数学_2014年北京市丰台区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2014年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 设集合A ={x ∈R|−1≤x ≤1}，B ={x ∈R|x(x −3)≤0}，则A ∩B 等于（ ） A {x ∈R|−1≤x ≤3} B {x ∈R|0≤x ≤3} C {x ∈R|−1≤x ≤0} D {x ∈R|0≤x ≤1}
2. 在极坐标系中，点A(1, π)到直线ρcosθ=2的距离是( ) A 1 B 2 C 3 D 4
3. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ）
A 8
5
B 29
12
C 5
3
D 13
8
4. f(x)是定义在[−6, 6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的（ ） A f(0)<f(6) B f(3)>f(2) C f(−1)<f(3) D f(2)>f(0)
5. “m >n >1”是“log m 2<log n 2”的（ ）
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
6. 某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是x ¯
，x ¯
，则下列说法正确的是（ ）
A x ¯
>x ¯
，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B x ¯
>x ¯
，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C x ¯
<x ¯
，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 D x ¯
<x ¯
，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
7. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）
A 143
B 4
C 10
3 D 3
8. 如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ） A 24个 B 21个 C 19个 D 18个
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知tanα=2，则sinα−cosα
sina+cosα的值为________．
10. 已知等比数列{a n }中，a 3+a 5=8，a 1a 5=4，则a
13a 9
=________．
11. 如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，
且 DF =CF =√2，AF:FB:BE =4:2:1．若CE 与圆相切，则CE 的长为________．
12. 已知点F ，B 分别为双曲线C:x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0, b >0)的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是________．
13. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM →
=mAB →
，AN →
=nAD →
(m ⋅n ≠0)，若MN →
 // BE →
，则n
m =________．
14. 设不等式组{x 2+y 2−1≤0
y ≥0表示的平面区域为M ，不等式组{−t ≤x ≤t 0≤y ≤√1−t 2表示的平
面区域为N ．在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值是________．
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知函数f(x)=cos(2x −π
3)−2sin 2x +1．
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求函数f(x)在区间[0, π
2
]上的最大值和最小值．
16. 年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：
其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，−1表示“生活不能自理”．
（1）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率．
（2）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”．请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”．
17. 如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．
（1）求证：DA1⊥ED1；
（2）若直线DA1与平面CED1成角为45∘，求AE
AB
的值；
（3）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．
18. 已知曲线f(x)=ax−e x(a>0)．
（1）求曲线在点（0, f(0)）处的切线；
（2）若存在实数x0使得f(x0)≥0，求a的取值范围．
19. 如图，已知椭圆E:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√3
2
，过
左焦点F(−√3, 0)且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l:x+
4ky=0交椭圆E于C，D两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：点M在直线l上；
（3）是否存在实数k，使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
20. 从数列{a n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a n}的一个子列．
（1）写出数列{3n−1}的一个是等比数列的子列；
（2）若{a n}是无穷等比数列，首项a1=1，公比q>0且q≠1，则数列{a n}是否存在一个
子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论．
2014年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）答案
1. D
2. C
3. A
4. C
5. A
6. D
7. B
8. B
9. 1
3
10. 9 11. √7
2 12. √5 13. 2 14. 2π
15. 解：（1）∵ f(x)=cos2xcos π3+sin2xsin π
3+cos2x =12cos2x +√32sin2x +cos2x =
√3
2sin2x +32
cos2x =√3(12sin2x +√32
cos2x)
=√3sin(2x +π
3)
∴ f(x)的最小正周期为π．
（2）由（1）知f(x)=√3sin(2x +π
3)，
∴ 当x ∈[0, π2
]时，2x +π3
∈[π3
, 4π
3
]，
当2x +π3
=π2
，即x =
π12
时，函数f(x)取最大值√3，当2x +π3
=
4π3
，即x =π
2
时，函数f(x)
取最小值−3
2，
∴ 函数f(x)在区间[0, π
2]上的最大值为√3，最小值为−3
2．
16. 解：（1）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为250+260+65
250+260+65+25=23
24，
所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为23
24
．--------------
（2）该地区老龄人健康指数X 的可能取值为2，1，0，−1，其分布列为（用频率估计概率）：
EX =2×270700+1×305700+0×85700+(−1)×40
700
=1.15
因为EX <1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”．------------------
17.
