
三、应用概率解决实际问题除了计算概率，概率概念还可以应用于解决一些实际问题，例如：1. 投资理财：概率可以用来估计投资风险和预测投资收益。
投资者可以根据不同资产类别的历史数据和市场趋势，计算出不同事件的概率，并做出相应的投资决策。
新高考数学高考基础题有哪些
新高考数学高考基础题有哪些高考数学基础题有哪些1、二次函数。
二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。
顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)。
零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
辨明两个易误点：对于函数y=ax2+bx+c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a=0和a≠0两种情况。
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内粗明;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
2、复合函数。
设函数Y=f(u)的定义域为D，函数u=φ(x)的值域为Z，如果D∩Z，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，记作Y=f(φ(x))。
x为自变量，y为因变量，而u称为中间变量。
如等都是复合函数。
就不是复合函数，因为任何x都不能使y有意义。
由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。
高考数学必备技巧1、三个“基本”：基本的概念要清楚，基本的规律要熟悉，基本的方法要熟练。
2、做完题目后一定要认真总结，做到举一反三，这样，以后遇到同一类的问题是就不会花费太多的时间和精力了。
3、一定要全面了解数学概念，不能以偏概全。
4、学习概念的最终目的是能运用概念来中裂解决具体问题，因此，要主动运用所学的数学概念来分析，解决有卖凳闭关的数学问题。
5、要掌握各种题型的解题方法，在练习中有意识的地去总结，慢慢地培养适合自己的分析习惯。
6、要主动提高综合分析问题的能力，借助文字阅读去分析理解。
7、在学习中，要有意识地注意知识的迁移，培养解决问题的能力。
8、要将所学知识贯穿在一起形成系统，我们可以运用类比联系法。
9、将各章节中的内容互相联系，不同章节之间互相类比，真正将前后知识融会贯通，连为一体，这样能帮助我们系统深刻地理解知识体系和内容。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：概率的基本性质
一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字 1，2， 3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率．
解：(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为(1，1，1)，(1， 1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3， 1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)， (2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2， 3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2， 2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共 27 种． 设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A，则事件 A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共 3 种．所以 P(A)＝237 ＝19. 即“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为19.
法一：(1)由互斥事件概率公式，得取出 1 球为红球或黑球的概 率为 P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝152＋142＝34. (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1＋A2＋A3)＝ P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝152＋142＋122＝1112. 法二：(1)取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球 或绿球，即 A1＋A2 的对立事件为 A3＋A4，所以取出 1 球为红球 或黑球的概率为 P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝ 1－122－112＝192＝34.
高中数学概率的计算
高中数学概率的计算概率是数学中的一个重要概念，用来描述事件发生的可能性。
在高中数学中，概率的计算是一个基础而又重要的内容。
本文将从基础概念开始，逐步介绍高中数学中概率的计算方法。
一、基本概率计算高中数学中最基本的概率计算方法是事件的概率等于其发生的结果数除以样本空间的结果数。
比如，一枚骰子投掷的结果有6种可能的结果，分别是1、2、3、4、5、6。
如果我们想要计算投掷这枚骰子出现偶数的概率，偶数的结果有3种（2、4、6），那么偶数出现的概率就是3/6，即1/2。
二、互斥事件和对立事件的概率计算互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而对立事件指的是两个事件中必定有一个发生。
对于互斥事件，它们的概率之和等于各自的概率。
比如在一副扑克牌中，红桃和黑桃是互斥事件，它们各自的概率都是26/52=1/2。
对于对立事件，它们的概率之和等于1。
比如扔一枚硬币，正面和反面是对立事件，它们的概率分别是1/2，所以1/2+1/2=1。
三、独立事件的概率计算独立事件指的是两个事件的发生不会相互影响。
对于独立事件，它们的概率可以通过相乘得到。
比如扔两枚骰子，想要计算两枚骰子都为偶数的概率，每一枚骰子出现偶数的概率为1/2，那么两枚骰子都为偶数的概率就是(1/2)*(1/2)=1/4。
四、条件概率的计算条件概率指的是在一个已知事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算方法是在已知事件发生的前提下，将另一个事件发生的结果数除以已知事件发生的结果数。
比如有一袋子里有4个红球和6个蓝球，从中取球，如果已知取到的是红球，那么取到蓝球的概率是6/10=3/5。
五、乘法定理的概率计算乘法定理用于计算多个事件同时发生的概率。
乘法定理的计算公式是P(A∩B)=P(A)*P(B|A)，其中P(A)表示事件A的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
比如从一副扑克牌中抽出一张牌，不放回，再抽出一张牌，计算第一张是红桃，第二张是黑桃的概率。
高中数学概率知识点总结
高中数学概率知识点总结1. 概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性大小的数学工具。
高中数学中，概率的基本概念包括：•随机事件：随机试验中可能发生的事件称为随机事件。
•样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间。
•事件的概率：事件 A 的概率 P(A) 定义为 A 中的有利结果的个数与样本空间中所有结果的个数的比值。
2. 概率的性质概率具有以下性质：•非负性：对于任意事件 A，P(A) ≥ 0。
•规范性：对于样本空间 S，P(S) = 1。
•可列可加性：对于互不相容事件A1, A2, … ，有P(A1 ∪ A2 ∪ …) = P(A1) + P(A2) + …。
3. 条件概率和独立性条件概率是指在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
