2021高考数学(文)二轮专题复习【统考版】课件：2.1.2 三角恒等变换与解三角形

优解
∵
2cos 2θ cosπ4＋θ
＝
3 sin 2θ，∴ 2cos2θ－sin2θ ＝
2 2 cos
θ－sin
θ
3 sin
2θ，
∴2(cos θ＋sin θ)＝ 3sin 2θ，∴3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，得
sin 2θ＝－23.故选C.
答案：C
2．[2020·长沙市四校模拟考试]已知α为锐角，且cos α(1＋ 3 tan 10°)＝1，则α的值为( )
S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
角度1 利用正、余弦定理进行计算 [例2－1] [2020·福州市适应性考试]已知△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c， 3(acos C－b)＝asin C. (1)求角A； (2)若a＝2 7，b＝4，求c及△ABC的面积．
平方式”等
[警示] (1)常用技巧：弦切互化，异名化同名，异角化同 角，降幂或升幂，“1”的代换等．
(2)根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的 范围，以确定三角函数值的正负.
[对点训练]
1．若co2scπ4o＋s 2θθ＝ 3sin 2θ，则sin 2θ＝(
)
1
2
A.3
B.3
C．－23 D．－13
A．20° B．40° C．50° D．70°
解析：由cos
α(1＋
3 tan
10°)＝1可得cos
α×
3sin
10°＋cos cos 10°
10°＝1，所以cos
α×2csoisn 1400°°＝1，所以cos
α＝
2csoisn1400°°＝2ssiinn8400°°＝ 2sin24si0n°c4o0s°40°＝cos 40°，又α为锐角，所以α
解析：(1)由题意及正弦定理可得 3 (sin Acos C－sin B)＝sin
Asin C. ∵A＋B＋C＝π， ∴B＝π－(A＋C)， ∴ 3[sin Acos C－sin(A＋C)]＝sin Asin C， 即－ 3cos Asin C＝sin Asin C， 又sin C>0， ∴tan A＝－ 3. ∵0<A<π，∴A＝23π.
所以msin＋63n°＝2sin
18°＋2cos sin 63°
18°＝2
2
2 2 sin
18°＋
2 2 cos
18°
sin 63°
＝2 2sisnin1683°＋° 45°＝2 2.
答案：2 2
考点二 利用正、余弦定理解三角形
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，
a sin
A
＝
b sin
B
＝
c sin
答案：(2)23π
化简三角函数式的规律
规律
解读
一角
一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联 系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式
二名
二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“弦切互化”
三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常
三结构 见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全
解析：通解
∵
2cos 2θ cos4π＋θ
＝
3 sin 2θ，∴
2sinπ2＋2θ cosπ4＋θ
＝2
2
sin π4＋θ ＝ 3 sin 2θ，∴2 2 sin π4＋θ ＝－ 3 cos 2θ＋π2 ，∴2 3
sin2θ＋π4－2 2sinθ＋π4－ 3＝0，得sinθ＋π4＝－ 66， ∴sin 2θ＝－cosπ2＋2θ＝2sin24π＋θ－1＝－23.故选C.
2α；cos2α＝1＋c2os
2α .
[例1] (1)[2020·全国卷Ⅲ]已知sin
sinθ＋π6＝(
)
1
3
2
A.2
B. 3
C.3
2 D. 2
θ＋sin
θ＋π3
＝1，则
解析：(1)∵sin θ＋sin θ＋π3＝sin θ＋sin θcos 3π＋cos θsinπ3＝
sin
θ＋12sin
θ＋
3．公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
(2)升幂公式
1＋cos α＝2cos2α2；1－cos α＝2sin2α2.
(3)降幂公式
sin2α＝1－c2os
＝40°.
答案：B
3．公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯提出了黄金分割，黄 金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若m2＋n ＝4，则msin＋63n°＝________.
解析：因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，
所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
C
＝2R(R为△sin A＝2aR，a:b:c＝sin A:sin B:sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋2cb2c－a2.
3．三角形面积公式
(2)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即(2 7)2＝42＋c2－2×4c×－12， 整理得c2＋4c－12＝0， 解得c＝2或c＝－6(舍去)． ∴S△ABC＝12×4×2sin23π＝2 3.
3 2 cos
θ＝32sin
θ＋
3 2 cos
θ＝
3
3 2 sin
θ＋12cos
θ＝
3sin θ＋π6＝1.
∴sin
θ＋π6＝
1＝ 3
33，故选B.
答案：(1)B
(2)已知α，β为锐角，且(1－ 3tan α)(1－ 3tan β)＝4，则α＋β ＝________.
解析：(2)将 (1－ 3tan α)(1－ 3tan β)＝4展开，得－ 3(tan α ＋tan β)＝3(1－tan α·tan β)，即1t－antαan＋αttaannββ＝tan(α＋β)＝－ 3， 由于α，β为锐角，所以0<α＋β<π，故α＋β＝23π.
第2讲 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝1ta∓ntaαn±αttaannββ. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2 α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝1－2tatnanα2α.