一次函数的性质教学案例

《一次函数的性质》教学案例
海口实验中学许艳航
一、教材分析
本节课是华东师大版八年级下第十八章第三节第三课时。

一次函数是函数中图形、性质相对简单的函数，它将是学习其他复杂函数的基础。

本节是在学生对函数的知识及一次函数的意义、图象有一定认识的基础上进行的。

通过本节的学习丰富了对一次函数的认识，教学中所体现的对数形结合思想的运用，为研究其他函数的性质和今后利用图形直观解决相关问题指明了方向。

二、教学目标
1．知识与技能：
1）通过对一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象的研究，探索一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。

2）能根据k与b的值说出函数的有关性质.
2．过程与方法：
1）借助动手画一次函数的图象，感知一次函数中k、b的取值对直线位置的影响。

2）经历由一次函数图象探索一次函数的性质的过程，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力。

3．情感、态度与价值观：
感受数学魅力，能用一次函数解决有关的实际问题，进一步发展数学应用意识。

提高学生数形结合能力。

三、重点与难点
重点：一次函数的性质
难点：通过一次函数的图象总结其性质
四、学情与教法分析
上本节课的班级是初二（4）班的学生，这个班的学生整体素质较好，部分学生具备较强的观察、分析问题的能力，能与他人进行沟通交流，表达自己的看法、认识，对问题有一定的探究能力。

新课程倡导，学生是学习的主体。

学生主动参与课堂才能促使知识的积极建构，才会形成丰富的情感体验。

本节课利用问题引路，采取学生先动手画图，直观感知，再合作交流，归纳概括，后实践运用，练习巩固的教学流程。

做好对不同形式的函数对比概括的教学。

本节教学方法的设计给学生提供动脑，动手的机会，同时运用演示课件、几何画板、设计游戏等形式教学，将信息教育技术与课堂教学结合起来，把学习主动权交给学生，真正让学生成为教学活动的主体。

调动了学生的学习积极性，提高了学生的学习兴趣。

五、教学过程
(一)、创设情境
1.在前面对一次函数图象研究中知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样才能便捷画出一次函数的图象呢？
生答：先确定直线与坐标轴的交点：（b k
-，0）、（0，b ），再过这两个交点做直线。

（点评：复习一次函数的图象，为本节课的学习做好铺垫）
2.在同一直角坐标系中，画出函数13
2+=x y 和y ＝3x -2的图象. 几何画板演示：在同一直角坐标系中做出这两个一次函数的图像，规定方向：从左向右，运用几何画板的赋值功能，运动点。

学生观察此时随着自变量增加函数值的变化情况；改变k ，b 值以及k,b 的符号，观察此时随着自变量的增加函数值的变化情况，对比研究函数图像呈上升趋势是由什么元素决定的。

（点评：本节课结合图象研究一次函数的性质，关键在于学生理解，这里选用了几何画板展示避免了传统的黑板做图占用过多的教学时间， PowerPoint 不能清楚的展示横纵坐标的变化情况，而几何画板软件综合其优点，形象直观的展现了函数值随自变量变化而变化的趋势，学生容易理解掌握，对一次函数的性质的探究水到渠成。

）
（二）、探究归纳
1.观察图象发现在直线13
2+=x y 上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自变量x 从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y 的值也从小变到大）.
即：函数值y 随自变量x 的增大而增大.
请学生讨论：函数y ＝3x -2是否也有这种现象?
讨论结果：函数y ＝3x -2也有这种现象。

设问：是不是所有的一次函数的图象都有如下的性质？
（点评：在研究两个一次函数的图象均为函数值y 随自变量x 的增大而增大，学生会疑惑为什么要研究这一性质，是不是所有的一次函数都有这样的性质，这里的设问给学生指明方向，引发学生思考。

）
3.在同一坐标系中，画出函数y ＝-x ＋2和312
y x =-+的图象（图略）. 根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质？你能发现什么规律。

学生动手画图，观察分组讨论，交流自己的观点。

师：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x 从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y 的值也从大变到小）.
即：函数值y 随自变量x 的增大而减小。

（点评：在学生疑惑的同时给学生指明方法，学生自己动手画图，体会一次函数的图像并不是所有时候都是呈上升趋势的，学生带着疑问研究问题可以提高学习效率，事半功倍。

）
师：通过画图我们可以看到有的时候函数值y 随自变量x 的增大而增大，有的时候函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么是由什么决定的？ 通过对比13
2+=x y 与312y x =-+的图象，学生很快发现b 相同，所以图象的这种性质是由k 的符号决定的，从而得到一次函数的第一个性质。