用 P(A|B) 表示事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率。
独立事件是指事件A 的发生与事件 B 的发生相互独立，即P(A∩B) = P(A)P(B)。
4. 全概率公式和贝叶斯定理全概率公式是用来求解事件的概率的一种方法。
设事件B1, B2, … 是样本空间 S 的一个划分，即B1, B2, …两两互斥且并集为 S。
则对任意事件 A，有以下公式成立：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ...贝叶斯定理是条件概率的一种重要推论，其公式如下：P(B|A) = P(A|B)P(B) / P(A)5. 随机变量和概率分布随机变量是随机试验结果的函数，用来描述随机试验的结果与数值之间的关系。
离散随机变量：随机变量只能取有限个或可列个数值的变量。
连续随机变量：随机变量可能取某一区间内所有数值的变量。
概率分布是随机变量所有可能取值及其相应概率的分布情况。
常见的离散随机变量分布包括： - 伯努利分布 - 二项分布 - 泊松分布常见的连续随机变量分布包括： - 均匀分布 - 正态分布6. 期望和方差期望是衡量随机变量平均取值的指标。
高考数学概率与统计知识点
高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1）等可能性事件(古典概型)的概率：Ｐ(Ａ)=)()(I card A card =n m;等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件Ａ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()mP A n =求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(Ａ＋Ｂ)=P(Ａ)＋P （Ｂ）； 特例:对立事件的概率：Ｐ(A)+P(A )=P(A ＋A )=1. （3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)=P （A ）·Ｐ(B ）; 特例：独立重复试验的概率：Pn(ｋ）=kn k kn p p C --)1(．其中P 为事件Ａ在一次试验中发生的概率，此式为二项式[（1－Ｐ)＋Ｐ］n 展开的第k+1项．（4）解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”:求概率的步骤是:第一步,确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。
例2． 若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示）.[解答过程]０.3提示：1335C 33.54C 102P ===⨯例２.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 .[解答过程］1.20提示：51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为０．8０.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为＿________＿.（精确到0.０1)[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.［解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=．故填０.94.离散型随机变量的分布列 １．随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ,……,ix ,……，ξ取每一个值ix （=i 1，2，……）的概率P(i x =ξ)＝i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ,=i １,2，…;（２)++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为０,1,2,…n,并且kn k kn k q p C k P P -===)(ξ,其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下:称这样随机变量ξ服从二项分布,记作),(~p n B ξ,其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C k n k k n =- ．(２） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为:例１．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家2０件产品中,其中有３件不合格,按合同规定该商家从中任取２件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取４件产品检验，其中至少有１件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=(Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===, ()11317220511190C C P C ξ===,()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=.记“商家任取２件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=.所以商家拒收这批产品的概率为2795.例１２．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;(Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望. （注:本小题结果可用分数表示)［解答过程]解法一:(Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =,∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=.(Ⅱ)ξ的可能值为123，，,11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=.ξ∴的分布列为11235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=.解法二:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =.∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=. （Ⅱ)同解法一．(3)离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(１）离散型随机变量的数学期望:++=2211p x p x E ξ…;期望反映随机变量取值的平均水平．⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+. (4)若ξ~B(n,ｐ)，则 np E =ξ ; Ｄξ =npq(这里q ＝1-ｐ) ;如果随机变量ξ服从几何分布,),()(p k g k P ==ξ,则p E 1=ξ,D ξ =2p q 其中q=1-p.例1.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η的分布列如下:思路:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小．解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ,891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ;工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同,技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 例２．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为２0０元；分2期或3期付款，其利润为25０元；分４期或5期付款,其利润为3００元.