17-18版 第2章 第12节 导数与函数的极值、最值
函数的极值与导数函数的最大小值与导数PPT课件
• [例3] 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， • (1)试求常数a、b、c的值； • (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． • [解析] (1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0. • 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
• [点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用求函数极值的一般步骤求 解．
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• 函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有 • A．极大值为5，极小值为－27 • B．极大值为5，极小值为－11 • C．极大值为5，无极小值 • D．极大值为－27，无极小值 • [答案] C
，该函数在[a，b]上一定能够取得
连续不断的与曲线
，该函数在(a，b)内是
，该函数的最
值必在
最大值
最小值
取得．
可导的
• 3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：
极值点或区间端点
• (1)如果在x0附近的左侧
，右侧
，那
么f(x0)是极
值；
f′(x)<0
f′(x)>0 大
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• 而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0. • 代入①式，得a(x2－1)＝0. • ∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2. • ∴a＝2，b＝0.
第33页/共51页x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a、 b、c为常数．
• 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去； • 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． • 当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数； • 当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数， • 所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.
函数的最值与导数公开课课件
数学模型
假设成本函数为 (C(x)) ，其一阶导数为
(C'(x))。令 (C'(x) = 0) ，解得可能的极值点
(x_0)。
应用实例
例如，在物流运输中， 随着运输距离的增加， 运输成本逐渐上升。为 了最小化总成本，需要 找到使总成本最小的运 输距离点，即求解一阶
导数为零的点。
物体运动速度问题
分析物理现象
导数可以用来分析物理现象，例如分析振动、波动、 电磁场等。
在经济中的应用
01
成本分析
导数可以用来分析企业的成本函 数，从而确定企业的最优生产策 略。
需求预测
02
03
决策优化
导数可以用来预测市场需求，例 如通过分析需求函数的一阶导数 来预测需求的变化趋势。
导数可以用来优化企业的决策， 例如通过求利润函数的导数来确 定最优的产量和价格策略。
在工程中的应用
优化设计
在工程设计中，导数可以用来优 化设计方案，例如通过求结构函 数的导数来优化结构的形状和尺 寸。
控制系统的设计
导数可以用来设计控制系统的反 馈机制，从而确保系统的稳定性 和性能。
流体动力学
在流体动力学中，导数可以用来 描述流体的速度场和压力场，从 而分析流体动力学现象。
06
总结与展望
应用实例
例如，在分析汽车行驶过程中，随着时间的推移 ，汽车的速度逐渐减小。为了研究速度减小的规 律以及何时速度达到最小值，需要求取速度函数 的一阶导数并进行分析。
05
导数在科研领域的应用
在物理中的应用
描述物体运动轨迹
导数可以用来描述物体的速度和加速度，从而研究物 体的运动轨迹。
求解物理问题
利用导数研究函数的极值和最值(PPT课件)
3 2 f ( x ) x ax 3x . 例题：已知函数
(1)若函数f(x)在区间[2，+∞)上是增函 数，求实数a的取值范围； (2)若x=3是函数f(x)的极值点，求f(x)在 [1，a]上的最大值和最小值.
思维导图：
易错分析： 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的 不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区 间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2， ＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响 函数的单调性．
总结归纳: 1.求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤： ①求f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将第一步中所求的极值与f(a)，f(b)比较，得到函 数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值. 2.当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调，其最大值与最 小值在端点处取得. 3.当连续函数f(x)在区间(a，b)内只有一个可疑点时， 若在这一点处有极大值（极小值），则可断定f(x)在 该点处取得最大值（最小值），这里(a，b)也可以是 无穷区间.
规范解答：
(1)由题意知f'(x)= 3x 2 3 ， 3 1 2 ax 3 1 x x .记t(x)= 令f'(x)≥0(x≥2)，得a≤ 2 2 9 x ， x 当x≥2时，t(x)是增函数，所以t(x)min= 4 ， 9 - ， . 所以实数a的取值范围是 4 (2)由题意得f'(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4， x f'(x)= 3x 2 8x 3 . 所以f(x)= x3 4 x 2 3， 1 令f'(x)=0，得 x1 3 (舍去)， x2 . 3 当x∈(1，3)时，f'(x)<0，所以f(x)在(1，3]上为减函数； 当x∈(3，4)时，f'(x)>0，所以f(x)在(3，4]上为增函数. 所以当x=3时，f(x)有极小值. 于是，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(3)=-18， 而f(1)=-6，f(4)=-12，所以f(x)max=f(1)=-6.
