数列作业题——放缩问题

数列作业题——放缩问题68-89
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题 1．.．
已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为()62f x x =-'，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S (
)n N
*
∈均在函数()y f x =的图像上．
1）求数列{}n a 的通项公式； 2）设13n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ． 1．（1）65n a n ＝－；（2）10. 【解析】
试题分析：（1）先求得2
()32f x x x =-，进而得232n S n n =-，165n n n a S S n -=-=-，再验算1n =即
可；（2）由（1）得n b 111()26561n n =
--+，利用利用“裂项相消法”即可求得n T 11
(1)261
n =-+，只要1220m ≤即可，即只要10m ≥，使得20
n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数10m =. 试题解析：（1）设二次函数2
()f x ax bx =+，
则'()2f x ax b =+．由于'()62f x x =-，∴3a =，2b =-，∴2
()32f x x x =-．
又点(,)n n S （*n N ∈）均在函数()y f x =的图象上，
∴2
32n S n n =-．当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==，也适合上式，
∴65n a n =-（*n N ∈）． （2）由（1）得133(65)(61)n n n b a a n n +=
=-+111()26561
n n =--+，
故1
111111(1)()()277136561n
n i i T b n n =⎡⎤=
=
-+-+⋯+-⎢⎥-+⎣⎦∑11(1)2
61n =-+， 随着n 的增大，n T 逐渐增大直至趋近12，故n T 20
m
<对所有*n N ∈都成立． 只要
1220
m
≤即可，即只要10m ≥． 故使得20
n m
T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数10m =．
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考点：1、等差数列的通项及前n 项和公式；2、利用“裂项相消法”求数列前n 项和.
2．（本小题满分14分）已知数列{n a }是首项为11
4
a =
,公比14q =的等比数列．
设*
14
23log ()n n b a n +=∈N ,数列{n c }满足n n n
c a b =⋅． （Ⅰ）求数列{n b }的通项公式; （Ⅱ）求数列{n c }的前n 项和n S ; （Ⅲ）若2
114
n c m m ≤
+-对一切正整数n 恒成立,求实数m 的取值范围． 2．（Ⅰ） 32n b n =- （Ⅱ） 1
21281()334
n n n S ++=-⋅ （Ⅲ） 5m ≤-或1m ≥ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由等比数列首项公比整理得通项公式，代入n b 关系式中得到数列{}n b 通项公式（Ⅱ）中由数列{}n c 通项公式的特点采用错位相减的方法求前n 项和（Ⅲ）中不等式恒成立转化为求n c 的最大值，通过n c 的通项公式相邻两项的差得到单调性，从而确定取得最大值的位置，求得最大值，得到关于所求量m 的不等式
试题解析：（Ⅰ）由已知可得,111
()4n n n a a q -==,14
123log ()34
n n b n +==,∴32n b n =-．． 4分
（Ⅱ）1
(32)()4n n n n c a b n ==-,231111
14()7()(32)()4444
n n S n =⋅+⋅+⋅+
+-⋅①
2341111111
1()4()7()(35)()(32)()4444
44
n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅．② 6分
①-②得23413
111111
3[()()()()](32)()44444
44
n n n S n +=
+++++--⋅ =211111
()[1()]1111443(32)()(32)()1442414
n n n n n -++-+⋅--=-+⋅- 8分
∴1
21281()334
n n n S ++=-
⋅． 9分
（Ⅲ）1
(32)()4
n n c n =-⋅,1111131
(31)()(32)()()[
(32)]4
4
4
4
n n n n n n c c n n n +++-=+⋅--⋅=--= 11
9()(1)4
n n +-⋅- 11分
当n =1时,1n n c c +=,当2n
时,1n n c c +, ∴max 121
()4
n c c c ===
． 13分 若2114
n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立,则211
14
4
m m +-≤即可．∴2450m m +-≥, 即5m ≤-或1m ≥． 14分
考点：1．等比数列通项公式；2．错位相减法求和；3．数列单调性与最值
3．设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （Ⅰ）求通项公式n a ；
（Ⅱ）求数列{|2n a n --|}的前n 项和.
3．（Ⅰ）1*
3,n n a n -=∈N ；（Ⅱ）2*
2,1,3511,2,.2n n n T n n n n =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪
⎩
N . 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力. 试题解析：（Ⅰ）由题意得12214{
21a a a a +==+，则121{ 3.
a a ==，
又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=， 得13n n a a +=.
所以，数列{}n a 的通项公式为1*
3,n n a n -=∈N .