η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ）求事件A :“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ)求η的分布列及期望E η．［解答过程］（Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=.（Ⅱ)η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=.η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元).抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1.简单随机抽样:设一个总体的个数为Ｎ,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法． 2．系统抽样:当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取１个个体，得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样)． ３．分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地,样本容量越大,这种估计就越精确．总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布．当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图．当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线. 典型例题例1．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中Ａ种型号产品有1６件．那么此样本的容量n= .解答过程：A 种型号的总体是210，则样本容量ｎ=1016802⨯=．例2．一个总体中有1０0个个体，随机编号０，1，2,…,99，依编号顺序平均分成１０个小组,组号依次为１,2，3,…，１0.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同,若6m =，则在第7组中抽取的号码是 .解答过程：第Ｋ组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+,…,(1)109k -+，当m ＝６时，第k 组抽取的号的个位数字为m+ｋ的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63.正态分布与线性回归1.正态分布的概念及主要性质(1)正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为222)(21)(σμπσ--=x ex f ,x R ∈ 其中σ、μ为常数，并且σ>0,则称ξ服从正态分布，记为~N ξ（μ，2σ)．（2）期望Ｅξ =μ,方差2σξ=D .(３）正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方，并且关于直线x ＝μ对称．②曲线在ｘ＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定;曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”. 三σ原则即为数值分布在（μ—σ,μ＋σ)中的概率为０．６５２6数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0．954４ﻫ数值分布在（μ—３σ,μ+３σ）中的概率为０.９974（4）标准正态分布当μ=０，σ＝１时ξ服从标准的正态分布，记作~N ξ（0,1） （5）两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.(6)2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.若2~(,)N ξμσ，则~(0,1)N ξμησ-=;②若2~(,)N ξμσ，则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.2.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循．回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法．它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对n 个样本数据（11,x y ），(22,x y )，…，（,n n x y ),其回归直线方程，或经验公式为：a bx y+=ˆ.其中,,)(1221x b y a x n xyx n yx b ni ini ii⋅-=--=∑∑==,其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数．例1.如果随机变量ξ～N （μ，σ２），且E ξ＝3，D ξ=1，则Ｐ(－1＜ξ≤１=等于( ) A ．2Φ(１)－1 ﻩB.Φ（4)-Φ（2） C.Φ（2)-Φ(4) ﻩD.Φ(－4）-Φ（-2)解答过程:对正态分布，μ＝E ξ＝３，σ２＝D ξ=1,故P （－１＜ξ≤１)=Φ(1－3)－Φ（－１－３)=Φ（-２)-Φ（－4）＝Φ（4)－Φ（２)． 答案:B例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d ℃，液体的温度ξ(单位:℃)是一个随机变量,且ξ~N （d ，0.５2）. (1)若d=90°,则ξ<89的概率为 ;(2)若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99,则d 至少是 ?(其中若η～N(0，1）,则Φ(2）=P （η<2）=0.９77２，Φ（-2.327)＝P(η<-2.327)=0.01)．解答过程:(1）Ｐ（ξ<８9）=Ｆ(８9)=Φ(5.09089-)=Φ（-2）＝1-Φ(2)=１-0.９７72=0.０228．（2)由已知d 满足0.99≤P(ξ≥80）,即1－P(ξ＜８０)≥１-０.01,∴P(ξ<８0)≤0.01.∴Φ(5.080d-）≤0．01=Φ（－2．32７）.∴5.080d -≤-2.３２7.∴d ≤81．1６３５. 故d 至少为81.１63５.小结:（1）若ξ～N(0,1),则η=σμξ-~N(0,1).(2)标准正态分布的密度函数f （x ）是偶函数，x<0时，f(x ）为增函数,x>０时，f （x ）为减函数.。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：频率与概率
名称
区别
联系
本身是随机的，在试验之前无法 (1)频率是概率的近似值，
确定，大多会随着试验次数的改 随着试验次数的增加，频 频率
变而改变．做同样次数的重复试 率会越来越接近概率
验，得到的频率值也可能会不同 (2)在实际问题中，事件的
是一个[0，1]中的确定值，不随试 概率通常情况下是未知
概率
验结果的改变而改变
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( )
3
2
A.4
B.5
C.2410
D.1470
【解析】 在 40 组四位随机数中，0～5 的整数恰出现 3 次的
四位数有 16 组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为1460＝
25. 【答案】 B
应用随机数估计概率的步骤 (1)明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系． (2)产生随机数． (3)统计试验次数 N 及所求事件包含的次数 n. (4)计算Nn 便可．
(3)小概率(概率接近于 0)事件很少发生，但不代表一定不发生； 大概率(概率接近于 1)事件经常发生，但不代表一定发生． (4)必然事件 M 的概率为 1，即 P(M)＝1；不可能事件 N 的概率 为 0，即 P(N)＝0.