《函数的极值与导数》课件
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
高考数学一轮复习教案(含答案)：第2章 第12节 导数与函数的极值、最值
第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2x2＝x－2x2，令f′(x)＝0得x＝2，又0＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2 C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]【例1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]►考法2 根据函数的解析式求极值【例2】 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．故f (x )极大值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a ＞0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 故函数在x ＝1a 处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数有一个极大值点．►考法3 已知函数的极值求参数【例3】 (1)(2020·成都模拟)若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－22]B ．(－∞，－22)C ．(－∞，－3]D ．(－∞，－3)(2)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________.(1)C (2)2 [(1)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3]e x . 令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，g (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，g (0)＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，a ＋3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，a ＋3＜0，解得a ≤－3，故选C.(2)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ，∴f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2.由f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2或a ＝6.当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，∴a ＝2.](1)当a ＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f (x )的极小值．(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增； 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.【例4】 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值．[解] 因为f (x )＝1－x x ＋k ln x ，所以f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. (1)若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1. (2)若k ≠0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2.①若k ＜0，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. ②若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0，所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减． 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. 综上，k ＜1e 时，f (x )min ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝e －k －1.【例5】 已知函数f (x )＝e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x， 令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点， 且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x. 因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)， 所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) [由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)．]1．(2020·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)·e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0； －2<x <1时，f ′(x )<0；x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.故选A.]2．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；第11页 共11页 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．。
《导数与函数的极值、最值》 知识清单
《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
如果函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数存在，那么这个导数表示函数在 x0 点处的切线斜率。
设函数 y ＝ f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx（点 x0 ＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x0 ＋Δx) f(x0)；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0 时的极限存在，则称函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点x0 处的导数，记为 f'（x0)。
二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。
函数在某点处的导数 f'（x0) 就是曲线 y ＝ f(x) 在点（x0, f(x0)）处的切线斜率 k，切线方程为 y f(x0) ＝ f'（x0)（x x0)。
三、导数的运算1、基本函数的导数公式（1）（C)＇＝ 0（C 为常数）（2）（x^n)＇＝ nx^（n 1)（n 为有理数）（3）（sin x)＇＝ cos x（4）（cos x)＇＝ sin x（5）（e^x)＇＝ e^x（6）（a^x)＇＝ a^x ln a（a ＞ 0 且a ≠ 1）（7）（ln x)＇＝ 1/x（8）（log_a x)＇＝ 1/（x ln a)（a ＞ 0 且a ≠ 1）2、导数的四则运算（1）（u ± v)＇＝ u' ± v'（2）（uv)＇＝ u'v ＋ uv'（3）（u/v)＇＝（u'v uv'）／v^2（v ≠ 0）3、复合函数的导数设函数 u ＝φ(x) 在点 x 处可导，y ＝ f(u) 在点 u ＝φ(x) 处可导，则复合函数 y ＝fφ(x)在点 x 处可导，且其导数为 f ＇φ(x)φ'（x) 。
2024版高考数学总复习：导数与函数的极值最值课件
由图象判断函数y＝f(x)的极值的两个关注点
(1)由导函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值
点．
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，进而可得函
数y＝f(x)的单调性．
考向2 已知函数解析式求极值
例2
2
(1)若函数f(x)＝ 的极大值点与极大值分别为a，b，则(
1
当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－ .
e
1
2
3
4
5
1
3．函数y＝2x－ 2 的极大值是_________．
－3
1
解析：函数y＝2x－ 2 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y′＝2
2
＋ 3 ，令y′＝0，得x＝－1.
当x<－1时，y′>0；当－1<x<0时，y′<0；当x>0时，y′>0，
3
4
解析：f′(x)＝x2 －4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当
x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调
递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0，3]上，
所以m＝4.