（Ⅱ）设1
3
2n n b n -=--，*n ∈N ，122,1b b ==.
当3n ≥时，由于132n n ->+，故1
32,3n n b n n -=--≥.
设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.
当3n ≥时，229(13)(7)(2)3511
31322
n n n n n n n T --+---+=+-=
-， 所以，2*
2,1,
3511,2,.2n n n T n n n n =⎧⎪
=⎨--+≥∈⎪
⎩
N
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【考点】
等差、等比数列的基础知识. 【方法点睛】
数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列{}n n a b 的求和，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数
列；（2）裂项法：形如数列()()1f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭或
⎧⎫的求和，其中()f n ，()g n 是关于n 的
一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分． 4．正数数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且1n a =+，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：12
n B <. 4．（1）21n a n =-；（
2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由1
1a =+求出1a .由1n a =+得()()2
112
414,1n n n n S a S a --=++=，两式相减可得
12n n a a --=，则数列{}n a 是公差为2的等差数列，即求n a ；
（2）求出n b ，裂项法求n B ，可证1
2
n B <.
【详解】 （1）
1121,1,1n n S a a a =+∴=+∴=.
()()()12
2
14141,2n n n n S a S a n --∴+=+=≥，
两式相减可得()()2
2
2211122114n n n n n n n a a a a a a a ---=--+=+-+， 即()()1120n n n n a a a a --+--=.
()1110,0,202,2n n n n n n n a a a a a n a a --->∴+>∴--=≥∴-=，
∴数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，
21n a n ∴=-.
（2）由（1）知21n a n =-，
()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
∴=
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 12111111111
112335
21212212
n n b b b n n B n ⎛⎫⎛⎫=++
+=
-+-++
-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭∴. 【点睛】
本题考查由n S 求n a ，考查裂项法求和，属于中档题.
5．设数列{a n }的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=-⨯+，n =1，2，3… (Ⅰ)求首项a 1与通项a n ；
(Ⅱ)设2n
n n T S =，n =1，2，3…，证明：132n
i
i T =<∑. 5．(1) 42n n
n a =-;(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据1n n n a s s -=-(2)n ≥可得()
1
1242
n n n n a a --+=+(2)n ≥，利用构造的等比数列求解；（2）()
1
122324124622422333
n n n
n n n n n n n T S ++⨯===-⨯+--⨯+
，裂项得131122121n n n T +⎛⎫=⋅- ⎪--⎝⎭，求和得1311221n +⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
，即可证明. 试题解析：
(Ⅰ)21114122333S a a ==
-⨯+，解得a 1=2，因为1412
2333n n n S a +=-⨯+，所以()11412
22333
n n n S a n --=-⨯+≥，
两式相减得()144122333
n n n n a a a n -=--≥，即(2)n ≥，()
()1
1242
2n n n n a a n --+=+≥，1124a +=， 所以数列{
}2n
n a +是以4为公比，4为首项的等比数列，24n n n
a
+=，即42n n n a =-.
(Ⅱ)证明：
()
1122324124622422333
n n n
n n n n n n n T S ++⨯===
-⨯+--⨯+
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()
()()
21
132222321
3222121
31122121n n n n n n n n ++=⋅
⨯-⨯+=⋅--⎛⎫=
⋅- ⎪--⎝⎭
12311
311111122
121212121n
i
n n i T +=⎛
⎫=-+-+⋯+- ⎪-----⎝⎭∑ 1313
=12212
n +⎛⎫-< ⎪-⎝⎭ 点睛：一般数列求和方法中，使用频率最高的为错位相减法及裂项相消法，数列通项为分式时多考虑裂项相消法，其关键在于对通项进行适当裂项，要保持裂项后与原式相等，然后求和时会出现相加相消的效果.
6．已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧
⎫
+
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)证明：
121113 (2)
n a a a +++<. 6．（1）证明见解析，1
13322
n n a -+=；（2）证明见解析. 【解析】
试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出
1
n
a ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以11
2312
n n a a ++
=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬
⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =
31
2n -. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n
n
a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以
1
11
3123n n -≤-⋅，于是
11
a +
21a +1n a 11113
3n -≤+++
=31(1)23n -32
<， 所以
11
a +2
1a +1n a 3
2
<. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当1n ≥时，13123n n --≥⋅，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.