有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为 95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是 1%”表示买 100 张彩票一定有 1 张会 中奖； ③做 10 次抛硬币的试验，结果 3 次正面朝上，因此正面朝上的 概率为130； ④某厂产品的次品率为 2%，但该厂的 50 件产品中可能有 2 件 次品． 其中错误说法的序号是________．
下：
[11.5，15.5) 2 ；[15.5，19.5) 4 ；[19.5，23.5) 9；
高中概率知识点高考考点易错点归纳
高中概率知识点高考考点易错点归纳高中数学——概率知识要点3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率在条件S下，一定会发生的事件称为相对于条件S的必然事件。
在条件S下，一定不会发生的事件称为相对于条件S的不可能事件。
必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。
在条件S下可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件S的随机事件。
在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数nA。
事件A出现的比例称为频率f(A)=nA/nn。
随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值。
3.1.2 概率的意义随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。
认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
抽签的公平性是游戏的公平性的一个例子。
在从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务中，“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。
极大似然法和小概率事件也与概率思想相关。
天气预报的概率解释是明天本地下雨的机会是70%。
XXX的豌豆试验是试验与发现的例子。
遗传机理中的统计规律也与概率相关。
3.1.3 概率的基本性质对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作B A(或A B)。
不可能事件记作。
若B A且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B。
事件A与事件B的并事件（和事件）是某事件发生当且仅当事件A发生或事件B 发生。
事件A与事件B的交事件（积事件）是某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。
事件A与事件B互斥是AB为不可能事件，即AB=，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。
事件A与事件B互为对立事件是AB为不可能事件，AB为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
概率的几个基本性质包括：1）0≤P(A)≤1；2）必然事件的概率为1，即P(E)=1；3）不可能事件的概率为0，即P(F)=0.3.2 古典概型古典概型是一种具有有限个基本事件且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
高中数学《概率的基本性质》教案
舜耕中学高一数学必修3导学案(教师版)编号教学过程：一、〖创设情境〗1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？2 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．二、〖新知探究〗1. 事件的关系与运算思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现它们之间的关系和运算吗？上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?(1) 显然，如果事件C1发生，则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，记作H⊇C1一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B⊇A ( 或A⊆B )；任何事件都包含不可能事件.（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.（3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与事件B的并事件（或和事件）是什么含义？当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B 的并事件(或和事件)，记作C=A∪B(或A+B).（4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4（5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。
高中数学选择性必修三 7 1 2 全概率公式
7.1.2全概率公式课标要求素养要求1.结合古典概型，会用乘法公式计算概率.2.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 通过学习及运用全概率公式，进一步提升数学抽象及数学运算素养.新知探究狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读．设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5, 经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！问题上述问题可以用哪种概率公式来解释？提示我们可以借助全概率公式来解读．1．全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i ）.我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 2．贝叶斯公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，则对任意事件B ⊆Ω，P (B )>0， 有P (A i |B ）＝P （A i ）P （B |A i ）P （B ）i ＝1，2，…，n .3．在贝叶斯公式中，P (A i )和P (A i |B )分别称为先验概率和后验概率．拓展深化[微判断]1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．(√)2．所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．(√) 3．全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率．(√) [微训练]1．一个盒子中有6只白球，4只黑球，不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率为________．解析 设A ＝“第一次取到白球”，B ＝“第二次取到白球”， 则B ＝AB ∪A －B ，且AB 与A －B 互斥，所以 P (B )＝P (AB )＋P (A －B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝6 10×59＋410×69＝0.6.答案0.62．有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________．