数学_2009年上海市崇明县高考数学一模试卷(文理合卷)_(含答案)

2009年上海市崇明县高考数学一模试卷（文理合卷）
一、填空题（每小题5分，共60分） 1. 设函数f(x)=√1−x
的定义域为M ，g(x)=ln(1+x)的定义域为N ，则M ∩N =________．
2. 数列{a n }满足
a n+1a n
=2(n ∈N ∗)，且a 2=3，则a n =________．
3. 已知α∈(π
2, π)，sinα=3
5，则tan(α+π
4)等于________．
4. 关于x 、y 的二元一次方程组{mx +y =m +1
x +my =2m
无解，则m =________．
5. 已知圆锥的母线长l =15cm ，高ℎ=12cm ，则这个圆锥的侧面积等于________cm 2．
6. 设等差数列{a n }的公差d 是2，前n 项的和为S n ，则lim n →∞a n
2−n 2
S n
=________．
7. 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以2为公比的等比数列的概率为________．
8. 阅读程序框图，若输入m =4，n =3，则输出a =________，
i =________．
（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”） 9. 设常数a >0，(ax 2√x )4展开式中x 3的系数为32，则lim n →∞
(a
+a 2+⋯+a n )=________．
10. 集合A ={x|x−1
x+1<0}，B ={x||x −b|<a}，若“a =1”是“A ∩B ≠⌀”的充分条件，则b 的取值范围是________．
11. 不等式log 2(x +1
x +6)≤3的解集为________．
12. （理科）在y =x 2上取动点A(a, a 2)，a ∈(0, 5]，在y 轴上取点M(0,
1
a 2+a+4
)，△OAM
面积的最大值等于________．
13. 已知函数f(x)＝2mx 2−2(4−m)x +1，g(x)＝mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是________．
二、选择题（每小题4分，共16分） 14. 已知
m 1+i
=1−ni,m,n,i,m +ni =( )
A 1+2i
B 1−2i
C 2+i
D 2−i
15. 已知函数f(x)=(sinx −cosx)sinx ，x ∈R ，则f(x)的最小正周期是（ ） A π
2 B π C 2π D 4π
16. 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A |a −b|≤|a −c|+|b −c|
B |a −b|+1
a−b ≥2 C a 2+1
a 2≥a +1
a D a 2+
b 2≥2|ab|
17. 对于函数f(x)定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f(x 1+x 2)=f(x 1)⋅f(x 2)；②f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)；③f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
>0；
④f(
x 1+x 22
)<
f(x 1)+f(x 2)
2
．
当f(x)=lgx 时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ①② B ③④ C ②③ D ②④
三、解答题（本大题共有5题，满分86分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
18. （文科）如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =4，M 为PA 的中点，N 为BC 的中点． （1）求四棱锥P −ABCD 的体积；
（2）求异面直线PC 与MD 所成角的大小．
19. （理科）如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =4，M 为PA 的中点，N 为BC 的中点． （1）求点B 到平面PCD 的距离； （2）求二面角M −ND −A 的大小．
20. 设OA →
=(2sinx,cos2x)，OB →
=(cosx,−1)，x ∈[0,π
2]． （1）当OA →
⊥OB →
时，求x 的值．
（2）若f(x)=OA →
⋅OB →
，求f(x)的最大值与最小值，并求出相应x 的取值．
21. 某商务中心有相同规格商务用房100套，当每套商务用房的月租金为3000元时可全部租出．当每套商务用房的月租金增加50元时，未租出的商务用房将会增加一套．已知租出的商务用房每套每月的管理成本为150元，未租出的商务用房每套每月的管理成本为50元．（1）当每套商务用房的月租金定为3600元时，能租出多少套商务用房？
（2）当每套商务用房的月租金定为多少元时，该商务中心月收益最大，最大收益是多少元？
（注：商务中心月收益=月全部租金收入-月全部管理成本）
22. 设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=a(a≠3)，S n+1=2S n+3n，n∈N∗．