解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0, 0, 0)，
A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 1)，A 1(1, 0, 1)，设E(1, m, 0)(0≤m ≤1)(I)证明：DA 1→
=(1, 0, 1)，ED 1→
=(−1, −m, 1) ∴ DA 1→
⋅ED 1→
=0 ∴ DA 1⊥ED 1；
（2）解：设平面CED 1的一个法向量为v →
=(x, y, z)，则 ∵ CD 1→
=(0, −1, 1)，CE →
=(1, m −1, 0) ∴ {−y +z =0x +(m −1)y =0
．
取z =1，得y =1，x =1−m ，得v →
=(1−m, 1, 1)． ∵ 直线DA 1与平面CED 1成角为45∘， ∴ sin45∘
=|cos <DA 1→
，v →
>|=√2
2， ∴ |2−m|⋅
=
√2
2
，解得m =1
2．-----
（3）解：点E 到直线D 1C 距离的最大值为√6
2
，此时点E 在A 点处．------ 18. 解：（1）∵ f(x)=ax −e x (a >0)， ∴ f(0)=−1，则切点为(0, −1)． f′(x)=a −e x ，f′(0)=a −1，
∴ 曲线在点（0, f(0)）处的切线方程为：y =(a −1)x −1； （2）∵ a >0，由f′(x)>0得，x <lna ， 由f′(x)<0得，x >lna ，
∴ 函数f(x)在(−∞, lna)上单调递增，在(lna, +∞)上单调递减，∴ f(x)的最大值为f(lna)=alna−a．
∵ 存在x0使得f(x0)≥0，
∴ alna−a≥0，
∴ a≥e．
19. （1）解：由题意可知e=c
a =√3
2
，c=√3，于是a=2，
∴ b2=a2−c2=22−(√3)2=1，
∴ 椭圆的标准方程为x2
4
+y2=1；
（2）证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x0, y0)，
联立{y=k(x+√3)
x2
4
+y2=1
，得(4k2+1)x2+8√3k2x+12k2−4=0．
x1+x2=−8√3k2
4k2+1，x0=x1+x2
2
=−4√3k2
4k2+1
，y0=k(x0+√3)=√3k
4k2+1
，
∴ M(−4√3k2
4k2+1,√3k
4k2+1
)．
∵ −4√3k2
4k2+1+4k⋅√3k
4k2+1
=0，
∴ M在直线l上；
（3）解：由（2）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，若△BDM的面积是△ACM面积的3倍，
则|DM|=3|CM|，
∵ |OD|=|OC|，于是M为OC中点，
设点C的坐标为(x3, y3)，则y0=y3
2
．
联立{
x=−4ky
x2
4
+y2=1，解得y3
=
√4k2+1
．
于是
2√4k2+1=√3|k|
4k2+1
，解得k2=1
8
，
∴ k=±√2
4
．
20. 解：（1）a n=22n−1（若只写出2，8，32三项也给满分）．
（2）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为{b n}，通项公式为b n=b1+(n−1)d．
∵ a1=1，∴ a n=q n−1．
①当0<q<1时，a n=q n−1∈(0, 1]，且数列{a n}是递减数列，
∴ {b n}也为递减数列且b n∈(0, 1]，d<0，
令b1+(n−1)d<0，得n>1−b1
d
>1，
即存在n>1使得b n<0，这与b n∈(0, 1]矛盾．
②当q>1时，a n=q n−1≥1，数列{a n}是递增数数列，
∴ {b n}也为递增数列且b n≥1，d>0．
∵ d为正的常数，且q>1，
∴ 存在正整数m使得a m+1−a m=q m−1(q−1)>d．
令b k=a p，(p>m)，则b k+1≥a p+1，
∵ a p+1−a p=q p−1(q−1)>q m−1(q−1)>d=b k+1−b k，
∴ a p+1−a p>b k+1−b k，即a p+1>b k+1，但这与b k+1≥a p+1矛盾，说明假设不成立．综上，∴ 数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．。