解析设A＝“取到的是优质品”，B i＝“打开的是第i箱”(i＝1，2)，则P(B1)＝P(B2)＝12，P(A|B1)＝1050＝15，P(A|B2)＝1830＝35，直接利用全概率公式：P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝2 5.答案2 5[微思考]全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？提示两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的.题型一全概率公式【例1】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．解设B＝“飞机被击落”，A i＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B ＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)．为求P (A i )，设H i ＝{飞机被第i 人击中}，i ＝1，2，3， 则P (H 1)＝0.4，P (H 2)＝0.5，P (H 3)＝0.7，故 P (A 1)＝P (H 1H －2H －3＋H －1H 2H －3＋H －1H －2H 3) ＝P (H 1)P (H －2)P (H －3)＋P (H －1)P (H 2)P (H －3)＋ P (H －1)P (H －2)P (H 3)＝0.36，P (A 2)＝P (H 1H 2H －3＋H 1H －2H 3＋H －1H 2H 3) ＝P (H 1)P (H 2)P (H －3)＋P (H 1)P (H －2)P (H 3)＋ P (H －1)P (H 2)P (H 3)＝0.41，P (A 3)＝P (H 1H 2H 3)＝P (H 1)P (H 2)P (H 3)＝0.14. 于是P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458， 即飞机被击落的概率为0.458.规律方法 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．【训练1】 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率多大？解 设A ，B ，C 分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，则由已知，P (A )＝50%，P (B )＝30%，P (C )＝20%， P (D |A )＝95%，P (D |B )＝90%，P (D |C )＝85%，从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到： P (D )＝P (D |A )P (A )＋P (D |B )P (B )＋P (D |C )P (C ) ＝95100×50100＋90100×30100＋85100×20100 ＝0.915.题型二 贝叶斯公式【例2】 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的．若已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．解 设A ＝“发送的信号为0”，B ＝“接收的信号为0”，则A －＝“发送的信号为1”，B －＝“接收的信号为1”．由题意得，P (A )＝P (A －)＝0.5，P (B |A )＝0.8，P (B －|A )＝0.2，P (B |A －)＝0.1，P (B －|A －)＝0.9. 由贝叶斯公式有P (A －|B )＝P （A －）P （B |A －）P （A －）P （B |A －）＋P （A ）P （B |A ）＝0.5×0.10.5×0.1＋0.5×0.8＝19. 规律方法 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小．【训练2】 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．解 设B ＝“中途停车修理”，A 1＝“经过的是货车”，A 2＝“经过的是客车”，则B ＝A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有P (A 1|B )＝P （A 1）P （B |A 1）P （A 1）P （B ⎪⎪A 1）＋P （A 2）P （B |A 2）＝23×0.0223×0.02＋13×0.01＝0.8.题型三 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解 设事件A 表示“取到的产品为正品”，B 1，B 2，B 3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知P (B 1)＝0.2，P (B 2)＝0.3，P (B 3)＝0.5， P (A |B 1)＝0.95，P (A |B 2)＝0.9，P (A |B 3)＝0.8， (1)由全概率公式得： P (A )＝∑3i ＝1P (B i )P (A |B i )＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86， (2)由贝叶斯公式得 P (B 1|A )＝P （B 1）P （A |B 1）P （A ）＝0.2×0.950.86≈0.220 9，P (B 2|A )＝P （B 2）P （A |B 2）P （A ）＝0.3×0.90.86≈0.314 0， P (B 3|A )＝P （B 3）P （A |B 3）P （A ）＝0.5×0.80.86≈0.465 1，由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．规律方法 P (A i )(i ＝1，2，…，n )是在没有进一步信息(不知道事件B 是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B 发生)，人们对诸事件发生可能性大小P (A i |B )有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．【训练3】 一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为13，14，112.(1)求这位教授迟到的概率；(2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率．解 设A ＝“迟到”；B 1＝“乘飞机”；B 2＝“乘动车”；B 3＝“乘非机动车”． (1)所求概率为P (A )，由全概率公式得： P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＋P (A |B 3)P (B 3) ＝13×15＋14×12＋112×310＝1360.(2)所求概率为P (B 1|A )，由贝叶斯公式得： P (B 1|A )＝P （AB 1）P （A ）＝P （A |B 1）P （B 1）P （A ）＝13×151360＝413.一、素养落地1．通过本节课的学习，提升数学抽象及逻辑推理素养．2．全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．3．概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和贝叶斯公式正好起到了这样的作用． 二、素养训练1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( ) A.35 B.1949 C.2049D.25解析 设A 表示“第一个人取得黄球”，B 表示“第二个人取得黄球”，则P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝25×1949＋35×2049＝25. 答案 D2．