（1）设b n=S n−3n，n∈N∗，证明数列{b n}为等比数列；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）若a n+1≥a n，n∈N∗，求a的取值范围．
23. 已知：函数f n(x)(n∈N∗)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，其中f1(x)=x+1+1
，并且
x
当n>1且n∈N∗时，满足f n(x)−f n−1(x)=x n+1
．
x n
（1）求函数f n(x)(n∈N∗)的解析式；
（2）当n=1，2，3时，分别研究函数f n(x)的单调性与值域；
（3）借助（2）的研究过程或研究结论，提出一个类似（2）的研究问题，并写出问题的研究过程与研究结论．
【第（3）小题将根据你所提出问题的质量，以及解决所提出问题的情况进行分层评分】
2009年上海市崇明县高考数学一模试卷（文理合卷）答案
1. {x|−1<x<1}
×2n−1
2. 3
2
3. 1
7
4. −1
5. 135π
6. 3
7. 1
136
8. 12,3
9. 1
10. −2<b<2
11. {x|−3−2√2<x<−3+2√2}∪{1}
12. 1
10
13. (0, 8)
14. C
15. B
16. B
17. C
18. 解：（1）根据棱锥的体积公式有V =1
3S 底ℎ=1
3×22×4=
163
；
（公式，结果2分）
（2）连ME ，则ME // PC ，因此∠EMD 即为异面直线MD 与PC 所成角． 计算得ME =√6，MD =2√2，DE =√2 所以cos∠EMD =
EM 2+MD 2−DE 2
2×ME×MD
=√3
2
，∠EMD =30∘
（公式，结果3分）
即：异面直线PC 与MD 所成角为30∘． 19. 解：（1）在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =4，
∴ V P−BCD =1
3×1
2×22×4=8
3，
PD =√16+4=2√5，PC =√16+4+4=2√6，CD =2，
∴ S △PCD =√(1+√6+√5)(1+√5−√6)(1−√5+√6)(√5+√6−1) =2√5，
设点B 到平面PCD 的距离为ℎ， ∵ V P−BCD =V B−PCD ， ∴ 1
3×2√5ℎ=83， 计算得ℎ=4
5√5．
（等积式或计算V p−BCD 体积，结果2分）
（2）以点A 为坐标原点，分别以AB →
，AD →
，AP →
为x 轴、y 轴、z 轴，建立直角坐标系．
则M(0, 0, 2)，N(2, 1, 0)，D(0, 2, 0)． 平面AND 的一个法向量为n →
1=(0,0,2)，
设平面MND 的法向量为n 2(x, y, z)，那么：MN →
=(2,1,−2)，MD →
=(0,2,−2)，
由此得：{2x +y −2z =0
2y −2z =0
，所以平面MND 的其中一个法向量为n 2→=(1,2,2)
计算得：θ=arccos 23
．即：二面角M −ND −A 的大小为θ=arccos 2
3
．
20. 解：（1）由OA →⊥OB →得OA →⋅OB →
=0， 所以sin2x =cos2x ，即tan2x =1
由于x ∈[0,π
2]，所以2x =π
4，即：x =π
8． （2）f(x)=√2sin(2x −π
4)，
当x=0时，2x−π
4=−π
4
，y min=−1；
当x=3π
8时2x−π
4
=π
2
，y max=√2．
21. 解：（1）每套商务用房的月租金定为3600元，
未租出的套商务用房数为3600−3000
50
=12，
所以这时租出了100−3600−3000
50
=88（套）
（2）设有x套未出租时，月收益y元最大．y=(100−x)(3000+50x−150)−50x(x∈
N∗)
=−50(x−21)2+307050
当x=21时，月租金3000+21×50=4050（元）y max=307050（元）
即当每套商务用房的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．
（即：列式，算出月租金，最大收益2分）
22. 解：（1）当a≠3时，b n+1
b n S n+1−3n+1
S n−3n
=2S n+3n−3n+1
S n−3n
=2
所以{b n}为等比数列．
（2）b1=S1−3=a−3，b n=(a−3)×2n−1．
所以S n−3n=(a−3)×2n−1a n=S n−S n−1，n≥2，n∈N∗a n=
{a
2×3n−1+(a−3)×2n−2，n=1 n≥2；
（3）a n+1≥a n，{a2>a1
a n+1>a n，n>2，a≥−9
所以a≥−9，且a≠3．
23. 解：（1）由于f2(x)−f1(x)=x2+1
x2 f3(x)−f2(x)=x3+1
x3
…
f n(x)−f n−1(x)=x n+1
x n
；
所以f n(x)=x n+x n−1+⋯+x+1+1
x +⋯+1
x n−1
+1
x n
；
（2）（每小题结论正确，证明，共6分）
当n=1时，f1(x)=x+1+1
x
，易证函数的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 0)，(0, 1)；值域为(−∞, −1]∪[3, +∞)
当n=2时，f2(x)=x2+x+1+1
x +1
x2
f2(x)=(x+1
x
+1