1
2
3
4
5
max ＝f(0)＝4，
02
关键能力·研析考点强“四翼”
e
A．a＜b＜ab
C．b＜ab＜a
C
)
B．a＜ab＜b
D．ab＜b＜a
2e − 2 e 2− 2
解析：f′(x)＝
《导数与函数的极值、最值》示范公开课教学课件
典例分析
例2 已知函数f（x）＝ 1 x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图像的示意图． 3
为方便起见，上面步骤也可以用表格形式表示（↗表示递增，↘表示递减），x fΒιβλιοθήκη （x） f（x）（－∞，－2）
－2
＋
0
↗
极大值 9 1
3
（－2，2）
2
－
0
↘
极小值 11
3
（2，＋∞） ＋ ↗
典例分析
求可导函数极值的步骤为： ➢ 确定函数的定义区间，求导数f′（x）； ➢ 求方程f′（x）＝0的根； ➢ 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小区间，并列成 表格． 检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这 个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值； 如果左右不变符号，那么f（x）在这个根处无极值．
a
（2）函数f（x）在a、b点的导数值是多少？
（3）在a、b点附近，y＝f（x）的导数的符号分别是什么？
O b
x y＝f（x）
追问3：观察y＝f（x）的图像在x＝b点的函数值f（b）与x＝b附近的其他点的函数值的特征， 并描述在x＝b点及其附近导数的正负．
新知探究
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x， 都有 （1）f（x）＜f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值点，且f（x）在x0处取极大值； （2）f（x）＞f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值点，且f（x）在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其 附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．
高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是高中数学中的重要知识点，也是数学分析中的基础内容。
导数可以帮助我们分析函数的变化趋势，而极值与最值则能帮助我们找到函数的局部极大值和最大值。
本文将对导数与函数的极值与最值进行总结和介绍。
一、导数的定义与求法1.导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率，可以理解为函数图像在该点的斜率。
若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点的导数表示为f'(x)，可以用极限的形式来定义，即：f'(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h2.导数的求法常见函数的导数求法有以下几种方法：（1）利用导数定义进行求解，使用极限的性质来计算；（2）使用基本导数公式，如常数函数导数为0，幂函数导数为幂次减1等；（3）使用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等；（4）利用复合函数、反函数和参数方程的求导法则；（5）利用隐函数求导法则，将函数的表达式转化为关于x和y的方程，然后进行求导等。
二、函数的极值与最值1.极值的定义函数f(x)在点x=a处的极值，指的是函数在该点的函数值最大或最小。
如果存在f(a) > f(x)（或f(a) < f(x)）对于x在a的某个邻域内成立，则称f(a)是函数的极大值（或极小值）。
2.函数极值的判定条件对于函数f(x)，有以下判定条件可以帮助我们确定其极值：（1）一阶导数的零点：若f'(x) = 0，则该点可能为函数的极值点；（2）二阶导数的符号：若f''(x) > 0，则该点为函数的极小值点；若f''(x) < 0，则该点为函数的极大值点；（3）导数的单调性：若f'(x)在某个区间上始终保持正（或负）号，则该区间上的极值点为极小值（或极大值）点；（4）端点：函数在区间的端点上也可能存在极值。
3.最值的定义与求法函数f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值称为最值。
高中数学备课教案函数与导数的求极值与最值
高中数学备课教案函数与导数的求极值与最值高中数学备课教案：函数与导数的求极值与最值导读：本教案将介绍高中数学中函数与导数的求解方法，特别是在求取函数的极值与最值时的应用。
通过明确的步骤和实例演算，帮助学生掌握解题的技巧与方法。
一、函数的极值与最值概述函数的极值与最值是函数中的关键概念之一，它们对于函数的特性和性质的研究具有重要意义。
在数学中，极大值和极小值统称为极值。
极大值是指函数在某一区间内取得的最大值，而极小值则是函数在某一区间内取得的最小值。
二、求解函数极值与最值的基本方法1. 导数法求极值使用导数法求解函数极值的基本步骤如下：（1）求取函数的导数；（2）将导数置为零，得到关于自变量的方程；（3）解方程得到关键点；（4）利用关键点和区间端点进行函数值的比较，确定极值。
2. 导数法求最值求解函数最值的方法与求解极值类似，但在步骤（4）时需要根据函数的单调性进行判断，进而确定函数的最值。
三、实例演算现通过实例来演算函数的极值与最值的求解过程。
例1：已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，在闭区间[-1, 3]上求函数的极值和最值。
解：（1）求导数：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2；（2）令导数等于零：3x^2 - 6x + 2 = 0；（3）解方程得到关键点：x = 1 ± √3；（4）利用关键点和区间端点进行比较：将x = -1, 1 ± √3, 3代入函数f(x)，得到函数值：f(-1) = 7，f(1 - √3) ≈ -2.732，f(1 + √3) ≈ 0.732，f(3) = 31；因此，函数在x = -1和x = 3处取得极大值，极大值为7和31；函数在x = 1 - √3处取得极小值，极小值为-2.732；函数在x = 1 + √3处取得极大值，极大值为0.732。
通过以上实例演算，我们可以看出，通过求导数、解方程和比较函数值的方式，可以得到函数的极值和最值。
《导数和极值》课件
导数与曲线的凹凸性
导数还能帮助我们判断函数曲线的凹凸性。
1
凸函数
2
导数递减表示函数曲线凸向上。
3
凹函数
导数递增表示函数曲线凹向上。
拐点
曲线在拐点处的导数从递增变为递减。
导数图像的应用
导数的图像也具有重要的应用价值。
波形分析
导数图像可用于分析周期性信号 中的极值点。
变化率
导数图像反映了函数的变化率， 对于分析趋势至关重要。
供需关系
导数图像揭示了供需曲线中的价 格和数量变化。
总结和要点
在本次课件中，我们探讨了导数的定义和概念、计算方法、极值求解、凹凸性分析以及导数图像应用。
基本概念
导数描述函数的变化率和斜率。
极值求解
通过求导数找到函数的极值点和拐点。