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为( ) A ．0.012 45 B ．0.057 86 C ．0.026 25D ．0.028 65解析 设A 表示“此人恰是色盲”，B 1表示“随机挑选一人为男人”，B 2表示“随机挑选一人为女人”，则P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＝12×0.05＋12×0.002 5＝0.026 25. 答案 C3．设某公路经过的货车与客车的数量之比为1∶3，货车中途停车修车的概率为0.03，客车为0.02，今有一辆汽车中途停车修理，则该车是客车的概率是( ) A.12 B.23 C.34D.45解析 设B ＝{中途停车修理}，A 1＝{经过的是客车}，A 2＝{经过的是货车}，则B ＝A 1B ∪A 2B . 由贝叶斯公式有P (A 1|B )＝P （A 1）P （B |A 1）P （A 1）P （B |A 1）＋P （A 2）P （B |A 2） ＝34×0.0234×0.02＋14×0.03＝23.答案 B基础达标一、选择题1．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为( ) A.12 B.1324 C.712D.13解析 从两袋中任选一袋，选中甲、乙的概率都是12，又从甲袋中取到白球的概率是512，从乙袋中取到白球的概率为46，故所求概率为12⎝ ⎛⎭⎪⎫512＋46 ＝1324.答案 B2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为( ) A ．0.012 5 B ．0.362 C ．0.468 D ．0.034 5解析 所求概率为0.25×0.050.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02≈0.362.答案 B3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( ) A ．0.012 3 B ．0.023 4 C ．0.034 5D ．0.045 6解析 所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 答案 C4．已知甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( ) A.512 B.37 C.2041D.2141解析 所求概率为12×61012×610＋12×814＝2141.答案 D5．5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( ) A.14 B.12 C.25D.35 解析 第一次取每个数字的概率都是15.如果第一次取得的是1，那么再从四张当中取的话，都比1大，所以概率就是15×1＝15，如果第一次取的是2，那么再去从四张当中去取得到的比2大的概率就是34，所以概率为15×34＝320，以此类推所得概率分别是15×24＝110，15×14＝120.故所求概率为15＋320＋110＋120＝12. 答案 B 二、填空题6．两台机床加工同样的零件，它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为__________．解析 由题意知第一台机床加工的零件占总数的23，第二台机床加工的零件占总数的13，故所求概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×0.03＋13×0.02＝7375. 答案 73757．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示“试验反应为阳性”，以B 表示“被诊断者患有癌症”，则有P (A |B )＝0.95，P (A － |B － )＝0.95，现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P (B |A )＝______(保留两位有效数字)．解析 P (A |B －)＝1－P (A －|B －)＝1－0.95＝0.05，被试验的人患有癌症的概率为0.005，就相当于P (B )＝0.005，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A |B ）P （B ）P （A |B ）＋P （B －）P （A |B －） ＝0.005×0.950.005×0.95＋0.995×0.05≈0.087. 答案 0.0878．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为__________．解析 设事件A 表示“从箱中任取2件都是一等品”，B i 表示“丢失的是i 等品”，i ＝1，2，3，那么P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)，P (B i )表示的就是丢失i 等品的概率．所以P (A )＝12×C 24C 29＋310×C 25C 29＋15×C 25C 29＝29，从而所求概率为P (B 1|A )＝P （B 1）P （A |B 1）P （A ）＝12×C 24C 2929＝38. 答案 38三、解答题9．设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，求乙抓到白阄的概率．解 设A 表示“甲抓到有物之阄”，B 表示“乙抓到白阄”，则P (A )＝210，P (A －)＝810，从而P (B )＝P (BA )＋P (B A －)＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝210×89＋810×79＝45.10．设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．解 设B ＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，A i ＝{提出的一台是第i 车间生产的}，i ＝1，2，则有B ＝A 1B ∪A 2B ，由题意P (A 1)＝25，P (A 2)＝35，P (B |A 1)＝0.85，P (B |A 2)＝0.88，由全概率公式得P (B )＝ P (A 1)P (B |A 1)＋ P (A 2)P (B |A 2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.能力提升11．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为14，不知道正确答案而猜对的概率为16.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )A.14B.119C.1116D.1924解析 我们设A 事件为“不知道答案”，B 事件为“猜对此题”．则P (A )＝14，P (B |A )＝16，P (B |A －)＝1.所以所求概率为P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝P （A ）P （B |A ）P （A ）P （B |A ）＋P （A －）P （B |A －）＝14×1614×16＋34×1＝119.答案 B12．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并往盒中加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．解 设A ＝“第一次抽出的是黑球”，B ＝“第二次抽出的是黑球”，由题意P (A )＝b a ＋b ，P (B |A )＝b ＋c a ＋b ＋c ，P (A －)＝a a ＋b ，P (B |A －)＝b a ＋b ＋c ， 由全概率公式得P (B )＝P (A )P (B |A ）＋P (A －)P (B ⎪⎪A －）＝b （b ＋c ）（a ＋b ）（a ＋b ＋c ）＋ab （a ＋b ）（a ＋b ＋c ）＝b a ＋b. 创新猜想13．(多空题)甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，(1)若已知从甲箱中取出的是白球，则从乙箱中也取出的是白球的概率是______；(2)从乙箱中取出白球的概率是______．解析 设B ＝“从乙箱中取出白球”，A ＝“从甲箱中取出白球”，则P (A )＝35，P (A －)＝25.(1)所求概率为P (B |A )＝25.(2)易知P (B |A －)＝15，故利用全概率公式，得所求概率为P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝35×25＋25×15＝825. 答案 (1)25 (2)825。