7．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11
,2
n n S n a n N *+=⋅∈，其中11a = （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）若1132n n a b +=
-，数列{}n
b 的前n 项和为n T ，求证：1
4
n T < 7．（1）*
∈=N n n a n ,;（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用1--=n n n S S a ，表示出数列的通项，再由已知求出1-n S ，整理得到
11,(2)n n a n n a n ++=≥，利用“累积法”，则1312
21
3
,(3)12
2
n n n n a a
a n n n a a a n n ----⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅≥--，即2,(3)2n a n n a =≥，得,n a n n N *∴=∈验证1a 时也符合即可；（2）由（1），11113232
n n a n b ++∴==--，将上
式
整
理
可
得
n
n b 321
⋅≤
，
123123
12311111111
1111
()(1)232323
2323333434
n n n
n n
T b b b b ∴=+++<
++++
=++++
=-<⨯⨯⨯⨯，上式可利用等比数列的前n 项和进行整理.
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试题解析：（1）令1n =，得1212S a =
，即121
2
a a =，由已知11a =，得22a = 1分 把式子11,2n n S n a n N *+=⋅∈中的n 用1n -替代，得到11
(1),(2)2
n n S n a n -=-⋅≥
由111(1)21(1)(2)
2
n n n n S n a n S n a n +-⎧=⋅≥⎪⎪⎨⎪=-⋅≥⎪⎩可得1111(1)22n n n n S S n a n a -+-=⋅--⋅
即111(1)22
n n n a n a n a +=⋅--⋅，即111
(1)22n n n a n a ++⋅=⋅
即得：
11
,(2)n n a n n a n
++=≥， 4分 所以：
1
312
213
,(3)12
2
n n n n a a a n n n a a a n n ----⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅≥-- 即
2,(3)2
n a n
n a =≥ 又22a =，所以3n a =又11a =，,n a n n N *∴=∈ 7分 （2）
n a n =,1111
3232
n n a n b ++∴=
=
-- 11111
3233223+3223
n n n n n n
b +===≤-⋅-⋅-⋅ 11分 123
123
123
11111111
1111
()(1)2323232323333434
n n n n n T b b b b ∴=+++<
++++
=++++
=-<
⨯⨯⨯⨯ 14分
考点：1、用n S 表示n a ；2、不等式的性质；3、等比数列的前n 项和公式. 8．（本小题满分14分）已知点
在直线：
上，是直线与轴的
交点，数列是公差为1的等差数列． （1）求数列，
的通项公式；
（2）求证：．
8．（1），
；（2）证明见解析．
【解析】 试题分析：（1）由是直线与轴的交点可得和的值，利用等差数列的通项公式可求出数列
的通项公式，再由点
在直线：
上可得
，代入，即可得数列
的通项
公式；（2）先求出
，再将放缩，化简，利用裂项法，即可证明
．
试题解析：（1）解：因为是直线：
与轴的交点，
所以，
． 2分
因为数列是公差为1的等差数列， 所以． 4分 因为点在直线：上， 所以
．
所以数列
，的通项公式分别为
，
． 6分
（2）证明：因为，
，所以
．
所以． 7分 所以
． 8分 因为， 10分
所以，当
时，
11分
12分
．又当
时，． 13分
所以
． 14分
考点：1、等差数列的通项公式；2、不等式的证明．
9．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222*
(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈，
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切的正整数n 都有1
1
221
1
11
(1)
(1)
(1)3
n n a a
a a a a +
+
+
<+++
9．（1）12a =；（2）2n a n =；（3）详见解析.
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【解析】
试题分析：（1）将1n =代入方程(
)(
)
2
2
2
330n n S n n S n n -+--+=得到2
1160S S +-=，结合题中条件
（数列{}n a 的各项均为正数，得到0n S >）求出1S 的值，从而得到1a 的值；（2）由十字相乘法结合0n S >得到n S 的表达式，然后在2n ≥的情况下，由1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的表达式，并验证12a =是否满足该表达式，从而得到数列{}n a 的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到2
23
2216
k k k k +
>+- 1344k k ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，于是得到
()()111111
1
11314414444k k a a k k k k ⎡⎤
⎢⎥<⋅=⋅-
⎢⎥+⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+--+ ⎪⎪⎣
⎦⎝
⎭⎝⎭，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持()1111a a +不放缩，在2n ≥的条件下放缩为
()
1
1n n a a + ()()()11111221212122121n n n n n n ⎛⎫
=
<=- ⎪+-+-+⎝⎭
，
最后在1n =和2n ≥时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.