2
)2−5
4
，易证函数的单调递增区
间为(−1, 0)，(1，+∞；单位递减区间为(−∞, −1)，(0, 1)；因此函数在(−∞, 0)值域为[f2(−1)，+∞)，在(0, +∞)上值域为[5, +∞)
因此函数f2(x)=x2+x+1+1
x +1
x2
值域为[1, +∞)
当n=3时，f3(x)=x2+x+1+1
x +1
x2
+x3+1
x3
=f2(x)+x3+1
x3
易证f2(x)、x3+1
x3
，在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，
所以f3(x)=x2+x+1+1
x +1
x2
+x3+1
x3
在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增．
由于f3(x)=x3+x2+x+1+1
x +1
x2
+1
x3
=(1−x4
1−x
)(1+1
x3
)−1，用定义易证f3(x)=x3+
x2+x+1+1
x +1
x2
+1
x3
在(−∞, −1)单调递增，在(−1, 0)上单调递减．f3(x)=x3+x2+
x+1+1
x +1
x2
+1
x3
的值域为(−∞, −1]∪[7, +∞)
（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：第一类问题
结论一、f4(x)=x4+x3+x2+x+1+1
x +1
x2
+1
x3
+1
x4
单调递增区间为(−1, 0)，(1, +∞)
单调递减区间为(−∞, −1)，(0, 1)；值域为[1, +∞)；
结论二、f5(x)=x5+x4+x3+x2+x+1+1
x +1
x2
+1
x3
+1
x4
+1
x5
单调递增区间为
(−∞, −1)，(1, +∞)
；单调递减区间为(0, 1)，(−1, 0)，值域为(−∞, −1]∪[11, +∞)
解法及评分说明：解法与f3(x)=x3+x2+x+1+1
x +1
x2
+1
x3
类同，结论分2分，证明正
确得2分，共4分；第二类问题
结论三、当x>0时，f n(x)=x n+x n−1+⋯+x+1+1
x +⋯+1
x n−1
+1
x n
在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，值域为[2n+1, +∞)
结论四、当x<0且n为奇数时，f n(x)=x n+x n−1+⋯+x+1+1
x +⋯+1
x n−1
+1
x n
在
(−1, 0)单调递减，在(−∞, −1)单调递增；值域为(−∞, −1]；
结论五、当x<0且n为偶数时，f n(x)=x n+x n−1+⋯+x+1+1
x +⋯+1
x n−1
+1
x n
在
(−∞, −1)单调递减，在(−1, 0)单调递增；值域为[1, +∞)；
解法及评分说明：结论三的单调性证明可以用数学归纳法完成；即；x>0时．
①当n=1时，f1(x)=x+1+1
x
，用定义易证函数在(0, 1)单调递减；在(1, +∞)上单调递增；计算得值域为(−∞, −1]∪[3, +∞)
②设函数f n(x)=x n+x n−1+⋯+x+1+1
x +⋯+1
x n−1
+1
x n
(n∈N∗)在(0, 1)单调递减；
在(1, +∞)
上单调递增；计算得值域为[2n+1, +∞)
则f n+1(x)=f n(x)+x n+1+1
x n+1
，对于任意0<x1<x2，f n+1(x2)−f n+1(x1)
=f n(x2)−f n(x1)+x2n+1+1
x2n+1−x1n+1−1
x1n+1
=f n(x2)−f n(x1)+(x2n+1−x1n+1)(1−1
x1n+1x2n+1)，易证函数f n+1(x)=f n(x)+x n+1+1
x n+1
在(0, 1)
单调递减，在(1, +∞)上单调递增；值域为[2(n+1)+1，+∞)．
所以由①、②可得结论成立．
结论四及结论五的证明，可以先求和，后用定义进行证明，即：f n(x)=(1−x n+1
1−x
)×(1+
1
x n
)−1，
f n(x2)−f n(x1)=(x2n+1−x1n+1)(1
x1n x2n
−1)+(x2n−x1n)(x2x1−1
x1n+1x2n+1
)
(1−x1)(1−x2)
，容易获得结论的证明．
解法及评分说明：结论分3分，证明正确得3分，共6分；第三类问题
结论六：当n为奇数时，f n(x)=x n+x n−1+⋯+x+1+1
x +⋯+1
x n−1
+1
x n
在(−1, 0)，
(0, 1)
单调递减，在(−∞, −1)，(1, +∞)单调递增；值域为(−∞, −1]∪[2n+1, +∞)；
结论七：当n为偶数时单调递增区间为(−1, 0)，(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, −1)，(0, 1)
；值域为[1, +∞)；
结论八：当n为奇数时，f n(x)=x n+x n−1+⋯+x+1+1
x +⋯+1
x n−1
+1
x n
在(−1, 0)，
(0, 1)单调递减，在(−∞, −1)，(1, +∞)单调递增；值域为(−∞, −1]∪[2n+1, +∞)；
当n为偶数时单调递增区间为(−1, 0)，(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, −1)，(0, 1)；值域为[1, +∞)；
解法及评分说明：解法与第二类问题类同．结论分4分，求解正确得4分，共8分．。