高中数学苏教版 8.1.2全概率公式 课后练习、课时练习
一、单选题1. 长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（）A．B．C．D．2. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A．B．C．D．3. 讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%.若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（）A．0.275 B．0.28 C．0.32 D．0.64. 有两箱同种规格的零件，第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中15件一等品．现从两箱中随意挑出一箱，然后再从这一箱中随机取出一个零件，则取出的零件是一等品的概率为（）A．B．C．D．5. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取件，则这件产品不是次品的概率（）A．B．C．D．6. 有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球和1个红球，乙袋中有2个红球和中1个白球，这6个球手感上不可区别.现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到红球的概率是（）A．B．C．D．二、多选题7. 甲盒中有2个红球和4个白球，乙盒中有3个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出一球放入乙盒，记事件A＝“甲盒中取出的是红球”，B＝“甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取一个球，记M＝“乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．8. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（）A．事件与相互独立；B．；D．，，是两两互斥的事件C．；三、填空题9. 1号箱中有2个白球和3个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．10. 两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为___________.11. 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下：已知该市场智能手机的优质品率为，则乙品牌手机的优质品率P为______．品牌甲乙其他市场占有率优质率P12. 现有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，则所取到的是女生报名表的概率为________.四、解答题13. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球．(1)求第一次取出的球为红球的概率；(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．14. 设有两个罐子，A罐中放有2个白球､1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同.现在从两个罐子中各摸1个球并交换，求这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率.15. 今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.16. 现有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有8个红球和2个白球，乙袋中有4个红球和6个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率；②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.。
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概 率１．频率与概率频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，频率不是一个完全确定的数，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，但从大量的重复实验中发现，随着试验次数的增加，频率就稳定于某一固定值，这个固定值就是事件的概率.提醒：概率的统计定义是由频率来表示的，但是它又不同于频率的定义，只使用频率来估算概率.频率是实验值，有不确定性，而概率是稳定值.2.互斥事件与对立事件互斥事件：指不可能同时发生的事件，可以同时不发生.对立事件：A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生.提醒：（1）对立是互斥，互斥未必对立. （2）可将所求事件化为互斥事件A 、B 的和，再利用公式())()(B P A P B A P +=⋃来求，也可通过对立事件公式)(1)(A P A P -=来求)(A P 。
特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.基本步骤：①计算一次试验中基本事件的总数n ②事件A 包含的基本事件的个数m ③由公式nm A P =)(计算. 注：必须在解题过程中指出等可能的.如：在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
解：记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为107.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率)(A P ，然后利用)(1)(A P A P -=求解]。