（1）令1n =得：()2
111320S S ---⨯=，即2
1160S S +-=，()()11320S S ∴+-=，
10S >，12S ∴=，即12a =；
（2）由()()
222
33n n S n n S n n -+--+，得()()
230n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，
()
0n a n N *>∈，0n S ∴>，从而30n S +>，2n S n n ∴=+，
所以当2n ≥时，()
()()221
112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦， 又1221a ==⨯，()
2n a n n N *
∴=∈；
（3）解法一：当k N *∈时，2
2313221644k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+
>+-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， ()()111
111
11312214
4244k k a a k k k k k k ∴
==⋅
<
⋅
++⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⋅+-+ ⎪
⎪⎪
⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭ ()()11111
111144114444k k k k ⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-
⎢⎥⎛⎫⎡⎤⎢⎥-+--⋅+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭⎣⎦
()()
()
112211
1
111n n a a a a a a ∴
++
+
+++
()1111111
111111412231444444n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎢⎥ ⎪ ⎪<⋅-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥
⎪ ⎪-----+-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
()111111
1
143433
114
4n n ⎡⎤
⎢⎥=-=-<⎢⎥+⎢⎥-+-⎣⎦. 证法二：当1n =时，
()111111
12363
a a ==<+⨯成立， 当2n ≥时，()()()()1111111221212122121n n a a n n n n n n ⎛⎫
=<=- ⎪++-+-+⎝⎭
，
则
()()()()
112233111
1
1111n n a a a a a a a a ++++
++++
1111111111623525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<
+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1111111623213633
n n ⎛⎫=
+-=-< ⎪
++⎝⎭. 考点：本题以二次方程的形式以及n S 与n a 的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题.
10．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,21212
33
n n S a n n n +=---,*n N ∈. (Ⅰ) 求2a 的值；
(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；
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(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有
12
11174
n a a a +++
<. 10．(Ⅰ) 4(Ⅱ)2
n a n =(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ) 依题意,1212
2133
S a =-
--,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112
233
n n S na n n n +=---,
()()()()32
1122111133
n n S n a n n n -=-------
两式相减得()()
()2
112213312133n n n a na n a n n n +=----+---
整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121
a a
-=
故数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为111a =,公差为1的等差数列,
所以
()111n
a n n n
=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444
a a +=+=<； 当3n ≥时,
()21111111n a n n n n n =<=---,此时 22212111111
1111111
111434
423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+++
=+++++
<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11171714244
n n =+
+-=-< 综上,对一切正整数n ,有
12
11174
n a a a +++<. (1)直接将n 换为2代入递推式求解；（2）借助1
(2)n n n a S S n -=-≥进行递推转化，进而构造数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)借助放缩法进行证明，放缩的关键
是()211111.11n a n n n n n
=<=--- 【考点定位】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，以及不等式的证明.
11．设数列{a n}的前n项和为S n，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．
11．（1）1 （2）a n=3n﹣2n （3）见解析
【解析】
（1）在2S n=a n+1﹣2n+1+1中，
令n=1得：2S1=a2﹣22+1，
令n=2得：2S2=a3﹣23+1，
解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13
又2（a2+5）=a1+a3
解得a1=1
（2）由2S n=a n+1﹣2n+1+1，
得a n+2=3a n+1+2n+1，
又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，
所以a n+1=3a n+2n对n∈N*成立
∴a n+1+2n+1=3（a n+2n），又a1=1，a1+21=3，
∴a n+2n=3n，
∴a n=3n﹣2n；
（3）（法一）∵a n=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1
∴≤，∴+++…+≤1+++…+=＜；
（法二）∵a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n，
∴＜•，，当n≥2时，＜•，＜•，，
…＜•，累乘得：＜•，
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∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．
12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4421S a =-，3321S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)记()21log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111
2n
T T T +++<…. 12．(1)12n n a ；(2)证明见解析.
【解析】 试题分析：
（1）由题意可得43443
22S S a a a -==-,则4
3
2a q a ==，易得首项为11a =.所以12n n a -=. （2）由（1）的结果可知21n b n =-，则()21212
n n T n n +-=
=，放缩之后裂项求和可得
22
212
1111111+++
2212n T T T n n
+++
=<-<. 试题解析：
（1）设{}n a 的公比为q ，由434S S a -=得，43422a a a -=,
所以4
3
2a a =，所以2q =.又因为3321S a =-， 所以11112481a a a a ++=-，所以11a =.所以1
2n n a -=.
（2）由（1）知()(
)1
21222
21n
n n n n b log a a log n -+=⋅=⨯=-，
所以()21212
n n T n n +-=
=，
所以()22212
11
1111111
+++
112
1223
1n T T T n n n +++
=<++++
⨯⨯-
111
111
11222231n n n
=+-+-+
+
-=-<-. 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。