凹凸性分析
导数可以判断函数曲线的凹凸性。
导数图像应用
导数图像在实际问题中具有重要的应用价值。
导数的计算方法
有多种方法可以计算导数，包括使用极限定义、微分法和求导公式。
1
极限定义
基于函数变化率的极限定义计算导数。
2
微分法
利用微小的变化来估计导数。
3
求导公式
一些常见函数的导数可以通过求导公式直接计算得出。
利用导数求函数的极值
通过求函数的导数，我们可以判断函数的极值点和极值类型。
局部极大值
导数为0的点可能是函数的局部 极大值点。
局部极小值
导数为0的点可能是函数的局部 极小值点。
拐点
函数在拐点处的导数为0，但不 是极值点。
极值问题的应用举例
极值问题与实际生活息息相关，以下是一些应用举例：
1 最大利润
通过求导数，我们可以求解最大利润的生产量。
17-18版 第2章 第12节 导数与函数的极值、最值
第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．导数与函数的极值(1)函数的极大值与导数的关系x (a，x0)极大值点x0(x0，b)f ′(x)＋0－y＝f (x)增加极大值减少图示(2)函数的极小值与导数的关系x (a，x0)极小值点x0(x0，b)f ′(x)－0＋y＝f (x)减少极小值增加图示(1)求函数y＝f (x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f (x)，f ′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f (x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图像如图2-12-1所示，则函数f (x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()【导学号：66482113】图2-12-1A．1B．2C．3D．4A[导函数f ′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f (x)在区间(a，b)内有一个极小值点．] 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值．。
期中复习——导数与函数的极值、最值
极值与最值不同，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内或所研究问题的整体的性质.【典例解析】一、函数的极值问题1.已知函数的图像判断函数的极值例1设函数f(x)在定义域R 上可导，其导函数为f ′(x)．若函数y ＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)2.已知函数求极值例2已知x ＝2是函数f(x)＝x3－3ax ＋2 的极小值点，则函数f(x)的极大值为( )A ．15B ．16C ．17D ．183.已知函数的极值求参数例3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx －a2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．不存在二、函数的最值问题例4设n ∈N*，a ，b ∈R ，函数f(x)＝aln x xn ＋b ，已知曲线y ＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求a ，b 的值；(2)求f(x)的最大值．对点练习已知函数f(x)＝ln x x －1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m ＞0，求函数f(x)在区间[m,2m]上的最大值．三、函数的极值与最值综合问题例5已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x ＝2处取得极值．若m ∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________． 作业已知常数a≠0, f(x)＝aln x ＋ 2x.(1)当a ＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围．【小结】数学思想：数形结合分类讨论。
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第十二节导数与函数的极值、最值
1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大．()
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()
(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()
[答案](1)×(2)×(3)√(4)×
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的
图象如图2-12-1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()
图2-12-1
A．1B．2
C．3D．4
A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．] 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数
关系式为y＝－1
3x
3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
()
A．13万件B．11万件
C．9万件D．7万件
C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．
当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当x＝9时，y有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝() 【导学号：51062084】A．－4 B．－2
C．4 D．2
D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．
∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]
5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．
8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，
得x ＝0或x ＝23.
∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]
☞角度1 根据函数图象判断极值
设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )
的图象如图2-
12-2所示，则下列结论中一定成立的是( )
图2-12-2
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]
☞角度2 求函数的极值
求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．。