（2）几何概型特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的. 基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解.如：（1）一条直线型街道的两端A 、B 的距离为 180 米，为方便群众，增加就业机会，想在中间安排两个报亭C 、D ，顺序为A 、C 、D 、B.（I ）若由甲乙两人各负责一个，在随机选择的情况下，求甲、乙两人至少一个选择报亭C 的概率.（II ）求A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于60米的概率. 解：（I ）两个报亭由甲、乙随机选择一个，属于古典概型，共有4个基本事件.记M 表示事件甲、乙两人至少一个选择报亭C ，则M 中包含3个基本事件；根据古典概型概率公式，甲、乙两人至少一个选择报亭C 的概率43)(=M P .（II ）①构设变量. 设A 与C 、B 与D 之间的距离分别为x 米、y 米. ②集合表示. 用(x,y ) 表示每次试验的结果，则所有可能结果为{}0,0,1800|),(>><+<=Ωy x y x y x ；记A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于60米为事件M ，则事件M 的可能结果为{}1800,60,60|),(<+<≥≥=y x y x y x M ③作出区域. 如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线180=+y x 与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件M 所构成区域是三条直线180,60,60=+==y x y x 所夹中间的阴影部分.④计算求解. 根据几何概型公式，得到91180216021S )(22ABC=⨯⨯==∆阴影S M P .所以，A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于60米的概率为91 .（2）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是_____（答：38）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P （n ），且P （n ）与时刻t 无关，统计得到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P （0）的值是（答：3263）理科（3）独立事件： A 、B 独立是A 指发生与否对B 的概率没有影响. 提醒：（1）如果事件A 、B 独立，独立不一定互斥，互斥一定不独立；（2）如果事件A 、B 独立，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是独立事件 （3）可将所求事件化为相互独立事件A 、B 的积，再利用公式())()(B P A P B A P =⋂来)(B 如（4）设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为91,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同,则事件A 发生的概率P(A)是______（答：23）；（5）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）；（6）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：19）；（7）一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关，那么，连过前二关的概率是________（答：2536）；（8）有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。
设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为nm m m 21,且n m m m <<< 21，其相应的概率记为)(),(),(21n m P m P m P ，则)(3m P 的值为_____________（答：463）；（9）平面上有两个质点A 、B 分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A 向左、右移动的概率都是41，向上、下移动的概率分别是31和p ，质点B 向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q 。
①求p 和q 的值；②试判断最少需要几秒钟，A 、B 能同时到达D （1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率. （答：①11,64p q ==；②3秒；3256）（4）独立事件重复试验（二项分布）与超几何分布二项分布：事件A 在n 次独立重复试验中恰好．．发生了．．．k 次．的概率()(1)kkn kn n P k C p p -=-(是二项展开式[(1)]n p p -+的第k +1项)，其中p 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率。
超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m. 则()m M mn N nMNC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布提醒：两种分布的抽样条件不同： 超几何分布是有限样本不放回抽样，超几何分布中的参数是M,N,n ；二项分布适用于n 次独立试验，即有放回抽样（10）在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029C C P X C ==≈（11）一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.（12）小王通过英语听力测试的概率是31，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_______（答：94）；（13）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答：15128）（5）条件概率在事件A 已经发生的条件下，B 事件发生的概率，称B 为事件A 在给定下的条件概率，简称为对的条件概率，记作)|(A B P ，且)()()|(A P AB P A B P =.（14）市场上供应的灯炮中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。
若用事件、分别表示甲、乙两厂的产品，表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。
解：依题意进一步可得：（15）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后。
求甲抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。
解 设事件、、分别表示甲、乙、丙各抽到难签。
由公式(1.1)(1.10)及(1.11)，有提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。
在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。
（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。
3.分布列、期望、方差（1）任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：①p i ≥0,i=1,2,…; ② p 1+p 2+…=1（这是检查及简化运算的途径之一）;（2）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度（3）离散型随机变量分布列的解法步骤： ①弄清随机变量是什么？随机变量的取值有哪些？②弄清随机变量的取值的意义是什么？其概率是多少？③列出分布列④利用公式求出期望、方差 3.记住以下重要公式和结论：（1）期望值E ξ＝ x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n + … ; （2）方差D ξ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ;（3）标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=；22)(ξξξE E D -=（4）若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1- p;（16）甲、乙两人同时各射击一枪，击落一敌机，上级决定奖励a 万元，按谁击落奖金归谁，若同时击落各一半原则分配奖金，甲、乙各得多少较合理。