一次函数y ＝kx ＋b 有下列性质：
(1)当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； 当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。

特别地，当b ＝0时，正比例函数也有上述性质。

练习：下列一次函数中，y 的值随x 的增大而减小的有________。

（1） y =-2x -1
（2） y =3x +2
（3） y =4-x
（4） y =6x -1
（点评：在对第一个性质探究结束以后，设计练习，加强对性质的理解，其中（1）
（2）（4）是基础题，（3）改变两项的位置，有一定的难度。

这样的设计即可以坚定学生的学习信心，也可以提高学生的探究精神。

）
4．研究b 的取值对函数图象的影响
师：k 的符号决定了图象是上升还是下降，那么b 的取值对图象有着怎样的影响？
运用几何画板做出y ＝kx ＋b 的图象，先改变k 的值，再改变b 的值，观察b 的取值对一次函数图象的影响，学生可以发现，直线与y 轴的交点即为（0，b ），从而得出性质二。

(2)当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴；
当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴。

（点评：对于b 对函数性质的影响仍然运用了几何画板这一软件，应用了几何画板可以迅速做出函数图象这一优点，可以很清楚的发现，无论怎样改变k 的值，函数在y 轴上的交点始终保持不变。

有了几何画板使问题更直观，减轻学生理解负担。

）
5．巩固提高
运用PowerPoint 设计了一个游戏：选择你喜欢的一个字，按要求回答问题。

屏幕显示：“我”“选”“择”“我”“喜”“欢”六个字，每个字代表了一个题目，题目由一次函数的图像判断k 、b 的取值范围。

六个字分别代表了六种不同的情况，包括正比例函数，并且在学生答对的基础上，跟问图象所在的象限有哪些？ （点评：此时学生对一次函数的性质已经有了初步的了解，这里把巩固训练设计为一个游戏，提高了学生的学习兴趣，并且培养了学生的逆向思维，提高学生的综合素质。

）
6.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2（课本P 39）反映了怎样的实际意义？
问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近。

问题2 随着时间的增长,小张的存款越来越多。

（点评：一次函数是一种重要的数学模型，学生要能够运用性质解决实际问题，本题为学生提供了联系实际的机会，体会学习数学的价值，从而感受到学好数学的意义。

）
（三）、实践应用
例1 已知一次函数y ＝(2m -1)x ＋5,当m 是什么数时，函数值y 随x 的增大而减小？
分析： 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，若k ＜0，则y 随x 的增大而减小． 解 因为一次函数y ＝(2m -1)x ＋5，函数值y 随x 的增大而减小．
所以，2m -1﹤0,即2
1<m . 例2 已知点(2,m )和(-3,n )都在直线116
y x =+上，试比较m 和n 的大小.你能想出几种判断的方法？
分析：m 为自变量为2时的函数值，n 为自变量为-3时的函数值，可以分别
求出m 、n 的值进行比较；还可以根据一次函数的性质，由于k =
16
﹥0，所以y 随x 的增大而增大，由2﹥-3，所以m ﹥n 。

解答过程略。

（点评：例1，例2为学生在学习一次函数的性质后的应用，例1相对基础，例2增加难度，提高了学生的综合应用能力，巩固性质一）
（四）、交流反思
这节课我们有哪些收获？
(1)当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
(2)当b >0时，直线与y 轴交于正半轴；
当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴；
当b =0时，直线与y 轴交于坐标原点.
（五）、检测反馈
1.函数y=3x+1经过那几个象限？
2.已知点(-1,a )和⎪⎭
⎫ ⎝⎛b ,21都在直线332+=x y 上，试比较a 和b 的大小。

(点评：检测题的目的在于巩固所学内容，由学生独立完成，此时不再增加题目的难度，减轻学生负担，让学生有成功的体验，帮助学生获得学好数学的信心。

)
（六）．作业
课本P48，第8题；学习指导P26，§18.3（四）第二题。

六、板书设计
黑板分为左、中、右三部分，中间用于画图分析，右边用于书写例题，左边用于书写一次函数的性质。

本节课的设计力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。

由此我采用“问题——实践——探究——应用”的学科教学模式，把主动权充分的还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引
导学生观察思考、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐。

整堂课以问题思维为主线，充分利用几何画板及计算机辅助教学，特别是几何画板，巧妙地把数学实验引进了数学课堂，让学生充分参与数学学习，获得广泛的数学经验，整堂课融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体。

这样既注重知识的发生、发展、形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，又使学习者积极主动地将知识融入已构建的结构，而不是被动的接受并积累知识，从而“构建自己的知识体系”。

并通过探索过程，不断丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，渗透数学的思想方法，发展数学思维。